Các phương pháp giải toán số học

Đến năm nào thì tuổi bố bằng tổng số tuổi của hai chị em.. Gọi x là số năm tăng thêm khi mà tuổi bố bằng tổng số tuổi của hai chị em.. Mỗi nămmỗi người đều tăng thêm 1 tuổi do đó TS tuổi

Soạn: Hè 2009

Chuyên đề

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN SỐ HỌC

I/ PHƯƠNG PHÁP DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG

*/ Sơ đồ đoạn thẳng là hình ảnh trực quan biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng

đã cho và các đại lượng phải tìm Việc lựa chọn độ dài của các đoạn thẳng để biểu diễn các đại lượng và sắp thứ tự của các đoạn thẳng trong sơ đồ hợp lý sẽ giúp chúng ta tìm được lời giải một cách tường minh.

Số bị chia + số chia + số dư = 150

Nhìn vào sơ đồ, dễ thấy: 6 lần số chia bằng: 150-12-12 = 126

Tính tuổi của mỗi người hiện nay?

GIẢI: Ta tóm tắt lại bài toán như sau:

-Tuổi anh hiện nay = 3 lần tuổi em trước kia

- Tuổi anh trước kia = Tuổi em hiện nay

- Tuổi em sau này = Tuổi anh hiện nay

- Tuổi anh sau này + Tuổi em sau này = 28 +/ Vẽ sơ đồ biểu thị tuổi em trước kia bằng đoạn thẳng AB

Tuổi anh hiện nay bằng đoạn thẳng AC ( gấp 3 AB)Tuổi em trước kia: A B

Tuổi em hiện nay: A B D (Tuổi anh trước kia)

Tuổi em sau này : A B D C (Tuổi anh hiện nay)

Tuổi anh sau này : A B D C E

Hiệu số giữa tuổi anh và tuổi em không đổi theo thời gian nên nếu ta biểu thị tuổi anhtrước kia ( tức tuổi em hiện nay) là AD, tuổi anh sau này là AE thì ta có :

BD = DC = CEMặt khác, vì AC = 3 AB nên BC = 2 AB hay AB = BD = DC = CE

Lại có Tuổi anh sau này + Tuổi em sau này = 28

Nhìn vào sơ đồ ta có Tuổi em hiện nay là : [28 : ( 3+4) ] 2 = 8 ( tuổi)

Tuổi anh hiện nay là: [28 : ( 3+4) ] 3 = 12 ( tuổi)

Bài tập áp dụng Bài 1 :

Mẹ 30 tuổi, con 3 tuổi Hỏi bao nhiêu năm nữa thì tuổi mẹ gấp bốn làn tuổi con?

HD giải:

+/ Vẽ sơ đồ biểu diễn năm tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con

Tuổi con: . _

Tuổi mẹ : . _. _. _. _

+/ Hiệu số tuổi mẹ và tuổi con không đổi theo thời gian…

Nhìn vào sơ đồ => Tuổi mẹ [( 30-3 ) : 3] 4 = 36

Như vậy sau 36 - 30 = 6 năm nữa tuổi mẹ sẽ gấp 4 lần tuổi con

Bài 2 : Năm 2008 bố 40 tuổi, An 11 tuổi, em Bình 5 tuổi Đến năm nào thì tuổi bố

bằng tổng số tuổi của hai chị em

Gọi x là số năm tăng thêm khi mà tuổi bố bằng tổng số tuổi của hai chị em Mỗi nămmỗi người đều tăng thêm 1 tuổi do đó TS tuổi tăng của hai chi em gấp đôi số tuổităng của bố

Nhìn vào sơ đồ ta thấy x = 40 – 16 = 24

Vậy sau 24 năm nữa tuổi bố sẽ bằng TS tuổi của hai chị em Khi đó là năm 2032

B

à i 3 : Tìm số tự nhiên có tận cùng bằng 7, biết rằng sau khi xóa chữ số 7 đó thì số

ấy giảm đi 484 đơn vị

HD giải:

