I.Mục tiêu:-Học sinh nắm chắc tính chất dãy tỉ số bằng nhau biết vận dụng làm bài tập.. -Rèn cho học sinh kỹ năng trình bày các bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau.. -Rèn cho học s
Trang 1I.Mục tiêu:
-Học sinh nắm chắc tính chất dãy tỉ số bằng nhau biết vận dụng làm bài tập
-Rèn cho học sinh kỹ năng trình bày các bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau
-Rèn cho học sinh có t duy sáng tạo trong giải toán
-Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, và biết vận dụng các kiến thức toán học vào gải các bài toán trong thực tế
II.Trọng tâm:
Hai tiết đầu: hai dạng toán đầu
III.Chuẩn bị:
- Giáo viên: chọn lọc phân laọi bài tập, soạn bài bằng văn bản và GAĐT, máy chiếu, máy tính
-Học sinh: học thuộc tính chất của tỷ lệ thức và tính chất dãy tỷ số bằng nhau
IV.Ho ạ t động dạyhọc:
A.Lý thuyết:
* Các tính chất của tỉ lệ thức:
d
c b
a = ⇔ =
+ Nếu a,b,c,d ≠ 0 thì :
ad bc
* Về tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
+ Từ dãy tỉ số
d
c b
a
= hoặc b a = d c = e f Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
*
d b
c a d b
c a d
c b
a
−
−
= +
+
=
=
−
−
−
−
= + +
+ +
=
=
=
f d b
e c a f d b
e c a f
e d
c b
a
Trang 2B.Các dạng toán:
Dạng 1: Tìm các số khi biết tổng (hoặc tớch) và tỷ số của chỳng.
VD1: Tìm x,y,z biết:
a)
4 3 2
z y
x = = và x+y+z= 18; b)
4 3 2
z y
x = = và x−y−z= 15
Giải:
a) Cỏch 1: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
=
=
=
=
=
=
⇒
=
= + +
+ +
=
=
=
8 4 2
6 3 2
4 2 2 2
9
18 4 3 2 4 3
2
z y
x z
y x z y
x
Cỏch 2: Đặt tỷ số bằng k rỳt x,y,z theo k
2
3 (1)
2 3 4
4
x k
x y z
z k
x y z k k k k
=
=
Theo (1) ta cú: x = 4; y = 6; z = 8
Cỏch 3: Rỳt x, y theo z.
1 2 3
2 3 4
4
18
8; 4; 6
x z
x y z
y z
x y z z z z z
=
=
b)
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
⇒
−
=
−
=
−
−
−
−
=
=
=
12 4 3
9 3 3
6 2 3 3
5
15 4 3 2 4 3 2
z y
x z
y x z y x
VD2: Tìm x, y,z biết:
a)
5 4 3
z y
x = = và x+ 2y+ 4z = − 93; b)
5 4 3
z y
x = = và − 2x+y− 3z= 34
Trang 3Giải:
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
a)
=
−
=
=
−
=
=
−
=
⇒
−
=
−
= + +
+ +
=
=
=
=
=
15 5 3
12 4 3
9 3 3 3
31
93 20
8 3
4 2 20
4 8
2 5 4 3
z y
x z
y x z y z y x
b)
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
⇒
−
=
−
=
− +
−
− +
−
=
=
=
=
=
10 5 2
8 4 2
6 3 2 2
17
34 15
4 6
3 2
15
3 6
2 5 4 3
z y
x z
y x z
x z y x
VD3: Tìm x, y,z biết: 2x 3y 4z= =
3 4 5 và x+2y+4z=220;
Giải:
15 16 18 5
4 4
3 3
=
=
⇒
=
=
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
=
=
=
=
=
=
⇒
=
= + +
+ +
=
=
=
30 15 2
32 16 2
36 18 2 2
110
220 60 32 18
4 2 15
16 18
z y
x z
y x z y x
VD 4: Tìm x, y biết:
a) 5x 7= y và x+ 2y= 51; b) a.x=b.y(a≠ 0 ,b≠ 0 ,b≠a)và x−y=b−a
Giải:
a) Từ
5 7 7
5x= y⇒ x = y
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
=
=
⇒
=
= +
+
=
=
15
21 3
17
51 10 7
2 5
x y
x y
x
b) Từ
a
y b
x y b x
a = ⇒ =
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
=
=
⇒
=
−
−
=
−
−
=
=
a y
b x a
b
a b a b
y x a
y
b
x
1
Trang 4VD5: Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC biết 2A=B; 3B=Cà à à à
Giải:
Từ: à à à à à à
à à à à à à à
0 0
C A B C A B C 180
A 20 ; B 40 ;C 120
+ +
Tổng quát :
Tìm x,y,z biết x y z= =
a b c và mx+ny+pz=d
Với a, b, c, d là các số cho trớc và m,n,p≠ 0 Phơng pháp giải là: ta chỉ cần áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để để tạo ra
tỷ số là hằng số
Cụ thể:
Từ x y z mx ny pz= = = = =
a b c ma nb pc
mx ny pz d
ma nb pc ma nb pc
+ +
VD6: Tìm x,y,z biết:
a)
3
2
y
x = và xy= 24; b)
4 3 2
z y
x = = và xyz= 24
Giải:
a) Cỏch 1:
24
2
x
x
= ⇒ ữ ữ= = = = =
⇒ = ± ⇒ = ±
Với x = 4 ⇒ y = 6
Với x = - 4 ⇒ y = - 6
Cỏch 2: Đặt x y k x 2k;y 3k
3
(*)
Trang 5Thay x= 2k;y = 3k vào xy= 24 ta đợc:
2 4
24 6
3
.
