chuyên đề chứng minh toán 9

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh đẳng thức hình học thường có trong đề thi.. Vì vậy cần bồi dưỡng ôn luyện cho học sinh là rất cần thiết II/ Cơ sở thực tiễn : Bài toỏn c

z

Chuyên đề hình 9 - THCS Kim Hoa.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THCS KIM HOA

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO PTTH

NĂM HỌC 2013 – 2014

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP

DẠNG

CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

GIÁO VIÊN : Nguyễn Thị Lan THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ : Nguyễn Thị Minh Tâm

A/ Đặt vấn đề

1

I/ Cơ sở lí luận

*Môn hình học giúp học sinh có sự rèn luyện tư duy, chính xác và hợp lôgic, rèn luyện cho học sinh kỹ năng cơ bản trong toán học nói riêng và áp dụng trong

đời sống nói chung Những kỹ năng cơ bản đó là sự phán đoán nhận xét, lập luận liên hệ kiến thức cũ và mới liên hệ với bài toán thực tế Hình thành cho học sinh tính cẩn thận cần cù và phát triển năng lực tư duy

*Qua việc ôn thi vào lớp 10 cho thấy không ít học sinh chưa tự lực tìm tòi kiến thức chưa tập trung thời gian để học tập, chưa nắm vững kiến thức cơ bản chưa biết cách chứng minh bài toán hình học Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh đẳng thức hình học thường có trong đề thi Vì vậy cần bồi dưỡng

ôn luyện cho học sinh là rất cần thiết

II/ Cơ sở thực tiễn :

Bài toỏn chứng minh tứ giỏc nội tiếp chiếm 1 vị trớ quan trọng trong

chương trỡnh Nhằm nâng cao điểm trung bình thi tuyển sinh vào PTTH người thầy cần bồi dưỡng ôn luyện cho học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh đẳng thức trong hình học Người thầy cần tạo cho học sinh nếp suy nghĩ để tìm ra đường lối giải quyết bài tập bắt nguồn từ điều phải chứng minh qua các yếu tố trung gian

để đi đến giải quyết yêu cầu đề bài

B/ Nội dung

PHẦNI/ HƯỚNG DẪN HỌC SINH CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRềN

I/ Kiến thức cơ bản

1/ Định nghĩa tứ giỏc nội tiếp:

Một tứ giỏc cú bốn đỉnh nằm trờn một đường trũn được gọi là tứ giỏc nội tiếp đường trũn (gọi tắt là tứ giỏc nội tiếp)

2/ Tớnh chất của tứ giỏc nội tiếp (định lớ):

+ Định lý : Trong một tứ giỏc nội tiếp, tổng số đo hai gúc đối nhau bằng 1800 + Định lớ đảo: Nếu một tứ giỏc cú tổng số đo hai gúc đối nhau bằng 1800 thỡ tứ giỏc

đú nội tiếp được đường trũn

3/ Cỏc phương phỏp cơ bản để chứng minh một tứ giỏc là tứ giỏc nội tiếp:

Muốn chứng minh tứ giác nội tiếp ta cần chứng minh theo một trong các

dấu hiệu sau:

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc 

- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm ( mà ta có thể xác định đợc ) điểm đó chính

là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện của đỉnh đó

* Một số điều cần lưu ý:

- Nếu bài toỏn yờu cầu chứng minh 4 điểm cựng thuộc một đường trũn thỡ ta phải lưu ý đến thứ tự của cỏc điểm trước khi chứng minh tứ giỏc cú cỏc đỉnh là cỏc điểm

đú nội tiếp

- Nếu bài toỏn yờu cầu chứng minh 5 điểm cựng thuộc một đường trũn thỡ ta đi chứng minh hai tứ giỏc (cú chung 3 đỉnh) nội tiếp

- Vẽ hỡnh là khõu rất quan trọng (hỡnh vẽ cú đỳng thỡ mới giải được bài toỏn) Giỏo viờn cần yờu cầu học sinh đọc kĩ đề bài, vẽ hỡnh ra giấy nhỏp trước (xỏc định hỡnh dạng của hỡnh vẽ, vẽ cỏi gỡ trước, khụng vẽ hỡnh trong trường hợp đặc biệt ), sau

đú yờu cầu học sinh vẽ hỡnh, rừ ràng chớnh xỏc vào vở

- Phỏt hiện và ghi vào giấy nhỏp cỏc kết quả cú ngay được từ hỡnh vẽ: cỏc gúc vuụng, cỏc gúc bằng nhau, cỏc đoạn thẳng bằng nhau

2

Chuyờn đề hỡnh 9 - THCS Kim Hoa.

