TỌA ÐỘ TRONG MẶT PHẲNG – LTÐH 2013 (Bài đăng sô´ 8)

)Cho tam gia´c ABC co´ A (- 3; 6 ), trực tâm H ( 2; 1 ), trọng tâm G ( ). Xa´c định tọa độ ca´c đỉnh B và C GIẢI: - Gọi I là trung điểm của BC, ta co´ => I ( , đường thẳng BC đi qua I, co´ nên co´ pt: x – y – 3 = 0  B ( b; b – 3 ) BC, I là trung điểm của BC nên suy ra C ( 7 – b; 4 – b

TỌA ÐỘ TRONG MẶT PHẲNG – LTÐH 2013 (Bài đăng sô´ 8)

1)Cho tam gia´c ABC co´ A (- 3; 6 ), trực tâm H ( 2; 1 ), trọng tâm G ( ) Xa´c định tọa độ ca´c đỉnh B và C

GIẢI:

- Gọi I là trung điểm của BC, ta co´ => I (

, đường thẳng BC đi qua I, co´ nên co´ pt: x – y – 3 = 0

 B ( b; b – 3 ) BC, I là trung điểm của BC nên suy ra C ( 7 – b; 4 – b )

* Vậy: B ( 6; 3 ),C ( 1; - 2 ) hoặc B ( 1; - 2 ), C ( 6; 3 )

2) Cho tam gia´c ABC co´ đỉnh A thuộc d: x – 4y – 2 = 0, BC // d, đường cao BH: x + y + 3 = 0

và trung điểm của cạnh AC là M ( 1; 1 ) Xa´c định tọa độ ca´c đỉnh A, B, C

GIẢI:

Do AC vuông go´c BH và đi qua M ( 1; 1 ) nên co´ pt: x – y = 0

M là trung điểm AC nên C ( )

BC đi qua C và song song d nên BC: x – 4y + 8 = 0

Tọa độ B là nghiệm của hệ:

3) Cho ( C ): x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0

( C’): x2 + y2 + 4x – 5 = 0

cùng đi qua M ( 1; 0 ) Viê´t pt đường thẳng d đi qua M, că´t cả hai đường tròn tại A và B sao cho MA = 2MB

GIẢI:

( C ) co´ tâm I ( 1; 1 ); R = 1

( C’) co´ tâm I’ ( - 2; 0 ); R’ = 3

d đi qua M nên co´ dạng: ax + by –a = 0 ( a2 + b2 > 0 ) Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm MA,

MB Do MA = 2MB nên MH = 2MH’ => IM2 – IH2 = 4 ( I’M2 – I’H2 )

Vơ´i a = 6b, chọn b = 1 =.> a = 6 => d1:6x + y – 6 = 0

Vơ´i a = - 6b, chọn b = - 1 => a = 6 => d2:6x – y – 6 = 0

4) Cho tam gia´c ABC cân tại A, AB:x – y – 3 = 0, BC: x – 2y + 8 = 0, đường thẳng AC đi qua

M ( 1; 2 ) Tìm tọa độ ca´c đỉnh A, B, C

GIẢI: Tọa độ B là nghiệm của hệ:

A ( a; a -3 ) AB, M ( 1; 2 ) AC

AC đi qua M, nên co´ pt: ( x – 1 ) – 7( y – 2 ) = 0 <=> x -7y + 13 = 0

Tọa độ C là nghiệm của hệ:

Vậy: A ( ), B ( 14; 11 ), C ( - 6, 1 )

5) Tam gia´c ABC cân tại A, AB: x + 2y – 2 = 0, AC: 2x + y + 1 = 0, điểm M ( 1; 2 ) thuộc

đoạn BC Tìm tọa độ điểm D sao cho co´ gia´ trị nhỏ nhâ´t

GIẢI:

BC: a( x – 1 ) + b( y – 2 ) = 0

Tam gia´c ABC cân tại A nên: cos A = cos B <=>

Vơ´i: a = b ,ta chọn b = a = 1 => BC: x + y – 3 = 0, kê´t hợp vơ´i pt ca´c cạnh AB, AC để tìm

ra tọa độ B ( 4; - 1 ), C ( - 4; 7 )

Vơ´i: a = - b ta chọn b = - 1 => BC: x – y + 1 = 0 => B ( 0; 1 ), C ( )

Do => M nằm ngoài đoạn thẳng BC

Vậy ta chọn B ( 4; - 1 ), C ( - 4; 7 )

Gọi I là trung điểm của BC => I ( 0; 3 )Ta co´:

Khi D

Vậy D ( 0; 3)

6 ) Tam gia´c ABC co´ trọng tâm G ( 1; ), đường trung trực của BC co´ pt: x – 3y + 8 = 0, AB: 4x + y – 9 = 0 Xa´c định tọa độ A, B, C

GIẢI:

A ( a; 9 – 4a ), B ( b; 9 – 4b ), do G là trọng tâm nên suy ra C ( 3 – a – b; -7 + 4a + 4b )

Trung điểm I ( ) của BC thuộc trung trực d của BC

=> (1) Mặt kha´c:

=> 3( 3 – 2b – a ) + 4a + 8b - 16 = 0 (2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra: a = 1, b = 3

Vậy A ( 1; 5 ), B ( 3; - 3 ), C ( - 1; 9 )

7 ) Cho d1: x – y + 1 = 0, d2: x – 2 = 0, M ( 2; 1 ) Lập pt đường tròn ( C ) đi qua M, co´ tâm I trên d1 và chă´n trên d2 một dây cung co´ độ dài bằng 6

GIẢI:

( C ) co´ tâm I ( a; a + 1 ), do d2 // Oy và ( C ) că´t d2 theo dây cung co´ độ dài MN1 = 6 vơ´i

N1 ( 2; 7 ) hoặc MN2 = 6 vơ´i N2 ( 2; -5 ) nên ta co´:

Vơ´i I1 ( 3; 4 ), ba´n ki´nh R1 = I1M =

Vơ´i I2 ( -3; -2 ), ba´n ki´nh R2 = I2M =

Vậy co´ hai pt đường tròn :

( C1 ): ( x – 3 )2 + ( y – 4 )2 = 10 ( C2 ): ( x +3 )2 + ( y + 2 )2 = 34

8) Tam gia´c ABC co´ B ( - 2; 1 ), AC: 2x + y + 1 = 0, trung tuyê´n AM: 3x + 2y + 3 = 0 Ti´nh

SABC

HD: Từ 2 pt cạnh AC và AM ta tìm được A ( 1; - 3 ) Gọi C ( c; - 2c – 1 ) AC, co´ B ( -2; 1 )

=> trung điểm M của BC co´ tọa độ M ( ; - c ), thay tọa độ M vào pt cạnh AM => c = 0

=> C ( 0; - 1 ) Pt cạnh BC: x + y + 1 = 0

Ta co´: SABC =

9) Cho E ( -1; 0 ) và ( C ): x2 + y2 – 8x – 4y – 16 = 0 Viê´t pt d đi qua E và că´t ( C ) theo một dây cung co´ độ dài ngă´n nhâ´t

HD: ( C ) co´ tâm I ( 4; 2 ), R = 6; IE = < 6 => E nằm trong đường tròn ( C )

Giả sử d đi qua E, d că´t ( C ) tại M, N Gọi H là trung điểm MN => MN = 2 MH

Vậy để cho MNmin thì d đi qua E, vuông go´c vơ´i IE Từ đo´ viê´t được d: 5x + 2y + 5 = 0

10) Tam gia´c ABC co´ A ( 2; 1 ), trực tâm H ( 14; - 7 ), trung tuyê´n BM: 9x – 5y – 7 = 0

Tìm tọa độ ca´c đỉnh B, C

HD: ptts của BM: => M ( - 2 + 5m; - 5 + 9m ) , do M là trung điểm AC nên suy

ra C ( - 6 + 10m; - 11 + 18m ); B ( -2 + 5b; - 5 + 9b ) BM

:

Vơ´i m = , b = 1 ta được B ( 3; 4 ), C ( - 1; 2 )

11) Cho đường tròn ( C ): x2 + y2 – 9 x – y + 18 = 0, A ( 1; 4 ), B ( - 1; 3 ) Gọi C và D là hai điểm thuộc ( C ) sao cho ABCD là một hình bình hành Viê´t pt đường thẳng CD

HD: ( C ) co´ tâm I ( ), ba´nki´nh R = Vì ABCD là một hình bình hành nên

CD // AB => CD: x – 2y + m = 0

Gọi H là trung điểm CD => CH =

Vậy co´ hai pt đường thẳng CD thỏa yêu cầu bài toa´n là: x - 2y – 1 = 0 và x – 2y – 6 = 0

