động lực học chất lỏng tính toán

Trong phần đầu, John Anderson sắp xếp chủ đề trước hết bằng cách mô tả những phương trình chủ đạo của động lực học chất lỏng, hướng tới các thuộc tính toán học chứa những chìa khóa để lự

đại học quốc gia hà nội trường đại học khoa học tự nhiên

John F WENDT (chủ biên)

Mục lục

Mục lục 4

Lời người dịch 8

Lời nói đầu 9

Tiểu sử tóm tắt các tác giả 10

Phần 1 12

Chương 1 Tư tưởng cơ bản của động lực học chất lỏng tính toán 12

1.1 Động lực thúc đẩy: một ví dụ 12

1.2 Động lực học chất lỏng tính toán: đó là gì? 15

1.3 Vai trò của động lực học chất lỏng tính toán trong động lực học chất lỏng hiện đại 15

1.4 Vai trò của khoá học này 23

Chương 2 Những phương trình chủ đạo của động lực học chất lỏng 24

2.1 Mở đầu 24

2.2 Mô hình hóa dòng 25

Thể tích kiểm soát hữu hạn 25

Phần tử chất lỏng vô cùng bé 26

2.3 Đạo hàm thể chất 27

2.4 ý nghĩa vật lý của V   30

2.5 Phương trình liên tục 32

Nguyên lý vật lý: bảo toàn khối lượng 32

2.6 Phương trình động lượng 36

2.7 Phương trình năng lượng 41

2.8 Tóm lược những phương trình chủ đạo cho động lực học chất lỏng: bình luận 47

2.8.1 Phương trình đối với dòng nhớt 48

2.8.2 Phương trình với dòng không nhớt 49

2.8.3 Bình luận về những phương trình chủ đạo 50

2.8.4 Điều kiện biên 51

2.9 Các dạng phương trình chủ đạo đặc biệt phù hợp với CFD: thảo luận về dạng bảo toàn 52

Chương 3 Những dòng không nhớt không nén được: phương pháp tấm nguồn và tấm xoáy 60

3.1 Mở đầu 60

3.2 Một vài khía cạnh cơ bản của dòng không nhớt, không nén được 60

3.2.1 Dòng đều 61

3.2.2 Dòng nguồn 62

3.2.3 Dòng xoáy 62

3.3 Dòng không nâng trên vật thể bất kỳ hai chiều: phương pháp tấm nguồn 63

3.4 Dòng nâng trên vật thể hai chiều bất kỳ: phương pháp tấm xoáy 72

3.5 Một ứng dụng: khí động lực cánh tà mép trước ở dưới và trên mức giảm tốc 79

Chương 4 Những thuộc tính toán học của các phương trình động lực học chất

lỏng 83

4.1 Mở đầu 83

4.2 Phân loại những phương trình đạo hàm riêng 83

4.3 Trạng thái tổng quát của những nhóm phương trình đạo hàm riêng khác nhau và quan hệ của chúng với động lực học chất lỏng 86

4.3.1 Phương trình hyperbolic 87

4.3.2 Phương trình parabolic 89

4.3.3 Phương trình eliptic 90

4.3.4 Một vài bình luận 91

4.3.5 Bài toán được sắp đặt kỹ 92

Chương 5 Rời rạc hoá những phương trình đạo hàm riêng 93

5.1 Mở đầu 93

5.2 Dẫn xuất những sai phân hữu hạn cơ bản 94

5.3 Khía cạnh cơ bản của phương trình sai phân hữu hạn 99

Bình luận chung 102

5.4 Sai số và phân tích ổn định 102

Chương 6 Những phép biến đổi và lưới 109

6.1 Mở đầu 109

6.2 Biến đổi tổng quát các phương trình 111

6.3 Mettric và Jacobian 115

6.4 Tọa độ dãn 117

6.5 Hệ tọa độ khớp biên 120

6.6 Lưới tự thích ứng 125

Chương 7 Những phương pháp sai phân hữu hạn hiện: một số ứng dụng chọn lọc với dòng nhớt và không nhớt 129

