Tổng hợp các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Sau đây ta chỉ xétcác bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.. Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đ

BẤT ĐẲNG THỨC

Trong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng.

 Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ hơn b và Ký hiệu có nghĩa là a lớn hơn b.

Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có

 có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b và có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b.

Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một đại lượngkhác

 Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều.

Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến Sau đây ta chỉ xétcác bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó

Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳngthức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng vớimột số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nóđược goị là một bất đẳng thức có điều kiện Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nóđược thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một

số dương Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm

Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là:

1 Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức.

2 Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng Đó là bài toán giải bất phương trình.

+ m > n > 0 và A > 1  Am > An

+ m > n > 0 và 0 <A < 1  Am < An

+A < B và A.B > 0 

B A

11



3/Một số hằng bất đẳng thức

+ A2  0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ An  0 vớiA ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ A 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ - A < A = A

+ AB  A  B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)

+ AB  A  B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

.

2

1 (xy)2 (xz)2 (yz)20đúng với mọi x;y;zR

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

Vậy x2 + y2 + z2  xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

b)Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz

= ( x – y + z)2 0 đúng với mọi x;y;zR

Vậy x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

2 2

c) Hãy tổng quát bài toánGiải:

a) Ta xét hiệu

2 2

2 2

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c

c)Tổng quát

2 2

1 2 2

2 2

a n

a a

44

4

2 2

2 2

2 2

22

2 2

2 2

02

02

02

m q m p m n m

m

m q

m p

m n

2

q p n m

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : a4 b4 c4 abc(abc)

)2(

)2(

02

22

22

2

02

22

222

0

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 4 4 4

2 2

2 4 4 4

bc bc

ab a

c c

b b

a

ab a a c b a

ab c a c c b ac b c b b a a

c c

b b

a

ab c ac b bc a

c a a

c c b c

b b a b

a

ab c ac b bc a c b a

ab c ac b bc a c b a

Suy ra hoặc cả ba số a, b, c đều lớn hơn 1 , hoặc trong ba số a, b, c có đúng một số lớn hơn 1

Nếu a>1, b>1, c>1 abc>1, mâu thuẫn với giả thiết Vậy trong ba số a, b, c có đúng một số lớn hơn 1

2- Phương pháp 2 :Dùng phép biến đổi tương đương

, bất đẳng thức này đúng do giả thiết ;Đẳng thức xảy ra

Ví dụ 2: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng

a) a b ab

4

2 2

(dấu bằng xảy ra khi 2a=b)b) a2 b2 1abab2(a2 b2 1 2(abab)

0121

Giải:

 10 10 2 2  8 8 4 4

b a b a b a b

a       12 10 2 2 10 12 12 8 4 4 8 12

b b a b a a b b a b a

 a8b2a2 b2a2b8b2 a20 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0

a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 4: cho x.y =1 và xy Chứng minh

y x

y x



 2 2

2 2

Giải:

y x

y x



 2 2

 2 2 vì :xy nên x- y  0 x2+y2 2 2( x-y)

 x2+y2- 2 2 x+2 2y 0 x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 0

 x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

(x-y- 2)2  0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 5: Chứng minh rằng:

a/ P(x,y)=9x2y2  y2 6xy2y10 x,yR

b/ a2 b2 c2  a  b  c

(gợi ý :bình phương 2 vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:

z y x

111

1

Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1

Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1

=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(

z y x

111



 )=x+y+z - (1 1 1)  0

z y

x (vìx y z

111



 < x+y+z theo gt)

2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương

Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ratrường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

c c b

b b a a

Giải:

c b a

a b

a

a c

b a b a c b a b

b c

b b a

a

c b a

c a b a

a b a a

b a c b

b b a

c c b

b b a

a

(đpcm)

d)  2

a

b b

4- Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô si

Kiến thức:

a/ Với hai số không âm : a,b0, ta có: ab2 ab Dấu “=” xảy ra khi a=b

b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm :

Dấu “=” xảy ra khi a1 a2  a n

Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm.

Trường hợp 1: Các biến không bị ràng buộc

1Cho a>b>0 Chứng minh: a+ 2 2

d d c (3)2

a a d (4)Cộng cỏc vế tương ứng của (1), (2), (3) và (4) ta cú đpcm

(n-1) số

(a+b)(n-1)

p dụng BĐT Cauchy cho n số dương gồm một số bằng

c(a+b)(n-1) (a+b)(n-1) (a b c)(n 1) (a b)(n 1)

414

x x

a

x x

Khi đó phương trình có dạng :

2

311

1

3

113

Vậy phương trình tương đương với :

01

4211

z y

y x

x

Giải : P = 3- (

1

11

11

11

Vậy max P =

4

3 khi x = y = z =

3

1

Ví dụ 2: Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng:

abc

c b a ab c ac b bc

11

1

2 2

a bc a

bc a bc

2

112

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

a c

b a

c b

a

(*)

Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :

)1())(

)(

(

33

c b a b a c a c b

abc c

b a

c b

a c

b a

c b

2

1))(

(bca cab  bcacab c

Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được

)3(1))(

)(

(

))(

abc

abc c

b a b a c a c b

Từ (1),(3) suy ra (*) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều

c b a

,,0

z b

y a

x cz

y a

x ac zc yb xa

z c a y c a x c a c

z ac zc b

y ac yb a

x ac xa

y c a b

y ac yb c a b

ac b

()(

2

2 2

2 2

đpcm z

y x ac

c a c

z b

y a

x ac zc yb

xa

z y x c a c

z b

y a

x ac zc yb

xa

z y x c a c

z b

y a

x ac zc yb

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0.

Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì

18xyzxy+yz+zx>

2+xyz (ĐH Tõy Nguyờn KA, B-2000)

Lời giải.

p dụng BĐT Cauchy, ta có:

2 2 2 3

xy+yz+zx 3 x y z (2)Nhõn cỏc vế tương ứng của (1) và (2), ta được:2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3)

Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu

Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT.Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật Cô-Singược dấu

Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:

Bài giải: Ta luôn có :

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:

(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức

Ví dụ 2) Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phươngpháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được , sau đây là một số bài tập ứng dụng:

Bài 1) Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:

Bài 2) Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:

Bài 3) Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng:

Trong khi học về mảng kiến thức bất đẳng thức thì bất đẳng thức Cô-Si là một trong những

bất đẳng thức cơ bản nhất Tuy nhiên trong khi giải bài tập để dùng được bất đẳng thức này một cách linh hoạt hơn thì ta phải dùng đến một phương pháp gọi là phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô-Si.

Khi áp dụng bđt côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để tại đó dấu = xảy

ra là điều quan trọng và khó khăn nhất Đôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giới hạn bởi một điềukiện nào đó thì khi áp dụng trực tiếp sẽ dẫn đến nhiều sai lầm Vì thế trong chuyên mục nhỏ này tôimuốn trình bày những phương pháp cụ thể để bạn có thể tìm được tham số phù hợp

Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1 Tìm các giá trị nhỏ nhất:

Như vậy ta áp dụng như sau:

cộng dồn lại rồi suy ra

b Như bài trên mình đã nói lên một ý tưởng là thêm vào các tham số phụ như chẳng hạn Và phươngpháp thêm này nói chung rất hiệu quả và triệt để cho các bài toán dạng này

Ta thấy vai trò của x,y là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra x=y Ta cần chọn các tham

số phụ sao:

(dấu = xảy ra khi )(dấu = xảy ra khi )(dấu = xảy ra khi )

Và mục đích của các tham số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z Nên ta có

Đồng thời với các điều kiện dấu bằng và (*) các bạn sẽ tìm được các biệt số phụ như ý muốn

c.Để thấy thêm sự hiệu quả thì câu c điều kiện các tham số đó kh ông ràng buộc

(dấu = xảy ra tại )

Chọn điểm rơi trong Bất Đẳng Thức Cô-Si

(dấu = xảy ra tại )

Và mục đích của các tham số phụ khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z

Đồng thời với dấu = xảy ra và đk (*) ta có thể tìm được các tham số

d Sang câu d đây là một dạng tổng quát của bài toán này Tuy nhiên khi giải mà làm theo các bước trênthì thật là khó chiụ và mất thời gian nhiều Đ ây là một cách rất hay chỉ cần 1 hay 2 dòng là ra các tham

số phụ l Tuy nhiên các bạn phải hiểu rõ các cách trên vì đây chỉ là một cách suy ra từ pp trên mà thôi

như vậy ta chỉ cần rút x,y,z theo rồi thế vào điều kiện là có thể tìm đượcđiểm rơi

Ngoài ra với bài toán trên nó không chỉ giới hạn ở mức độ nhỏ đó đâu mà nó còn nâng lên bậc cao m,n,kcủa x,y,z bất kì cộng với điều kiện có thể tổng quát hơn: Mà cách giải vẫn khôngmấy thay đổi (tuy nhiên đều là số nguyên)

Bài toán 2: Cho x,y,z là các số dương thõa xy+yz+zx=1 Tìm giá trị lớn nhất:

Giải:Những bài này chúng ta cũng sẽ và có chung một hương đi giải quyết đó:

a 1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các số sẽ tìm được)

Ta có:

dấu = xảy ra khi:

Suy ra: ; Và mục đích của các biệt số này là có thể đưa về dạng xy+yz+zx Nên khi đó:

Như vậy ta được hệ phương trình sau:

abd=cefa+b=1c+d=1e+f=2

Hệ trên 6 phương trình tương ứng với 6 ẩn số các bạn hoàn toàn có thể giải được có điều hơi dài Tuynhiên trong trường hợp bài toán a,b,c chúng ta thấy rằng các biến x,y có tính đối xứng nay nên việc phântích sẽ đơn giản hơn thế này a=c, b=d, e=f Như vậy thì đơn giản hơn ?

Còn trường hợp ở bài cuối cùng khá tổng quát thì việc giải nó sẽ khó khăn đôi chút Nhưng cómột phương pháp rất hay và mới:

Cỏch làm bài tập về BĐT và cực trị.Đõy cũng là mảng kiến thức sõu rộng và tương đối khú.Bàinày sẽ hướng dẫn cỏc bạn những hướng suy nghĩ và giải quyết cỏc bài tập dạng này thụng qua PP chọn

"điểm rơi"-tức là những điểm ta dự đoỏn được để từ đú cú hướng giải quyết phự hợp nhất

Ký hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3 Ta hóy bắt đầu từ 1 bài toỏn đơn giản:

Bài 1: Cho Tỡm Min của:

Giải: Rừ ràng ko thể ỏp dụng Cosi ngay để vỡ dấu = xảy ra khi a=1, mõu thuẫnvới đk

Ta dự đoỏn từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đõy chớnh là "điểm rơi" của bài toỏn.Khi a=3 thỡvà

Ta ỏp dụng Cosi như sau: ta cú

Khi đú kết hợp với đk ta cú

Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:

Giải: Dự đoỏn dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lỳc này và 1+b=2.Ta ỏp dụng Cosi như sau:

ỏp dụng Cosi cho 3 số ta cú Thay vào ta cú

Bài tập:

Với a, b, c là ba số dương bất kì Chứng minh rằng:

(1+a )(1+b )(1+c ) (1+ab )(1+bc )(1+ca )

Bài 1 :

(ĐH Hải Phòng A - 2000)

3 2 3

Chứng minh rằng: với số thực dương bất kì, ta luôn có a  a  1 a

Bài 2 :

(ĐHDL Phương Đông A - 2000)

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong cỏc bài toỏn BĐT và cực trị

Cho ABC có ba cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi Chứng minh rằng:

4 a+3b b 3c c 3a 3

Khi nào đẳng thức xảy ra?