12) Cho ( C ): ( x - 1 )2+ ( y + 2 )2 = 10, B ( 1; 4 ), C ( - 3; 2 ) Tìm tọa độ điểm A thuộc ( C ) sao cho tam gia´c ABC co´ diện ti´ch bằng 19

GIẢI:

Giả sử A ( x; y ) ( C ) => ( x – 1 )2 + ( y + 2 )2 = 10 ( 1 )

BC: x – 2y + 7 = 0

SABC =

Vơ´i: x – 2y =12, kê´t hợp vơ´i pt ( 1 ) ta được: y = hoặc y = - 5.Từ đo´ tìm ra tọa độ

A (

Vơ´i x – 2y + 26 = 0, kê´t hợp vơ´i pt ( 1 ) => vô nghiệm

Vậy co´ hai điểm A thỏa yêu cầu đề bài: A (

13) Cho tam gia´c ABC cân tại A, AB: x + 2y – 4 = 0; BC: 3x + y – 7 = 0 Tìm tọa độ ca´c đỉnh

A và C, biê´t rằng diện ti´ch tam gia´c ABC bằng và điểm A co´ hoành độ dương

HD:

B ( 2; - 1 ), A ( -2a + 4; a ), C ( c; - 3a + 7 )

SABC =

Do A co´ hoành độ dương nên ta chọn a = 0, lu´c đo´ A ( 4; 0 ) => C ( c; -3c + 7 )

Vậy A (4; 0 ), C ( 3; - 2 )

14) Cho d: x – 2y + 5 = 0, ( C ): x2 + y2 – 2x + 4y – 5 = 0 Qua điểm M thuộc d, ta kẻ hai tiê´p tuyê´n MA, MB đê´n ( C ) ( A, B là hai tiê´p điểm ) Tìm tọa độ điểm M biê´t AB = 2

HD:

( C ) co´ tâm I ( 1; - 2 ), ba´n ki´nh R =

M ( 2m – 5; m ) d

Trong tam gia´c vuông IAM, đường cao AH, ta co´: AH =

Vậy M ( - 1; 2 )

15) Cho hình thoi ABCD co´ tâm I ( 2; 1 ), AC = 2CD Ðiểm M ( 0; ) thuộc đường thẳng

AB, điểm N ( 0; 7 ) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ điểm B

HD:

Gọi N’ là điểm đô´i xư´ng của N qua I => N’ ( 4; -5 ) Ðường thẳng AB đi qua điểm M và N’,

nên co´ ptts: => B ( 4 -3t ; - 5 + 4t ) ; mặt kha´c pttq của AB:4x + 3y – 1 = 0

Gọi H là hình chiê´u vuông go´c của I trên AB, ta co´ IH = d ( I, AB ) = = 2

Ðặt IB = x => IA = 2x, trong tam gia´c vuông IAB co´:

Ta co´: IB2 = ( 2 – 3t )2 + ( - 6 + 4t )2 = 5

 Ca´ch kha´c: ( không cần viê´t ptts của AB ) ta co´ thể giải hệ pt:

Cu˜ng tìm được tọa độ B

16) Cho hình chư˜ nhật ABCD co´ diện ti´ch bằng 22, AB: 3x + 4y + 1 = 0, CD: 2x – y – 3 = 0

Tìm tọa độ ca´c đỉnh A, B, C, D Biê´t điểm D co´ hoành độ dương

GIẢI:

Tọa độ B là nghiệm cùa hệ:

Từ ( 1 ), ( 2 ) suy ra: AB = 2, AD = 11

D ( d; 2d – 3 ) BD Ta co´: AD = d ( D, AB ) = 11 <=>

=> D ( 6; 9 )

Tọa đô A là nghiệm của hệ:

Trung điểm I của AB co´ tọa độ I (

17) Cho ( C ): x2 + y2 – 2x – 4y -5 = 0, A ( 0; 1 ) Tìm tọa độ B và C thuộc ( C ) sao cho tam gia

´c ABC đều

GIẢI:

( C ) co´ tâm I ( 1; 2 ), ba´n ki´nh R = , A ( 0; 1 ) ( C )

Tam gia´c ABC đều , I là trọng tâm, AI vuông go´c vơ´i BC tại trung điểm H của BC