7.1 Mở đầu 129

7.2 Phương pháp Lax-Wendroff 130

7.3 Phương pháp MacCormack 134

Bước dự báo: 135

Bước hiệu chỉnh: 135

7.4 Tiêu chuẩn ổn định 136

7.5 Những ứng dụng lựa chọn của kỹ thuật phụ thuộc thời gian hiện 138

7.5.1 Dòng vòi phun không cân bằng 138

7.5.2 Trường dòng siêu âm qua một vật thể mũi tù 140

7.5.3 Dòng động cơ đốt trong 142

7.5.4 Dòng nhớt siêu âm trên một bậc thụt với bơm Hyđrô 145

7.5.5 Dòng nhớt siêu âm trên một chân đế 147

7.5.6 Dòng nhớt chịu nén trên cánh máy bay 148

7.6 Bình luận cuối cùng 150

7.7 Tham khảo (cho các chương 1 -7) 151

Phần 2 155

Chương 8 Những phương trình lớp biên và phương pháp giải 155

8.1 Mở đầu 155

8.2 Mô tả phương trình lớp biên Prandtl 156

8.3 Phân cấp phương trình lớp biên 160

8.4 Biến đổi phương trình lớp biên 164

8.5 Phương pháp giải số 166

8.5.1 Lựa chọn mô hình rời rạc hoá 166

8.5.2 Khái quát hóa sơ đồ Crank-Nicholson 167

8.5.3 Rời rạc hoá phương trình lớp biên 169

8.5.4 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính 3 đường chéo 173

8.6 Tính toán mẫu 175

8.6.1 Tính toán lớp biên ba chiều dọc theo những đường đối xứng 175

8.6.2 Điều kiện hình học 176

8.6.3 Phương trình cơ chất lỏng 177

8.6.4 Điều kiện biên 178

8.6.5 Sơ đồ giải 179

8.6.6 Kết quả số 179

8.7 Tham khảo 181

Chương 9 Những phương pháp ẩn đối với dòng nhớt và không nhớt chịu nén phụ thuộc thời gian, với thảo luận về khái niệm tiêu tán số 184

Mở đầu 184

9.1 Kỹ thuật giải đối với dòng đơn giản hơn và lý do thất bại của chúng đối với phương trình Euler/Navier-Stokes 185

9.1.1 Những chiến lược giải với bài toán dòng đơn giản 185

9.1.2 Bài toán phức tạp hơn 190

9.1.3 Lời giải: cách tiếp cận phụ thuộc thời gian 192

9.2 Thuộc tính ổn định tương ứng của phương pháp ẩn và hiện 193

9.2.1 Sự ổn định của phương pháp số đối với tích phân những phương trình đạo hàm thường 194

9.2.2 Sự ổn định của phương pháp số đối với tích phân các phương trình đạo hàm riêng 199

9.3 Xây dựng phương pháp ẩn cho các bài toán phụ thuộc thời gian 202

9.3.1 Hợp phần cơ bản: tuyến tính hoá 202

9.3.2 Lựa chọn toán tử hiện: sơ đồ trung tâm so với sơ đồ ngược dòng 204

9.3.3 Lựa chọn toán tử ẩn 222

9.3.4 Lựa chọn chiến lược giải hệ thống tuyến tính 224

9.4 Kết luận 230

9.5 Tham khảo 231

Chuơng 10 Giới thiệu kỹ thuật phần tử hữu hạn trong động lực học chất lỏng tính toán 234

10.1 Mở đầu 234

10.2 Trình bày mạnh và yếu của bài toán giá trị biên 236

10.2.1 Trình bày mạnh 236

10.2.2 Trình bày phần dư có trọng số 239

10.2.3 Trình bày Galerkin 239

10.2.4 Trình bày yếu 241

10.2.5 Trình bày biến phân 243

10.2.6 Kết luận 243

10.3 Những hàm hình dạng xác định từng đoạn 243

10.3.1 Nội suy phần tử hữu hạn 243

10.3.2 Những phần tử hữu hạn với liên tục C a hai chiều 248

10.3.3 Những phần tử hữu hạn với tính liên tục C 1 254

10.4 Thực hiện phương pháp phần tử hữu hạn 254

10.4.1 Hợp nhất 254

10.4.2 Tích phân số 256

10.4.3 Thủ tục giải 257

10.5 Ví dụ 257

10.5.1 Dòng thế ổn định không nén được 257

10.5.2 Phương trình Navier-Stokes không nén được trong sự trình bày yếu 259

10.5.3 Phương trình Navier-Stokes ổn định không nén được trong sự trình bày u, v, p 265

10.5.4 Phương trình Euler và Navier-Stokes chịu nén 267

10.6 Sự tiến triển hiện thời 269

10.7 Tham khảo 270

Chương 11 Giới thiệu kỹ thuật thể tích hữu hạn trong động lực học chất lỏng tính toán 272

