Множество, в котором нет ни одного элемента называется пустым множеством.. Множества Множество – неопределяемое понятие.. Говорят: набор, совокупность, система и др... Множество называет
Trang 1ОПР 1 Множество, в котором нет ни одного элемента называется пустым множеством Обозначают: Ø
§ 1 Множества
Множество – неопределяемое понятие
Говорят: набор, совокупность, система и др
ОПР 2 Множества А и В называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов
ОПР 3 Если все элементы множества В принадлежат множеству А
то В называется подмножеством множества А Обозначают: В А.⊆
Trang 2Объединение множеств
А
В
В
В
А
А А
ОПР 4 Объединением множеств А и В называется множество, определяемое следующим образом:
A U B = { x / x ∈ A или x ∈ B}
Другими словами:
Объединением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В
Диаграммы Эйлера-Вена
Trang 3Пересечение множеств
А
В
А
В
В А
В
U
А U В = Ø А U В = A
А
ОПР 5 Пересечением множеств А и В называется множество, определяемое следующим образом:
A ∩ B = { x / x ∈ A и x ∈ B}
Trang 4Вычитание множеств
А
В
А \ В
А \ В = А А \ В =
А
А А
Ø
А \ В А
В
ОПР 6 Разностью множеств А и В называется множество, состоящее только из тех элементов, которые входят в А, но не входят в В:
A \ B = { x / x ∈ A и x ∈ B}
Trang 5ОПР 7 Множество называется конечным, если оно состоит из
некоторого натурального числа элементов
Непустое множество называется бесконечным, если оно не является конечным
ОПР 8 Говорят, что между множествами А и В установлено взаимнооднозначное соответствие, если каждому элементу множества А поставлен в соответствие один элемент множества
В так, что:
1)разным элементам А соответствуют разные элементы В;
2)каждый элемент множества В поставлен в соответствие некоторому элементу множества А
ОПР 9 Множества А и В, между которыми можно установить
взаимнооднозначное соответствие, называются
эквивалентными
Обозначают: А ~ В
ОПР 10 Бесконечное множество А называется счетным, если можно установить взаимнооднозначное соответствие между множеством А и множеством натуральных чисел, т.е если А ~ N
Trang 6• пример 1 Является ли множество Z счетным?
Z: 0 -1 1 -2 2 -3 3 … -n n … N: 1 2 3 4 5 6 7 … сопоставили
• пример 2 Является ли множество Q счетным?
1/1 -1/1 1/2 -1/2 1/3 -1/3 … 0
2/1 -2/1 2/2 -2/2 2/3 -2/3 … 3/1 -3/1 3/2 -3/2 3/3 -3/3 … 4/1 -4/1 4/2 -4/2 4/3 -4/3 …
5/1 -5/1 5/2 -5/2 5/3 -5/3 …
…
＝＞ Q ~ N
2n 2n+1 …
Trang 7Вещественное число – это бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком + или -
Свойства:
1 Упорядоченности
2 Определена операция сложения и умножения
3 Свойство полноты
4 Свойство плотности
Модуль – расстояние – абсолютное значение вещественного числа
§ 2 Вещественные числа
Свойства:
1 | x + y | ≤ | x | + | y |
2 | x - y | ≥ | x | - | y |
3 | x . y | = | x | . | y |
4 | x / y | = | x | / | y |
| x | ={x, x ≥0
-x, x<0
Trang 8ОПР 13 Множество вещественных чисел { x } называется
ограниченным сверху, если существует такое число М, что любой элемент x из множества { x } будет меньше числа М
∈ x x M
x
ОПР 13* { x } называется ограниченным снизу, если
∈ x x m x
m ∀ >
∃ { } m - нижняя грань множества { x }
ОПР 14 Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом множества { x }
М = sup{ x }
Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфинумом множества { x }
m = inf { x }
М называется верхней гранью
1 ∀x ∈ { x } x ≤ sup { x }
2 ∀ε>0 x ∈{ x }: x > sup { x } –∃ ε Дописать!
ОПР 13** { x } называется ограниченным, если ∃C ∀x ∈{x} | x| <C
Trang 9ТЕОРЕМА 1 Больцано (о существовании sup и inf числового множества) Если множество А = { x } не пусто и ограничено сверху (снизу),
то оно имеет верхнюю (нижнюю) точную грань
Trang 10Необходимые и достаточные условия
Пусть β - некоторое высказывание
Всякое высказывание α , из которого следует β , называется достаточным условием для β
Записывают: α => β
Читают: « α является достаточным условием для β »
«из α следует β »
Всякое высказывание α , которое вытекает из β , называется необходимым условием для β
Читают: « β является необходимым условием для α »
Если α и β таковы, что α => β и α <= β, то говорят: каждое из высказываний α и β является необходимым и достаточным условием для другого
Записывают: « α <=> β »
Читают: «для α необходимо и достаточно чтобы имело место β »
« α истинно тогда и только тогда, когда истинно β »