2 Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ dm đồng qui.. 3 Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ dm đi qua b Xác định vị trí của M để tam giác AH
Trang 1Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS Môn thi : Toán Mã số: .
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 1 trang Câu 1:(2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ ( )1;1 và điểm A di động A m;0( )
1) Viết phương trình họ đường thẳng ( )dm vuông góc với AB tại A
2) Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ ( )dm đồng qui
3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ ( )dm đi qua
b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định
§Ò 1
§Ò 2
Trang 22) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
3) CMR: Khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5: (1điểm)
Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương a1, a2, , an+2 thoả mãn điều kiện
1 ≤ a1< a2 < < an+2 ≤ 3n
Chứng minh rằng luôn tồn tại hai số ai, aj (1 j i n + 2≤ ≤ ≤ ) sao cho n < ai – aj < 2n
Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS Môn thi : Toán Mã số: .
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 1 trang Câu 1:(2 điểm)
Trang 3Không dùng máy tính hãy so sánh C và D
Câu 3: (2điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ ( )1;1 và điểm A di động A m;0( )
1) Viết phương trình họ đường thẳng ( )dm vuông góc với AB tại A
2) Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ ( )dm đồng qui
3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ ( )dm đi qua
2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
3) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định
a Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất
b Giả sử (x,y) là nghiệm duy nhất của hệ Tìm hệ thức liên hệ giữa x,y độc lập với m
c Tìm m ∈ Z để x, y ∈ Z
d Chứng tỏ (x,y) luôn nằm tròn một đường thẳng cố định.((x,y) là nghiệm của hệ pt.)
Bài 4: (3.5đ)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC và BD
vuụng góc với nhau tại I và I khác O
§Ò 4
Trang 4a Chứng minh: IA.IC = IB.ID
b Vẽ đường kính CE Chứng minh ABDE là hình thang cừn, suy ra :
AB2 + CD2 = 4R2 và AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 8R2
c Từ A và B vẽ đường thẳng vuụng góc đờ́n CD lõ̀n lượt cắt BD tại F, cắt AC tại K
Chứng minh A,B,K,F là bụ́n đỉnh của mụ̣t tứ giác đặc biợ̀t
d Gọi M là trung điờ̉m của CD Chứng minh AB = 2OM
Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của n sao cho n ≤ 100 và Sn cú giỏ trị nguyờn
b Cho a,b,c là cỏc số thực thoả món điều kiện: abc = 2009 Chứng minh rằng:
b Chiều cao của một tam giỏc bằng 3; 4; 5 Tam giỏc này cú phải là tam giỏc vuụng khụng?
hoặc: Cho hỡnh vuụng ABCD với M và N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh BC và
CD Tớnh cosMAN?
Cõu 4 (3điểm):
Cho (O;R) và (O’;R’) tiếp xỳc nhau tại C Kẻ đk COA và CO’D; tiếp tuyến chung ngoài
EF với F thuộc (O) và E thuộc (O’) Gọi H là giao điểm của AF và DE
đề chính thức Đề 5
Trang 5a) Chứng minh góc AHD vuông Từ đó suy ra HC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài thứ hai BI với B thuộc (O), I thuộc (O’)
Đề thi môn toán
Bài 3(2 điểm).Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a+ b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh).
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 4 (3 điểm) Cho đường tròn(O; r), dây cung BC = a không đổi A là một điểm trên cung
lớn AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Các đường cao AD, BE, CK cắt nhau tại H.1) Trong trường hợp · BHC BOC = · , tính AH theo a
2) Tìm vị trí của A để tích DH.DA nhận giá trị lớn nhất
Bài 5 (1 điểm) Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kì của (H)
luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của hình thang
§Ò thi häc sinh giái vßng 2 líp 9
Trang 6a) Chứng minh rằng số A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không thể là số chính phương với mọi n là số nguyên dương Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A là số chính phương.
b) Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương a1, a2, , an+2 thoả mãn điều kiện
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ (1; 1) A di động A(m; 0)
a) Viết phương trình họ đường thẳng (dm) vuông góc với AB tại A
b) Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ (dm) đồng qui
c) Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ (dm) đi qua
Câu 5: (4điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh
AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD
a) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
(Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề)
Trang 7Cho a,b dương sao cho a+b≤1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
Q a b
a b
= + + +
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
(Học sinh không phải chép đề vào giấy thi)
Bài 1: (3đ) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:
Cho tam giác ABC (AB < AC), M là 1 điểm trên cạnh BC vẽ BI ⊥ AM, CK ⊥ AM
Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK lớn nhất
Bài 6: (4đ)Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Đường thẳng qua đỉnh C cắt các cạnh AB và
AD kéo dài tại F và E
a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi
b/ Chứng minh rằng: DE AE22
BF = AF
Kỳ Thi Giáo viên giỏi vòng trường năm học 2008-2009
Đề thi Môn Toán
Câu1 (2 điểm) Đồng chí hãy hướng dẫn học sinh giải bài tập sau
Tìm số tự nhiên sao cho tổng số đó với các chữ số của nó bằng 2018
ĐỀ CHÍNH THỨC
§Ò 9
§Ò 10
Trang 8Câu 2 (3 điểm) Tìm x,y,z trong các trường hợp sau
a/ x=2y=3z và x2+y2+z2=441
b/ x2+y2+z2+4032948 ≤ 4(14x+5y+1004z)
Câu 3( 2 điểm) Cho a,b,c thoả mãn a3+b3+c3=3abc và a+b+c=6024.
Tính giá trị của biểu thức P=(a-2007)28+(b-2008)10+(c-2009)2008
Câu 4(3 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S không đổi Điểm M;N;P
thuộc AB,BC,CA sao cho
k
PA
CP NC
BN MB
13
22
1
−
−
+++ b) So sánh : 2008 2009
2009 + 2008 và 2008+ 2009
Câu 2 : (2 điểm ) a) Giải phương trình : x2 + x + 12 x+1= 36
b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y= x2 +4x+5
Câu 3 : (2 điểm )
a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác Chứng minh phương trình :
x2 + ( a - b - c )x + bc = 0 vô nghiệm
b) Cho M = x2 + y2 + 2z2 + t2 ; với x , y , z , t là số tự nhiên
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x,y,z,t biết rằng:
=+
−
1014
3
212 2 2
2 2 2
z y x
t y x
Câu 4 : (3 điểm)
Trang 9Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý Vẽ đường tròn tâm I đường kính
AC và vẽ đường tròn tâm K đường kính BC MN là tiếp chung ngoài của hai đường tròn (M
)
(
),
(I N∈ K
∈ ) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn
a) Chứng minh các đường thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D
b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất
a/ Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp ∆BIC
b/ Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường trịn nội tiếp ∆ABC với các cạnh AB, BC K là hình chiếu vuơng gĩc của C xuống đường thẳng AI Chứng minh M, N, K thẳng hàng
Bài 7 (3đ) Cho ∆ABC Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại E Chứng minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luơn cĩ diện tích ∆P ED khơnh lớn hơn 1
4diện tích ∆ABC
Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích ∆P ED đạt giá trị lớn nhất
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: với
Lời giải:
§Ò 12
Trang 10Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác
Trang 11Tương tự như vậy, ta cĩ và
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:
Hay là
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, tức tam giác đã cho là tam giác đều
Bài tốn được chứng minh
Bài 5: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a Một gĩc 450 quay xung quanh đỉnh A và nằm bên trong hình vuơng cắt cạnh BC, CD lần lượt tại M và N
a) Chứng minh rằng a(BM + DN) + BM.DN = a2
b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại E Chứng minh
Lời giải:
a) Trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho FD = BM
Dễ dàng nhận thấy ABM = ADF(cạnh, gĩc, cạnh)
AF = AM
Mặt khác:
NAF = NAD + DAF = NAD + MAB = BAD – MAN = 900 – 450 = 450
Từ đĩ suy ra: MAN = FAN(cạnh, gĩc, cạnh)
MN = FN =BM + DN
Xét tam giác vuơng CMN, ta cĩ: MN2 = CM2 + CN2
(BM + DN)2 = (a – BM)2 + (a – DN)2 (1)
Khai triển (1) rồi rút gọn, ta được: a(BM + DN) + BM.DN =a2 ĐPCM
b)Ta cĩ: EAF = MAN + NAF = 450 + 450 = 900
EAF là tam giác vuơng
(Hệ thức lượng trong tam giác vuơng)
Một số Đề luyện thi vào chuyên Toán 9
§Ò 13
Trang 12Bài 1 (1 đ): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011 Với giá trị nào của x,y thì M đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó?