BC đi qua điểm H,

Tọa độ B, C là nghiệm của hệ:

18) Cho hình vuông ABCD co´ đỉnh A thuộc d: x – y – 4= 0, đường thẳng BC đi qua M ( 4; 0 ),

đường thẳng CD đi qua N ( 0; 2 ), tam gia´c AMN cân tại A Xa´c định tọa độ A, B, C, D

GIẢI:

Giả sử A ( t; t – 4 ) d

AM2 = AN2 <=> ( t -4 )2 + ( t – 4 )2 = t2 + ( t – 6 )2 <=> t = - 1 => A ( - 1; - 5 )

BC đi qua M co´ dạng: ax + by – 4a = 0 ( a2 + b2 > 0 )

CD đi qua N và vuông go´c vơ´i BC nên co´ dạng: bx – ay + 2a = 0

Vì ABCD là hình vuông nên: AB = AD

- Vơ´i 3a = - b, chọn a = 1, b = - 3, ta co´: AB: 3x + y + 8 = 0, CD: 3x + y – 2 = 0,

BC: x – 3y – 4 = 0 => B ( - 2; - 2 ), C ( 1; 1 ), D ( 2; - 4 )

- Vơ´i a = 3b, chọn b = 1, a = 3, ta co´: AB: x – 3y + 6 = 0, CD: x – 3y + 6 = 0,

BC: 3x + y – 12 = 0 => B ( 5; - 3 ), C ( 3; 3 ), D ( - 3; 1 )

19) Cho d: 3x + y – 4 = 0 và eli´p ( E ): Viê´t pt d’ vuông go´c d và că´t ( E ) tại hai điểm A, B sao cho tam gia´c OAB co´ diện ti´ch bằng 3

GIẢI:

Do d’ vuông go´c d => d’: x – 3y + m = 0

Pt hoành độ giao điểm của d’ và ( E ): 4x2 + ( x + m )2 = 36 <=> 5x2 + 2mx + m2 – 36 = 0 ( 1 )

d’ că´t ( E ) tại 2 điểm phân biệt <=>

Vơ´i (x2 – x1 )2 = ( x1 + x2 )2 – 4x1x2 =

<=> ( 720 – 16m2 ).m2 = 8100 <=> m2 =

Vậy co´ hai pt d’ thỏa yêu cầu đề bài: x – 3y

20) Cho ( E ): Viê´t pt đường thẳng d // Oy và că´t ( E ) tại hai điểm A, B sao cho

AB = 4

GIẢI:

d // Oy => d: x = a

Tung độ giao điểm của d và ( E ) là nghiệm của pt:

Vậy co´ hai pt đường thẳng d là: x =

21) Lập pt chi´nh tă´c của eli´p ( E ), biê´t rằng co´ một đỉnh và hai tiêu điểm của ( E ) tạo thành

một tam gia´c đều và chu vi hình chư˜ nhật của ( E ) là 12.(2 + )

GIẢI: Gọi pt elip cần tìm (E):

C2 = a2 + b2

Vơ´i hai tiêu điểm F1(-c;0), F2(c;0)

Hai đỉnh trên trục nhỏ là: B1(0;-b), B2(0;b)

Hai đỉnh trên trục lơ´n là: A1(-a;0), A2(a;0)

 Theo đề ta suy ra B1F1F2 đều hoặc B2F1F2 đều

 Từ đo´ ta co´ hệ pt:

* Từ (1) và (2): a2-b2 =

=> a2= <=> b2= <=> b= , thay vào (3) ta được:

a + b = 3(2+

=> a=6 Vơ´i a=6 => b= 3 , c=3

Vậy (E):

Bài 22: Cho (E): Viê´t pt chi´nh tă´c của đường thẳng d đi qua điểm I(2;1) và că´t (E) tại hai điểm M, N Sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MN

=>

M(2+at1; 1+bt1) d

N(2+at2; 1+bt2) d

* Trung điểm I của MN co´ tọa độ thỏa hệ pt

<=> => t1 + t2 = 0 (vì a, b ) (1)

M, N => t1 và t2 là nghiệm của pt

<=>

<=> Ðây là pt bậc hai ẩn sô´ t, pt luôn co´ hai

nghiệm phận biệt t1, t2 Theo Vi-e´t, ta co´: t1 + t2 = (theo (1))

=> => 9a + 8b = 0, Chọn a=8, b= -9 Thì co´ (d):