Các bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phân

Các bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phânCác bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phânCác bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phânCác bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phânCác bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phânCác bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phânCác bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phânCác bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phânCác bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phânCác bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phânCác bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phânCác bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phânCác bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phânCác bài toán chọn lọc phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phân

Trang 4

MỤC LỤC

T rang

LỜI NÓI Đ Ầ U 5

Phần I PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT I - PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 7

1.1 PHƯƠNG TRÌNH M Ũ 8

1.1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ s ố 8

1.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 13

1.1.3 Phương pháp logarit hoá (lấy logarit hai vế) 28

1.1.4 Phương pháp đoán nghiệm rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất 36

1.2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ .43

II - PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 60

2.1 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 61

2.1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ s ố 61

2.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 67

2.1.3 Phương pháp đoán nghiệm rối chứng minh nghiệm đó là duy nhất 80

2.2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 83

III - HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 94

Phần II TÍCH PHÂN I - NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH 108

11 ĐỊNH NGHĨA 108

1.2 TÍNH CHẤT 109

1 3 BẢNG NGUYÊN HÀM c ơ BẢN 109

1.3.1 Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường g ặp 109

1.3.2 Nguyên hàm của hàm hợp 110

Trang 5

1.4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM .111

1.4.1 Dùng bảng nguyên hàm cơ bản 111

1.4.2 Phương pháp đổi biến ; 113

1.4.3 Phương pháp tích phân từng phần 116

1.4.4 Tích phản hàm hữu tỷ 120

- TÍCH PHÂN XÁC Đ ỊN H 126

2.1 ĐỊNH N G H ĨA 126

2.2 TÍNH CHẤT 127

2.3 PHƯƠNG PHÁP TlNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH .127

2.3.1 Phương pháp đổi biến số 127

2.3.2 Phương pháp tích phân từng phần 140

2.3 CÁC DẠNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH THƯỜNG G Ặ P 153

2.3.1 Tích phân hàm phân thức 153

2.3.2 Tích phân hàm căn thức 166

2.3.3 Tích phân hàm lượng giác 179

2.3.4 Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đ ố i 195

Trang 6

J 2 ờ i n ó i Ể ẳ u

Bộ sách Các bài toán chọn lọc gồm các cuốn:

• Lượng giác và hình giải tích;

• Phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tích phân;

• Tam thức bậc hai;

• Khảo sát, vẽ đồ tliị hàm số và các bài toán liên quan.

Với mong muốn giúp các em học sinh hệ thống lại các kiến thức cơ bản, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp THPT cũng như thi vào các trường đại học cao đảng, chúng tôi tập hợp các nội dung cơ bản của môn Toán THPT thành các chủ đề Với mỗi chủ để chúng tôi có tóm tắt lý thuyết, đưa ra một

số phương pháp giải các bài toán thòng qua lòi giải chi tiết của các bài giải mầu cuối cùng là bài tập tự giải để các em tự luyện Đề toán thì nhiều, nhưng tựu trung lại một đề toán tổng hợp chỉ là tổ hợp của một số dạng toán

cơ bán Nắm vững các dạng toán cơ bản sẽ giúp các em giải tốt các bài tập Nội dung bộ sách phù hợp với chương trình Toán trung học phổ thông và đáp ứng yêu cầu thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hiện nay.

Đế khai thác tốt bộ sách, dé nghị bạn đọc nên thực hiện theo trình tự sau:

để có kết quả cao trong các kỳ thi, đổng Ihời phát huy kiến thức của mình đế

có nhiều cách giải hay Chúng tôi hy vọng bộ sách là tài liệu hữu ích cho các

em học sinh phổ thông và các em học sinh ôn thi đại học và cao đẳng, đổng thời cũng là tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp đế giảng dạy.

Trang 7

Các tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, đặc biệt là Phó giáo sư, Tiến sĩ Vũ Dương Thụy đã động viên, giúp đỡ và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho bộ sách.