1/ Chứng minh rằng nếu một đưởng thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đường thẳng đó có dạng y 1
b
+ =
xa2/Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1
a/ Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi mc/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng là lớn nhất
Bài 6 (2,5 đ): Cho tam giác OAB (OA = OB) Vẽ đường cao OH, AK biết OA = a, ·AOH =α
a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và α .
b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2α Từ đó biểu diễn sin2α , cos2α theo sinα , cosα
3
P y= x
1 Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm A(2;1)
2 Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(2;1)và có hệ số góc m Với giá trị nào của m thì ờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi
đ-3 Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định C là một điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đờng tròn
1 Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định và đờng thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác
2 Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho
Trang 133 Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho.
Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau E là điểm bất kì trên cung AD Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N
1 Chứng minh rằng tích OM ON
AM DN× là một hằng số Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng
AM +DN , khi đó cho biết vị trí của điểm E ?
2 Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải
là đường kính K là điểm chuyển động trên cung lớn GH Xác định vị trí của K để chu
vi của tam giác GHK lớn nhất
§Ò 16
Bài 1: (8 điểm)
Cho phương trình 2x2−2mx m+ 2− =2 0 (1)
4 Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt
5 Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn
hệ thức 3 3
1 2
5 2
1 Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó
Trang 142 Dựng hỡnh vuụng EFGH nội tiếp trong tam giỏc ABC bằng thớc kẻ và com-pa Tớnh diện tớch của hỡnh vuụng đú
Đề 17
Bài 1: (7 điểm)
3 Giải hệ phơng trỡnh:
4 4
C ai là ngời khỏc giới tớnh với hai ngời kia ?
Bài 3: (7 điểm)
Cho đờng trũn (O) tõm O, bỏn kớnh R, hai đờng kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau ờng trũn (O1) nội tiếp trong tam giỏc ACD Đờng trũn (O2) tiếp xỳc với 2 cạnh OB và OD của tam giỏc OBD và tiếp xỳc trong với đờng trũn (O) Đờng trũn (O3) tiếp xỳc với 2 cạnh OB và
Đ-OC của tam giỏc OBC và tiếp xỳc trong với đờng trũn (O) Đờng trũn (O4) tiếp xỳc với 2 tia
CA và CD và tiếp xỳc ngoài với đờng trũn (O1) Tớnh bỏn kớnh của cỏc đờng trũn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R
Đề 18 đề khảo sát chất lợng HSG lớp 9 Môn: Toán
Câu 1:
a) Tính giá trị của biểu thức:
3553.3553.354.59
311
++
−+
+++
2 2
2
z y z x
z x M
−
++
z y
Trang 15a a x
x x
x a
16
2 x + x+ = x + + x− với mọi x không âm;
−
=+
011
15
4 4
2
x x
x x
x
c) Giải phương trình: 10−x2 −5 x2 −3x−10+3x=0
Bài 2 (2 điểm):
a) Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c sao cho a2 +b2 +c2 cũng là số nguyên tố?
b) Cho hai số x, y thoả mãn: x2 +9y2 −4xy =2xy− x−3 Hãy tính giá trị của biểu thức
2
2:
168
16
2 2
−
−
=
y y
y x x
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=16 y x +2006x y ?