11.1 Mở đầu 272

11.2 Kỹ thuật thể tích hữu hạn tựa phần tử hữu hạn 276

11.2.1 Trình bày trung tâm ô 277

11.2.2 Trình bày đỉnh ô 287

11.3 Kỹ thuật thể tích hữu hạn tựa sai phân hữu hạn 291

11.3.1 Rời rạc hoá kiểu trung tâm 291

11.3.2 Rời rạc hoá kiểu ngược dòng 291

11.4 Các trình bày khác 296

11.5 Xử lý các đạo hàm 297

11.6 Tham khảo 298

Lời người dịch

Cơ chất lỏng là môn học quan trọng đối với các khoa học liên quan đến chất khí và chất lỏng Từ cơ chất lỏng lý thuyết, cơ chất lỏng kỹ thuật (cơ chất lỏng ứng dụng) đã được phát triển để ứng dụng trong thực tiễn Với sự phát triển mạnh của phương pháp tính và máy tính hiệu năng cao, trong cơ chất lỏng hình thành một hướng đi gọi là động lực học chất lỏng tính toán (CFD), cho phép liên kết lý thuyết thuần túy và thực nghiệm thuần túy CFD là phương pháp thay thế những phương trình đạo hàm riêng chủ đạo của dòng chất lỏng bằng số để nhận được trường dòng chảy quan tâm theo không gian và thời gian CFD được bắt đầu nghiên cứu từ cuối những năm 1950 và có những thành tựu thực

sự đáng kể từ những năm 1980 đến nay Với CFD, có thể mô phỏng bằng số các quá trình vật lý phức tạp như hoàn lưu khí quyển, dòng khí trên tên lửa đạn đạo, trong động cơ đốt trong, dòng chảy trong thủy vực có địa hình phức tạp Khí tượng thủy văn là ngành sử dụng rất nhiều thành tựu của cơ chất lỏng và phương pháp tính hiện đại, do đó không thể thiếu CFD

Giáo trình và chuyên khảo về CFD xuất hiện ngày càng nhiều, trong số đó cuốn

“Computational Fluid Dynamics” của Viện Von Karman (Đức) có nội dung như một khóa

học để trang bị cho sinh viên và học viên cao học những kiến thức vừa cơ bản vừa hiện

đại, có thể áp dụng cho thực tiễn và tiến hành các nghiên cứu triển khai Phần đầu mô tả những phương trình chủ đạo của động lực học chất lỏng (mà hệ phương trình Navier-Stokes là đại diện tiêu biểu), hướng tới các thuộc tính toán học để tiếp cận số Phần sau cuốn sách tập trung vào 3 phương pháp số chủ yếu là: sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn và thể tích hữu hạn Các kỹ thuật tạo lưới như lưới khớp biên, lưới tự thích ứng là rất hiện đại và có ý nghĩa thực tiễn Hy vọng với nội dung này, cuốn sách sẽ mang lại cho sinh viên các ngành khí tượng, thủy văn, hải dương học và toán cơ những kiến thức cần thiết, hiện đại và bổ ích Trước mắt, giáo trình này phục vụ môn học “Phương pháp số trong hải dương học”

Bản dịch bám sát nội dung, nhưng chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót Người dịch cảm ơn Khoa KT-TV-HDH và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã tạo

điều kiện để biên dịch cuốn sách Đồng thời người dịch cảm ơn TS Trần Ngọc Anh đã có những nhận xét và góp ý xác đáng

Nguyễn Thọ Sáo

Lời nói đầu

Quyển sách này là một sản phẩm trong chuỗi bài giảng có cùng tiêu đề của Viện von Karman, lần đầu được giới thiệu vào 1985 và tái bản với những cải tiến trong các năm kế tiếp

Và như vậy, mục tiêu là giới thiệu chủ đề động lực học chất lỏng tính toán (CFD) tới các độc giả xa lạ với mọi thứ, trừ những khía cạnh cơ bản nhất của kỹ thuật số, sao cho ứng dụng thực hành CFD trở nên rõ ràng với mọi người

Những nhận xét từ hàng trăm người theo hướng này động viên người biên tập và tác giả cải thiện nội dung và cách tổ chức theo năm tháng, và để cuối cùng đưa ra ấ bản đầu tiên xuất bản vào năm 1991

