Đề và đáp án HSG toán 8

Phần I Trắc nghiệm khách quan – 2 điểmMỗi câu sau có nêu bốn phơng án trả lời, trong đó chỉ có một phơng án đúng.. Trong các khảng định sau đây, khảng định nào đúng?. Hai tam giác cân t

Phần I Trắc nghiệm khách quan – ( 2 điểm)

Mỗi câu sau có nêu bốn phơng án trả lời, trong đó chỉ có một phơng án đúng Hãy chọn phơng án đúng ( viết vào bài làm chứ cái đứng trớc phơng án lạ chọn)

1.Phơng trình (x2 – 1)(2x + 4)(3x – 2) = 0 có số nghiệm là:

A 1 B 2 C 3 D 4

2 Khi x < 0, kết quả rút gọn biểu thức −2x −3x−5 là :

A.x – 5; B, - x- 5; C – 5x – 5 D – 5x + 5

3 Phơng trình x – 1 = 0 tơng đơng với phơng trình nào sâu đây?

A x2 – 1 + x = 2x2; B.( 1)2 0

1

x x

− =

− C 2x +

2

x = x +

+ + ; D (x – 1)x2 = 0

4 Trong các khảng định sau đây, khảng định nào đúng?

A Hai tam giác cân thì đồng dạng với nhau.

B Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

C Hai tam giác vuông thì đồng dạng với nhau.

D Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

Phần II Tự luận (18 điểm) –

Câu 1 ( 4 điểm): Phân tích các đa sau thành nhân tử:

a, x2 – 2x – 4y2 – 4y; b, xy(x + y) – yz(y + z) + xz(x – z)

Câu 2 ( 3 điểm): Giải các phơng trình sau:

a, x4 – 2x3 + 5x2 – 2x + 1 = 0 b,

3

 −  + −  + −

Câu 3(3 điểm)

1 Giải bất phơng trình sau: 5 20 2 2 (1 3 ) 5

x− − x +x> x − x − x

2 Cho 6a – 5b = 1 Chứng minh rằng 4a2 + 25b2 ≥ 1

10

Câu 4 ( 6điểm):

1 Cho tam giác ABC vuông cân tại A; M là trung điểm của cạnh AC Trên BM lấy

điểm N sao cho MN = MA; CN cắt AB tại E Chứng minh rằng:

a, Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN

b, CN NB 1

AN = AB+

2 Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a; AD = b; P là trung điểm của AB Một góc vuông quay xung quanh P , cắt cạnh AD tại E và cắt cạnh BC tại F Xác định vị trí của EF để diện tích của ∆PEF đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 ( 2 điểm):

Tìm số tự nhiên x và y sao cho 2x – y2 + 3 = 0

phòng GD - Đt

nghĩa hng

đề kiểm tra chất lợng học sinh giỏi

năm học 2010 – 2011 môn: toán 8

thời gian làm bài : 120 phút

PHÒNG GD-ĐT

NGHĨA HƯNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KTCL HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN: TOÁN 8 Phần I - Trắc nghiệm khách quan (2 điểm):

Mỗi câu lựa chọn đúng đáp án được 0,5 điểm

Phần II - Tự luận (18 điểm):

Câu 1 (4 điểm):

a, x2 - 2x - 4y2 - 4y = (x2 – 4y2) – (2x + 4y) (0,5 đ)

= (x – 2y)(x + 2y) – 2(x + 2y) (0,5 đ)

= (x + 2y)(x – 2y – 2) (0,5 đ)

b, xy(x + y) - yz(y + z) + xz(x - z) = xy(x + y) – y2z – yz2 + x2z – xz2 (0,5 đ)

= xy(x + y) – (y2z - x2z) – (yz2 + xz2) (0,25 đ)

= xy(x + y) – z(y2 - x2) – z2(y + x) (0,5 đ)

= xy(x + y) – z(y - x)(y + x) – z2(y + x) (0,25 đ)

= (x + y)(xy – yz + xz – z2) (0,25 đ)

= (x + y)[y(x – z) + z(x – z)] (0,25 đ)

Câu 2 (3 điểm):

a, x4 - 2x3 + 5x2 - 2x + 1 = 0 (1)

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế của phương trình cho x2 ≠0,

ta được: 2 −2 +5−2 + 12 =0

x x x

⇔(x2 + 12

x ) - 2( +1)+5=0

x

Đặt

x

x+1 = t ⇒ x2 + 12

Thay vào phương trình (2), ta được phương trình: t2 – 2t + 3 = 0

⇔(t – 1)2 + 2 = 0 (3) (0,25 đ) Thấy (t – 1)2 ≥ 0 với mọi t nên (t – 1)2 + 2 > 0 với mọi t (0,25 đ)