Bài 5 (2,5 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính BC=2R và điểm A thay đổi trên (O) (A
không trùng với B, C) Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt (O) tại K (K khác A) Hạ AH vuông góc với BC
a) Đặt AH=x Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất
b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH2+HK2 luôn là một đại lượng không đổi Tính
số đo góc B của tam giác ABC biết
Trang 16Chứng minh rằng A=2+2 12n2 +1 là số chớnh phương khi A∈N và n∈N
=+
−
=
−
a y x y x
y x y
(a là tham số và a>0)
Cõu 4:
Cho hỡnh vuụng ABCD ngoại tiếp đường trũn (O;R) và M là một điểm trờn đường trũn
đú Gọi độ dài MA, MB, MC, MD lần lượt là a, b, c, d
Đề 21 đề khảo sát chất lợng HSG lớp 9 Môn: Toán
Câu 1:
a) Giải phơng trình 2 3−3 = x 3 − y 3 trờn tập hợp cỏc số hữu tỉ
b) Giải hệ phương trinh ( + )( + )=
=+++
41
42
xy y
x
y x xy x
≥
−
+
y x
y x
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thoả món a+b+c=2 Chứng minh:
22
2 2
2+b +c + abc<
a
Cõu 4: (trựng đề 2 thay bằng bài hỡnh thoi)
Cho đường trũn (O) đường kớnh BC=2R và điểm A thay đổi trờn (O) (A khụng trựng với
B, C) Đường phõn giỏc gúc A của tam giỏc ABC cắt (O) tại K (K khỏc A) Hai AH vuụng gúc với BC
a) Đặt AH=x Tớnh diện tớch S của tam giỏc AHK theo R và x Tỡm x sao cho S đạt giỏ trị lớn nhất
b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH2 +HK2 luụn là một đại lượng khụng đổi Tớnh số đo gúc B của tam giỏc ABC biết
Đề 22 đề khảo sát chất lợng HSG lớp 9 Môn: Toán
1-a, Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho
Trang 17n cba
n abc
với n là số nguyờn lún hơn 2
b, Tỡm cỏc số x, y, z nguyờn dương thoả món đẳng thức:
x x
++
+
3
33
3
2
2 2
−
=
−+
=++
1416
2 2
2 y z x
zx yz xy
z y x
3 Cho tam giỏc đều ABC cạnh a ngoại tiếp đường trũn (0) Một tiếp tuyến của đường trũn cắt cạnh AB, AC thứ tự ở D, E Đặt AD=x; AE=y; DE=z
Chứng minh rằng : a, x2 +y2−xy= z2
b,
EC
AE DB
AD+ khụng đổi khi tiếp tuyến DE thay đổi.
Đề 23 đề khảo sát chất lợng HSG lớp 9 Môn: Toán
b y ax
a y x
3
(a, b là tham số)Xỏc định b để hệ luụn cú nghiệm (x; y) với mọi a
2) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm M(2; 3), cắt trục hoành và trục tung tại cỏc điểm A(a; 0) và điểm B(0; b) sao cho a, b là cỏc số nguyờn tố
Cõu 2: Cho đường trũn tõm O nội tiếp tam giỏc ABC, tiếp xỳc với cỏc cạnh BC, CA, AB lần
lượt tại D, E, F Vẽ DH vuụng gúc với EF (H∈EF)
Chứng minh rằng A BˆH = A CˆH
Cõu 3: 1) Chứng minh rằng F(n) = 4n + 15n – 1 luụn chia hết cho 9 với mọi n nguyờn dương
2) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x; y) thoả món x3 = y3 +2y2+1
Cõu 4: Cho a, b, c≥−1 và a3+b3+c3 = 6
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A = a2 + b2 + c2
Đề 24 đề khảo sát chất lợng HSG lớp 9 Môn: Toán
Câu 1: a) Cho a, b > 0, c ≠0 Chứng minh rằng:
c b c a b a c
−
=+
21
1
111
2 2
2 2
xy y
x y x