2k k = k2 = ⇒k2 = ⇒k= ±
-Với k = 2 ⇒x= 4 ;y= 6
-Với k = − 2 ⇒ x= − 4 ;y = − 6
b) Đặt x y z k x 2k;y 3k;z 4k
4 3
Thay x= 2k;y = 3k;z = 4k vào xyz= 24 ta đợc:
=
=
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
=
4 3
2 1
1 24
24 4 3
.
z y
x k
k k
k k
k
VD7: Tìm x, y,z biết:
a)
5
4
3
z
y
x = = và x2 + 2y2 + 4z2 = 141
b)
5
4
3
z
y
x = = và − 2x2 +y2 − 3z2 = − 77
Giải:
a) Từ 2 2 2
(1)
3 4 5
9 16 25
x y z
x y z
= =
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
2
9 16 25 32 100 9 32 100 141
+ +
kết hợp với (1)
=
=
=
⇒
5 4 3
z y
x
hoặc
−
=
−
=
−
=
5 4 3
z y x
b) Từ
25 16 9 ) 1 ( 5 4 3
2 2
x z
y
Trang 6áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
2
9 16 25 18 75 18 16 75 77
kết hợp với (1)
=
=
=
⇒
5 4 3
z y
x
hoặc
−
=
−
=
−
=
5 4 3
z y x
Tổng quát :
Tìm x,y,z biết
c
z b
y a
x = = và mx k +ny k + pz k =d
Với a,b,c,d,m,n,p,d,klà các số khác 0 k∈N*
Phơng pháp giải nh sau:
k k
k k
k
pc
pz nb
ny ma
mx c
z b
y a
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số k
k k
k k
k
pc
pz nb
ny ma
mx = = ta đợc:
k k k k k k k k k k k k k k k
pc nb ma
d pc
nb ma
pz ny mx pc
pz nb
ny ma
mx
+ +
= + +
+ +
=
=
=
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức từ một hệ thức cho trớc.
VD1: Cho tỉ lệ thức: (a,b,c,d 0 ;a b;c d)
d
c b
Chứng minh rằng:
a)
d c
d c b a
b a
−
+
=
−
+ = +
Giải:
a) Cỏch 1: Áp dụng tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau.
Từ
d
b c
a d
c b
a = ⇒ = áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
d c
b a d c
b a d
b c
a
−
−
= +
+
=
=
Trang 7do :
d c
d c b a
b a d c
b a d c
b a
−
+
=
−
+
⇒
−
−
= + +
Cỏch 2: Đặt tỷ số bằng k rỳt tử theo k và mẫu:
Đặt
1 1 1 1
a b kb b k
a kb
k
c kd c d kd d k
b d
c d kd d k
=
Vậy:
d c
d c b a
b a
−
+
=
− +
Cỏch 3: Áp dụng tớnh chất của tỷ lệ thức.
b)do: b a+b= a+b c+d=
d c+d ⇒ b d
Cỏch 2: Đặt tỷ số bằng k rỳt tử theo k và mẫu:
Cỏch 3: Áp dụng tớnh chất của tỷ lệ thức.
Cỏch 4: a c a 1 c 1 a b c d
VD2: Cho tỉ lệ thức:a c=
b dChứng minh rằng:
a)
2a+3b 2c+3d 3a +5ab 3c +5cd
2a-3b 2c-3d 7a -10b 7c -10d
Giải:
a) Cỏch 1: Áp dụng tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau.
do:
d
b c
a d
c b
a = ⇒ = áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
a b 2a 3b 2a+3b 2a-3b= = = = =
c d 2c 3d 2c+3d 2c-3d
từ : 2a+3b 2a-3b= 2a+3b 2c+3d=
2c+3d 2c-3d ⇒ 2a-3b 2c-3d
Cỏch 2: Đặt tỷ số bằng k rỳt tử theo k và mẫu:
Đặt
2a+3b 2kb+3b 2k+3
a=kb
= =k
c=kd 2c+3d 2kd+3d 3k+3
b d
2c-3d 2kd-3d 2k-3
Trang 8Vậy: 2a+3b 2c+3d=
2a-3b 2c-3d
Cỏch 3: Áp dụng tớnh chất của tỷ lệ thức.
b) Cỏch 1: Áp dụng tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau.
do:
d
b c
a d
c b
a = ⇒ = áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
3a 7a 10b 5ab 3a +5ab 7a -10b
3c 7c 10d 5cd 3c +5cd 7c -10d 3a +5ab 3c +5cd
= 7a -10b 7c -10d
⇒
từ 3a +5ab 7a -10b22 = 22 22 3a +5ab22 2= 3c +5cd22 2
3c +5cd 7c -10d ⇒ 7a -10b 7c -10d
Cỏch 2: Đặt tỷ số bằng k rỳt tử theo k và mẫu:
Cỏch 3: Áp dụng tớnh chất của tỷ lệ thức.
