phương pháp tính tích phân từng phần

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN... PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Khi không có dấu hiệu nào của đổi biến số, ta dùng công thức từng phần.. Công thức của từng phần : udvuvvdu Ch

I LÝ THUYẾT

ĐỊNH LÍ 2: Cho các hàm số uu x v , v x  xác định trên K Khi đó ta có:

1  uv dx udxvdx

2 kvdxk vdx , với k là hằng số

Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp



1

a









1

axb

1

1

1

ax b c

sin x cos x c sin ax b 1c s ao  

2

1

sin

1

ax b 1tana 

a xb c

2

1

cos

1

x

a

 

x

ln

x

ln

x

a

 

Trong đó: c là hằng số

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Khi không có dấu hiệu nào của đổi biến số, ta dùng công thức từng phần

Công thức của từng phần : udvuvvdu

Chú ý: dv = v’(x).dx; du = u’(x).dx

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lý sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân 𝑣𝑑𝑢 dễ tính hơn 𝑢𝑑𝑣 Một số dấu hiệu cơ bản khi dùng phương pháp từng phần

1  f x sinxd x, đặt  

sin x

dx

 







 2  f x cosxd x, đặt  

cos x

dx

 







3 f x e  x dx

x

dv e d x

 







e x x

sin

x xdx

dv





 









5 excosx x d , đặt

cos

x xdx

dv





 







x dx

e  x

x

dv e dx





 









7  f x ln xd x, đặt

 

ln

dv f x dx



 







TÍCH PHÂN

a a

f x dxF x F b F a

Tích phân từng phần: b  b b

a

udv uv  vdu

Định lí quan trọng: b   c   b  

f x dx f x dx f x dx

b   a  

f x dx  f x dx

II BÀI TẬP

Tính các tích phân sau:

a/

1 2 x

x e dx



2 x

u x e

dx

 



 

b/

2( 1)

x dx

x 

5

3

u x

x dx dv

x

 









c/

1

 

Tính I1

1 2

01

dx x





 bằng phương pháp đổi biến số

Tính I2 =

2 2

0(1 )

x dx

x



 bằng phương pháp từng phần : đă ̣t

2 2

u x

x

x







 



Bài tập tự luyện:

1

3 3 1

ln

e

x dx x

1 ln

e



3

1

2 0

ln( 1)

x x  dx

1 ln

e



5

3 3 1

ln

e

x dx x

1 ln

e



7

1

2 0

ln( 1)

x x  dx

1 ln

e



9

2

0

( x c osx) s inx dx





1

1 ( ) ln

e

x





11

2 2 1 ln( x  x dx )

3

2

4

tan

x xdx







13

2

5 1

ln x

dx x

 14

2

0

cos

x xdx



15

1

0

x

xe dx

2

0

cos

x

e xdx





17 1

0

3

.e dx

x x 18 2 

0

cos ) 1 (



xdx

x 19 6 

0

3 sin ) 2 (



xdx

x

20 2

0

2 sin



xdx

x

21 e x xdx

1

ln 22  

e

dx x x

1

2

ln )

1

1

ln

4x x dx

24 1 

0

2

)

3 ln(

x 25 2 

1

2

)

1 (x e x dx 26 

0

cos x dx

27 2

0

2

cos



dx x

0

2

sin )

2 (



dx x x x

29

2 5 1

ln xdx x

2 2 0

x cos xdx



1 x 0

e sin xdx

2

0

sin xdx





33

e 2

1

x ln xdx

3 2 0

x sin xdx cos x





0

xsin x cos xdx



36

4

2

0

x(2 cos x 1)dx





2 2 1

ln(1 x)dx x



1

2 2x

0

(x 1) e dx

39

e

2

1

(x ln x) dx

2

0

cosx.ln(1 cosx)dx





1

ln

e

e

x dx

x

 42

1 2

0

xtg xdx

 43  1

0

2

) 2 (x e x dx

44 1 

0

2) 1

l n ( x dx

x

45 e dx

x

x

1

ln

46  2

0

3

sin ) cos (



xdx x

47 2  

0

) 1 ln(

) 7 2 ( x x dx 48 3 

2

2

) ln(x x dx

49 𝑒𝑥 + 1

𝑥 2 𝑒𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

2

1 50 𝑥−10 5 𝑒−𝑥3𝑑𝑥

51 𝑥1𝑒 5 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥

52 𝑥+ 𝑒𝑥−𝑒3𝑥

3

𝑒 3𝑥 𝑑𝑥

0 –𝑙𝑛 3

53 1 3ln ⁡(𝑥+ 1+𝑥𝑥3 2)𝑑𝑥

54 𝑥(𝑒01 2𝑥 + 𝑥 − 13 ) 𝑑𝑥

55 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠01 3𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥

56 𝑥𝑙𝑛 1 + 𝑥01 2 𝑑𝑥

57 1𝑒 𝑥3𝑥+1 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

58 𝑥1𝑒 3𝑙𝑛2𝑥𝑑𝑥

59 4𝑥 − 1 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥12

60 ln 𝑥

𝑥+1𝑑𝑥

8 3