Ta nhận thấy rằng nếu xóa đi cs 7 ở tận cùng của một số nghĩa là trừ số đó đi 7 đơn

vị rồi chia cho 10

+/ Vẽ sơ đồ biểu diễn mối quan hệ giữa số mới ( đã bị xóa đi cs 7) và số đãcho: Số mới:

Số đã cho: . . . . . . . . . ._7_ Nhìn vào sơ đồ dễ thấy số phải tìm là:

[(484 – 7) : 9 ] 10 + 7 = 537

Bài 4 : Hai ngăn sách lúc đầu có tổng cộng118 cuốn Sau khi lấy đi 8 cuốn ở ngăn

I, thêm 10 cuốn vào ngăn II, thì số sách ở ngăn II gấp đôi số sách ở ngăn I Tính sốsách ở mỗi ngăn lúc đầu?

HD giải

+/ Vẽ sơ đồ biểu diễn sô sách ở hai ngăn lúc sau

( số sách ở ngăn II gấp đôi ngăn I)

Ngăn I _

Ngăn II . _. _

Theo bài ra só sách ở hai ngăn lúc đầu la 118 cuốn

só sách ở hai ngăn lúc sau là 118 – 8 + 10 = 120

Nhìn vào sơ đồ thấy ngay số sách ở ngăn I lúc sau là (120: 3).1 = 40 ( cuốn)

Số sách ở ngăn II lúc sau là ( 12 : 3) 2 = 80 (cuốn)

Số sách ở ngăn I lúc đầu là: 40+8 = 48 ( cuốn)

Số sách ở ngăn II lúc đầu là: 80 – 10 = 70 ( cuốn)

Bài 5:

Hiện nay anh 15 tuổi Năm mà tuổi anh bằng tuổi em hiện nay thì lúc đó tuổi

em chỉ bằng 1/3 tuổi anh Hỏi hiện nay em bao nhiêu tuổi?

Bài 6: Cách đây 7 năm tuổi ông gấp 4 lần tuổi cháu Hiện nay, nếu tuổi của ông bớt

đi 7 thì sẽ gấp ba tuổi cháu Tính tuổi ông và tuổi cháu hiện nay?

HD giải:

+/ Vẽ sơ đồ biểu diễn mối quan hệ giữa tuổi ông và tuổi cháu

Cách đây 7 năm Tuổi cháu _

Tuổi ông . _. _. _. _

Hiện nay Tuổi cháu _._7_

Tuổi ông . . . 7_

Nhìn vào sơ đồ ta thấy:

4 lần tuổi cháu lúc trước = 3 lần tuổi cháu hiện nay

4 lần tuổi cháu lúc trước = 3 ( tuổi cháu lúc trước cộng 7)

=> 4 lần tuổi cháu lúc trước = 3 lần tuổi cháu lúc trước + 21

=> Tuổi cháu lúc trước là 21

Tuổi cháu hiện nay là 21 + 7 = 28 Tuổi ông hiện nay là 28 3 + 7 = 91

Bài 7 : Khi con học hết bậc tiểu học thì tuổi mẹ bằng 1/5 tổng số tuổi của những

người còn lại trong gia đình Đến khi con vào đại học thì tuổi mẹ vẫn bằng 1/5 tổng sốtuổi của những người ấy Hỏi gia đình đó có mấy người?

HD giải:

Khi con học hết bậc TH thì tuổi mẹ bằng 1/5 TS tuổi của những người còn lại

khi con vào ĐH thì tuổi mẹ vẫn bằng 1/5 tổng số tuổi của những người ấy

Mỗi năm, mỗi người tăng 1 tuổi => Số tuổi tăng thêm của mẹ bằng 1/5 số tuổi tăngthêm của những người còn lại

Vậy số người còn lại trong gia đình là 5 người, kể cả mẹ, gia đình đó có 6 người.BTVN

Bài 8: Cho phân số

Hãy tìm phân số khi chưa rút gọn ? (ĐS: 2505/ 6012)

Bài 10: Lớp 7A của trường THCS chất lượng cao chỉ có hai loại HS giỏi và HS khá.

