cực trị hàm bâc 3 tiết 2

Quy tắc tính cực trị và phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3... Hàm số có cực trị b.. Hàm số có cực đại, cực tiểu tại điểm có hoàn

A Tóm tắt lý thuyết

yax bx  cx d C (a0)

1 Điều kiện có cực trị

 Hàm số có cực trị TH1:với a ≠ 0 Hàm số có hai cực trị   C có cực trị   C có hai điểm cực trị  'y = 0 có hai nghiệm phân biệt  𝑎 ≠ 0

∆′> 0 TH2: với a = 0 thì y’ = 0  2bx + c = 0, điều kiện là b ≠ 0

 Hàm số không có cực trị  TH1: Nếu a ≠ 0 thì điều kiện là y’ không đổi dấu  ' 0  TH2: Nếu a = 0 thì y’ = 2bx + c, điều kiện là y’ không đổi dấu  b=

0 và c ≠ 0

 Hàm số có cực đại, cực tiểu  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt  𝑎 ≠ 0

∆′> 0

 Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K Ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu

Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt  𝑎 ≠ 0

∆′> 0 Khi đó Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Viet

Bước 2: Kiểm tra điều kiện K

 Hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng I

 Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng I

 Hàm số có cực đại, cực tiểu và xcd< xct  Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và a >

0  𝑎 > 0

∆′> 0

 Hàm số có cực đại, cực tiểu và xcd> xct  Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và a <

0  𝑎 < 0

∆′> 0

 Hàm số đạt cực tiểu tại x0  𝑦

′ 𝑥0 = 0

𝑦′′ 𝑥0 > 0

 Hàm số đạt cực đại tại x0  𝑦

′ 𝑥0 = 0

𝑦′′ 𝑥0 < 0

2 Quy tắc tính cực trị và phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3

Giả sử hàm số có cực trị, thực hiện phép chia đa thức y cho 'y để có:

  '

y p x yax b

Từ đây suy ra:

 x là điểm cực trị của hàm số 0  y x' 0 0  y x 0 ax0b

 : yax b là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của  C

B Một số ví dụ

y m x  x mx có cực đại, cực tiểu

Giải Ta có   2

y  m x  xm y có cực đại, cực tiểu thì trước hết

2 0

Khi đó 'y là tam thức bậc hai có  2 

     y có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi ' 0

m  m     3 m 1 (2) Kết hợp với  1 và  2 ta có những giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m     3; 2  2;1

y x mx  m  x có hai điểm cực trị x , 1 x sao 2

cho x x1 22x1x21

Giải Ta có

y  x  mx m   x mx m  ,

t x x mx m  là tam thức bậc hai có  13m24 Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

'

y có hai nghiệm phân biệt  t x  có hai nghiệm phân biệt

   0

2 13 13

2 13 13

m m











 





1

x , x là các nghiệm của 2 t x nên theo định lý Vi-ét, ta có   1 2 2





Do đó

 

1 2 2 1 2 1

x x  x x   2

3m 2m 1 1

3m 2m 0

0 2 3

m m







 



Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ 2

3

m thỏa mãn yêu cầu bài toán

y  x x  m  x m  có cực đại, cực tiểu và các

điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O

Giải Ta có

y   x  x m    x  x m  ,

t x x  x  là tam thức bậc hai có  ' m2 Do đó: y có cực đại cực tiểu  y có hai ' nghiệm phân biệt  t x  có hai nghiệm phân biệt   ' 0 m0 (1)

Khi đó 'y có các nghiệm là: 1 m  tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là  3

A m   m

B m   m Ta có

OA m   m



OA  m  m ;

OB m   m



OB  m  m

A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi

1m 4 1m  1 m 4 1m

4m 16m 0

0 1 2

m m







  



Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ 1

2

m  thỏa mãn yêu cầu bài toán

yx  mx  m có hai điểm cực trị A và B sao cho

tam giác OAB có diện tích bằng 48

Giải Ta có

2

y  x  mx x x m , y'0  0

2

x





 

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là  3

0;3

A m ,  3

2 ;

B m m Ta có:

0;3

OA m



3

 Ta thấy A Oy  OAOy  d B OA , d B Oy , 2m (3)

2

OAB

S  OA d B OA  m

Do đó: S OAB 48  4

3m 48  m 2 (thỏa mãn (1))

Ví dụ 5 Xác định tọa độ các điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của

đồ thị hàm số 3 2

yx  x  x  C

Giải Ta có

y  x  x  x  x

Vì   2

t x x  x có   ' 3 0 nên t x có hai nghiệm phân biệt, suy ra   y có hai nghiệm phân ' biệt Do đó  C có hai điểm cực trị Ta thấy các nghiệm của y là ' x1 1 3x2  1 3 y đổi dấu '

từ dương sang âm khi x đi qua x nên 1 x là điểm cực đại, '1 y đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 1

nên x là điểm cực đại 1

Thực hiện phép chia y cho t x  ta được

 1   6 6

y x t x  x Suy ra:

 1 6 1 6

y x   x  (vì t x 1 0)  y x 1  6 1  3 6 6 3

 tọa độ điểm cực đại của  C là 1 3; 6 3 Tương tự, tọa độ điểm cực tiểu của  C là 1 3; 6 3 

Ta thấy tọa độ các điểm cực trị của  C cùng thỏa mãn phương trình y  6x 6 nên phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là y  6x 6

Nhận xét Trong ví dụ trên thay vì chia y cho y , ta thực hiện phép chia ' y cho t x đơn giản hơn mà   vẫn đạt được mục đích của phương pháp Sở dĩ có thể làm được như thế là vì 'y và t x có cùng tập   nghiệm

Ví dụ 6 Cho hàm số y = 1/3.mx3

– ( m -1 )x2 + 3(m-2)x + 1/3 Tìm m để

a Hàm số có cực trị

b Hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1

c Hàm số có cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dương

d Hàm số có cực đại, cực tiểu và xcđ< xct

Đáp án: a 2− 6

2 < 𝑚 <2+ 6

2 ;b.m =2 hoặc m = 2/3; c 2− 6

2 < m < 0 hoặc 2< m < 2+ 6

2 ; d 0 < m < 2+ 6

2 ; e m= 2

Ví dụ 7 Viết Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3

– x2 – 94x + 95

Đáp án: y = - 566/9.x + 761/9