Tổng quát :
Nếu: a c=
b d thỡ:
ma+nb mc+nd ma +nb +kab mc +nd +kac
m'a+n'b m'c+n'd m'a +n'b +k'ab m'c +n'd +kcd
Nhận xột: Hầu hết cỏc bài tập trong hai dạng toỏn trờn đều cú thể giải bằng nhiều
cỏch tuy nhiờn ở mỗi bài ta nờn chọn c ỏch giải hợp lý nhất.
VD 3: Cho tỉ lệ thức:
d c
d c b a
b a
−
+
=
−
+ Chứng minh rằng: a c
Giải:
Dạng 3: Tớnh giỏ trị của một biểu thức
Trang 9Ví dụ: Cho :a b c= =
b c a hãy tính giá trị của biểu thức M=a +b +c2
(a+b+c)
Gi¶i:
a b c a+b+c
= = = =1 a = b = c
b c a a+b+c
a +b +c a +a +a 3a 3a 1
(a+b+c) (a+a+a) (3a) 9a 3
⇒
⇒
Trang 10C.Bµi tËp vËn dông
Bµi 1: T×m hai sè x vµ y biÕt:
a) xy =73 vµ 5x – 2y = 87; b) x y
19 = 21 vµ 2x – y = 34;
Bµi 2: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng: 2a = 3b; 5b = 7c vµ 3a + 5c – 7b = 30.
Bµi 3: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
a) x y z
10 = = 6 24 vµ 5x + y – 2z = 28; b) x y
3 = 4; y z
5 = 7 vµ 2x + 3y – z = 186; c) 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32;d) 2x 3y 4z
3 = 4 = 5 vµ x + y + z = 49;
e) x 1 y 2 z 3
− = − = − vµ 2x + 3y – z = 50;
Bµi 4: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
a) x y z
2 = = 3 5 vµ xyz = 810; b) x3 y3 z3
8 = 64 = 216 vµ x2 + y2 + z2 = 14
Bµi 5: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
a) y z 1 x z 2+ +x = + +y = x y 3+ −z = x y z+ +1 ;
b) 1 2y 1 4y 1 6y
; c) 2x 1 3y 2 2x 3y 1
B i 6 à : Ba người cùng góp vốn kinh doanh được tổng số tiền là 180 triệu đồng Biết
rằng 3 lần số vốn của người thứ nhất bằng 2 lần số vốn của người thứ hai và 4 lần số vốn của người thứ hai bằng 3 lần vốn của người thứ 3 Tính số vốn mà từng người đã góp
Bµi 7: Cho tØ lÖ thøc: ab =dc ; Chøng minh r»ng:
+ = +
− − ; b) 7a22 3ab2 7c22 3cd2
11a 8b 11c 8d
Bµi 8: Cho tØ lÖ thøc: 2a 13b3a+7b =2c 13d3c 7d+
− − Chøng minh r»ng: a c
Bµi 9: Cho d·y tØ sè : bza−cy =cxb−az =ay−cbx Chøng minh r»ng: x y z
a = = b c
Bµi 10: Cho 4 sè a1; a2; a3; a4 tho¶ m·n: a22 = a1.a3 vµ a32 = a2.a4
Chøng minh r»ng:
a a a a
a a a a
Bµi 11*: Cho tØ lÖ thøc : a22 b22 ab
+ = + Chøng minh r»ng: a c
b = d
Trang 11Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c
b c c a a b + + + Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?
Bài 13: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 sao cho:
a+b-c a-b+c -a+b+c= =
Tìm giá bằng số của biểu thức: M (a+b)(b+c)(c+a)
abc
=
Bài 14: Cho biểu thức: P=x+y y+z+ + z+t + t+x
z+t t+x x+y z+y Tìm giá tri của biểu thức P biêt rằng:
x y z t
y+z+t = z+t+x = t+x+y = x+y+z
Bài 15: Cho 2008 số thoả món a1+a2+ +a2008 ≠ 0 và 1 2 2007 2008
a a
= = = =
Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức:
2
a +a + a +a N=
(a +a + +a +a )
B i 16: à Cho
2
ax + bx + c
a x + b x + c Chứng minh rằng nếu
a b c
= =
a b c
Thỡ giỏ trị của P khụng phụ thuộc vào giỏ trị của x