Các tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp cúa bạn đọc để

bộ sách ngày càng hoàn thiện hơn Thư góp ý xin gửi về Công ty

Cổ phần Sách Đại học - Dạy nghề, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam,

25 Hàn Thuyên, Hà Nội.

CÁC TÁC GIẢ

Trang 8

P h in I PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Trang 9

Chú ỷ: - Nếu a > 1 thì à" > a1' khi và chỉ khi m > n\

- Nếu a < 1 thì am > ứ" khi và chỉ khi m < n

1.1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ

C ác phương pháp thường dùng đ ể giải phương trình mũ là: đưa về cùng c ơ số; đặ t ẩn pliụ; logarit hoá; đoán nghiệm rồ i chứng minh nghiệm đó là duy nhất.

Nếu f(x ) đơn điệu (tức là ch ỉ đồng biến hoặc ch i nghịch biến) thì f(x ) = f ( y ) <& X = y V ậ y :

• Nếu 0 < a * 1 thì aA = aB <í=> A = B\

• Nếu 0 < a * 1 và A, B > 0 thì lo g a A — lo g a B A = B.

1.1.1 Phương pháp đưa vể cùng cơ số

D ẫn ph ư ơn g trình vê dạn g m à m ỗi v ế củ a ph ư ơn g trình c h ỉ gồm

m ột s ố h ạn g có c ơ s ố g iố n g nhau.

Bài 1: Giải phương trình

2 * 2 -ĩx + 2 _ ^

Giải

V ế trái (VT) của phương trình là một luỹ thừa có cơ số 2, biến đổi

4 ớ vế phải (VP) thành luỹ thừa cơ số 2 ta được phương trình

Vậy phương trình có nghiệm là X = 0 và X = 3.

^3at—1 ọX +2

Trang 10

PHƯƠNG TRlNH, BẤT PHƯƠNG TRlNH MO VA LOGARIT, TÍCH PHAN

Giải

Biến đổi hai vế về cùng cơ số 3 ta được phương trình

^3 jc —1 _^2(.*+2) 33jr_1 = 32jr+4

<*=> 3x - 1 = Ix + 4

=>■ X = 5.

Vậy X = 5 là nghiệm của phương trình.

Ta thấy VP đưa được về cơ số 2 giống như VT, suy ra

Vậy x = - \ và X = 7 là nghiệm của phương trình.

(*)

Giải

3

Trang 11

Ta thấy 32; 0,25 và 128 đều đưa được về luỹ thừa của cơ số 2 Vậy

Trang 12

PHƯƠNG TRlNH BẤT PHUONG TRlNH MO VẢ LOGARIT, TÍCH PHẢN

10jc — 75 = 9 0 * — 875

- 8 0 * = - 8 0 0

=» X = 1 0

Kết hợp với điều kiện, JC = 10 là nghiệm của phương trình

Trang 13

B ài 7: Giải phương trình

Trang 14

PHƯƠNG TRlNH, BẤT PHƯONG TRlNH MO VẢ LOGARIT, TÍCH PHAN

1.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Nếu trong phương trình có nhiều biểu thức giống nhau thì lấy một biểu thức làm ẩn mới (gọi là ẩn phụ) đ ể đưa vê phương trình quen thuộc a) Phương trình mà m ỗi v ế của nó gồm các s ố hạng chứa ẩn có

cơ s ố khác nhau: đưa các s ố hạng đó về cùng cơ s ố rồi đặt ẩn phụ

• Với / = 5 ta có 5* = 5 => x = 1.

• Với t = 125 ta có 5* = 125 =>■ X = 3.

Vậy X - 1 và X= 3 là nghiệm của phương trình.

t2 = 125

Trang 15

Vậy nghiệm của phương trình là X = —.

Trang 16

Vậy phương trình có hai nghiệm là -Vj = — 1 và x2 = 2

Trang 18

Trang 19

v ế cho cùng m ột s ố đ ể xu ất hiện cơ s ố chung rồi đặt ẩn ph ụ.

3.4* - 2.6* = 9*.

Giải

Ta thấy 4, 6 và 9 không thể biến đổi về luỹ thừa của cùng một

số nào đó Vì vậy chia hai vế cho 9* ta được

Với / = 1

(loại)

'2 ì*

= 1 , 3 J

=> = 0.

