cực trị hàm bậc 4 tiết 2

Tóm tắt lý thuyết 1.. Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m Cực trị của hàm bậc bốn... Do đó tam giác chỉ có thể vuông tại A.. Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu b.. Xác địn

A Tóm tắt lý thuyết

1 Xét hàm   4 2

f x ax bx c (a0) Ta có  

 

2

t x

b

a



duy nhất x0 và f ' x đổi dấu đúng một lần khi x đi qua 0  f chỉ có một cực trị

Trường hợp 2: ab0 Khi đó t x  có hai nghiệm phân biệt khác 0  f ' x có ba nghiệm và f ' x đổi dấu liên tiếp khi x đi qua ba nghiệm này  f ba cực trị

2 Một số kết quả cụ thể:

 f có một cực trị  ab0;

 f có ba cực trị  ab0;

0

a b





 

 ;

0

a b





 

 ;

0

a b





 

 ;

0

a b





 



B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHB02] Tìm để hàm số 4  2  2

9 10

ymx  m  x  có 3 điểm cực trị

Giải Để hàm số có ba điểm cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm bậc 4 , tức là m0 Ta có

 

2

2

m

t x



Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

m

Cực trị của hàm bậc bốn

y có 3 nghiệm phân biệt  t x có 2 nghiệm phân biệt khác 0    2 9 0

2

m m





9 0

3

m m

 



  

Ví dụ 2 Tìm m để hàm số   4 2 3

1

2

y m x mx  chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

Giải Ta xét hai trường hợp sau đây:

 m 1 0  m 1 Khi đó 2 3

2

yx   hàm số chỉ có cực tiểu (x0) mà không có cực đại  m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

 m 1 0  m 1 Khi đó hàm số đã cho là hàm bậc 4 có

m

m



Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại  y có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương ' khi x đi qua nghiệm này 

 

 

0

m m m





   1 m 0

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có 1  m 0

Ví dụ 3 [ĐHB11] Cho hàm số 4   2

yx  m x m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A ,

B , C sao cho OABC ; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai

điểm cực trị còn lại

Giải Ta có

 

t x

y  x  m x x x  m 



Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

'

y có 3 nghiệm phân biệt  t x  có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Khi đó, ta có

' 0

0 1 1

x









  





 

2 2

0;





     







,

(vai trò của B , C trong bài toán là như nhau nên cung có thể giả sử

C  m m  m )

Ta có

0; 



 OA m ; BC2 m1; 0  BC2 m1

Do đó

OABC  m 2 m1  2

4 4 0

m  m  ( ' 8)  m 2 8 (thỏa mãn  * ) Vậy m 2 8

Ví dụ 4 [ĐHA12] Tìm m để đồ thị hàm số 4   2 2

yx  m x m có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Giải Ta có

 

t x

y  x  m x x x  m 



Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

'

y có 3 nghiệm phân biệt  t x  có 2 nghiệm phân biệt khác 0

 m  1 0 m 1  *

Khi đó, ta có

' 0

0 1 1

x









  



Suy ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

0;

A m , B m 1; 2m1, C m 1; 2m1

Ta thấy A Oy , B và C đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC cân tại A Do đó tam giác chỉ có thể vuông tại A

Ta có

 

1; 1



,   2

1; 1



AB AC m  m

 

Tam giác ABC vuông khi và chỉ khi

0



1 1

m

m

 



  

0

m m

 



 

 , kết hợp với điều kiện  * ta có m0

Ví dụ 5 Cho hàm số y = x4 + (m + 1)x2 +1

a Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu

b Xác định Phương trình đường cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

Đáp án: a m < - 1; b y = (m+1)/2 x2

+ 1

Ví dụ 6 Cho hàm số y = kx4

+ (k - 1)x2 + 1 – 2k Xác định k để hàm số chỉ có 1 điểm cực trị Đáp án: k ≥ 1 hoặc k ≤ 0

Ví dụ 7 Xác định m để hàm số y = x4

– 2mx2 + 2m + m4 có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều

Đáp án: m = 33