Phương pháp giải toán bất đẳng thức

Phương pháp giải toán bất đẳng thức

Phần 1 Mục lục:

Mục lục ……… trang 1

Đặt vấn đề .……… trang 2

Cơ sở khoa học ……… trang 4

Kết quả thực nghiệm ……… trang 23

Kết luận ……… trang 23

Tài liệu tham khảo ……… trang 24

Phần 2 Đặt vần đề:

Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người Về mặt tâm

lí thì tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hịên tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó con người chưa biết

Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội Tư duy không tự nhiên mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển cần được rèn luyện thường xuyên, học các môn các môn khoa học tự nhiên đặc biệt là môn Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt Lứa tuổi THCS đang phát triển mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn

đề này Qua một bài toán có thể phát triển tư duy lô gíc, tư duy trừu tượng,

tư duy lí luận của học sinh Điều quan trọng là giáo viên truyền thụ kiến thức như thế nào để phát triển tư duy của học sinh một cách tốt nhất

Trong thực tế học sinh thường thụ động tiếp thu kiến thức, thường làm bài tập một cách máy móc, không linh hoạt và chỉ dừng lại ở việc ra kết quả bài toán Với bài toán đó nếu được biến đổi thành bài toán khác thì đa số học sinh không nhận ra, lúng túng và không làm được Đây là cách học hết sức nguy hiểm cho học sinh lười học và không phát triển được tư duy Đối với môn Toán bài tập rất phức tạp và đa dạng, học sinh không thể làm hết được bài tập mà chỉ nắm được dạng bài tập nên học sinh cần hiểu được bản chất của bài tập phụ thuộc vào mức độ nhận thức của học sinh, sau đó tạo

ra bài toán mới, dạng toán mới vừa hệ thống kiến thức vừa phát triển được

tư duy

Bất đẳng thức là dạng bài tập khó trong các dạng bài tập ở THCS, bất đẳng thức yêu cầu tư duy rất cao, sự nhạy cảm toán học cũng như kĩ năng của môn Đại Số Nếu học sinh biết cách giải một số bài tập bất đẳng thức cùng dạng thì đã thực sự trưởng thành về mặt tư duy toán học Những bài tập bất

đẳng thức rất đa dạng học sinh không thể làm hết mà chỉ có thể nắm được một số dạng, chính vì vậy học sinh cần nắm được bản chất của bài tập và phân loại bài toán là việc vô cùng cần thiết Vì vậy mà giáo viên cần đưa cho học sinh bài tập có hệ thống và liên hệ các bài tập cùng dạng với nhau giúp các em tự tin hơn.

Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu cầu quan trọng đối với học sinh Tự học giúp cho HS say mê học tập, hiểu sâu kiến thức và quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp HS tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm vui khi học toán Để làm được như vậy thì GV phải cung cấp cho học sinh

hệ thống bài tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó đều bắt đầu từ những bài toán cơ bản HS cảm thấy bản thân cũng có thể tạo ra các bài toán có dạng tương tự như vậy

Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách nhìn

về bài toán, thay đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách dạy một bài bất đẳng thức quen thuộc trong 3 tiết, biến đổi thành các bài toán khác nhau hoặc vận dụng làm các bài bất đẳng thức khó hơn Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán lạ có khả năng tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống hiện đại

Phần 3 Cơ sở khoa học:

1 Cơ sở lí luận:

Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo từng giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người Tư duy đặc biệt phát triển mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên Vì vậy giáo viên cần phải quan tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh một cách tốt nhất Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho học sinh nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy Các bài tập toán trong SGK chủ yếu hình thành kĩ năng cho học sinh, mục đích phát triển tư duy cho học sinh ở mức độ thấp nhằm đảm bảo tính giáo dục phù hợp với học sinh đại trà Giải bài tập toán chứng minh bất đẳng thức trong quá trình ôn thi HSG là điều kiện cần thiết để học sinh giỏi hình thành và phát triển tư duy ở mức độ cao hơn.