Cuối HKI số HS giỏi bằng

*/ Khi giải các bài toán về số tự nhiên,ta xét mọi trường hợp có thể xảy ra đối với một đối tượng, sau đó lựa chọn trường hợp nào thỏa mãn các điều kiện của bài toán.

*/ Ví dụ 1:

Tìm số tự nhiên có ba cs biết rằng bình phương cs hàng chục bằng tích hai cs kia vànếu đỏi chỗ hai cs hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số ấy giảm đi 594 đơn vị.GIẢI:

Gọi số phải tìm là abc Theo bài ra ta có:

b 2 = a.c và abc - cba = 594Xét phép trừ abc dễ thấy a > c nên phép trừ c – a ở cột đơn vị có nhớ

cba ta có : 10 + c – a = 4

594 => a – c = 6

Các số thỏa mãn ĐK này là : 6b0 ; 7b1 ; 8b2 ; 9b3Mặt khác từ b 2 = a.c => b 2 = 6.0 = 0 = 02

b 2 = 7.1 = 7 ( Loại)

b 2 = 8.2 = 16 = 42

b 2 = 9.3 = 27 ( loại)Vậy có hai số thỏa mãn ĐK bài ra là số 600 và 842

Tìm số tự nhiên có ba cs, biết rằng cs hàng chục bằng trung bình cộng của hai

cs kia và số đó chia hết cho 45

Ta được số 630

+/ Với c = 5 ta có a + 5 = 2b => a  { 1; 3; 5; 7; 9 }

=> b  { 3; 4; 5; 6; 7 }

Ta được các số 135 ; 345 ; 555; 765; 975

( 9) (9)Vậy các số thỏa mãn ĐK bài ra là : 630; 135; 765

Bài 3:

Tìm số tự nhiên có ba cs, biết rằng cs hàng trăm gấp ba cs hàng đơn vị và số

đó giảm đi 396 nếu viết theo thứ tự ngược lại

HD giải:

Gọi năm sinh của hai nhà toán học đó là abba Theo bài ra ta có

a + b + b + a = 10 => a + b = 5

Dễ thấy 1  a < 2 => a = 1 Từ đó b = 4

Vậy năm sinh của hai nhà toán học đó là năm 1441

( Hai nhà Toán học có cùng năm sinh đó là Lương Thế Vinh và Vũ Hữu )

Bài 5:

Tìm số có 4 cs, biết rằng số đó chia hết cho 2 và 3, đồng thời các cs hàng nghìn,hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị của số đó theo thứ tự là 4 số tự nhiên liên tiếpxếp theo thứ tự tăng dần

HD giải:

Gọi số đã cho là A = abcd với 0< a; b; c; d  9

Theo bài ra ta có : b = a+1; c = b+1; d = c+1 (1)

A 2 => d { 2; 4; 6; 8 } (2)Kết hợp cả (1) và(2) => d { 4; 6; 8 }

HD giải:

Ta nhận xét rằng tuổi của mỗi người là một số tự nhiên Năm nay tuổi bà gấp 3,2 lầntuổi cháu, để tuổi bà là một số tự nhiên thì tuổi cháu phải có cs tận cùng là 0 hoặc 5 mười năm về trước tuổi bà gấp 5,4 lần tuổi cháu => hiện nay tuổi cháu phải > 10

Bà thường ước bà sống được trăm tuổi => tuổi bà < 100

=> tuổi cháu < 35 ( vì 35 3,2 > 100)

Do đó tuổi cháu  { 15; 20; 25; 30 }

Tương ứng tuổi bà  { 48; 64; 80; 96 }

Trong các cặp số này chỉ có cặp ( 20; 64 ) thỏa mãn ĐK mười năm trước tuổi bà gấp5,4 lần tuổi cháu

Vậy hiện nay bà 64 tuổi, cháu 20 tuổi

Bài 7:

Hưởng ứng phong trào thi đua chào mừng năm học mới, trong ba tuần đầu tháng 9,các bạn HS lớp 7A đã đạt được 28 điểm 10 Biết rằng số điểm 10 của tuần sau caohơn tuần trước và số điểm 10 của tuần thứ ba gấp ba lần số điểm 10 của tuần đầu.Hỏi mỗi tuần lớp 7A đạt được bao nhiêu điểm 10 ?