5- Phương pháp 5: Bất đẳng thức Bunhiacopski- Bất đẳng thức SVACXƠ

Kiến thức:

* BĐT Bunhiacôpxki

Cho 2n số thực (n2): a1,a2, a n,b1,b2, ,b n Ta luôn có:

)

)(

()

a b

b a

1 1

(Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 )

2 2 1

2 2

2 2 1

b b

a a

a a

 Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng

 Nếu a,b > 0:

b

b a

i i

Suy ra:

b a b a b

a b

n n

n n

1)

(2

1)

(2

1

2 2 1 1

2 2

2 2 1 2

2 2 2 1 2

2 1 1

n

i i

b

a b

a b

a dáu cùng

n i

2 2

1 1

i i

Ta sẽ chứng minh BĐT (1) bằng BĐT Bunhiacôpxki: Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Giải: Ta có: sin2 xcos2 x1,xR

B B

3 2

2 2 2 1

n Z n

a a

114

1

11

2 2

k k

k k

23

1

3

12

1

2 2 1 2

a a n

a a

a

n n

(đpcm)

Ví dụ 4: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

2 2 2 2 2

2

)()(ac  bd  a b  c d

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd 2 2 2 2

c d b

Ví dụ 5: Chứng minh rằng : a2 b2 c2 abbcac

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 2 2 2 2 2 2  2

.1.1.1)(

11

1   a b c  a b c

1a+ (a+b)(a+c) b (b c)(b a) c (c a)(c b) 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Chứng minh rằng trong một tam giác bất kì, ta có: p-a p b p c 3p

trong đó a, b, c là các độ dài ba cạnh và p là nửa chu vi của tam giác

Ví dụ 9:Chứng minh rằng với các số dương a,b,c ta đều có :

Lời giải: Ycbt (yêu cầu bài toán)

Lêi gi¶i Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng

.Ở đây dễ thấy Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng PP

"điểm rơi"

Ta hóy cứ viết và dấu "=" đạt được khi Ta chỳ ý tiếp đkx+y+z=1 và "dự đoỏn" dấu = xảy ra ở bài toỏn khi Khi đú ta cú 9a=b.Cho a=1 và b=9 tađược ngay:

x y z

* Chú ý: Bài toán này ta có thể giải bằng phương pháp tọa độ, sẽ trình bày ở phần sau.

Vớ dụ 2: chứng minh rằng với cỏc số dương a,b,c thoả món ta cú:

Lời giải: Áp dụng BĐT (1) được

(ĐPCM)

Vớ dụ 3: chứng minh rằng với cỏc số dương a,b,c thỡ

Lời giải : Áp dụng BĐT (1) ta suy ra

Mà ta có BĐT quen thuộc , thay vào bêntrên ta suy ra ĐPCM.

Ví dụ 4: Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = 1 CMR

Lời giải : Áp dụng BĐT Svacxơ được:

Ví dụ 6:Cho a,b,c > 0 và thoả mãn a+b+c =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

** Bất đẳng thức trong tam giác:

6- Phương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sép

b

a a

a

2 1

2 1

thì

n

b a b

a b a n

b b

b n

a a

b

a a

a

2 1

2 1

b

a a

a

2 1

2 1

thì

n

b a b

a b a n

b b

b n

a a

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi

b

a a

a

2 1

2 1

Ví dụ 1: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và

.3

2sin

sinsin

2sin.sin2sin.sin2sin

C B

A

C C

B B a

S là diện tích tan giác chứng minh rằng ABC là tam giác đều

2

C B

a

C B

A

2sin2

sin2

sin

sinsin

1sin

sinsin

2sin.sin2sin.sin2sin.sin

2sin.sin2sin.sin2sin.sin

3

2sin2sin2sinsinsin

sin

C B

A C

B A

C C B

B A

A

C C

B B A

A

C B

A C

B A

A

C B

sin2

sin

sinsin

sin

Mặt khác:

)2(2sin sin)

sin2)(

sin2

(

sinsinsin4sin.sin2.sin

2

)cos(

)cos(

sin2cos)cos(

sin

2

2sin)cos(

)

sin(

22sin2sin2

sin

S C b a C B R A R

C B A B

A C

B A B

A C C

B A C

C B

A B

A C

B A

2sin

sinsin

2sin.sin2sin.sin2sin

C B

A

C C B

B a

Ví dụ 2:

a/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 1 11 9

c b a

b/ Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z4(1x)(1y)(1z)

b c b a

d) Cho x0,y0 thỏa mãn 2 x  y 1 ;CMR: x+y

c c a

b c b a

c b

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c

b

a

3

2 2 2 2

2 2

=2

3.3

1

=21

Vậy

2

1

3 3

b c b

a

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=

31

Ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :

2 2 2

a

Giải: Ta có a2 b2 2ab

cd d

c2  2 2

Do abcd =1 nên cd =

ab

1 (dùng

ab c

ac ab

ab

Vậya2 b2 c2 d2 abc b cd d ca10

- Cho a > -1, 1 thì 1a 1na Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0.

- cho a1,0 1 thì 1a 1na Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi







1

5 5

c c

b a

b c

b a a

Áp dụng BĐT Bernouli:

c b a

a c b c

b a

a c b c

1

21

(2)Chứng minh tương tự ta đuợc:

c b a

b a c c

c b a c

1

(4)Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có

c b a

c c

b a

b c

b

a

a

(đpcm)Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây:

“Cho a1,a2, a n 0;r1.Chứng minh rằng

r n r

n r

r

n

a a

a n

a a

Ví dụ 3: Cho 0x,y,z1 Chứng minh rằng

8

812

2222

20

23

0212

a

a a a

Chứng minh tương tự:

)3(32

)2(32

8

81

11122

11129

đpcm c

b a c b a

c b a c b a c

b a c

b a

b a x

x x x x

x

c

c c n c

c c c c

2

2 1 2

1

8- Phương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầu

Kiến thức: A>B và B>C thì A>C

Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d

d c a

d c a

 (a-c)(b-d) > cd

 ab-ad-bc+cd >cd  ab> ad+bc (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn

3

52 2

2  b  c 

abc c b a

1111

11

abc

1

Ví dụ 3: Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d

Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab

Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)

Do c <1 nên 1- c >0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c

 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd

 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)

Ví dụ 4: Cho 0 <a,b,c <1 Chứng minh rằng: 2a3 2b3 2c3 3a2bb2cc2a

c a b

c a b

c a b

a d

c b

d a

d c

c d

c b

b c

b a

a

Giải: Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

d c b a

d a c

b a

a c

a c

b a

d c b a

a b d

c b

b d

c b

c b a

d c

c d

c b

c d b

a d

d d

c b

d a

d c

c d

c b

b c

b a

d

cd b

cd d b

cd ab b

2 điều phải chứng minh

Ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 tìm giá trị lớn nhất

b

 Từ :

c

a d

b



d

b d c

b a c

a  999

b/Nếu: b=998 thì a=1 

d

b c

a =

d c

a

 =999+

999

1khi a=d=1; c=b=999

10- Phương pháp 10: Phương pháp làm trội

Kiến thức:

Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn

(*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1u2 u n

Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:

(*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u2 u n

Biến đổi các số hạng u về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: k u = k

Khi đó P =

1 1

1 3

n

a

a a

a a

a a a

Ví dụ 1: Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng

4

31

2

11

12

n

Giải: Ta có

n n n k

11

1

2

12

1

2

11

n n

3

12

21

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

11

11

11

11- Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức trong tam giác

Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0

Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

Ví dụ 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng

c a b

c b a

)(

)(

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

2/ Ta có a >b-c  2 2 2

)(b c a

a    > 0

b >a-c  2 2 2

)(c a b

b a c a c b c b a c b a

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2