Do đó phương trình (3) vô nghiệm

4

3 13

4

3 3

=

− +











 − +











Đặt a =

4

1

x - 13; b =

4

3

x – 1; c = 14 – x ⇒ a + b + c = 0 (0,25 đ)

Chứng minh: với a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc (0,5 đ)









 − +











3 3

14 1

4

3 13

4

1

x x









 −











4

3 13 4 1

Vậy (1) xảy ra ⇔ x x ( −x)









 −











4

3 13 4

1

⇔ 4

1

x - 13 = 0 hoặc

4 3

x – 1 = 0 hoặc 14 – x = 0 (0,25 đ)

⇔x = 52 hoặc x =

3

4

hoặc x = 14

KL: Phương trỡnh đó cho cú 3 nghiệm là (0,25 đ)

Cõu 3 (3 điểm):

1

4

5 3

) 3 1 ( 2

2 3

20

5x− − x2 +x > x − x − x

⇔

12

15 12

) 3 1 ( 4 12

) 2

( 6 12

) 20 5 (

−

−

>

+

−

−

(0,25 đ)

⇔4(5x – 20) – 6(2x2 + x) > 4x(1-3x) – 15x (0,25 đ)

⇔20x – 80 – 12x2 – 6x – 4x + 12x2 + 15x > 0 (0,25 đ)

Vậy bpt cú nghiệm là: x > 3,2 (0,25 đ)

2 Chứng minh: (3x + y)2 ≤ (x2 + y2)(32 + 12) (0,5 đ)

⇒ x2 + y2 ≥

10

) 3 ( x+ y 2

(0,25 đ) Đặt x = 2a; y = - 5b, ỏp dụng bất đẳng thức trờn, ta cú:

4a2 + 25b2 ≥

10

1 10

) 5 6

=

− b a

(vỡ 6a - 5b = 1) (0,5 đ)

Vậy 4a2 + 25b2 ≥

10

1

Cõu 4 (6 điểm):

1

a) Chứng minh∆ANC vuông tại N (vì AM = MC = MN) (0,5 đ)

⇒ ∠CNM + ∠MNA = 1v (0,25 đ)

Lại có: ∠BAN + ∠NAC = 1v (vì ) (0,25 đ)

Mà ∠MNA = ∠NAC => ∠CNM = ∠BAN (0,5 đ)

Mặt khác ∠CNM = ∠BNE (đđ) => ∠BNE = ∠BAN (0,25 đ)

=> ∆ BNE và ∆BAN đồng dạng với nhau ( ) (0,25 đ)

b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F sao cho FM = MN

Tứ giác ANCF là hình chữ nhật (vì có 2 đờng chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng)

(0,5 đ)

Chứng minh ∆BAN và ∆BFA đồng dạng với nhau (0,5 đ)

=>

BA

BF

AN

FA

AB

NB FN

AN

NC = +

1 +

=

=>

+

=

=>

AB

NB AN

NC AB

NB AB

AN

NC

(0,5 đ)

C F

M

N

2

Đặt AE = x, BF = y (0 < x, y < b)

Chứng minh SPEF = SABFE – (SBPF + SAPE) (0,25 đ)

4 4 ( 2

ay ax a y

= a x y a.2 xy

4 4

)

2

xy a

(với mọi x, y) (0,25 đ)

Chứng minh ∆BPF và AEP đồng dạng với nhau (0,25 đ)

⇒

AE

BP AP

⇒ x.y =

4

2

a

(khụng đổi) (0,25 đ)

Do đú, SPEF ≥

4

2

a

⇒ SPEF min =

4

2

a ⇔x = y =

2

a

hay EF ở vị trớ sao cho AE = BF =

2

a

.(0,25 đ)

Cõu 5 (2 điểm):

Ta thấy: 2x – y2 + 3 = 0

Lần lượt xột cỏc giỏ trị tự nhiờn của x, ta cú:

- Nếu x = 0 => y2 = 4 => y = 2 (vỡ y là số tự nhiờn) (0,25 đ)

- Nếu x = 1 => y2 = 5 (khụng cú số tự nhiờn y thoả món) (0,25 đ)

- Nếu x ≥ 2, chứng minh 2x chia hết cho 4 (0,25 đ)

=> 2x + 3 chia cho 4 dư 3 (1) (0,25 đ) Mặt khỏc, 2x + 3 lẻ => y2 lẻ => y lẻ => y = 2q + 1 (q là số tự nhiờn)

Từ (1), (2), ta thấy: 2x + 3 và y2 khụng thể bằng nhau (0,25 đ)

L

u ý: - Các lời giải theo cách khác mà vẫn đúng và phù hợp với kiến thức trong chơng trình thì cho

điểm tơng tự.

- ở câu Hình học, nếu hình vẽ sai thì không cho điểm phần có liên quan.

E

F

P

D

C B

A x

y