HD giải:

Gọi số điểm 10 của các tuần lần lượt là a; b; c a0; b 0; c 0

Theo bài ra ta có a < b < c ; c = 3a và a + b + c = 28

Vì c = 3a => 4a + b = 28 => b4

+/ Nếu b = 4 => a =6 => a> b mâu thuẫn với đề bài => b>4

+ Nếu b = 12 => a = 4 => c = 12 => b = c mâu thuẫn với đề bài => b< 12

Vậy b = 8 Từ đó => a = 5; c = 15

Bài 8:

Bé Bi hỏi ông “ Ông ơi, ông năm nay bao nhiêu tuổi ạ” Ông trả lời: “ Tuổi ông nămnay là một số chẵn có hai cs, nếu viết các cs của tuổi ông theo thứ tự ngược lại thìđược tuổi của bố cháu, nếu cộng các cs của tuổi bố cháu thì được tuổi của cháu,cộng cả tuổi ông, tuổi bố cháu và tuổi cháu thì được 144” Hỏi ông bé Bi năm nay baonhiêu tuổi ?

b/ Tìm ba cs khác nhau và khác 0, biết rằng tổng các số tự nhiên có ba cs gồm cả ba

cs ấy bằng 2886 còn hiệu giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất bằng 495

c/ Có ba tờ bìa ghi các số 23; 79; và ab Xếp ba tờ bìa thành một hàng thì đượcmột số có 6 cs, cộng tất cả các số có 6 cs đó lại ( bằng cách đổi chỗ các tờ bìa) thìđược 2 989 896 Tìm số ab ?

HD giải:

a/ Gọi ba số phải tìm là a,b,c Theo bài ra ta có a b c0

và abc + bca+ cab + acb + bac + cba = 1554

abc + bca+ cab + acb + bac + cba = 2886

+/ Nếu a = 7; c = 2 => b = 4 Được số 742 thỏa mãn 742 – 247 = 495

III/ PHƯƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM

*/ Phương pháp giả thiêt tạm là một trong những phương pháp giải toán độc đáo, thường được áp dụng cho những bài toán trong đó đề cập đến hai đối tượng ( người, vật, sự việc…) có những t/c được biểu thị bằng 2 số lượng chênh lệch nhau

Để giải các bài toán, ta đưa ra các giả thiết mới nhằm chuyển bài toán về các bài toán quen thuộc đã biết cách giải hoặc dựa trên giả thiết tạm thời đó để suy luận tìm

ra lời giải.

Các cách giả thiết tạm cũng rất đa dạng:

+ Coi như tất cả các đố tượng đều thuộc cùng một loại

+ Thay một đối tượng này bằng một đối tượng khác có một số thuộc tính giữ nguyên và một số thuộc tính thay đổi

+ Hình dung ra một đối tượng mới có những thuộc tính nhất định…

Vấn đề là phải biết chọn cách giả thiết tạm một cách hợp lý

+/ Lời giải: Giả sử cả 36 con đều là gà

Khi đó tổng số chân là : 36 2 = 72 ( chân)

So với bài ra bị hụt đi 100- 72 = 28 ( chân)

Sở dĩ bị hụt đi như vậy vì trong số các con vật còn có chó Nếu thay mỗi con

gà bởi một con chó thì mỗi lần thay thêm được :

4 – 2 = 2 ( chân)

Vậy số chó là : 28 : 2 = 14 ( con)

Số gà là 36 – 14 =22 ( con)

VD2 : Bạn Nam đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 10 km/h, rồi đi tiếp từ B đến C

với vận tốc 15 km/h Biết rằng quãng đường BC ngắn hơn quãng đương AB là 1 km

và thời gian đi quãng đường BC ít hơn thời gian đi quãng đường AB là 16 phút Tính quãng đường AB ?

