Chứng minh BD SC⊥ b.. Tính góc giữa SBD và ABCD c.. G là trọng tâm tam giác SBC, tính AG.
Trang 1Khi x 2≠ Khi x = 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
TỔ TOÁN - TIN
ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2012 – 2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Họ và tên thí sinh: SBD : .
Bài 1: (2 điểm) Tính các giới hạn sau:
1 2
2
)
3
(
2
+
− +
n
n n n
b lim( 4 2 +2 +2 −1)
−∞
x
Bài 2: (1 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x 0 = 2:
−
−
−
=
m
m x
x x
x
f
2
2
2
2 )
(
Bài 3: (1 điểm) Chứng minh phương trình (m2 + 1)x3 – m2x – 4x + 1 = 0 luôn có 3 nghiệm phân biệt
Bài 4: (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
=
x x x x
Bài 5: (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x
x y
−
+
= 1
1 3 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4
Bài 6: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
(ABCD), SA = a 6 / 2
a Chứng minh BD SC⊥
b Tính góc giữa (SBD) và (ABCD)
c G là trọng tâm tam giác SBC, tính AG
Trang 2
-Hết -Khi x 2≠ Khi x = 2
Trường THPT Trần Phú
Tổ Toán - Tin
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2012 – 2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
2
1 /
1 2
1 / 2 ) / 3 1 ( lim 1
2
2 ) 3 (
+
− +
= +
− +
n
n n n
n n n
0.5x2
−
− +
=
− + +
−∞
→
−∞
2 2 4
2 lim
1 2 2 4 lim
2
2
x x x
x x
x x
x x
2
3 1 2 / 2 4
2 lim
1 2 / 2 4
2
− +
−
=
− +
−
=
−∞
→
−∞
x
x x
0.25x4
Bài 2: Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x 0 = 2:
−
−
−
=
m
m x
x x
x
f
2
2
2
2 )
(
2 lim 2
) 2 ( lim 2
2 lim
2 2
2
−
−
=
−
−
→
→
x
x x x
x x
x x
Hàm số sau liên tục tại điểm x 0 = 2 ⇔limx 2 f(x)= f(2)
Bài 3: Chứng minh phương trình (m2 + 1)x3 – m2x – 4x + 1 = 0 luôn có 3 nghiệm phân biệt
f(x) = (m2 + 1)x3 – m2x – 4x + 1 là hàm số liên tục trên R => f(x) liên tục trên mọi [a; b] ⊂R 0.25
−
=
=
2
)
1
(
1
)
0
(
f
f
=> f(x) = 0 có nghiệm thuộc (0; 1) 0.25
* lim ( ) =−∞⇒∃ <0| ( )<0
−∞
x
*
<
=
0
)
(
1
)
0
(
a
f
f
=> f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; 0) 0.25
* lim ( ) =+∞⇒∃ >1| ( )>0
+∞
x
*
>
−
=
0
)
(
2
)
1
(
b
f
f
=> f(x) = 0 có nghiệm thuộc (1; b)
* Vậy phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
0.25
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
=
x x x x
2
1 6 2 '
x x x x
b y=sin2(3−2x)
0.25
f(x) liên tục trên [0; 1]
f(x) liên tục trên [a; 0]
f(x) liên tục trên [1; b]
Trang 3) 6
4
sin(
2
) 2 3 cos(
)
2
3
sin(
4
)' 2 3 ).(
2 3 cos(
)
2
3
sin(
2
)]' 2 3 ).[sin(
2
3
sin(
2
'
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
=
x
x x
x x
x
x x
0.25 0.25
Bài 5: Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x
x y
−
+
= 1
1 3 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4
* D = R \ {1}
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm, có: f’(x0) = 4 x0 = 0 hoặc x0 = 2 0.25
• Tại x0 = 0: y0 = 1; f’(x0) = 4 Phương trình tiếp tuyến: y – 1 = 4(x – 0) y = 4x + 1 0.25
• Tại x0 = 2: y0 = -7; f’(x0) = 4 Phương trình tiếp tuyến: y +7 = 4(x – 2) y = 4x – 15 0.25 Vậy phương trình tiếp tuyến cần viết là: y = 4x + 1 và y = 4x – 15
Bài 6:
G
M O
C
D
S
0.5
a *SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BD
* Có: BD SA BD (SAC) BD SC
BD AC
⊥
0.25x4
b * Có
(SBD) (ABCD) BD
SO BD
AO BD
góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc SOA∧ =α 0.5
* Xét tam giác SAO vuông tại A, có:
6 / 2
2 / 2
SA a
AO a
0
60
α
⇒ =
0.25 0.25
AG→ = AS AB AC→ + → + → = AS AB AB AD→ + → + → + → = AS→ + AB AD→ + →
2
Lưu ý: Học sinh làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa