Hóa học là một khoa học lý thuyết và thực nghiệm. Hóa học đòi hỏi sự chính xác của toán học đồng thời với sự linh hoạt trong tư duy và óc tưởng tượng phong phú, sinh động và sự khéo léo trong các thao tác thí nghiệm. Chúng tôi giới thiệu cùng bạn đọc quyển “Bài tập chọn lọc Hóa học 10” chương trình chuẩn và nâng cao. Sách gồm các bài tập Hóa học chọn lọc trong chương trình Hóa học 10 có mở rộng và nâng cao, có thể sử dụng để phát triển năng lực tư duy Hóa học cho học sinh lớp 10 và phục vụ ôn tập các kì thi tú tài, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi. Quyển sách được biên soạn theo chương trình mới của Bộ Giáo dục và đào tạo. Sách được chia thành 7 chương, tương ứng với từng chương của sách giáo khoa Hóa học 10. Mỗi chương bao gồm các nội dung chính sau:
Trang 1MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1 SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CÁC HỆ QUẢ CỦA BĐT CÔ-SI
Bài 1: [ĐVH].Chứng minh rằng (a b b c c+ )( + )( + ≥a) 8abc,∀a b c, , ≥0
Bài 2: [ĐVH] Chứng minh răng ( )( )( ) ( )3
3
1+a 1+b 1+ ≥ +c 1 abc ,∀a b c, , ≥0
Bài 3: [ĐVH].Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng :
+ + + + + ≥
2
b c+c a+a b≥
+ + +
Bài 4: [ĐVH].Cho a, b > 1 Chứng minh rằng :
a) (a+1)(b+ ≥ + +1) a b 2
b) a b− +1 b a− ≤1 ab
Bài 5: [ĐVH].Chứng minh rằng : 4 4 4 ( )
, , ,
Bài 6: [ĐVH].Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1 Chứng minh rằng 2 1 2 1 2 1 9
a bc+b ca+c ab≥
Bài 7: [ĐVH].Chứng minh rằng :
a)
b a b
1
b a b
+ ≥ ∀ > >
c)
4
1
a b b
+ ≥ ∀ > >
2
2
2 2, 1
a
a R
a+ ≥ ∀ ∈ +
Bài 8: [ĐVH].Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng ( )( )( ) 8
729
abc a b b c c+ + + ≤a
Bài 9: [ĐVH].Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 3 3
2
b c +c a +a b ≥
Bài 10: [ĐVH].Cho
a b c
a c b
>
+ =
+ + + ≥
− −
Bài 11: [ĐVH].Chứng minh rằng
2
a b c
b c c a a b
+ + + + ≥ ∀ >
+ + +
Bài 12: [ĐVH].Chứng minh rằng với , ,a b c>0 ta có ( 2 2 2) 1 1 1 3
2
a b b c c a
+ + + + ≥ + +
+ + +
Bài 13: [ĐVH].Cho x≥0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
+ +
=
+
P
x
Trang 2Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Bài 14: [ĐVH].Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 34
3
+ +
=
+
P
x
Trang 3MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2 SỬ DỤNG TRỰC TIẾP BĐT CÔ-SI
Ví dụ 1 Cho x, y, z > 0 và x+ + =y z xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
Ví dụ 2 Cho x, y, z > 0 và x+ + =y z 1
xy z yz x zx y
Ví dụ 3 Cho x, y > 0 và x+ =y 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 1 3 1
x y xy
= + +
Ví dụ 4 Cho x, y > 0 và xyz=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 1 1 3
xy yz xz x y z
= + + +
+ +
Ví dụ 5 Cho x, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1
P
= + + +
+ + +
Hướng dẫn:
x z y z
+ + + + +
Tương tự cho hai biểu thức còn lại, sau đó nhân vào ta được P≥1
Ví dụ 6 Cho x, y, z > 0 và 1 1 1 2
1 x+1 y+1 z = + + +
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xyz
Hướng dẫn:
= − + − = + ≥
+ + + + + + +
xz
+ + + ;
1 2
xy
+ + +
xyz
xyz
+ + + + + +
Ví dụ 7 Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
Trang 4Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Ví dụ 8 Cho các số thực x > 1; y > 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 2 2
( 1)( 1)
x y x y P
x y
=
Hướng dẫn:
Ta có
P
− + −
Lại có
2
4
2
x
xy
y
− = − ≤
→ − − ≤
Từ đó dễ dàng suy ra P≥8
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH].Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
2
+ + ≤ + +
b) a b2 2 b c2 2 c2 a2 1 1 1
+ + ≤ + +
Bài 2: [ĐVH].Cho a, b, c > 0 và 1 1 1 2
1 a+1 b+1 c≥
1 8
abc≤
Bài 3: [ĐVH].Cho a, b, c bất kỳ Chứng minh rằng :
a + + ≥b c ab bc+ +ca
3
ab bc ca+ + ≥ abc a b c+ +
Bài 4: [ĐVH].Cho , , 0
1
a b c
a b c
>
+ + =
− − − ≥
Bài 5: [ĐVH].CMR 21 2 1 2 1 , , , 0
2
a b c
a b c
+ + + + ≤ ∀ >
Bài 6: [ĐVH].Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có
a b abc+b c abc+c a abc≤ abc
+ + + + + +
Bài 7: [ĐVH].Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1
P
+ + + + + +
Bài 8*: [ĐVH].Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1
Tìm GTNN của
P
+ + + + + +
Trang 5Hướng dẫn:
3 3
Tương tự cho các bất đẳng thức khác ta được Pmin = 2 khi a = b = c = 1
Bài 9: [ĐVH].Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 1
Chứng minh rằng
6 x 3 3y 6 6 y 3 z3 6 6 z 3 3x 6 2
P
x x y y y y z z z z x x
Bài 10: [ĐVH].(Khối D – 2006) Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1
Chứng minh rằng
3 3
x y y z z x
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 11: [ĐVH].Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng 23 x2 23 y2 32 z2 12 12 12
x y + y z +z x ≤ x + y +z
Bài 12: [ĐVH].Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng
a bc+b ac+c ab≥
Bài 13: [ĐVH].(Khối B – 2007) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi
= + + + + +
Bài 14: [ĐVH].Cho các số thực x, y Chứng minh rằng
2 2
2
x y
4 4
8
x y
+ ≥
Bài 15: [ĐVH].Cho a, b, c > 0 và thoả mãn
a b c
1 1 1 4+ + =
Chứng minh rằng :
a b c a b c a b c
Bài 16: [ĐVH].Cho x, y, z > 0 và thoả mãn x+2y+4z=12
x y+ y z+ z x≤ + + +
Bài 17: [ĐVH].Cho , ,x y z > 0 và thoả mãn: 2 xy+ xz =1
Tìm GTNN của biểu thức P 3yz 4zx 5xy
= + +
Bài 18: [ĐVH].Chox, y, z > 0 và thỏa mãn x2 +y2 +z2+2xy=3(x+y+z)
2
20 20
+
+ + + + +
=
y z x z y x
Trang 6Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P3
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 3 KĨ THẬT TÁCH, GHÉP
Ví dụ 1 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng
2
2
b c
+ +
≥ +
∑
Ví dụ 2 Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn 3
4
a b c+ + =
3
P=∑ a b+
b) Tìm GTNN của biểu thức
Q
x y
=
+
∑
Ví dụ 3 Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a b c+ + =3
Tìm GTNN của biểu thức
3
( 1)( 1)
a P
b c
=
∑
Ví dụ 4 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng
4 2
a a b c
b a c
+ +
≥ +
∑
Ví dụ 5 Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x+ + =y z 3
Tìm GTNN của biểu thức
1
a P
b
=
+
∑
Ví dụ 6 Cho x, y > 1 và thỏa mãn xy=1
Tìm GTNN của biểu thức
3 3
x y P
y x
Hướng dẫn:
Tách
3
1 1 3
y
+
Ví dụ 7 Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn xy xy+yz yz+zx zx=1
Tìm GTNN của biểu thức
3 3 3 3 3 3
P
x y y z z x
Hướng dẫn:
Đặt x3 =a y; 3 =b z; 3 =c quy về BĐT cơ bản!
Ví dụ 8 Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x+ + =y z 3xyz
P
Hướng dẫn:
Trang 7Đặt 1 a;1 b;1 c ab bc ca 3
x = y = z = ⇒ + + =
Thay vào biểu thức P ta được
3
2
a P
= +
∑
Ta có
+
Ví dụ 9 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
+ + + + + +
Hướng dẫn:
Cách 1:
Từ giả thiết ta có
P
+ + +
Áp dung bất đằng thức Cauchy cho 3 số thực dương, ta có:
3 3
3
+
+ +
Tương tự
3 3
3 3
3
3
+ +
+
+ +
Cộng vế theo vế các bất đẳng thứ trên ta được:
+ + + + + + ≥ + + ⇔ ≥
Đẳng thức chỉ xảy ra khi a= = =b c 1
Cách 2:
P
Bunhiacopxki
a c+ + b a+ + c b+ ≤ a b c+ + a b c+ + + = =
3
2
P
⇒ ≥ Dấu bằng xảy ra ⇔ = = =a b c 1
Ví dụ 10 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3
CMR:
3
Ví dụ 11 Cho các số dương , ,x y z CMR: 4 4 4 ( )
3 3 3
1
2
x y z
x y z
y z+ z x+ x y≥ + +
Ví dụ 12 Cho x, y, z > 0 thoả mãn x+ + =y z 3 CMR:
1 2
9 27
xy yz zx
y +z + x ≥ + + +
Ví dụ 13 Cho a, b, c > 0: a2+ + =b2 c2 1 Tìm GTNN:
P
+ + +
Trang 8Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Ví dụ 14 Cho x, y, z > 0 thoả mãn x+ + =y z 6 Tìm GTNN:
x y z P
y z z x x y
Ví dụ 15 Cho 3 số thực dương a b c, , thỏa mãn abc = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
a b c b c a c a b
Hướng dẫn:
Cách 1: Đặt: a 1;b 1;c 1 xyz 1
Khi đó ta có
P
Hướng 1:
Theo BĐT Cauchy thì:
3
3
Cauchy
Hướng 2:
Theo BĐT Cauchy – Schwarz ta có:
2
2
Cauchy Schwarz x y z
P
− + +
Mặt khác lại có: xy+ yz+zx≤x2+y2+z2
Suy ra
2 2 2
x y z
Hướng 3:
C1 Theo BĐT Cauchy thì:
2
−
3
2
Min
P = ⇔ = = =a b c
Trang 9Cách 2: Ta có:
2 2
Theo BĐT Bunhiacopxki:
2
Bunhiacopxki
2 a b c P
⇔ + + ≤ + +
Mặt khác theo BĐT Cauchy thì:
+ +
3
3
Cauchy
2
Min
P = ⇔ = = =a b c
Trang 10Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P4
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 4 SỬ DỤNG CÔ-SI NGƯỢC DẤU
Ví dụ 1 Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2
P
= + + + + +
Ví dụ 2 Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm GTNN của biểu thức
2 2
2
x P
x y
= +
∑
Ví dụ 3 Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm GTNN của biểu thức 12 12 12
P
+ + +
= + + + + +
Ví dụ 4 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng
2
2 2
1
5
a
a b c
+ +
∑
Ví dụ 5 Cho 3 số thực dương a b c, , thỏa mãna2+b2+c2=3
Tìm GTNN của biểu thức:
P
Hướng dẫn:
Cách 1:
Hướng 1: Ta có: 2 2 ( ) (2 ) (2 )2
8a +26ab+15b = 3a+4b − −a b ≤ 3a+4b
( ) ( )
+
2
8a 26ab 15b a b
+
P
6
Bunhiacopxki
a+ +b c ≤ + + a +b +c = → + + ≤a b c
7
P
⇒ ≥ Dấu bằng xảy ra ⇔ = = =a b c 1
Cách 2:
Trang 11( ) ( )
P
+
( )
3
1 1 1
Cauchy Schwarz
− + +
Bunhiacopxki
a+ +b c ≤ + + a +b +c = → + + ≤a b c
3
7
P
⇒ ≥ Dấu bằng xảy ra ⇔ = = =a b c 1
Cách 3:
= + + ⇒ + + = + + + + + ≤ + +
= + +
7
P
= + + ≥ ≥
+ + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1
Vậy GTNN của P là 3
7 khi a= = =b c 1
Ví dụ 6 Chứng minh với mọi số dương ; ;a b c: 2 2 2 ( )
1 2
a b+b c+c a+ + + ≥ + + + + +
Ví dụ 7 Cho các số thực x y z, , >0,xyz=1
3 CMR:
x y y z z x
x + y +z ≥
Ví dụ 8 Cho các số thực x y z, , >0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
yz P
x yz
= +
∑
Hướng dẫn:
x y z
= − ≤ −
+ +
Tương tự cho các biểu thức còn lại ta thu được Pmin = ⇔ = =1 x y z
Trang 12Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P5
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 5 KĨ THUẬT CÂN BẰNG HỆ SỐ
Ví dụ 1 Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a2+ + =b2 c2 1
Tìm GTNN của biểu thức P=a3+2b3+3c3
Ví dụ 2 Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a b c+ + =3
Tìm GTNN của biểu thức P=a2+ +b2 c3
Ví dụ 3 Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a2+2b2+3c2 =1
Tìm GTNN của biểu thức P=2a3+3b3+4c3
Ví dụ 4 Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a2+ + =b2 c2 1
Tìm GTLN của biểu thức P= +(1 2 )(1 2a + bc)
Ví dụ 5 Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn 2a+4b+3c2 =68
Tìm GTNN của biểu thức P=a2+ +b2 c3
Ví dụ 6 Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn ab bc+ +ca=1
Tìm GTNN của biểu thức P=a2+2b2+3c2
Ví dụ 7 Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a+4b+9c=6
Tìm GTNN của biểu thức P=a3+ +b3 c3
P= ⇔ =a b= c=
Ví dụ 8 Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn 3 4
3
x+ xy+ xyz =
Tìm GTNN của biểu thức P= + +x y z
Hướng dẫn: Ta có
.4
.4 16
+
= ≤
+ +
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH].Cho , , 0
1
a b c
a b c
>
+ + ≤
1
P abc
abc
= +
Bài 2: [ĐVH].Cho 0 1
2
a
< ≤ Tìm GTNN của biểu thức P 2a 12
a
= +
Bài 3: [ĐVH].Cho
3 2
a b c
a b c
>
+ + ≤
Trang 13Bài 4: [ĐVH].Cho , 0
1
a b
a b
>
+ ≤
2
P
= + +
Bài 5: [ĐVH].Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
4
P
x y
Bài 6: [ĐVH].Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 3
4
a b c+ + =
a+ b+ b+ c+ c+ a≤
Bài 7: [ĐVH].Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3
a + + b + + c + ≥
Bài 8: [ĐVH].Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1
a + − +b c b + − +c a c + − ≤a b
Bài 9: [ĐVH].Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3
2a b+ + 2b c+ + 2c a+ ≤3 3
Bài 10: [ĐVH].Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3
2a b a c a+ + + 2b c b a b+ + + 2c a c b c+ + ≤3 6
Bài 11: [ĐVH].Cho a > b ≥ 0 Chứng minh rằng
32
a
a b b
− +
Bài 12: [ĐVH].Cho các số dương x, y thỏa mãn x2 + y2 = 1
Tìm GTNN của các biểu thức sau :
Bài 13: [ĐVH].Xét các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1
= + + + + +
Bài 14: [ĐVH].Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 1
= + + + + +
Bài 15: [ĐVH].Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2x 3y 6 10
x y
= + + +
Bài 16: [ĐVH].Cho x, y, z là ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= 1− +x 1− +y 1−z
Trang 14Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P6
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH].Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1
1 a+1 b+1 c≥ 4
+ + +
Bài 2: [ĐVH].Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1
Tìm giá trị lớn nhất của
P
= + + + + +
Bài 3: [ĐVH].Cho các số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ 1
1 a+1 b+a b≥ 2
− − +
Bài 4: [ĐVH].Cho các số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ 1
Chứng minh rằng
2 2
a b
a+ b+ + +a b ≥
Bài 5: [ĐVH]. (Khối A – 2005) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 1 1 1 4
a+ + =b c
2a b c+2b a c+2c a b≤ + + + + + +
Bài 6: [ĐVH].Cho các số dương a, b, c
+ +
+ + + + + +
Bài 7: [ĐVH].Cho các số dương a, b, c
+ +
+ + + + + +
Bài 8: [ĐVH].Cho các số dương a, b, c
a b+b c+c a≥ a b c+b c a+c a b
+ + + + + + + + +
Hướng dẫn:
Ta có:
a b+b c a≥ a b b c a = a b c
Tương tự cho các BĐT khác rồi cộng lại ta được đpcm
Bài 9: [ĐVH].Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
Trang 15Hướng dẫn:
a) Ta cĩ