4 – 1 = 3 (km) Vận tốc đi trên quãng đường BD lớn hơn vận tốc đi trên quãng đường AB là

15 – 10 = 5 ( km/h) Thời gian Nam đi trên quãng đường AB là : 3 : 5 =

5

3

( h) Quãng đường AB dài : 10 :

5

3

= 6 (km)

*/ Bài tập áp dụng:

Bài 1: Một số học sinh xếp hàng 12 thì thừa 5 học sinh, còn xếp hàng 15 cũng thừa

5 học sinh và ít hơn trước là 4 hàng Tính số học sinh

HD giải:

Giả thiết tạm rằng số HS đó khi xếp hang 15 thì cũng được số hàng như khi xếp hàng 12, nghĩa là ta phải có thêm 4 hàng nữa Khi đó có thêm:

15 4 = 60 (HS)Trong hai trường hợp số HS ở mỗi hàng chênh lệch nhau :

15 – 12 = 3 (HS)

Số hàng khi xếp hàng 12 là : 60 : 3 = 20 ( hàng)

Số HS là: 20 12 + 5 = 245 ( HS)

Bài 2: An vào cửa hàng mua 12 quyển vở và 4 bút chì hết 36000 đồng Bích mua 8

quyển vở và 5 bút chì cùng loại hết 27500 đồng Tính giá một quyển vở và một bút chì

Vậy giá tiền một bút chì là 10 500 : 7 = 1 500 đ,

Giá tiền một quyển vở là ( 36 000 – 4 1 500) : 12 = 2 500 đ,

Bài 3: Người ta bơm nước vào một bể: dùng máy I trong 30 phút, dùng máy II trong

20 phút Tính xem trong mỗi phút mỗi máy bơm được bao nhiêu lít nước, biết rằng mỗi phút máy II bơm được nhiều hơn máy I là 50 lít và tổng cộng hai máy bơm được

21000 lít nước

HD giải:

Mỗi phút máy II bơm được nhiều hơn máy I là 50 lít, do đó trong 20 phút , máy

II bơm được nhiều hơn máy I là 50 20 = 1000 (l)

Giả sử trong mõi phút , máy II và máy I cùng bơm được số lít nước như nhau Khi đótrong thời gian 50 phút cả hai máy bơm được:

21 000 – 1000 = 20 000 (l) Vậy trong mỗi phút máy I bơm được 20 000: 50 = 400 (l)

mỗi phút máy II bơm được 400 + 50 = 450 (l)

Bài 4: Một tổ may phải may 1800 chiếc cả quần và áo trong 13 giờ Trong 8 giờ đầu

tổ may áo và trong thời gian còn lại tổ may quần Biết rằng trong 1 giờ, tổ may được

số áo nhiều hơn số quần là 30 chiếc Tính số áo và số quần tổ đã may

Bài 5: Năm trước, hai nông trường có 500 con bò Năm sau, số bò của nông trường

I tăng 25%, số bò của nông trường II tăng 12,5%, do đó số bò của cả hai nông

trường tăng 20% Tính số bò năm trước của mỗi nông trường

HD giải:

Giả sử số bò của nông trường II năm sau cũng tăng 25% Khi đó TS bò của hai nông trường tăng thêm so với mức tăng thực tế là:

Giả sử cả 17 quả đều là Quýt

Khi đó số miếng quýt là : 17 3 = 51 (miếng)

So với bài ra bị hụt đi : 100 – 51 = 49 (miếng) là do còn có cam

Nếu thay mỗi quả quýt bằng một quả cam thì mỗi lần thay sẽ thêm vào được

10 – 3 = 7 ( miếng) Vậy số quả cam là : 49 : 7 = 7 (quả)

