phương pháp tính tích phân

Dấu hiệu nhận biết khi dùng phương pháp đổi biến số.. Công thức của từng phần : udv uvvdu Một số dấu hiệu cơ bản khi dùng phương pháp từng phần... Tính nguyên hàm của các hàm số sau:

ĐỊNH LÍ 1: Nếu hàm số yF x  là nguyên hàm của hàm số y f x  thì hàm số

 

yF x c cũng là nguyên hàm của hàm số y f x 

Khi đó ta có:  f x dx  F x c với c là hằng số

ĐỊNH LÍ 2: Cho các hàm số uu x v , v x  xác định trên K Khi đó ta có:

1  uv dx udxvdx

2 kvdx k vdx , với k là hằng số

Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp



1

a









1

axb

1

ln ax b c

1

2 axb

1

ax b c

sin ax b c

2

1

sin

1

ax b 1tana 

a xb c

2

1

cos

1

axb 1c t ao  

x

a

DỤNG BẢNG CÔNG THỨC

ln

x

a c

ln

x

a

 

Trong đó: c là hằng số

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

◙ PHƯƠNG PHÁP 1 : Đổi biến số

Dấu hiệu nhận biết khi dùng phương pháp đổi biến số

1  f x g x dx    , trong đó : g x'  f x  Đặt tg x 

2  f u x v x dx      , trong đó : u x'   v x Đặt tu x 

3  f x ,m f x dx   , đặt t m f x 

4 f ln x,1 dx

x



 , đặt tlnx

,

f x a x dx

 , đặt xasint hoặc xacost

,

f x x a dx

sin

a x

t

,

f x x a dx

 , đặt xatant

◙ PHƯƠNG PHÁP 2 : Từng phần

Khi không có dấu hiệu nào của đổi biến số, ta dùng công thức từng phần

Công thức của từng phần : udv uvvdu

Một số dấu hiệu cơ bản khi dùng phương pháp từng phần

1  f x sinxd x, đặt  

sin x

u f x

dx

 







 2  f x cosxd x, đặt  

cos x

u f x

dx

 







3   x

f x e dx

x

u f x

dv e d x

 







 4 sin

x

d

e x x

sin

x xdx

u e dv





 









5 excosx x d , đặt

cos

x xdx

u e dv





 







e  x

x

dv e dx





 









7 f x ln xd x

 

ln

dv f x dx



 







A TÍCH PHÂN

Công thức Newton – leibnizt: b    b    

a a

f x dxF x F b F a

Tích phân từng phần: b  b b

a

udv uv  vdu

Định lí quan trọng: b   c   b  

f x dx f x dx f x dx

b   a  

f x dx  f x dx

Bài 1 Tính nguyên hàm của các hàm số sau:

1 f(x) = x2 – 3x + 1/x

2 f(x) = 2.𝑥

4 +3

𝑥2

3 f(x) = 𝑥 + 𝑥3 + 𝑥4

4 f(x) = (𝑥

2 −1)2

𝑥2

5 f(x) = 2 Sin2𝑥

2

6 f(x) = tan2 x

7 f(x) = cos2x

8 f(x) = 1 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥

9 f(x) = ex (ex – 1)

10 f(x) = cos2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥

11 f(x) = 2 sin 3x cos2x

12 f(x) = e3x+1

13 f (x) = 𝑥−1

𝑥 2

14 f(x) = 1

𝑥 − 2 𝑥 3

15 f(x) = ex ( 2+ 𝑒

−𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥)

Bài 2 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện cho trước:

a) f(x) = x3 – 4x +5; F(1) = 3

b) f(x)= 3 – 5 cos x; F(𝜋) = 2

c) f(x) = 3−5𝑥

2

𝑥 ; F(e) = 1 d) f(x) = 𝑥

2 +1

𝑥 ; F(1) = 3/2 e) f(x) = 𝑥

3 −1

𝑥2 ; F(-2) =0 f) f(x) = x 𝑥 + 1

𝑥 ; F(1) =-2 g) f(x) = sin2x.cosx; F’(𝜋

3) = 0

Bài 3 Tính các tích phân sau:

1

1

3

0

(x  x 1)dx

2 1

e

x x

2 3

1

2

x dx

1

1

x dx



4 2

3

(2sinx 3cosx x dx)





0

( x )

e x dx

6 1 3

0

(x x x dx)

 7.2

1

( x1)(x x1)dx



8

2

3

1 (3sinx 2cosx )dx

x





0

(e xx  1)dx

1

(x x x x dx)

 11.2

1

( x1)(x x1)dx



12

3

3 1





2

2 2 -1

x.dx

x 



14

2

e

1

dx x

5

2

dx



16

2

2 1

x 1 dx

ln





3 6

x dx x

cos sin







18

4

2 0

tgx dx x

cos



0











20

0

e dx

.





2

2 1

dx 4x 8x



22

3

0

dx

ln

.





2

0

dx

1 sinx







24 (ĐH-B-2003)

2 4

0

1 2sin

1 sin 2

x dx x









25

4

2 0

sin 2

4 cos

x dx x







26 (ĐH-A-2006)

4

0

sin 2 cos 4sin

x

dx







27

ln 3

3

x

x

e dx

e 



3 3

sin cos

sin cos











29

2

x dx

x 



30

3

4

sin

os 1 cos

xdx





31

1

dx e





32 (ĐH-D-2005)2 

sin 0

cos cos

x







33

6

0

sin 2 cos 3x xdx



 ; 34

2

3

cos cos 5x xdx







35

4

3 0

sin xdx



 ; 36

3 4 0

cos x





37

1

3

xdx

x