- Rốn cho học sinh kĩ năng phõn tớch để tỡm lời giải bài tập

II/ Một số vớ dụ minh họa:

1 Ví dụ 1.

Cho ABC nhọn Kẻ đờng cao BE; CF H là trực tâm của ABC Chứng minh tứ

giác BFEC và AFHE nội tiếp

Hớng dẫn học sinh:

B1 :Học sinh đọc kỹ đề bài.

B2: Vẽ hình : Vẽ đờng cao BE; CF bằng êke

H là giao điểm của CF và BE

Yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm:

- Đờng cao của tam giác

- Trực tâm tam giác

B3: Xác định giả thiết kết luận của bài

- Xác định trên hình vẽ tứ giác cần chứng minh nội tiếp

- Vận dụng dấu hiệu để chứng minh

B4: Hớng dẫn học sinh chứng minh

Tứ giác AFHE nội tiếp





0

90



AEH (gt)

Tứ giác BFEC nội tiếp 



0

90



BFC (gt)

B5 Trình bày chứng minh

3

) (

90 gt

AFH  











AFH AEH 180

) (

90 gt

BEC  











BFC BEC 90

H

E

F

C B

A

* Tứ giác AFHE có :

 AFH  90 ( )  gt

 AFH  90 ( )  gt

  AFH AEH    180 

đ ờng tròn đ ờng kính AH

* Tứ giác BFEC có:

 90 ( )

BFC   gt

 90 ( )

BEC   gt

 BFC BEC 90

 Tứ giác BFEC nội tiếp đ ờng tròn đ ờng kính BC

Sai lầm học sinh mắc phải

+ Vẽ đường cao BE; CF không vuông góc với AC, AB

+ Trình bày: AEH  AFH = 900

Tứ giác AFHE nội tiếp (thiếu căn cứ chứng minh và trình bày chưa đúng theo dấu hiệu 1: Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800

+ Trình bày: BFC BEC   180 0

Tứ giác BFEC nội tiếp (thiếu căn cứ chứng minh và trình bày chưa đúng theo dấu hiệu 2: Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc α

Giáo viên cần l u ư ý cho học sinh

+ Nhận biết 2 đỉnh kề nhau của tứ giác, 2 góc đối nhau của tứ giác

+ Nhận biết các góc vuông trong hình vẽ và căn cứ khẳng định nó

+ Để nhận biết tứ giác nội tiếp trước hết học sinh phải quan sát tứ giác đã cho để phát hiện cách chứng minh theo dấu hiệu nào

- Thông thường với tứ giác chưa có sẵn 2 đường chéo ta sử dụng dấu hiệu 1: Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800

- Với tứ giác có sẵn 2 đường chéo ta sử dụng dấu hiệu 2: Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc α

Nhận biết tứ giác nội tiếp bằng cách lợi dụng các tam giác vuông có chung cạnh huyền: Nếu hai tam giác vuông có chung cạnh huyền thì tứ giác tao thành bởi các

đỉnh của 2 tam giác vuông đó nội tiếp Để ý thấy 2 đỉnh góc vuông nằm ở 2 phía

4



Chuyờn đề hỡnh 9 - THCS Kim Hoa.