2 Cơ sở thực tiễn:

Trường THCS Nhân Hoà là một trường nhỏ không có lớp chọn, trường

có 8 lớp chia đều cho các khối Phần lớn học sinh chăm học, ý thức tốt nhưng tác phong tư duy và tác phong học tập chưa đúng làm cho kết quả của học sinh chưa cao, đặc biệt là kết quả thi học sinh giỏi Chính vì vậy vấn đề ôn thi HSG cần được đẩy mạnh Năm học 2006-2007, tôi được phân công dạy đội tuyển Toán 9 và Giải toán trên máy tính, số lượng được dự thi

là 4HS Tôi lựa chọn 6 HS để ôn thi và nhằm phát triển tư duy cho nhóm

HS đó Mục “phát triển tư duy của học sinh qua 1 bài chứng minh bất đẳng thức” nằm trong chuyên đề bất đẳng thức được thực hiện trong 3 đến 4 tiết gồm hệ thống bài tập trên lớp và hệ thống bài tập tương tự giao về nhà cho HS

Phần 4 Nội dung:

Chúng ta xét một bất đẳng thức cơ bản trong chương trình trung học cơ

sở nhưng nó là cơ sở cho rất nhiều bài toán khó

Bài toán xuất phát:

Bài 1: Với a, b dương chứng minh rằng: a 3 +b 3 ab(a+b) (*)

Giải : Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với :

⇔ (a+b)(a2 –ab+b2) – ab(a+b) ) 0

⇔ (a+b)(a2 -2ab +b2) ) 0

⇔ (a+b)(a-b)2 0 đúng với mọi a,b dương

Đẳng thức xảy ra khi a = b

Học sinh có thể biến đổi theo hướng khác:

Với a,b dương ta vẫn có thể biến đổi (*) thành : a a3++b b3 ≥ ab

⇔ a2 – ab + b2 ab

⇔ ( a - b)2 0 (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b

Nếu chỉ dừng ở đây thì bất đẳng thức (*) không có gì đặc biệt không

có gì mới lạ Học sinh khá, giỏi không khó khăn trong việc giải bài tập này

GV hướng dẫn học sinh nhận thấy rằng:

Bất đẳng thức (*) vẫn còn đúng khi a,b không âm Nếu a,b là các số dương thì bất đẳng thức (*) có thuận lợi gì khi thay đổi thành bất đẳng thức khác?

Nếu ta biến đổi bất đẳng thức (*) thành bất đẳng thức:

⇔a b3 + b2 a(a+b) ( do b>0)

⇔a b3 + b2 a2 + ab

Tương tự với a,b,c dương thì :

b3

c + c2 b2 + bc

c a3 + a2 2 c2 + ac

Từ đó ta có bài toán hay:

Bài 2: Với 3 số a,b,c dương chứng minh rằng :

Vẫn tiếp tục ý tưởng biến đổi bất đẳng thức (*) trên cơ sở a,b là các số dương, ta có hướng biến đổi khác:

Từ a3 +b3 ab(a+b) (*) suy ra: a3 3

nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức Cô si a3 3

Bài 4: Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng:

Từ đó ta đề xuất được bài toán mới:

Bài 5: Với a,b,c dương chứng minh rằng:

8(a 3 +b 3 +c 3 ) (a+b) 3 +(c+b) 3 +(a+c) 3

Bài tập này học sinh có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương đương, hoặc sử dụng phương pháp tách để chứng minh.

Khi đó tự học sinh sẽ thấy bài toán mới đẹp hơn bài 5.

Bài 6: Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng:

a3 +b3 +c3 ab ab+bc bc+ac ca

Bài toán sẽ trở nên khó hơn nếu bổ xung thêm giả thiết abc = 1.Khi đó:

ab = c1; bc = a1; ac = b1

Như vậy học sinh đã tạo ra được bài toán mới hay hơn bài 6

Bài 7: Cho a,b,c là các số dương thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

Bài 8: Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng:

2(a3 +b3 +c3) ) ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)

Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức (*) cho lần lượt cặp số a,b,c ta có:

a3 +b3 3 ab(a+b)

b3 +c3 bc(b+c)

a3 +c3 3 ca(c+a)

Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

2(a3 +b3 +c3) ) ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Ta thấy rằng khi sử dụng bất đẳng thức CôSi cho đôi một các số dương a,b,c thì dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Ta có a + b 2 ab; b + c ; 2 bc và c + a 2 ac

Khi đó ta có một bài toán mới:

Bài 9: Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng:

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Nếu học sinh biến đổi bất đẳng thức a 3 +b 3 ab(a+b)(*) theo hướng sau:

⇔ a3 +b3 +abc ab(a+b) +abc

Ta có bài toán sau:

Bài 10: Cho a,b,c dương Chứng minh rằng :

“đơn giản” hơn.

Đặc biệt hoá bài toán này trong trường hợp abc = 1 Ta có bài toán mới

(bài thi vào trường Đại học Thuỷ Lợi năm học 1999)

Bài 11: Cho a,b,c dương và abc = 1 Chứng minh rằng:

a3 +1b3 +1+b3 +1c3 +1+a3 +1c3 +1 a 1

Lời giải bài toán này giống như bài 8, khi sử dụng kết quả bài toán này ta

sẽ chứng minh được bài toán sau đây:

Bài 12: Cho a,b,c là các số dương và abc = 1 Chứng minh rằng:

5 5 5 5 5 5 ≤ 1

+ +

+ + +

+ +

ca bc

c b

bc ab

b a

ab

Ta sẽ chứng minh cho

ac a c

ca bc

c b

bc ab

b

a

ab

+ +

+ + +

a + +b + 3 3

1 1

c + +b + 3 3

1 1

a + +c 1bằng cách chứng minh: a5+b ab5+ab 3 3

1 1

a + +b

b5+bc c5+bc 3 3

1 1

c + +b

c5+a ca5+ac 3 3

1 1

a + +c

Thật vậy a5+b ab5+ab 3 3

1 1

⇔ (a-b)2(a2+b2)(a+b) ) 0 đúng Dấu “=” xảy ra khi a=b

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Chúng ta xét một bài bất đẳng thức khó trong tập “Chuyên đề Bất đẳng thức, trang 7, tác giả Trần Văn Hạo, NXB GD năm 2001”

Bài 13: Cho 3 số a,b,c dương Chứng minh rằng:

2 2

3

b ab a

a

+

b bc c

c

+

c b

a+ +

GV hướng dẫn học sinh tìm cách đánh giá a2+ab+b2 ≤ ???

Chắc chắn học sinh sẽ nghĩ đến bất đẳng thức

b a

a

+

Tương tự 2 3 2

b bc c

3

c b

3

a c

3

b a

a

+ +3( 22 2)

3

c b

b

+ +3( 22 2)

3

a c

a

+ +

Như vậy 2 2

3

b ab a

Bài tập khó như vậy nhưng được biến đổi từ bài tập rất bình thường! Điều

đó giúp HS thấy tự tin hơn, chỉ cần bình tĩnh và chắc chắn kiến thức cơ bản là có thể làm được.

Đến đây giáo viên nên tạo điều kiện cho học sinh suy nghĩ về hướng làm trước đã thất bại Sau khi chứng minh được thì hướng làm trước có thực hiện được không?

Ta đã có : 2 2

3

b ab a

a

+

b bc c

3

b a

a

+ +3( 22 2)

3

c b

b

+ +3( 22 2)

3

a c

a

+ +3( 22 2)

3

c b

b

+ +3( 22 2)

3

a c

c

c b

a

2a−b

⇔ b(b – a)2 0 (đúng)

Dấu “=” xảy ra khi a = b

Như vậy hướng làm đầu tiên vẫn thực hiện được nhưng phức tạp, lời giải không đẹp Tuy nhiên, điều đáng mừng là chúng ta đã tìm ra bất đẳng thức chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh trong bài 13

Kết quả khi tìm tòi lời giải bài 13 ta có bài toán mới:

Bài 14: Cho a,b,c dương Chứng minh rằng:

22 3 2

b a

a

+ + 22 3 2

c b

b

+ + 22 3 2

a c

4

) (

+a2(b4+c)+b2(a4+c) (1)Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm:

Ta có

c b

4

) (

2

c b

Như vậy

c b

Tương tự:

c a

a b

4

) (

4

) (

c b

a + +

Chỉ qua một số kĩ thuật biến đổi cơ bản ta đã có một bất đẳng thức đẹp Mặc dù biết được cách biến đổi để tạo ra bài 15 nhưng nếu HS không sâu sắc khi yêu cầu chứng minh bài 15 cũng là một việc hết sức khó khăn đối với HS Khi đến bài tập này, GV cần cho HS thời gian để tư duy, nhớ lại một số bước khi biến đổi Sau khi thực hiện được bài tập này thì HS trưởng thành rất nhiều kể cả tư duy và kĩ năng trình bày.

Nếu biến a3 +b3 ab(a+b) (*) theo cách giống như tạo ra bài 5

3 3

3

2

b c

3

b a

c a

c

b c

+

3 3

3

3 3

3

3

b a

c a

c

b c

b a

Với nhiều học sinh bất đẳng thức Nesbit trở nên rất quen thuộc

3

b a

c a

c

b c

+

3 3

3

3 3

3

3

b a

c a

c

b c

b

a

a 14.23= 83Như vậy ta lại tạo ra được bài toán mới

Bài 16: Cho a,b,c dương Chứng minh rằng:

c c

8 3

Có nhiều hướng khác nhau tổng quát bất đẳng thức (*) nhưng chủ yếu có hai hướng Một là tổng quát số mũ; hai là tổng quát số hạng tử.

Hướng thứ nhất, ta có bài tập sau:

Bài 17: Cho a,b dương n là số nguyên dương Chứng minh rằng:

an +bn (a+b) (ab)n− 1 (**)

Thật vậy, Với n = 1 đẳng thức xảy ra

Với n V 2 do vai trò a,b như nhau không làm mất tính tổng quát, giả

sử a≤ b suy ra an-1 ≤ bn-1 Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsép ta có:

an +bn = a an-1+b bn-1

2

) )(

(a+b a n− 1 +b n− 1

(a+b) (ab)n− 1

(Bất đẳng thức đã được chứng minh)

Những bài toán tổng quát giúp HS phát triển tư duy trừu tượng ở mức

độ cao hơn nhưng việc hình thành nên bài toán tổng quát là tương đối khó Thông thường tìm các bài toán tổng quát bằng cách dự đoán hoặc bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn Đối với HS trung học cơ sở thì không yêu cầu học sinh đi tìm các bài toán tổng quát Tuy nhiên những bài toán tổng quát có ý nghĩa rất lớn trong việc phát triển tư duy cho học sinh, sau đây là một số ví dụ:

Với n = 2 thì an +bn (a+b) (ab)n−1 trở thành a2+b2 (a+b) ab (2)

Với n = 3 thì an +bn (a+b) (ab)n−1 trở thành a3+b3 (a+b)ab (3)

Với n = 4 thì an +bn (a+b) (ab)n−1 trở thành a4+b4 (a+b)ab ab(4)

…

Như vậy ta có bài tập đơn giản sau:

Bài 18: Cho a,b dương Chứng minh rằng

a2 + b2 (a+b) ab (2)

Học sinh đã rất quen thuộc với bất đẳng thức a2+b2 2ab

Dễ dàng nhận thấy bất đẳng thức kép a2+b2 (a+b) ab 2ab

Khi GV đưa riêng yêu cầu chứng minh a 2 +b 2 (a+b) ab với a,b là các

số dương Nhiều học sinh không làm được do ảnh hưởng bởi bất đẳng thức tổng quát chứng minh bằng bất đẳng thức Trêbưsép Lúc này vấn đề là GV phải khơi dậy được ở học sinh tính sáng tạo.