+ + + + + + + + + + + + …
Tương tự cho các BĐT khác rồi cộng lại ta được đpcm
b) Ta cĩ
+ + + + + + + …
Tương tự cho các bất đẳng thức khác ta được đpcm
Bài 10: [ĐVH].Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn 3
4
a b c+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
Bài 11: [ĐVH].Cho tam giác ABC cĩ chu vi 2p = a + b + c (với a, b, c là độ dài 3 cạnh)
+ + ≥ + +
− − −
Bài 12: [ĐVH].Cho các số thực a, b, c > 0, và abc = 1
+ + + + + +
P
Bài 13: [ĐVH].Cho các số thực a, b, c > 0 và thỏa mãn15 12 12 12 10 1 1 1 2007
+ + = + + +
Tìm GTLN của biểu thức
+ + + + + +
P
Bài 14: [ĐVH].Cho các số thực a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 1
+ + + + + + + +
Bài 15: [ĐVH].Cho a,b,c>0và a + b + c = 3
= + + + + +
P
Trang 16Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
SỬ DỤNG BĐT PHỤ ĐỂ CHỨNG MINH BĐT
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH].Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a2+b2 + b2+ +c2 c2+a2 = 2013 Chứng minh rằng
1 2013
a b c
b c+a c+a b ≥
Bài 2: [ĐVH].Chứng minh rằng x2−2x+ +5 x2−12x+1362 ≥13,∀ ∈x R
Bài 3: [ĐVH].Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z ≤ 1
Chứng minh rằng x2 12 y2 12 z2 12 82
+ + + + + ≥
Bài 4: [ĐVH].Với a, b, c là ba số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = abc
Chứng minh rằng
3
b a c b a c
ab bc ca
Bài 5: [ĐVH].Cho các số thực x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1
P= x + −yz + y + −zx + z + −xy
Bài 6: [ĐVH].Cho các số thực x, y thay đổi
P= x− +y + x+ +y + −y
Bài 7: [ĐVH].Cho các số thực x, y thay đổi
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x2 +y2 −4y+ +4 x2+y2+4y+ + −4 x 4
Bài 8: [ĐVH].Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn 3
2
x+ + ≤y z
2
+ + + + + ≥
Bài 9: [ĐVH].Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn 4
3
xy+yz+zx≥
Chứng minh rằng
5
Bài 10: [ĐVH].Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + 3b + 5c≤ 3
Chứng minh rằng 3ab 625c4+ +4 15bc a4+ +4 5ca 81b4+ ≥4 45 5abc
Bài 11: [ĐVH].Cho các số thực x, y thay đổi Tìm GTNN của biểu thức
P= x + y − x+ y+ + x + y + x− y+ + x + y + x+ y+
Trang 17PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH] (Khối B – 2008)
Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
2( 6 )
1 2 2
x xy P
xy y
+
=
Bài 2: [ĐVH] Cho x,y ∈ R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của ( 3 3) ( 2 2)
( 1)( 1)
x y x y P
x y
=
Bài 3: [ĐVH] Cho x, y là các số thực thỏa điều kiện ( 2 2)
2 x +y =xy+1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x y P
xy
+
= +
Bài 4: [ĐVH] Cho x, y thoả mãn là các số thực thỏa mãn 2 2
1
x − +xy y = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
4 4
2 2
1 1
x y P
x y
=
Bài 5: [ĐVH] Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xy yz zx 5
x y z
= + + +
+ +
Bài 6: [ĐVH] Cho các số x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = 2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3
3
P= +x y + −z xyz
Bài 7: [ĐVH] Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( 4 4 2 2) ( 2 2)
P= x +y +x y − x +y +
Bài 8: [ĐVH] Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y z 2 1 1 1
x y z
= + + + + +
Bài 9: [ĐVH] Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ 1
x y z
+ + + + + ≥
Bài 10: [ĐVH] Cho các số x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1
2 3
+ + − + + ≥x y z
x y z