đối với cạnh huyền chung thì là hai đỉnh đối của tứ giác (dấu hiệu 1), còn 2 đỉnh góc vuông nằm cùng một phía đối với cạnh huyền chung thì là hai đỉnh kề của tứ giác (dấu hiệu 2)

+ Cần trình bày chứng minh lập luận đủ căn cứ, chính xác

2/ Ví dụ 2

Chứng minh rằng nếu hai đờng thẳng AB và CD cắt nhau ở M và MA.MB=MC.MD thì bốn điểm A,B,C,D c-ùng thuộc một đờng tròn

Hớng dẫn học sinh:

B1: Học sinh đọc đề bài

B2: Vẽ hình trong hai trờng hợp : - AB cắt CD trong đoạn thẳng

- AB cắt CD ngoài đoạn thẳng Giáo viên có thể hớng dẫn học sinh lợi dụng kết luận để vẽ hình, dùng compa xác

định bốn điểm A, B, C, D

B3: Xác định yêu cầu của bài vận dụng giả thiết để chứng minh

B4: Hớng dẫn chứng minh

Hai điểm B , D nằm về một phía của AC và

cùng nhìn xuống AC dới hai góc bằng nhau

nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một

đ-ờng tròn





AMD đồng dạng với CMD



MB

MD MC

MA



 MA.MB = MC.MD

 Nhận xột: Bài toỏn cho ta một dấu hiệu để nhận biết tứ giỏc nội tiếp :

Nếu hai đờng thẳng AB và CD cắt nhau ở M và MA.MB=MC.MD thì bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một đờng tròn (hay tứ giác ABCD nội tiếp)

PHẦN II – CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HèNH HỌC DẠNG :

a.d = b.c HOẶC a 2 = b.c I- Kiến thức cơ bản:

Học sinh cần nắm được cỏc nội dung kiến thức cơ bản sau:

1 Tớnh chất của tỉ lệ thức: a c a d b c .

Áp dụng cho đoạn thẳng tỉ lệ cũng ta cú: ' ' ' ' ' '.

' '

2 Định lớ Talet trong tam giỏc:

5

CBM ADM  



CMB AMD 



* Định lí Ta let: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt

hai cạnh còn lai thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

ABC

 , DE // BC  AD AE; AD AE; BD CE

DB EC AB AC AB AC

* Hệ quả: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh

của tam giác và song song với cạnh còn lại

thì nó định ra trên hai cạnh đó những

đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

ABC

 , DE // BC  AD AE DE

AB AC BC

* Định lí Talet đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh

của tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn

thẳng tương ứng tỉ lệ thì nó song song với cạnh còn

lại

AD AE

DB EC  DE // BC

3 Tính chất đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác, đường phân giác

của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn

ấy

   

4 Hai tam giác đồng dạng:

* Định nghĩa:

 '   ; '   ; ' 









* Các trường hợp đồng dạng của tam giác:

 A B' ' A C' ' B C' '

AB  AC  BC  A B C' ' 'ABC (c.c.c)

 ' ' ' '  

, ' ' ' '

AB  AC     (c.g.c)

 A'  A , B ' B  A B C' ' '  ABC (g.g)

* Trường hợp đồng dạng đặc biệt của tam giác vuông:

' ' ' '

, ' 90 ' ' '

AB  BC      (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

5 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

1/ b2 = ab’; c2 = ac’

2/ h2 = b’.c’

3/ a.h= b.c

4/ 2 2 2

1 1 1

h b c

6

E D

C B

A

E C

D B

A

4 3 2

h

c' b'

a

b c

C H

B

A

Chuyên đề hình 9 - THCS Kim Hoa.

II- Các Phương pháp chứng minh

đẳng thức hình học dạng a.d = b.c hoặc a 2 = b.c

Muốn chứng minh một đẳng thức hình học có dạng a.d = b.c hoặc a2 = b.c ta có thể dùng một trong các cách sau:

1 Phương pháp 1: Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Nếu các đoạn thẳng trong hình vẽ là các cạnh hoặc đường cao, hình chiếu của cạnh góc vuông của tam giác vuông trong hình vẽ ta cần quan sát kĩ xem có áp dụng được các hệ thức lượng trong tam giác vuông không, áp dụng hệ thức nào cho thích hợp

2 Phương pháp 2: Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác

Trong trường hợp không áp dung được hệ thức lượng trong tam giác vuông ta nên nghĩ đến các tường hợp đồng dạng của tam giác và hướng dẫn HS phân tích theo sơ đồ phân tích đi lên

Ví dụ: Để chứng minh MA MD = MB MC ta có thể phân tích như sau:

MA MD MB MC

MA MB









hoặc  MAC   MBD

HS cần biết lựa chọn cặp tam giác nào cho thích hợp

3 Phương pháp 3: Chứng minh mỗi vế của đẳng thức bằng một tích thứ ba.

Khi hai cách trên đều không khả thi ta có thể nghĩ đến một tích thứ ba Chứng minh mỗi vế bằng tích đó Cũng có thể phải lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng rồi chứng minh mỗi tỉ số đó bằng một tỉ số thứ ba

4 Phương pháp 4: Sử dụng tính chất đường phân giác, định lí Talet hoặc hệ

quả của định lí Talet

Nếu các đoạn thẳng trong hệ thức có liên quan đến đường phân giác hoặc đường thẳng song song với một cạnh của tam giác thì có thể sử dụng tính chất đường phân giác trong (ngoài) tam giác hoặc định lí Talet hay hệ quả của nó

III- Một số lưu ý khi chứng minh đẳng thức hình học.

- Khi chứng minh bài toán dạng này GV cần cho HS quan sát đẳng thức, đối chiếu với hình vẽ, xem xét vị trí của các đoạn thẳng trong đẳng thức ở hình vẽ, tìm mối liên hệ giữa chúng với kiến thức liên quan để có lựa chọn phương pháp cho hợp lí

- Với đẳng thức dạng a.d = b.c hoặc a2 = b.c ta luôn có thể thiết lập được các tỉ lệ thức tương ứng Chẳng hạn: MA MD MB MC MA MC

MB MD

7

Có thể hiểu MA, MD là 2 ngoại tỉ, MB, MC là hai trung tỉ hoặc ngược lại Khi chuyển thành tỉ lệ thức cần đặt đúng vị trí đảm bảo khi suy ngược lại được đẳng thức đã cho

- Khi có tỉ lệ thức MA MC

MB MD thì việc chọn cặp tam giác đồng dạng cũng cần để ý cách viết tương ứng các đỉnh của chúng Trong trường hợp này có hai cách để lựa chọn  MAB   MCD hoặc  MAC   MBD

IV- Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1:

Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm M nằm ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn( A, B là các tiếp điểm) Gọi I là giao điểm của AB

và OM Chứng minh OI OM = R2

Hướng dẫn học sinh:

Bước1: Tìm hiểu đề.

- Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài, vẽ hình

theo yêu cầu đề bài Sử dụng đúng các kí hiệu

* Lưu ý cách vẽ hình: Hình vẽ phải rõ ràng, bán kính

của đường tròn khoảng 2-3 cm, vị trí điểm M không

quá gần hoặc quá xa đường tròn Vẽ tiếp tuyến vừa

đủ để tiếp xúc với đường tròn và kéo dài qua tiếp

điểm Xác định tiếp điểm là chân đường vuông góc

kẻ từ O tới tiếp tuyến (GV yêu cầu HS phải dùng êke để vẽ đoạn vuông góc này)

- Qua hình GV cho HS nhắc lại nội dung bài toán

Bước 2: Xây dựng chương trình giải.

- GV cho HS quan sát đẳng thức cần chứng minh và hình vẽ, cho biết OI, OM là đoạn thẳng nào trong hình vẽ, đoạn thẳng nào có độ dài bằng R?

- HS dễ dàng nhận ra OI, OM nằm trên cạnh huyền của tam giác vuông OAM ( hoặc OBM) và OA = OB = R Vậy AI có là đường cao của tam giác vuông OAM không? vì sao?

- Lật lại giả thiết ta có AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên có MA=MB

mà OA = OB, suy ra OM là trung trực của AB Do đó OM vuông góc với AB tai I Hay AI là đường cao của tam giác vuông OAM ( Kết quả này được sử dụng rất nhiều nên cần cho HS ghi nhớ)

Bước 3: Trình bày lời giải

Ta có: OA = OB = R

MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

 OM là trung trực của AB  OM vuông góc với AB tai I

Hay AI là đường cao của tam giác vuông OAM

 OI OM = OA2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông)

 OI OM = R2

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- GV Cho HS kiểm tra lại các bước trình bày xem đúng và đủ căn cứ chưa, đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra hay chưa

- Tìm cách giải khác : từ OI OM = R2  OI OM = OA2

Ta có cách phân tích như sau:

8

A

B O

Chuyên đề hình 9 - THCS Kim Hoa.

