cac phuong phap giai toan bat dang thuc

Bài tập tương tự: Cho các số dương a1,a2,a3,b1,b2,b3 thoả:CMR: Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng

- Lập hiệu A-B

- Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B 0

- Kết luận A B

- Xét trường hợp A=B khi nào

VD: CMR:

với mọi a, b cùng dấu

CM: Ta có:

a, b cùng dấu => ab>o =>

Vậy

Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi a-b=0, hay a=b /

Bài tập tương tự : CMR:

với ab>1 1Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp

- Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:

=>

Dấu “ =” sảy ra khi và chỉ khi M=0

VD: CMR:

với mọi x

CM:

Ta có:

=>

Dấu”=” sảy ra khi và chỉ khi x=2

Bài tập tương tự:CMR: Bài tập tương tự:CMR:

Phương pháp 3: Phương pháp so sánh

- Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả Suy ra đpcm.

Nếu

VD: CMR:

CM:

Phương pháp4: Dùng tính chất tỉ số

Cho 3 số dương a,b,c :

Nếu b,d>o thì từ

VD: a,b,c là 3 số dương CMR:

CM:

Bài tập tương tự: Cho các số dương a1,a2,a3,b1,b2,b3 thoả:

CMR:

Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương

Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng

Chú ý các BĐT sau:

- Bình phương của tổng, hiệu

- Lập phương của tổng, hiệu

-VD: Cho a,b là các số thực CMR:

CM:

Ta có:

<=>

<=>

=>đpcm

Bài tập tương tự:Cho a,b,c là các số thực CMR::

Phương pháp 6: Phương pháp làm trội

Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.

- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:

là biểu diễn số hạng tổng quát về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau :

Lúc đó :

-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn là biểu diễn số hạng tổng quát về thương của 2 số hạng liên tiếp

nhau

Lúc đó

VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN:

a,

(k>1) b,

CM:

a

Với k>1 ta có

Lần lượt thay k=2,3, ,n rồi cộng lại có:

=> đpcm b

Với mọi k>1 ta có:

Vậy :

Lần lượt thay k=2,3, ,n vào rồi cộng lại ta được:

CMBĐT: :

Bài tập tương tự

Phương pháp 8: Dùng BĐT trong tam giác

Nếu a,b,c là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và |b-c|<a<b+c

|a-c|<b<a+c

|a-b|<c<a+b

VD: Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác.CMR:

CM:

a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có :

Cộng vế với vế của BĐT trên ta được

(đpcm)

Bài tập tương tự:

Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác CMR:

với a< b<cCMBĐT: :

Phương pháp 9: Dùng phương pháp quy nạp

Để chứng minh BĐT T(n) : n là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau :

+ Chứng minh BĐT T(1) đúng( Kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất)

+ Giả sử BĐT T(k) đúng

+ Ta chứng minh BĐT T(k+1) cũng đúng

Khi đó BĐT T(n) đúng với mọi n

VD: CMR với n>2 ta có :

CM:

Giả sử BĐT đúng với n=k,nghĩa là:

Ta CM BĐT đúng với n=k+1, nghĩa là phải CM:

Thật vậy, ta có:

Vậy BĐT đúng với mọi n

Bài tập tương tự:

Phương pháp 10: Sử dụng tính chất hàm lồi

Cho hàm số f(a,b) -> R có tính chất :

Dấu của đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x1=x2

với mọi x1, x2 thuộc (a,b) và dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi

VD:

CM:

Ta có:

Vì

và

Cách khác: f(x)=sinx có f’’(x)= nên f(x) là hàm lõm trên và ta có BĐT 1

Phương pháp 11: Dùng miền giá trị hàm

Bài toán: Chứng minh rằng B<f(x) <A với mọi x.

Đặt y=f(x) <=> y-f(x)=0 ( * )

Biện luận phương trình ( * ) theo y, =>

=>đpcm

CM:

+, Với y=1=>x=0

+>Với y khác 1, ta có

(đpcm)

Bài tập tương tự:

Phương pháp 12: Dùng tam thức bậc 2

(*Định lí về dấu tam thức bậc 2:

Cho tam thứcbậc 2 :f(x) (a khác 0)

+ Nếu thì af(x)>0 với mọi x

+ Nếu thì với mọi x

Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi

+Nếu lập bảng xét dấu

*Định lí đảo về dấu cho tam thức bậc 2:

Cho:f(x) (a khác 0)

Nếu tồn tại sao cho af(x)<p thì f(x) có 2 nghiệm pb và

Hệ quả: Nếu tồn tại sao cho thì f(x) có 2 nghiệm pb và trong 2 số có một số nằm ngoài khoảng hai nghiệm)

Ta chứng minh

CM:Bđt cần Cm tương đương với

Đặt f(x)=VT

Bài tập tương tự: Cm các BĐT sau:

Phương pháp 13: Dùng đạo hàm

Dạng 1: Dùng tính đơn điệu của hàm số

Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b)

+ Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a,b)thì hàm f(x) tăng trên [a,b] Khi đó mọi x>a thì f(x)>f(a)

+ Nếu f'(x)<o mọi x thuộc (a,b) thì hàm f giảm trên [a,b] Khi đó với mọi x>a thì f(x)<f(a)

* Nếu x>0 thì f(x)>0 nên f tăng với mọi Do đó f(x)>0, f(0)=0 =>

* Nếu x<0 thì f(x)<0 nên f giảm khi x<0 Dó đó f(x)>f(0)=0 =>

Bài tập tương tự: CMR với thì

Ngoài ra còn có 1 số phương pháp để cm nữa

1.Dồn biến : Mục đích đặt ra ta giảm dần biến số đi để cuối cùng chỉ cần cm bdt 1 biến , với điều này công việc của ta chỉ là đạo hàm thôi

Ngoài ra có thể dồn theo trung bình nhân , trung bình điều hòa

Cụ thể ở đây (nguồn Lê Quý Bảo:D ) http://olympiavn.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=42150.0;attach=7653hoặc download bằng link bên dưới OK?

2.SOS : phương pháp đưa về các tổng bình phương

đa số BĐT xuất phát từ vì vậy phương pháp này có ý tương khá tự nhiên sau khi đưa về được dạng

Chỉ cần kiểm tra 1 số tiêu chuẩn ta thu được đpcm ước gì mấy anh này nói rõ thêm cho đàn em hiểu với

3 Các hàm sơ cấp đối xứng 3 biến

Đặt

ta đưa về được theo p,q,r Từ đây cm bdt theo p,q,r Kết hợp với BDT schur ta có đpcm

tạm thời chừng đó đã (và đến giờ vẫn vậy ) các anh ơi em chưa hiểu :-s

Tiếp tục cho phương pháp lượng giác , không chỉ là với các bài đổi ẩn theo sinx , cosx , mà phức tạp hơn là liên quan đến các đẳng thức lượng giác của 3 góc trong tam giác , cái này thì nhiều lắm

Hệ thức I

Cái này gặp cũng khá nhiều , trong những bài này có thể làm theo dồn biến hoặc vân dụng các đẳng thức

VD: Các số x,y,z thỏa mãn:

Tìm GTLN:

Cách 1: Đổi biến x,y,z thành

Cách 2: Có thể thấy x,y,z nằm trong khoảng [-1;1] , Xét hệ thức , đưa về ẩn là Đạo

nhưng có thể làm trực tiếp

Hệ thức 2:

hoặc

VD:

Hệ thức 3

hoặc

VD:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: