Bài tập chuyên đề NT Newton LTĐH 2013

Chuyên đề TH-NT Newton Nguyễn NobenCHUYÊN ĐỀ: TỔ HỢP - NHỊ THỨC NEWTON A.. Lý Thuyết Công thức nhị thức Newton 0 ..... n Dạng 4: Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng

Chuyên đề TH-NT Newton Nguyễn Noben

CHUYÊN ĐỀ: TỔ HỢP - NHỊ THỨC NEWTON

A Lý Thuyết

Công thức nhị thức Newton

0

n

k

=

Hệ quả:

1

k

n

− = + −  =∑ − =∑ −

0

k

=

0

k

=

Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn

-Số các số hạng của công thức là n+1

-Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n-k)+k=n

-Số hạng tổng quát của nhị thức là: 1

k n k k

T+ =C a b−

(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển ( )n

a b+ ) -Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau

= − + + −

B Bài Tập

Dạng 1: Phương trình, bất phương trình tổ hợp, chỉnh hợp

Bài 1: Tìm n biết: 1 ( )

+ − + = +

Bài 2: Giải bất phương trình: 2 2 3

2

10

x

Bài 3: Giải bất phương trình:

n 3

Cn 1 1

4 14P

An 1 3

−

− >

+

ĐS: n∈{3, 4, 5}.

Dạng 2: Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton

Bài 4: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn: 2x 51 18 (x 0)

x

 +  >

Bài 5:

a) Tìm hệ số x8 trong khai triển

12

1 1

x

 + 

b) Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2+1)n bằng 1024 Hãy tìm hệ số a (a∈¥*) của

số hạng ax12 trong khai triển đó

Bài 6: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: ( )25

2 3x−

Bài 7: Khai triển và rút gọn đa thức: ( ) ( ) (9 )10 ( )14

Q x = +x + +x + + +x

0 1 14

Q x = +a a x+ +a x

Chuyên đề TH-NT Newton Nguyễn Noben

Bài 8: Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x)n, biết rằng

( )

0 1 1 2 2 3 3

C − − C + − C − − C + + − C =

Bài 9: Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức ( )5 2( )10

Bài 10: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 7

4

x x

 + 

2 1 2 1 2n 1 2 1

Bài 11: Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức 2( ) 8

P= + x −x 

Bài 12: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn

7 3

4

1

x

= + ÷ >

Bài 13: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niu-tơn 5

3

x x

1

C ++ −C + = n+

Bài 14: Tìm số nguyên dương n sao cho

0 1 2 2 3 3

Bài 15: Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức ( 2 )

1 n

chứa x12 trong khai triển trên

Bài 16: Gọi a1, a2, …, a11 là hệ số trong khai triển sau:( ) (10 ) 11 10 9

Tìm hệ số a5

Bài 17: Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: 2( )8

Bài 18: Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số của x3n− 3 trong khai triển thành đa thức của

(x2+1)n(x+2)n Tìm n để a3n−3=26n.

Dạng 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Newton

0

n

k

=

Các số hạng của khai triển Newton sẽ tạo thành một dãy số dạng hình tháp:

1

k

k

a

a

+

+

> ⇔ > ⇒ ∈ , sau khi tìm được k ta so sánh a và k a k+1 để

chọn kết quả

Bài 19: Cho khai triển nhị thức:

10

9 10

1 2

Giải: Ta có: 10 ( )10 ( )

0

n

k

k k

=

Chuyên đề TH-NT Newton Nguyễn Noben

1 1

1 1

11

k

+ + +

− −

−





Vậy max

7 7

7 10 10

2 3

k

Bài 20: Khai triển đa thức: ( ) 12 12

P x = + x = +a a x+ +a x Tìm max(a a a0, , , ,1 2 a12)

Giải:Gọi ak là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: a k >a k−1 Từ đây ta có hệ phương trình

B i 21: à Khai triÓn ®a thøc Px = ( 1 + 2x)12 Thµnh d¹ng P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12 Tìm Max (a1 a2 … a12)

Bài 22: Xét khai triển ( )9 2 9

3x+2 = +a a x a x+ + + a x Tìm max{a a a0, , , ,1 2 a9}

Bài 23: Cho khai triển (1 2 )n 0 1 n

n

+ = + + + , trong đó n∈¥ và các hệ số ∗ a a0, , ,1 a thỏa mãn hệ n

0 4096

n n

a a

a + + + = Tìm số lớn nhất trong các số a a0, , ,1 a n

Dạng 4: Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp

1 Thuần nhị thức Newton

Dấu hiệu: Khi các số hạng của tổng đó có dạng C a b n k n k k−

thì ta sẽ dùng trực tiếp nhị thức Newton:

0

n

n k

=

Bài 24: Tính tổng 316C160 −315C161 +314C162 − + C1616

Giải:

Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên Ta chọn a=3, b=-1 Khi đó tổng trên bằng (3-1)16=216

Bài 25: Chứng minh rằng

0 2 2 4 4 2 2 2 1 2

Giải:

2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2

2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2

− −

− −

Lấy (1) + (2) ta được:

Chọn x=3 suy ra: …

Bài 26: Tính các tổng sau

a) S1 = C0 + C1 + C2 + … + C6 b) S2 = C0 + 2C1 + 22 C2 + … +25 C5

c) S3 =C116 +C117 +C118 +C119 +C1011+C1111

2 Sử dụng đạo hàm cấp 1,2

Chuyên đề TH-NT Newton Nguyễn Noben

a Đạo hàm cấp 1

Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số hạng đó

n

kC hoặc k n k k 1

n

kC a b− − thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính Cụ thể:

a x+ =C a + C a x− + +nC ax

Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được:

n a x+ − =C a − + C a − + +nC ax −

Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm

Bài 27: Tính tổng 1 2 3 4 ( ) 1

C − C + C − C + + − − nC

Giải:

Ta thấy tổng cần tính có dạng như VP(1) Việc còn lại chỉ cần chọn a=1,x=-1 ta tính được tổng băng 0

Cách khác: Sử dụng đẳng thức 1

1

kC =nC −− ta tính được tổng bằng:

1 1 1 1 n n1 1 1 n 0

Bài 28: Tính tổng: 2008C20070 +2007C20071 + + C20072007

Giải:

Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008,2007,…,1 nên dùng đạo hàm là điều dễ hiểu:

2007 2007 2007

Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được 2007C20070 x2006 trong khi đó đề đến 2008 do đó ta phải nhân thêm

với x vào đẳng thức trên rồi mới dùng đạo hàm:

2007 0 2008 1 2007 2007

2007 2007 2007

Thay x=1 vào ta tìm được tổng là 2009.22006

b Đạo hàm cấp 2

Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n-1)n hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2

(không kể dấu) tức có dạng ( 1) k n k

n

k k− C a − hay tổng quát hơn ( 1) k n k k

n

k k− C a b− thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính Xét đa thức

a bx+ =C +C a bx− + +C b x

Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được:

bn a bx+ − =C a b− + C a b x− +nC b x −

Đạo hàm lần nữa:

Đến đây ta gần như giải quyết xong ví dụ toán chỉ việc thay a,b,x bởi các hằng số thích hợp nữa thôi

Bài 29: Cho f x( ) (= +1 x) (n, 2≤ ≤n ¢)

a) Tính f′′( )1

C + C + + −n nC =n n− −

Giải:

f′′ x =n +x − ⇒ f′′ x =n n− +x − ⇒ f′′ =n n− −

b) Ta có

Chuyên đề TH-NT Newton Nguyễn Noben

( )

0 1

2

2 2

2 1

1

1

n

k k

k n

k k n k

n

n k

−

=

−

=

−

=

−

′′

∑

∑

∑

C + C + + +n pC + + +n nC =n n+ − Với bài toán này ta

giải như sau:

Nhân 2 vế của đẳng thức với x≠0đồng thời lấy đạo hàm cấp 2 hai vế theo biến x ta được:

n +x − +n n− x +x − = C x+ C x+ + +n nC x −

Cho x=2 ta được ĐPCM

Bài 31:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: C120+C120+ + C1920=219

Bài 32:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng : 0 2 1 2004 2004 2004

2004 2004 2004

2

Bài 33:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh:

Bài 34: Rút gọn tổng: 12C20091 22008+22C20092 22007+ + 20092C20092009

Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng

C + C + C + + −n C − +nC =n −

C + C + + −n nC =n n− −

C + C + C + + −n C = −n − +

Bài 38: C1

n + 2 C2 + … + (n – 1) Cn-1

n + n Cn = n 2n-1

Bài 39: 2.1 C2 + 3.2 C3 + … + n (n – 1) Cn = n (n – 1) 2n-2

3 Sử dụng tích phân

Dấu hiệu: Khi biểu thức có dạng 1

1

k n

C

1

k n

C

k+ k+ thì ta sẽ lấy tích phân hai vế, sau đó khéo

léo chọn a, b sao cho phù hợp.

Bài 40: Cho n là số nguyên dương Tính tổng

0 2 1 1 2 1 2 2 1

n n

Bài 41: Cho n là số nguyên dương, chứng minh

2

n n

− −

+

Bài 42: Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:

1)

1

n n

+ −

n

n

+

Chuyên đề TH-NT Newton Nguyễn Noben

Bài 43:

0

I =∫x −x dx

n n

−

Bài 44:

0

2 Chứng minh rằng

1

n n

+ −

n 1

1

S C C C C C