Công thức nhị thức Niu - tơn... Công thức nhị thức Niu - tơn... Ví dụ 1: Viết khai triển các biểu thức sau: a.. Cơng thức nhị thức Niu - tơn... Với n là số nguyên dương... - Tiết sau: Lu
Trang 2
a.Hãy tính: C20 = 1 C21 = 2 C22 = 1
0 3
b Khai triển các hằng đẳng thức sau:
(a + b)2
(a + b)3
= a2 + 2ab + b2 = 1 a2 + 2 ab+ 1 b2
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a3 a2b ab2
1 Công thức nhị thức Niu - tơn
Trang 3
a.Hãy tính: C20 = 1 C21 = 2 C22 = 1
0
3
C = 1 C31 = 3 C32 = 3 C33= 1
b Khai triển các hằng đẳng thức sau:
(a + b)2
(a + b)3
= a2 + 2ab + b2 = 1 a2 + 2 ab+
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a3 a2b ab2
0 2
0 3
(a + b)n = C a n0 n C a b n1 n1 C a n k n k b k C b n n n
1 Công thức nhị thức Niu - tơn
b2
1
?
Trang 4
a.Hãy tính: = 1 = 2 = 1
b Khai triển các hằng đẳng thức sau:
(a + b)2
(a + b)3
= a2 + 2ab + b2 = 1 a2 + 2 ab+ 1 b2
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a3 a2b ab2
0 2
0 3
(a + b)n = C a n0 n C a b n1 n1 C a n k n k b k C b n n n
1 Công thức nhị thức Niu - tơn
Trang 5
(a + b)n = 0 1 1
0
n
n k
(quy ước a = b = 1)
Chú ý:
gọi là số hạng tổng quát k n k k
n
C a b
k n k k
n
C a b
gọi là số hạng thứ k + 1
Ví dụ 1: Viết khai triển các biểu thức sau:
a (x + y)4 b (x - y)4
c (2x + y)5 d (2x - y)5
1 Cơng thức nhị thức Niu - tơn
Trang 6
Đáp án:
a (x + y)4
b (x - y)4
c (2x + y)5
d (2x - y)5
= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
= 32x5 + 80x4 y + 80x3y2 + 40x2 y3 + 10xy4 + y5
= 32x5 – 80x4y + 80x3 y2 – 40x2y3 + 10xy4 - y5
= x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y4
Trang 7
Ví dụ 2: Tìm hệ số của x2 trong khai triển (3x – 4)5
Số hạng tổng quát là:
Số hạng chứa x2 khi
Vậy hệ số của x2 là: C53 23 4 3 5760
(a + b) 0 = 1
(a + b) 1 = a + b
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
1
5 – k = 2, suy ra k = 3
Giải:
Trang 8
Ví dụ 2: Tìm hệ số của x2 trong khai triển (3x – 4)5
Số hạng tổng quát là:
Số hạng chứa x2 khi 5 – k = 2, suy ra k = 3
Vậy hệ số x2 là: C53 23 4 3 5760
(a + b) 0 = 1
(a + b) 1 = a + b
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
Giải:
Trang 91
2 Tam giác Pa-xcal:
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
n = 6
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
5 10 10 5
1
1 1
20
Nhận xét:
Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pa-xcal là dãy số gồm n + 1 số:
1 C , 1 C
1 C , 2 C , 1=C
1 C , 3 C , 3=C , 1=C
0 0
1 C
2
Trang 10
Bài tập:
1 Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển (2x – 3y)200
2 Tìm hệ số của x5y8 trong khai triển (x + y)13
3 Tìm hệ số của x7 trong khai triển (1 + x)11
4 Tìm hệ số của x9 trong khai triển (2 - x)19
Giải:
1 Số hạng tổng quát là: C200k 2x200k 3yk
200 200
200k 2 k 3 k k k
C x y
Số hạng chứa x101y99 khi: k = 99
Vậy hệ số của x101y99 là: C20099 2 101 3 99
Giải tương tự: 8
13
11
3. C 330
9
9 10 19
4 C 2 1 94 595 07 2
Trang 11
Bài tập:
1 Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển (2x – 3y)200
2 Tìm hệ số của x5y8 trong khai triển (x + y)13
3 Tìm hệ số của x7 trong khai triển (1 + x)11
4 Tìm hệ số của x9 trong khai triển (2 - x)19
Giải:
1 Số hạng tổng quát là: C200k 2x200k 3yk
200 200
200k 2 k 3 k k k
C x y
Số hạng chứa x101y99 khi: k = 99
Vậy hệ số của x101y99 là: C20099 2101 3 99
Giải tương tự: 8
13
11
3. C 330
9
9 10 19
4 C 2 1 94 595 07 2
Trang 12
Bài tập:
5 Tìm tổng các hệ số trong khai triển (2x + y)100
Giải:
Ta có: (2x + y)100 =
100
100 100
0
2 k
k
C x y
100
100 100 100
0
2
k
Vậy tổng các hệ số trong khai triển (2x + y)100 là
= (2 + 1)100 = 3100
100
100 100 0
2
k
Trang 13
Bài tập:
5 Tìm tổng các hệ số trong khai triển (2x + y)100
Giải:
Ta có: (2x + y)100 =
100
100 100
0
2 k
k
C x y
100
100 100 100
0
2
k
Vậy tổng các hệ số trong khai triển (2x + y)100 là
= (2 + 1)100 = 3100
100
100 100 0
2
k
100
100 100 0
2
k
Trang 14
Bài tập:
6 Với n là số nguyên dương CMR
Giải:
2n 2n 2n n 2n 2n 2n n
Ta có: (1 – x)2n =
2
2 0
n
k
n k
Thay x = 1 vào (1), ta được
0 C n C n C n C n C n n C n n
2n 2n 2n n 2n 2n 2n n
C C C C C C
Trang 15
CỦNG CỐ:
(a + b)n = 0 1 1
0
n
n k
(quy ước a = b = 1)
Cơng thức nhị thức Niu - tơn
Chú ý:
gọi là số hạng tổng quát
k n k k
n
C a b
gọi là số hạng thứ k + 1
n
C a b
- Về nhà làm bài tập trong sgk trang 67
- Tiết sau: Luyện tập