Trong phầ n tiể u luậ n này chúng ta dùng phép biế n đ ổ i Lapl ace l àm mộ t kỹ t huậ tkhác đ ể gi ả i phư ơ ng trình - hệ phư ơ ng trình vi phân tuy ế n t í nh hệ số hằ ng. Nó c ũ ng là mộ tkỹ t huậ t đ ặ c biệ t đ ể giả i phhư ơ ng trình vi phân có vế phả i là hàm bậ c thang Heavis ide1.Nhữ ng hàm này thư ờ ng xuấ t hi ệ n t r ong cơ họ c và trong mạ ch đ iệ n t ử .Ý tư ở ng củ a phư ơ ng pháp này là: Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vi phân thành ph ư ơ ng trìnhđ ạ i s ố , gi ả i phư ơ ng trình đ ạ i số vừ a bi ế n đ ổ i đ ó, t ừ nghiệ m c ủ a phư ơ ng trình đ ạ i số vừ atìm đ ư ợ c t a dùng biế n đ ổ i ngư ợ c La pl a ce đ ể c ho ra nghiệ m phư ơ ng trình vi phân c ầ n t ìm.
Trang 1MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
I ĐỊ NH NGHĨ A PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace: _2
A HÀM GỐC: 2
B PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace 2
C MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Laplace: 3
Ví dụ: _ 3
D PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace NGƯỢC: _ 4
Đị nh nghĩ a: _ 4
II ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG: 5
A PHƯƠNG PHÁP CHUNG: _ 5
B CÁC VÍ DỤ: _ 6
Ví dụ 1 : 6
Ví dụ 2 : 7
Ví dụ 3 : 8
III ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾ PHẢI LÀ HÀM BẬC THANG: _9
1) Đị nh nghĩ a: 9 2) Biế n đổi Laplace: 10
Ví dụ: 11
3) Biế n đổi Laplace ngược: 12
Ví dụ 1 : _ 12
Ví dụ 2 : _ 14
IV ỨNG DỤNG Laplace GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG 15
A PHƯƠNG PHÁP CHUNG: 15
B CÁC VÍ DỤ: 15
Ví dụ 1 : _ 15
Ví dụ 2 : _ 16
Ví dụ 3 : _ 17
V KẾT LUẬN: _20
Trang 2DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÌNH-HỆ SỐ HẰNG
Trong phần tiểu luận này chúng ta dùng phép biến đổi Laplace làm một kỹ thuật khác để giải phương trình-hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng Nó cũng là một
kỹ thuật đặc biệt để giải phhương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang Heaviside1
Những hàm này thường xuất hiện trong cơhọc và trong mạch điện tử
Ý tưởng của phương pháp này là: Biến đổi phương trình vi phân thành phương trình đại số,giải phương trình đại số vừa biến đổi đó, từ nghiệm của phương trình đại số vừa tìm được ta dùng biến đổi ngược Laplace để cho ra nghiệm phương trình vi phân cần tìm
I ĐỊ NH NGHĨ A PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace:
A HÀM GỐC:
Ta gọi hàm phức tùy ý f (t) là hàm gốc thoả mãn 3 điều kiện sau:
1) Hữu hạn điểm a ,b ,0
2) Tăng không quá nhanh M 0,S0 0 f(t) M.eS0t, t t0, S0được gọi là mũ
tăng của hàm f (t)
3) f (t)=0 khi t<0
B PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace
C p dt t f e p
F pt
; ) ( )
(
0
F(p) là ảnh Laplace của biến f (t)
Kí hiệu: L[ f (t)] = F(p)
)
(t
f = F(p); F(p) = f (t)
Trang 3C MỘT SỐTÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Laplace:
1) Cho 2 Laplace f (t), g(t); f (t)= F(p); g(t) = G(p)
)
(t
f +g(t) = F(p) + G(p) 2) f (t), k là hằng số
k f (t)= k.F(p) 3) Đạo hàm gốc:
) 0 (
) 0 ( ' )
0 ( )
( )
(
) 0 ( ' ) 0 ( ) ( )
( ''
) ( )
0 ( ) 0 ( ), 0 ( ) ( ) ( '
) ( ) (
) 1 ( 2
1 )
(
2
0
lim
n n
n n
n
t
f f
p f
p p F p t f
f pf
p F p t f
t f f
f f p pF t f
p F t f
Chứng Minh:
Ta có:
) ( ) 0 ( 0
) ( )
( ' )
(
'
0 0 0
) (
p pF f
dt t f e p pt
dt t f e t
f pt e f t pt
) 0 ( ' ) 0 ( ) (
) 0 ( ' ) 0 ( ) ( )
(
''
2
f pf
p F p
f f
p pF p t
f
Tương tựcho ( )( )
t
f n
4) Tịnh tiến ảnh
e f t F p a a cons t
L
p F
t
f
L
at
tan )
( ) (
) ( )
(
Chứng minh:
0
) ( 0
) ( )
( )
( )
(t e e f t dt e f t dt F p a
f
e
L at pt at p a t
Ví dụ:
Biế n đổi Laplace:
a)
p p
e dt
e
pt
) ( 1
.
1
0 0
Trang 4p a p
a
e dt e
dt e e
e
t p a t
p a at
pt
at
0 0
) ( )
( 0
0 2 0
0 0
1
p p
e dt p
e p
te tdt
e
t
pt pt
pt
D PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace NGƯỢC:
Đị nh nghĩ a:
Cho ảnh F (p)tìm gốc f (t)
( ) ( )
1
t f p
F
L
BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC BIẾN ĐỔI Laplace THÔNG DỤNG
)
(t
1
0 , 1
p p
t
0 ,
1
p n
t
n p p
n
n!1 , 0 , là sốtựnhiên
2 1
t
p
, p>0
2 1
2 p
) 2
1 (
n
t
p p
n
n n
2
) 1 2 .(
5 3
,p>0, n là sốtựnhiên
at e
a p a
1
at
e
a p a
p
1
at te
a p a
( 1
2
Trang 5te
a p a
(
1
2
at n
e t
n a p a
p
n
) (
!
at n
e
n a p a
p
n
) (
!
at
cos
0 ,
2
p p
at
sin
0 ,
2
p a
at
t cos
0 , ) ( 2 2 2
2 2
p a
p
a p
at
t sin
0 , ) (
2
2 2
p ap
bt
e atsin
a p b
a p
b
bt
e atcos
a p b
a p
a p
, )
at
cosh
a p a
p
p
2 , 2
at
sinh
a p a
p
a
2 , 2
II ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG:
A PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Cho Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng:
) ( ) ( ) ( '
) ( )
)
(
t f t y a t y a t
y a t y
Trong đó a0,a1, ,a n R
1 ) 1 ( 1
0 , ' ( 0 ) , ,
)
0
b y
b y
b
Phép biến đổi trực tiếp Laplace không cho nghiệm tổng quát Các bước giải là:
Trang 61) Đánh giá Laplace dựa vào 2 mặt của phương trình.
2) Sử dụng bảng biến đổi Laplace cơbản
) 0 (
) 0 ( )
( ))
(
( (n) n n1 (n1)
f f
p p F p t
f
L
3) Sau quá trình biến đổi đại số ta được:
Y(p) = L(y(t))
4) Làm phép biến đổi ngược Laplace L-1
, tìm y(t)
B CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Tìm nghiệ m phương trình vi phân
1 )
0
(
'
,
1
)
0
(
2
'
3
y
y
e y
y
Giả i
Sửdụng tính chấtđạo hàm gốc và biến đổiLaplace:
) 3 )(
2 )(
1 (
1 1
1
)
(
3
1 2 )
( ) 2 )(
1
(
3
1 2 )
( ) 2 3
(
3
1 ) ( 2 3 ) ( 3 1 )
(
3
1 ) ( 2 ) 0 ( ) ( 3 ) 0 ( ' ) 0 (
)
(
2
2
2
p p p p
p
Y
p p
p Y p
p
p p
p Y p
p
p p Y p
pY p
p
Y
p
p p Y y
p pY y
py
p
Y
p
Dùng phương pháp đại sốphân tích:
) 3 )(
2 )(
1 (
) 2 3 6 ( ) 3 4 5 ( )
(
) 3 )(
2 )(
1 (
) 2 )(
1 ( ) 3 )(
1 ( ) 3 )(
2 (
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 )(
2
)(
1
(
1
2
p p
p
C B A p
C B A p
C B A
p p
p
p p
C p
p B p
p A
p
C p
B p
A p
p
p
Cân bằng hệsố2 vế: cho
2
1 , 1 ,
2
1
A
Trang 7) 3 (
2 / 1 ) 2 (
1 ) 1 (
2 / 1 ) 3 )(
2 )(
1
(
1
p p
p p
p
p
3
1 2
1 2
1 1
1 2
3
)
(
p p
p
p
Y
Sửdụng biến đổingược Laplace
Vậy nghiệm phương trình là:
t t
t
e e
e
t
2
1 2
3
)
(
Ví dụ 2:
Tìm nghiệ m của phương trình vi phân:
0 ) 0 ( '' , 0 ) 0
(
'
,
0
)
0
(
'
'
y y
y
e
y
y t
Giả i
Sử dụng tính chất đạo hàm gốc và biến đổi Laplace:
) )(
1 (
1 )
(
1
1 ) ( )
(
1
1 ) 0 ( ) ( ) 0 ( '' ) 0 ( ) 0 ( ' )
(
.
3 3
2
3
p p p
p
Y
p p Y
p
p
p y
p Y p y
y p y
p
p
Y
p
Dùng phương pháp đại số phân tích vếphải
) 1 )(
1 (
) (
) (
) (
) 1 )(
1 (
) 1 ( ) (
) 1 ( ) 1 )(
1 ( 1 1
) )(
1
(
1
2
2 3
2
2 2
2 3
p p p
A p D B A p D C A p C B A
p p p
p p D Cp p
Bp p
p A p
D Cp p
B p
A p
p
p
Cân bằng trên tử2 vếta được:
2
1 ,
2
1 , 2
1 ,
A
) 1 (
2 / 1 ) 1 (
) 2 / 1 ( ) 1 (
2 / 1 1
) 1 (
2 / 1 ) 2 / 1 ( ) 1 (
2 / 1 1
)
(
2 2
2
p p
p p
p
p
p p
p
p
Y
Trang 8Sửdụng biến đổingược Laplace
2
1 cos 2
1 2
1 1 )
Ví dụ 3:
Tìm nghiệ m của phương trình vi phân:
0 ) 0 ( '' , 0 ) 0 ( ' , 1 ) 0
(
'
,
0
)
0
(
0
)
4
(
y y
y
y
y
y
Giả i
Dùng biến đổiLaplace cả2 vế,ta được:
1 )
(
) (
)
1
(
0 ) ( )
(
.
0 ) ( ) 0 ( '' ) 0 ( '' ) 0 ( ' ) 0 (
)
(
.
4
2
2 4
2 4
2 3
4
p
p
p
Y
p p Y
p
p Y p p
Y
p
p Y y
y p y
p y
p
p
Y
p
Dùng phương pháp đại sốphân tích vếphải
) 1 )(
1 )(
1 (
) (
) (
) (
) (
) 1 )(
1 )(
1 (
) 1 )(
( ) 1 )(
1 ( ) 1 )(
1 (
1 1
1 )
1 )(
1 )(
1 (
1
2
2 3
2
2 2
2
2 2
2 4
2
p p p
D B A p C B A p D B A p C B A
p p p
p D Cp p
p B p
p
A
p
D Cp p
B p
A p
p p
p p
p
Cân bằng tử2 vếta được:
2
1 , 0 , 4
1 ,
4
1
A
1
2 / 1 1
4 / 1 1
4 /
1
)
p p
p
p
Y
Sửdụng biến đổingược Laplace:
Vậ y nghiệ m phương trình là: y t e t e t sint
2
1 4
1 4
1 )
Trang 9III ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ V Ế PHẢI LÀ HÀM BẬC THANG:
Hàm bậ c thang Heaviside:
1) Đị nh nghĩ a:
a)
0 1
0 0
)
(
t
t t
H
Hàm bậc thang Heaviside, cũng được gọilà hàm bậc thang đơn vị, hàm không liên tục này nhận giá trị0 khi đốisố(t) âm và nhận giá trị1 khi đốisố(t) dương Hàm này được sửdụng trong lý thuyếttoán học điều khiển hay trong xửlý tín hiệu
b) Và ta có hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside
, cho sốthực c Ta có:
c t
c t c
t
H
t
H c
1
0 ) (
)
(
Nếu c>0 (c<0) thì đồthịcủa Hcsẽđược tịnh tiến qua phải(qua trái) 1 đơn vịc, so với đồ thịcủa H
c) Hàm khoảng Habvới a<b được định nghĩa bằng hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside
) ( ) ( ) ( ) (
)
(t H t H t H t a H t b
H ab a b
Thật vậy:
1) t<a thì Ha(t) và Hb(t) bằng 0 H ab(t)0
2) a tb thì Ha(t) =1 và Hb(t) = 0 H ab(t) 1
3) bt thì Ha(t) =1 và Hb(t) = 1 H ab(t) 0
Hàm Heaviside H, hàm tịnh tiến Ha, và hàm khoảng Hab thường được dùng đểmô tảhàm liên tục từng khúc
Vậ y:
t b
b t a
a t b
t H a t H t H t H t
H ab a b
0 1
0 ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
Trang 10Ví dụ : Mô tảhàm:
t
t t
t
f
1 2
1 0
2
)
(
sửdụng hàm bậc thang Heaviside
Giả i
Từ f (t)là hàm khảvi từng khúc trên khoảng 0t 1 và t 1, chúng ta sửdụng hàm khoảng H01(t) trên khoảng 0t 1, và dùng hàm tịnh tiến H1(t) trên t 1
Vậy:
) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( 2
) 1 ( 2 ) 1 ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
t H t t H t
t H t
H t H t t H t H t t
f
2) Biế n đổi Laplace:
c
cp pt
pt c c
p
e dt e dt e t H p
H
L
0
) ( )
(
Chứng minh:
p
e e
e p p
e dt
e dt e t H p
H
L
cp pc
pb b
b
c
pt
b c
pt pt
c c
)
(
0
(H(t c) 1khi t c và H(t c) 0 khi t<c)
Ta đã có: Hab=Ha-Hb Nên:
p
e e p H L p H L p
H
L
bp ap b
a ab
Biế n đổi Laplace cho hàm tị nh tiến:
H(t c)f(t c (p) e F(p)
L cp
Chứng minh:
c
pt
pt
dt e c t f
dt e c t f c t H p
c t
f
c
t
H
L
).
(
).
( ) ( )
( (
)
(
0
Vì H(t c) 1 khi tc và H(t c) 0 khi t<c
Đổibiếntc thì t c và dt d Ta được:
Trang 11
0
) (
) ( )
d e
f dt
e
c
t
c
pt
) (
) (
) ( ) ( ) ( )
(
0
0
) (
p F e
d e f e
d e
f p c t f c
t
H
L
cp
p cp
c p
Ví dụ :
Biế n đổi Laplace các hàm sau:
a)
t e
t
t t
f
t
6
6 4
5
4 0
3
)
(
7
Giả i
Ta có:
) 6 (
) 6 ( 5 ) 4 ( 8 )
(
3
) 6 ( )
6 ( 5 ) 4 ( 8 )
(
3
) 6 ( )
6 ( ) 4 ( 5 ) 4 ( )
(
3
) ( )
( 5 ) (
3
)
(
) 6 ( 7
7 6
7 46
04
t H e e t
H t
H t
H
t H e t
H t
H t
H
t H e t
H t
H t
H t
H
t H e t H t
H
t
f
t t
t t
Dựa vào công thức biến đổiLaplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng biến đổi Laplace ta được:
1
5
8 3
)
(
6 6
4
p
e e p
e p
e p
p
f
L
p p
p
b)
2 0
2 1
sin
1 0
)
(
t
t t
t t
Trang 12Giả i
Ta có:
) 2 ( ) 2 ( sin ) 1 ( ) 1 (
sin
) 2 ( sin ) 1 ( sin
) 2 ( ) 1 ( sin
) ( 0 ) ( sin ) (
0
)
t H t t
H t
t tH t
tH
t H t
H t
t H t tH t
H
t
f
Dựa vào công thức biến đổiLaplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng biến đổi Laplace ta được:
2 2
2 2 2
p
e e p
e p
e p
f
L
p p p
p
3) Biế n đổi Laplace ngược:
Cho hàm f (t)là hàm liên tục từng đoạn và F(p)Lf (p)thì:
( )( ) ( ) ( )
1
c t f c t H t p
F
e
L cp
LÀ HÀM BẬC THANG
Ví dụ 1:
Tìm nghiệ m của phương trình vi phân:
5
)
0
(
)
(
'
y
t
f
y
y
Khi đó:
t t
t t
f
cos 3
0 0
)
(
Giả i
Ta có:
1 3 )
(
) ( ) cos(
3 ) ( cos 3 cos
3 ) (
0
)
(
2 0
p
pe p
f
L
t H t t
tH tH
t H
t
f
p
Trang 13Sửdụng tính chấtđạo hàm gốc và biến đổiLaplace ta được:
) 1 )(
1 (
3 ) 1 (
5 )
(
1 3 5 ) (
)
1
(
1 3 ) ( )
0
(
)
(
2 2 2
p p
pe p
p
Y
p
pe p
Y
p
p
pe p
Y y
p
pY
p p p
Mà
p
p p
p p
e p
p
C A p C B p B A
e p
p
p C Bp p
A e
p
C Bp e
p
A p
p
pe
) 1 )(
1 (
) ( ) (
) 1 )(
1 (
) 1 )(
( ) 1 ( 1
1 )
1
)(
1
(
2 2
2 2 2
2
Cân bằng 2 vế:Cho
2
1 , 2
1 2
A
p p
p
p p
p
p p
p p
e p
e p
p e
p p
e p
e p
p e
p p
p
Y
e p
e p
p e
p p
p