Vậy phương trình có ^ g~ n gh iệm X = 0.

Trang 20

3 1 6 '+ 2 8 1 '= 5.36'.

Giòi

16; 81 và 36 không thể đưa về luỹ thừa của cùng một cơ số đượ<

Vì vậy chia hai vế cho 81* ta được

Biến đổi về cùng cơ số — ta đuơe

Trang 21

& 2 x = I

1

=>JC= - f.

2

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0; X — —

Trang 22

Vậy nghiệm của phương trình là X = 0

32* _ g yC + J x + 4 _ ọ gy]x + 4 _ Q

Đặt — = t > 0 , ta được phương trình

Trang 23

O ’ í2 - 8í - 9 = 0 /j = — 1 (loại) r2 = 9

Với í = 9 => 3-r~'/*+4 = 9 = 32

<=> x - y j x + 4 = 2

—2 = Vx + 4 (điều kiện X > 2)

jt 2 - 4 a - + 4 = x + 4 JC2 — 5 jc = 0

Jf = 0 (loại)

Jf = 5 Vậy nghiệm của phương trình là X = 5.

Trang 24

Trang 25

JC2 + 3x - 4 = 0

X = 1

x = - 4

Vậy nghiệm của phương trình là X = 1; X

8 ' + 18* = 2.27'

Giải Chia hai vế cho 2 T ta được

Trang 26

c) Phương trình mà m ỗi s ố hạng là luỹ thừa của m ột biểu thứ

Cliú ý: Nếu A.B = a = const thì đặt A = t => B = —.

Trang 27

Vậy nghiệm của phương trình là X - ± 1

Trang 28

Với I = 6 + V35 =► Ậ 6 + y/Ĩ5)x = 6 + yfĨ5

Vậy nghiệm của phương ưình là jr = ±2.

<=> í 2 - 2 V ĩ / + 1 = 0

/| = y/ĩ +1 t2 = & - \

Với / = \ f ĩ + 1 => ( \ f ĩ + l) x = >/2+1

=ì- r = 1

Trang 29

• Với r = V2 — 1 =» ( 7 2 + 1 )* = V2 — 1

& (V2 + l)x = ( V 2 + l ) _1

=► JC = - 1 Vậy nghiêm của phương trình là X = ±1.

1.1.3 Phương pháp logarit hoá (lấy logarit hai v ế ) Bài 1: Giải phương trình

(log2 + logA')log* = log5 = log —

<=> log21ogx + log2* = log 10 - log2

<=> log21ogx + log2x = 1 - log2

log2 log* + log2 + log2* - 1 = 0 log2(log.x + 1) + (logjc + lX logx - 1) = 0 (log* + l)(lo g 2 + log* - 1) = 0

l o g x + l = 0 (1)

lo g 2 + l o g x - 1 = 0 (2)

• Giải (1) <=> logx = -1

Trang 30

• Giải (2) <=> log* = 1 - log2

<=> log* = loglO - log2 log* = log5

=> JC = 5.

Vậy nghiệm của phương trình là X = 5 và X = —

Trang 31

x - l

5^.8 * = 5 0 0 Giải

Trang 32

= 0

=>■

* — 3 = 0 log2 5 + — = 0

X

x = 3

X

-log2 5 = - l o g 5 2 Vậy nghiệm của phương trình là X = 3 và X = — log5 2

Trang 33

Chia hai v ế cho 4 ta được

4 lo&v + ,Y log4 = 32.

) = - l o g 3 18

l og3 18.

Trang 34

Điều kiện: X > 0; X ị 1.

Trước hết ta chúng minh: 4logJt = Vog4.

Thật vậy, lấy logarìt cơ số 10 hai vế ta được

logx = 2

=> JC = 100.

Vậy nghiệm của phương trình là X = 100.

^ J j y 5 j r

Giải

Lấy logarit cơ sô' 5 hai vế ta được

log557j = Iog575x 7jclog55 = 5jrlog57

Trang 35

( 7 5 + l Ỵ + ~ ụ s - l Ỵ = 2 X.