Số quýt là 17 – 7 = 10 (quả)

Bài 7: Khối 6 của một trường có 366 học sinh, gồm 8 lớp Mỗi lớp gồm một số tổ,

mỗi tổ 9 người hoặc 10 người Biết rằng số tổ của các lớp đều bằng nhau, tính số tổ

có 9 người, số tổ có 10 người của cả khối

HD giải:

Mỗi lớp gồm một số tổ mỗi tổ 9 người hoặc 10 người, Trước hết ta nhận thấy

366 : 10 = 36 còn dư

366 : 9 = 40 còn dư

Do đó số tổ của các lớp nằm trong khoảng từ 37 đến 40

Mặt khác số tổ chia hết cho 8 => Số tổ của khối lớp 6 đó là 40 tổ

Giả sử cả 40 tổ đều là tổ 10 người Khi đó số HS của khối là:

40 10 = 400 (HS)

So với bài ra thừa ra 400 – 366 = 34 (HS) là do còn có tổ 9 người

Nếu thay mỗi tổ 10 người bằng một tổ 9 người thì mỗi lần thay bớt được : 10 – 9 =1 Vậy số tổ có 9 người là 34 : 1 = 34 ( tổ)

Số tổ có 10 người là 40 – 34 = 6 (tổ)

Bài 8: Một đội bóng thi đấu 25 trận, chỉ có thắng và hòa, mỗi trận thắng được 3

điểm, mỗi trận hòa được 1 điểm, kết quả đội đó được 59 điểm Tính số trận thắng, sốtrận hòa của độ bóng

HD giải

Giả sử cả 25 trận đều thắng Khi dó số diểm đội đó có được là :

25 3 = 75 (điểm)

So với bài ra thừa ra 75 – 59 = 16 ( điểm) –> là do còn có trận hòa

Chênh lệch điểm số của trận thắng và trận hòa là : 3-1 = 2

Như vậy nếu thay mỗi trận thắng bằng một trận hòa thì mỗi lần thay giảm được 2 điểm => Số trận hòa là 16 : 2 = 8 ( trận)

Số trận thắng là 25 – 8 = 17 ( trận)

Bài 9: một câu lạc bộ có 22 chiếc ghế gồm 3 loại: ghế ba chân, ghế bốn chân, ghế

sáu chân Tính số ghế mỗi loại, biết rằng tổng số chân ghế bằng 100 và số ghế sáu chân gấp đôi số ghế ba chân

hệ giữa ghế 3 chân và ghế 6 chân được đảm bảo

Mỗi lần thay, số chân ghế tăng thêm

Bài 10: Có 25 gói đường gồm ba loại: gói 5 lạng, gói 2 lạng, gói 1 lạng, có khối

lượng tổng cộng là 56 lạng Biết số gói 1 lạng gấp đôi số gói 5 lạng Tính số gói mỗi loại

HD giải Giả sử cả 25 gói đường đều là gói 2 lạng Khi đó khối lượng tổng cộng

là 25 2 = 50 (lạng)

So với bài ra hụt đi 56 – 50 = 6 ( lạng) là do còn có gói 5 lạng và gói 1 lạng

Để không bi hụt đi ta thay các gói 2 lạng bằng các gói 5 lạng và 1 lạng theo quy luật

1 gói 5 lạng, 2 gói 1 lạng cho 3 gói 2 lạng khi đó số gói không thay đổi, quan hệ giữagói 5 lạng và gói 1 lạng được đảm bảo Mỗi lần thay tăng thêm được:

1.5 + 2.1 – 3.2 = 1 (lạng)

Số lần thay 6: 1 = 6 (lần)

Vậy số gói đường 5 lạng là 6.1 = 6 ( gói)

Số gói đường 1 lạng là 6 2 = 12 ( gói)

Số gói đường 2 lạng là : 25 – ( 6+ 12) = 7 ( gói)