pe
1
1 1
1
1 2
3 ) 1 (
5
1
) 2 / 3 ( 1
) 2 / 3 ( 1
2 / 3 ) 1 (
5 )
(
1
) 2 / 1 ( 1
) 2 / 1 ( 1
2 / 1 ) 1 )(
1
(
2 2
2 2
2 2
2
Dùng biến đổiLaplace ngược ta được:
2
3
5
) ( ) cos(
) ( ) sin(
) ( 2
3
5
)
(
) (
) (
t H t t e
e
t H t t
H t t
H e e
t
y
t t
t t
Vậ y nghiệ m phương trình là:
t t
t e
e
t e
t
t
cos sin
2
3 5
0 5
)
Trang 14Ví dụ 2:
Tìm nghiệ m của phương trình vi phân:
1 ) 0 (
'
,
0
)
0
(
)
(
''
y
y
t
f
y
y
khi đó
t
t t
t
f
1 2
1 0 2
)
(
Giả i
1
1 1
1 01
2 1 2 )
(
) 1 ( ) 1 ( 2 )
(
2
) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) (
2
)
(
p
e p p
f
L
t H t t
tH
t H t
H t H t t H t tH
t
f
p
Sử dụng tính chất đạo hàm gốc và điều kiện đầu, biến đổi Laplace bên vế trái là:
1 ) ( ) 1 ( ) ( )) 0 ( ' ) 0 ( ) ( (
''
p
e p
Y p p Y y
y p p Y p
y
y
L
p
1
1 ) 1 (
2 2
)
(
2 2 1 ) (
)
1
(
2 2
2
2 2
p p
p
e p
Y
p
e p
Y
p
p
p
1
2 2 2
2 ( ) 1
(
2
2
2 2
2
p
e p
e p
p
1
1 1
2 2
2
1
1 ) 1
2 2 2
2 ( ) 1 (
2
2
)
(
2 2
2 2
2 2
2 2
2
p p
e p
e p
p p
e p
e p
p
e p
Y
p p
p p
p
Dùng biến đổi Laplace ngược ta được:
( 1 ) sin( 1 )( 1 ) 2
sin
2
sin ) 1 sin(
) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 (
2
2
)
(
t H t t
t t
t t
t H t
H t
t
t
y
Vậ y nghiệ m phương trình là:
t t
t
t t
t
t
y
1 sin
) 1 sin(
2
2
1 0
sin
2
)
(
Trang 15IV ỨNG DỤNG Laplace GIẢI H Ệ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG
A PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Cũng nhưphương trình vi phân tuyến tính hệsốhằng, đểgiải hệphương trình vi phân tuyến tính hệsốhằng ta thay các hàm phảitìm, các đạo hàm của chúng và các hàm ởvế phải (nếu là hệkhông thuần nhất) bằng ảnh của chúng (bằng cách áp dụng đạo hàm gốc) Khi đó ta sẽthu được mộthệphương trình đạisốtuyến tính đốivớiảnh của các hàm phải tìm Giải hệđó và dùng phép biến đổi ngược đểtìm gốc, ta được nghiệm riêng của hệ thoảmãn điều kiện đã cho
B CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Tìm nghiệ m hệ phương trình vi phân:
1 )
0
(
,
1
)
0
(
0
'
0
3
'
y
x
y
x
y
y
x
x
Giả i
Sửdụng tính chấtđạo hàm gốc biến đổita được:
1 ) ( ) 1 ( )
(
1 ) ( ) (
)
3
(
0 ) ( ) ( 1
)
(
0 ) ( ) ( 3 1 )
(
0 ) ( ) ( ) 0
(
)
(
0 ) ( ) ( 3 ) 0
(
)
(
p Y p p
X
p Y p X
p
p Y p X p
pY
p Y p X p
pX
p Y p X y
p
pY
p Y p X x
p
pX
Giải hệphương trình đạisố,tìm nghiệm X(p),Y(p)
2 2
) 2 (
4 )
(
) 2 (
)
(
p
p p
Y
p
p p
X
) 2 (
) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
p
B p
A p
B p
A p
p
2 D , 1 )
2 (
D ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (
4
2 2
p
p C p
D p
C p
p