Giải Chia hai vế cho 2X ta được

Lấy logarit hai vế cơ số ^ — * ta đươc

Vậy nghiệm của phương trình là X = log ^ J —.

Trang 36

Bài 8: Giải phương ữình

Trang 37

(V Ĩ5)* + 1 = 4*.

Giải Chia hai vế cho 4* ta được

y fĨ5 )X Í P '

Ta thấy X = 2 là nghiệm của phương trình.

Ta chứng minh X > 2 hoặc X < 2 đều không thoả mãn (*)

Trang 38

PHƯƠNG TRlNH BẤT PHƯƠNG TRlNH m ũ va LOGARIT t íc h ph ản

Vậy X= 2 là nghiệm duy nhất.

Bài 2: Giải phưcmg trình

3*+ 4* = 5'.

Giải

Ta thấy JC = 2 là nghiệm của phương trình

Chia hai vế cho 5X ta được

Vậy X = 2 là nghiệm duy nhất.

Trang 39

= ( * - 3 ) 2 ■ Suy ra

tl = 2 — x — x + 3 = 5 — 2 x t2 — 2 — X + X — 3 = —l (loại)

nên X = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Vậy X = 1 là nghiêm của phương trình đã cho.

Ta thấy X - 2 là nghiệm của (*) và VT của (* ) là hàm nghịch bi

VP là đường thẳng y = 1, nên X = 2 là nghiệm duy nhất của (*).

Vậy X = 2 là nghiệm của phương trình đã cho.

Trang 40

Bài 5: Tim m để phương trình sau có nghiệm

(m - 1)4* + 2(m - 3)2* + m + 3 = 0

Trang 44

ỉ PHUONG TRlNH, BẤT PHƯƠNG TRlNH Mũ VẢ LOGARIT, TÍCH PHẨN

Trang 46

Vì 0 < — < 1 nên

9 (*) 2 x * - 3 x < - l

Vậy nghiệm của bất phương trình là X €

Bài 3: Giải bất phương trình

Trang 48

PHUONG TRlNH BẤT PHUONG TRlNH Mũ VẢ LOGAR1T TÍCH PHẢN 47

Trang 49

Vậy nghiệm của bất phương trình là x e

j ; o '

+ 8

2l~x

Giải 4* — 2.2* + 8

_2_

2X

< 8*.

Trang 50

PHƯONG TRlNH, BẤT PHƯƠNG TRlNH Mũ VẢ LOGARIT TÍCH PHẨN

<=> 2 * > 2

=> JC > 1.

Vậy X > 1 là nghiệm của bất phương trình

4|jr+ỉ| > 1 6

Trang 52

Ị PHƯƠNG TRlNH, BẤT PHƯONG TRlNH Mũ VA LOGARIT TÍCH PHẢN

Kết hợp vói điều kiện X < — ta được 0 < X < —.

-Vậy nghiệm của bất phương trình là X e (- 4 ; 0)

Bài 10: Giái bất phương trình

( V Ĩ Õ + s ) ^ < ( V Ĩ Õ - 3 ) jr+3.

Trang 53

Điều kiện: X Ỷ 1; X Ỷ - 3

Ta thấy hai vế của phương trình chỉ gồm một số hạng mà cơ số 1

số mũ đểu khác nhau, nhưng tích của hai cơ số bằng 1 V ì vậy ni

—

nhân VP với ( V ĩõ + S)*4"3 thì VP sẽ bằng 1 Nhân hai v ế của phươn

£+1 ưình với (7ĨÕ + 3 )*+3 > 0 ta được

X = V5

X = - \ Ỉ 5

< 0

Trang 54

PHUONG TRlNH, BẤT PHƯƠNG TRlNH Mũ VA LOGARIT, TÍCH PHẨN

Trang 55

Vậy (**) có nghiệm là t G (—oo; — 1) u (9; + o o )

Kết hợp với điểu kiện t > 0 ta được t> 9.

Trang 56

Trang 57

Kết hợp với điều kiện t > 0 ta được t G (0; 1).

Vói í < 1

=► Jt> 0.

Vậy nghiêm của bất phương trình là X > 0

(V5 + i ) * +x + 2 “ *2+jr+1< 3(V 5 + i r jr2+jc.