Bài 11: Một hộp có thể chứa được vừa vặn 25 gói bánh hoặc 30 gói kẹo Người ta

xếp 28 gói cả bánh và kẹo thì vừa đầy hộp đó Biết rằng giá tiền bánh và kẹo đều bằng nhau và bằng 36000 đồng Tính giá một gói bánh, một gói kẹo

HD giải :

Một hộp có thể chứa được vừa vặn 25 gói bánh hoặc 30 gói kẹo

=> Thể tích của 25 gói bánh = thể tích của 30 gói kẹo

 Thể tích của 5 gói bánh = thể tích của 6 gói kẹo

Giả sử trong hộp đựng cả 30 gói kẹo So với bài ra thì thừa : 30 – 28 = 2 ( gói)

Để không bị thừa ra ta thay các gói kẹo bằng các gói bánh theo quy luật thay 6 gói kẹo bằng 5 gói bánh Mỗi lần thay như thế tổng thể tích các gói không thay đổi, số góibớt đi 6-5 = 1 ( gói)

Số lần thay: 2 : 1 =2 ( lần)

Vậy số gói bánh trong hộp là : 2.5 = 10 (gói)

Số gói kẹo trong hộp là: 28 – 10 = 18 ( gói)

Giá tiền một gói bánh là: 36 000 : 10 = 3 600 đ,

Giá tiền một gói kẹo là : 36 000 : 18 = 2 000 đ,

IV/ TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI

Có một câu châm ngôn rất hay:

“ Người khôn bắt đầu từ chỗ kết thúc còn kẻ ngu thì kết thúc ở chỗ bắt đầu”

Ví dụ 1: Một người ra chợ bán cam Lần thứ nhất bán 1/2 số cam cộng thêm 1/2

quả Lần thứ hai bán 1/2 số còn lại cộng thêm 1/2 quả Lần thứ ba bán 1/2 số còn lại cộng thêm 1/2 quả Lần thứ tư bán 1/2 số còn lại cộng thêm 1/2 quả thì vừa hết Tính số cam của người đó đem bán

Giải:

Ta tính ngược từ cuối lên

Lần thứ tư bán ½ số cam còn lại và ½ quả thì vừa hết nên theo quy luật của bài toán

½ quả chính là ½ số cam còn lại => số cam còn lại sau lần bán thứ ba là

½ : ½ = 1 ( quả)Lần thứ ba bán 1/2 số còn lại cộng thêm 1/2 quả thì còn 1 quả nên 1+1/2 = 1

2

1

quả chính là ½ số còn lại sau lần bán thứ hai => số cam còn lại sau lần bán thứ hai là:

2

1

= 3

2 1

quả chính là ½ số cam còn lại sau lần bán thứ nhất => số cam còn lại sau lần bán thứ nhất là 3

2 1

= 7

2

1

quả chính là ½ số cam mang đi bán

Vậy người đó mang ra chợ TS cam là 7

Ví dụ 2 : Một công trường giao công việc sửa một đoạn đường cho đội lao động

như sau: đội 1 nhận 150 m và 1/9 phần còn lại, đội 2 nhận 200 m và 1/9 phần còn lại,đội 3 nhận 250 m và 1/9 phần còn lại.Cứ chia như vậy cho đến đội cuối cùng thì vừa hết và phần đất mỗi đội bằng nhau Tính số đội tham gia sửa chưa đường và chiều dài toàn bộ quãng đường cần sửa

Vì các đội nhận số mét đường bằng nhau nên 400 m cũng là phần đất các đội nhận.1/9 phần còn lại sau khi đội 1 nhận 150 m là : 400 - 150 = 250 (m)

Vậy đoạn đương cần sửa chữa dài: 250 9 + 150 = 2400 (m)

Số đội tham gia sửa chữa là: 2400 : 400 = 6 ( đội)

Bài tập áp dụng Bài 1 :

Một số học sinh chơi một trò chơi, chia làm hai nhóm A và B Lần thứ nhất, nhóm A chuyển sang nhóm B một số người gấp đôi số người của nhóm B Lần thứ hai, nhóm