Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu.. Viết phương trình đường thẳng qua A, B.. Phần dư trong phép chia này là y Ax B = + chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cự
Trang 1CỰC TRỊ HÀM BẬC 3, BẬC 4 Bài toán 1: Cực trị của hàm bậc 3
Cho hàm số: y ax = 3+ bx2+ cx d + có đạo hàm y ' 3ax = 2+ 2bx c +
1 Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ = y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt a 0
0
≠
⇔ ∆ >
2 Để hàm số có không cực đại, cực tiểu ⇔ = y ' 0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤0
3 Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu
+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B
+) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: y = ( mx n y ' + ) + ( Ax B + ) Phần dư trong phép chia này là y Ax B = + chính
là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu
Bài toán 2: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương
Cho hàm số: y ax = 4+ bx2+ c có đạo hàm y ' 4ax = 3+ 2bx 2x 2ax = ( 2+ b )
1 Hàm số có đúng 1 cực trị khi ab 0 ≥
+) Nếu a 0
b 0
>
≥
hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại.
+) nếu a 0
b 0
<
≤
hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu.
2 Hàm số có 3 cực trị khi ab 0< (a và b trái dấu)
+) nếu a 0
b 0
>
<
hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu.
+) Nếu a 0
b 0
<
>
hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu.
3 Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và A Oy ∈ ,
2 2
+) Tam giác ABC luôn cân tại A
+) B, C đối xứng nhau qua Oy và xB = − x , yC B = yC = yH
+) Để tam giác ABC vuông tại A⇔ 8a+b3=0
+) Tam giác ABC đều: ⇔ 24a+b3=0
+) Tam giác ABC có µ 3 2
2
α
= α ⇔ + =0 +) Tam giác ABC có A 120 µ = 0 khi 3 8 3
3
+) Tam giác ABC có diện tích:
5
3
b S
32a
−
= +) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp:
3
b 8a R
8 a b
−
= +) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp :
2 3
b r
b
a
=
+ −
4 Trường hợp thường gặp: Cho hàm số y x = 4− 2bx2+ c⇒ y ' 4x = 3− 4bx 4x x = ( 2− b )
+) Hàm số có 3 cực trị khi b 0>
Trang 2+) A, B, C là các điểm cực trị A 0;c ,B b,c b ,C( ) ( − 2) (− b;c b− 2), 4
AB AC= = b +b, BC 2 b=
+) Tam giác ABC vuông tại A khi b 1=
+) Tam giác ABC đều khi b =33
+) Tam giác ABC có µ 0
A 120 = khi 31
b 3
= +) Tam giác ABC có diện tích: 2
S b = b +) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp:
3
b 1 R
2b
+
= +) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp :
2
3
b r
b 1 1
= + +
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
Bài toán 1: Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng Tính
cả vốn lẫn lãi A sau n tháng?
Giải
Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)
Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2
………
Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n
Vậy A = a(1 + r)n (Công thức lãi kép)
Từ công thức (*) ta tính được các đại lượng khác như sau:
1)
A ln a n
ln(1 r)
= + ; 2)
n A
a
Bài toán 2: Gửi vào ngân hàng định kỳ vào cuối tháng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r
% trong n tháng Tính cả vốn lẫn lãi A sau n tháng?
Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc người đó gửi tiền là: A= a
Cuối tháng thứ hai, người đó có số tiền là:
2
2
a 1 r -1
= + + = + + = = +
Cuối tháng thứ ba, người đó có số tiền là: ( )
2
3
a 1 r -1
Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền là: A [ 1 r -1]a ( )n
r
Bài toán 3: Gửi vào ngân hàng định kỳ vào đầu tháng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r
% trong n tháng Tính cả vốn lẫn lãi A sau n tháng?
Cuối tháng thứ nhất, người đó có số tiền là: A= a(1+r)
Cuối tháng thứ hai, người đó có số tiền là:
A a 1 r a(1+r) a(1+r) 1 r 1 a r 1 r -1
r
Trang 3Cuối tháng thứ ba, người đó có số tiền là: ( )
2
3
Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền là: = + + −
a(1 r)
Ar a
(1 r) (1 r) 1
=
Bài toán 4: : Gửi vào a đồng, lãi suất r%/năm (hoặc tháng hoặc quí), lãi hàng năm được nhập vào vốn Hỏi sau khoảng bao nhiêu năm được số tiền b.
HD: Áp dụng công thức lãi kép, sau n năm, ta có phương trình b = a(1+r)n ⇔ n = log1 r b
a
+
÷
VD: Một người gửi vào 5 triệu, lãi suất 8,4%/năm, lãi hàng năm được nhập vào vốn Hỏi sau khoảng bao nhiêu năm
thu về gấp đôi (10 triệu)
Trả lời: Áp dụng công thức lãi kép, sau n năm, ta có phương trình 10 = 5(1+0,084)n
⇔2 = (1+0,084)n ⇔n = log1,0842 ≈ 8,59 Do n nguyên dương nên chọn n = 9
Bài toán 5:: Vay a đồng, lãi suất r%/tháng Cứ sau đúng 1 tháng trả x đồng Định x để sau n tháng là hết nợ.
HD: Sau tháng thứ 1, còn nợ a(1+r) - x
Sau tháng thứ 2, còn nợ [a(1+r) - x](1+r) - x = a(1+r)2 - [(1+r) + 1] x
Sau tháng thứ 3, còn nợ {a(1+r)2 - [(1+r) + 1] x}(1+r) - x = a(1+r)3 - [(1+r)2 + (1+r) + 1] x
Sau tháng thứ n hết nợ, nên a(1+r)n - [(1+r)n-1 + (1+r)n-2 + + 1] x = 0
⇔ a(1+r)n -
r
r )n 1 1
.x = 0 ⇔ x =
1 ) 1 (
) 1 (
− +
+
n
n
r
r ar
VD: Vay 100 triệu với lãi suất 1%/tháng Cứ sau đúng 1 tháng trả x đồng Định x để sau 3 tháng, hết nợ.
Trả lời : Áp dụng CT trên, x =
1 ) 01 , 0 1 (
) 01 , 0 1 ( 01 , 0 100
3
3
− +
+
=
1 01 , 1
01 , 1 3
3
− ≈ 34,002 triệu.
Bài toán 6: (ngược bài toán 5) Vay a đồng, lãi suất r%/tháng Cứ sau đúng 1 tháng trả m đồng Hỏi
sau bao nhiêu tháng, hết nợ.
HD: Theo lập luận như trên, ta có phương trình a(1+r)n -
r
r )n 1 1
( + − .m = 0 (n chưa biết)
⇔ar(1+r)n = [(1+r)n -1]m ⇔(1+r)n (m - ar) = m ⇔ n = log1 r m
m ar
ĐK m > ar > 0
VD: Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất 0,5% mỗi tháng Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất ông hoàn nợ cho ngân hàng 5.600.000 đồng và chịu lãi số tiền chưa trả Hỏi sau khoảng bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết số tiền đã vay?
Trả lời: Áp dụng CT trên, n =
005 , 0 300 6 , 5
6 , 5 log1,005
− ≈ 62,5 Vì n nguyên dương nên chọn n = 63