Giải

Biến đổi để số mũ của các số hạng giống nhau ta được

ị s + l Ỵ X +x + 2 2 ~ xl+x < 3 ( ^ - l ) ~ x2+x.

Ta thấy các số mũ giống nhau, để có thể biểu thị số hạng này theo

số hạng kia ta chia hai vế cho 2 ~ x +x được

( V ? + i j

—X +JC

- 3 Í V s - i )

Trang 58

PHƯƠNG TRlNH BẤT PHƯONG TRlNH Mũ VẢ LOGARIT, TÍCH PHẢN

<=> t2 + 2f - 3 < 0.

t = l

í = - 3 Lập bảng xét dấu:

Vậy nghiệm của bất phương trình (*) là t Ễ (—3 ; 1)

Kết hợp với điều kiện t > 0 ta được t e (0 ; 1).

ị y l ỉ + l Với t < 1

0 VT

Trang 59

x io^ x+A < 3 2 Giải

Trang 61

1 Với ơ, b > 0 và a * 1, khi đó:

• Logarit cơ số a của b là sô' a sao cho a a = b, tức là

• logal = 0; logaa a = a ; logaa = 1; a log“b = b.

1.57 32' - 1 < 35,-3

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

logaò = a <=> aa = b\

Trang 62

4 Logarit thập phân và logarit tự nhiên:

• Logarit thập phân là logarit cơ số 10, thường được viết li

loga hoặc lga.

• Logarit tự nhiên là logarit cơ sô' e, thường được viết là lnứ.

2.1 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Cũng nliư phương trình mũ, các phương pháp thường dùng đ ể giả plìiíơng trình logarit là: đưa về cùng cơ số; đặt ẩn phụ; đoán nghiện rói chứng minh nghiệm đó duy nhất.

2.1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

Trang 63

Vậy nghiệm của phương trình là X - 5.

log(* - 1) - \og{2x - 1 1 ) = log2

Trang 64

ĩ PHƯƠNG TRlNH BÁT phương TRlNH mo vả LOGARIT, tíc h phẩn

<=> -3 * + 2 1 = 0

=> x = 7 (thoả mãn).

Vậy nghiệm của phương ưlnh là X = 7.

<=> ỉog2x = 3

=> X = 8.

Vậy nghiệm cúa phương trình là X = 8.

Trang 65

\og2(x - 2)(3.* - 5) = log24

<=> (jr - 2)(3jf - 5) = 4

^=> 3x2 - 1 1jc + 6 = 0

Trang 66

PHƯƠNG TRlNH, BẤT PHƠONG TRlNH MO VẢ LOGAR1T, TÍCH PHAN

X = 3

x = — (loại)

3 Vậy nghiệm của phương ưình là X= 3.

log4(jr + l)2 + 2 = log ^ y / 4 - x + Iogg(4 + jr)3 (*)

Giải

Điều kiện:

Í4 — JC > 0

X e ( - 4 ; 4 ).

Trang 67

(*) o | l o g 2(* + l) + 2 = y l o g 2 ( 4 - * ) + | l o g 2(4 + x )

2

« • log2U + 1) + 2 = log2(4 - x) + log2(4 + x)

<=> log2(* + 1) + Iog24 = log2(4 - Jf)(4 + x)

Vậy phương trình có nghiệm JC = 2.

Trang 68

* PHUDNG TRlNH, BẤT PHUONG TRlNH MO VẢ LOGARIT, TÍCH PHẢN

2

(*)

h = t2 = ĩ

-• Với / = — =► log2 X = — => x = 2 2 = \Ỉ2.

Trang 69

• Với t = 3 => log2 X = 3 =>■ X = 2 = 8

Vậy nghiêm của phương trình là X = 4 Ĩ và X — 8

Trang 70

• Với / = 2 => logx9 = 2 = > j r = 9 = > jc = ±3.

• Với t = 4 => logx9 = 4<í=>x4 = 9 = > jc = ±V 3

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phưcmg trình là

x = 3 và x = \ f ĩ

Định dạng
Số trang	202
Dung lượng	2,87 MB