GV gợi ý bất đẳng thức a2+b2 (a+b) ab (2) xảy ra dấu “=” khi nào?

HS sẽ nhận thấy dấu “=” xảy ra khi a = b

Từ đó HS sẽ có ý tưởng biến đổi a2+b2 (a+b) ab (2)

⇔ 2(a2+b2) ) 2(a+b) ab

⇔ (a - ab)2+(b - ab)2+(a-b)2 0 (đúng) Dấu “=” xảy ra khi a = b

Đối với bất đẳng thức a4+b4 (a+b)ab ab(4) cách chứng minh tương tự như đối với bất đẳng thức a2 + b2 (a+b) ab(2)

Với n =5 ta có bài toán thú vị

Bài 19: Cho a,b dương Chứng minh rằng:

a5 +b5 a2b2(a+b) (5)

Khi tôi yêu cầu chứng minh bất đẳng thức này thì HS không làm được, nói chung những bài toán tổng quát là khó nhưng có những bài toán đặc biệt không đơn giản chút nào.

Để làm được bài này thì kĩ năng sử dụng bất đẳng thức CôSi phải tốt.

Sau đây là kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức CôSi vào bài tập này:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương a5, a5, a5, b5, b5

Bài 20: Cho 3 số a,b,c dương Chứng minh rằng:

2(a5 +b5 +c5) ) a2b2(a+b) +b2c2(b+c) +c2a2(c+a)

Bài 21: Cho 3 số a,b,c dương Chứng minh rằng:

Quay trở lại bài tập 8, chứng minh bất đẳng thức sau:

2(a3 +b3 +c3) ) ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)

Nếu thêm vào điều kiện abc = 2 suy ra ab = c2 nên ab(a+b) = 2(a c+b)

Tương tự ta có: bc(b+c) = 2(c a+b) ; ac(a+c) = 2(c b+a)

Từ đó ta có bài toán sau:

Bài 23: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn: abc = 2 Chứng minh rằng:

(a b+c+ b a+c +c b+a )2

suy ra điều phải chứng minh

Hướng thứ hai ta có bài tập sau:

Bài 25: Cho a1, a2, …am là các số dương, ∀n n m Chứng minh rằng:

a1n +a2n+ …+amn a1 a2…am(a1n-m +a2n-m + …+amn-m)

Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho n số dương ta có :

an

1 +… an

1 +a2n+…+amn nn n

m n m n

Cộng từng vế của các bất đẳng thức ta suy ra được bất đẳng thức cần chứng minh.

Áp dụng các bất đẳng thức mở rộng ở trên ta làm các bài tập sau:

Bài 26: Cho a,b,c dương thỏa mãn abc =1 Chứng minh:

c b

a+ +

Suy ra

c b

b

+

a b

Phần 5 Kết quả thực nghiệm:

Trong suốt quá trình ôn thi HSG lớp 9 năm học 2006-2007 tôi nhận thấy: Sau khi làm các bài tập chứng minh bất đẳng thức trong chuyên đề

“Phát triển tư duy của học sinh qua một bài toán bất đẳng thức” kĩ năng

trình bày một bài toán chứng minh bất đẳng thức của học sinh của học sinh tiến bộ đáng kể đặc biệt là phương pháp tách hạng tử Học sinh tự tin hơn, không còn sợ những bài bất toán lạ, bước đầu biết tìm tòi mò mẫm Kết quả khả quan hơn cả là chuyên đề này giúp học sinh yêu toán hơn, các em

đã có ý thức tự đọc sách, tự tìm tòi và làm bài tập trong các quyển sách

“Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số và Hình 9 - của tác giả V.D Thụy

và N.N Đạm” “Toán bồi dưỡng của tác giả Vũ Hữu Bình”

Chính vì sự cố gắng đó điểm kiểm tra của một số em tốt hơn các bạn ở trên lớp, nhiều lần đạt điểm tuyệt đối

Kết quả thi HSG năm học 2006-2007 các em đã mang về cho trường 4 giải (1 giải nhất, 1 giải nhì, 2 giải khuyến khích)