Tóm tắt lý thuyết 1.. Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này: 0 Điểm cực đại của f Giá trị cực đại cực đại của f Điểm cực đại của đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu củ
Trang 1I Tóm tắt lý thuyết
1 Khái niệm cực trị của hàm số
Cho f: D -> R và x0D
a) x được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng 0 a b; sao cho
0
;
; \
x a b D
f x f x x a b x
b) x được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng 0 a b; sao cho
0
;
; \
x a b D
f x f x x a b x
c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị
Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:
0
Điểm cực đại của f Giá trị cực đại (cực đại) của f Điểm cực đại của đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu của f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f Điểm cực trị của f Cực trị của f Điểm cực trị của đồ thị hàm số f
2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Giả sử hàm f có đạo hàm tại x0 Khi đó: nếu f đạt cực trị tại x thì 0 f ' x0 0
3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
a) Quy tắc 1
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính f’(x) Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
Chú ý:
Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x thì f đạt cực đại tại 0 x ; 0
Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x thì f đạt cực tiểu tại 0 x 0
b) Quy tắc 2:
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Trang 2Bước 3: Với mỗi xi tính f′′(xi)
0 0
" 0
f x
f x
f đạt cực đại tại x ; 0
0 0
" 0
f x
f x
f đạt cực tiểu tại x 0
A Một số ví dụ
Ví dụ 1 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số 1 3 2 4
3
y x x x
Giải Hàm số có TXD: D= R, 2
y x x , y'0 x 1 hoặc x3
Hàm số đạt cực đại tại x 1, giá trị cực đại tương ứng là y 1 3; hàm số đạt cực tiểu tại x3, giá trị cực tiểu tương ứng là
3
3
y
Ví dụ 2 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số 1 3 2 4
3
y x x x
Giải TXĐ D = R
y x x , y'0 x 1 hoặc x3
y"2x2,
+) y" 1 4 0 hàm số đạt cực đại tại x 1, giá trị cực đại tương ứng là y 1 3; +) y" 3 4 0 hàm số đạt cực tiểu tại x3, giá trị cực tiểu tương ứng là 23
3
7
y
+∞
-∞
f x
-23 3 3
+∞
3 -1
-∞
x
Trang 3Ví dụ 3 [SGK] Tìm a , b , c sao cho hàm số 3 2
yax bx cx d đạt cực tiểu tại điểm x0,
0 0
y và đạt cực đại tại x1, f 1 1
Giải Ta có 2 2
y ax bx c Từ giả thiết suy ra
' 0 0
' 1 0
y y y y
0 0
1
c d
a b c
a b c d
2 3 0 0
a b c d
y x x , y' 6x26x, y" 12x6 Ta có y" 0 6 0 hàm số đạt cực tiểu tại 0
x , y" 1 6 0 hàm số đạt cực đại tại x1 (thỏa mãn) Vậy a 2, b3, c0, d 0
Ví dụ 4 Tìm cực trị của hàm số:
a y = f(x) = - 2x3 + 3x2 + 1
Đáp án: ycđ = f(1)= 2; yct= f(0) =1
b y = f(x) = x4/2 – x2 + 3
Đáp án: : ycđ = f(0)= 3; yct= f(±1) =5/2
c y = f(x) = 𝑥
2 − 2 𝑥+2 𝑥−1
Đáp án : ycđ = f(0)= - 2; yct= f(2) =2
d y = f(x) = 3𝑥
2 + 4 𝑥+4
𝑥2+ 𝑥+1
Đáp án : ycđ = f(0)= 4; yct= f(-2) =8/3
e y = f(x) = x 1 − 𝑥2
Đáp án : ycđ = f( 2
2)= 1/2; yct= f(- 2
2) = - 1/2
f y = f(x) = 3 sinx + cos x + 2𝑥+32
g y = f (x) = −2𝑥2+ 3𝑥 + 5
Đáp án : ycđ = f(3/4)= 49/8; yct= f(-1) =0; yct= f(5/2) = 0