2

0

9

.

0

O

OI OM

OIA O

O

AM

A













So sánh đối chiếu với cách đã làm xem cách nào ưu thế hơn Rõ dàng trong cách làm thứ hai vẫn phải chứng minh OM vuông góc với AB tai I Vậy sử dụng phương pháp 1 hợp lí hơn Khi chứng minh OM vuông góc với AB tai I cũng có thể làm bằng nhiều cách khác nhau GV nên cho HS tìm thêm các cách khác để so sánh đối chiếu và lựa chọn cách làm hợp lí nhất nhằm phát triển tư duy của HS

- Nghiên cứu, khai thác bài toán : Từ hình vẽ GV cho HS phát hiện các kết quả

khác Chẳng hạn:

+ AI là đường cao của tam giác vuông OAM nên có AI2 = OI.IM;

MA2 = MI.MO; AO.AM = OM.AI

+ Tứ giác OAMB nội tiếp ( A B  180 0)

nên có IA.IB = IO.IM = IA2

+ Kẻ đường thẳng OB căt MA tại E lại có EA.EM

= EO.EB

+ Đường thẳng OB cắt (O) tại D ta có ADAB(

 90 0

DAB  - góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 

AD//OM  EA ED EA EO ED EM .

+ MO là phân giác góc AMB, nếu kẻ đường thẳng

qua A cắt OM tại K và MB tại T ta lại có

Từ đó ta có thêm các BT mới, HS được củng cố, khắc sâu kiến thức, có kĩ năng phát hiện vấn đề, có cách nhìn sâu, rộng vấn đề, phát huy tính năng động sáng tạo của học sinh

Tuỳ theo đối tượng học sinh GV có thể lựa chọn cách thức và mức độ khai thác cho phù hợp

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ hai đường cao BE và CF cắt nhau

tại H Chứng minh AE AC = A F AB và HB HE = HC HF

Hướng dẫn học sinh:

Bước1: Tìm hiểu đề

- Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài, vẽ hình theo

yêu cầu đề bài Sử dụng đúng các kí hiệu cần thiết

* Lưu ý cách vẽ hình: không nên vẽ tam giác ABC cân

(hoặc đều) Chú ý kĩ năng vẽ đường cao trong tam giác

F

E

C B

A

T K

D E

A

B O

- Qua hình vẽ GV cho HS nhắc lại nội dung bài toán.

Bước 2: Xây dựng chương trình giải.

- GV cho HS quan sát đẳng thức cần chứng minh và hình vẽ, cho biết vị trí các đoạn thẳng trong hình vẽ

- Nhận thấy trong hình cũng có các đường cao, có các tam giác vuông nhưng các đoạn thẳng trong đẳng thức lại nằm ở hai tam giác vuông khác nhau nên nghĩ đến phương pháp 2

- GV hướng dẫn HS phân tích theo sơ đồ phân tích

đi lên

AE AB

AE AC AF

AF AC

A

A

B











hoặc  AEF   ABC

Đến đây HS cần biết lựa chọn cặp tam giác đồng dạng nào thích hợp hơn

- Hai tam giác ABE và ACF là hai tam giác vuông có chung góc A nên dễ chứng minh được ABE ACF(g.g)

- Tương tự cách suy nghĩ đó ta có :

HB HF

HB HE HC

HC HE

HF











hoặc HBC HFE

Bước 3: Trình bày lời giải

* Hai tam giác ABE và ACF có:

AEB AFC   90 0(gt)

A chung  ABE ACF(g.g)

*Hai tam giác HBF và HCE có:

HFB HEC    90 0(gt)

FHB EHC (đđ)  HBF HCE(g.g)

HC HE  HB HE HC HF

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- GV Cho HS kiểm tra lại các bước trình bày xem đúng và đủ căn cứ chưa Đặc biệt chú ý đến cách viết các đỉnh tương ứng

10

H F

E

C B

A