Quyển sách được chia ra hai phần Trong phần đầu, John Anderson sắp xếp chủ đề trước hết bằng cách mô tả những phương trình chủ đạo của động lực học chất lỏng, hướng tới các thuộc tính toán học chứa những chìa khóa để lựa chọn tiếp cận số Những phương pháp rời rạc hoá phương trình được thảo luận tiếp theo và sau đó là kỹ thuật biến đổi và

kỹ thuật lưới Mục này khép lại với hai ví dụ phương pháp số có thể hiểu dễ dàng bởi mọi

thứ liên quan: những phương pháp tấm nguồn, tấm xoáy và phương pháp hiện

Phần hai của quyển sách cống hiến bốn chương với kiến thức tiên tiến hơn: Roger Grandmann xử lý các phương trình lớp biên và những phương pháp giải; Gerard Degrez

xử lý những phương pháp ẩn phụ thuộc thời gian với dòng chịu nén nhớt và không nhớt, bao gồm những thảo luận về lựa chọn sơ đồ rời rạc hoá không gian, và Eric Dick xử lý cả phương pháp phần tử hữu hạn lẫn phương pháp thể tích hữu hạn trong hai mục riêng biệt

Những đặc tính mới và mở rộng được viết lại ở Chương 9, chương này đưa ra các phương pháp rõ ràng và toàn diện hơn để xây dựng các khối khác nhau, theo đó những sơ

đồ ẩn theo thời gian được thiết lập

Người biên tập và các tác giả sẽ coi quyển sách là thành công nếu người đọc kết luận rằng họ được chuẩn bị tốt để khảo sát tài liệu trong lĩnh vực này và bắt đầu áp dụng phương pháp CFD để giải những bài toán trong những lĩnh vực liên quan

Lời cảm ơn dành cho nhiều người tại VKI đã tham gia trong việc tổ chức các bài giảng

và quyển sách thành phẩm, và tới GS Bernd Muller của ETH Zurich do việc đọc phiên bản đầu tiên và đưa ra bình luận có ích Nhân cơ hội này, người biên tập cám ơn các tác giả John Anderson, Gerard Degrez, Erik Dick, và Roger Grundmann vì những đóng góp của họ, sự nhiệt huyết của họ cho dự án này, và dạy cho người biên tập những nguyên tắc cơ bản của động lực học chất lỏng tính toán

Tiểu sử tóm tắt các tác giả

GS J.D Anderson, Jr

Trường đại học Maryland, Bộ môn Kỹ nghệ Không gian,

College Park, Maryland 20902, USA

John D Anderson, Jr là GS Kỹ nghệ Không gian và là thành viên chính thức của ủy ban Lịch sử và Triết học của Khoa học tại trường Đại học Tổng hợp Maryland Ngoài ra,

ông là thành viên thỉnh giảng như trợ lý đặc biệt về khí động lực tại Bảo tàng Không khí

và Không gian Quốc gia, Viện Smisonian, Washington, DC

Ông nhận bằng cử nhân công trình tại trường Đại học Tổng hợp Florida và TS tại trường Đại học Tổng hợp về kỹ nghệ hàng không và không gian Ông đã giữ một số vị trí gồm trưởng bộ môn Nhóm Siêu âm, Phòng thực nghiệm Quy chuẩn Hải quân của Hoa Kỳ, chủ tịch bộ môn Kỹ nghệ Không gian tại Trường đại học Maryland, và chủ tịch Charles Lindbergh tại Bảo tàng Không khí và Không gian Quốc gia của Viện Smisonian

TS Anderson là tác giả của sáu cuốn sách giáo khoa và hơn 110 bài báo chuyên ngành Vào năm 1989, ông được giải thưởng John Leland Atwood của Viện Hàng không

và Không gian Hoa Kỳ và tặng thưởng của Hội Giáo dục Công trình Hoa Kỳ về sự tuyệt diệu trong đào tạo kỹ nghệ không gian

GS G Degrez

Bộ môn hàng không/Không gian, Viện von Karman,

72, Chaussee de Waterloo,

1640 Rhode-Saint-Genese, Bỉ

Gerard Degrez, PGS tại Viện von Karman về Động lực học Chất lỏng, Bỉ, nhận bằng

kỹ sư công trình tại Trường đại học Brussels Sau đó ông tham dự cao học tại Trường đại học Princeton, tại đó ông nhận bằng ThS Khoa học về Kỹ nghệ Ông là trợ lý tại Trường

đại học Brussels trong khi tiến hành nghiên cứu tại Viện von Karman để trở thành TS của Trường đại học Brussels Từ trợ lý, rồi PGS về Kỹ nghệ hàng không tại Trường đại học Sherbrooke (Canada) từ 1985 đến 1990, ông liên kết với bộ môn Không gian tại Viện von Karman Hoạt động nghiên cứu của ông liên quan đến những phương pháp tính với dòng nén và không nén, đặc biệt là phát triển những phương pháp lưới phi cấu trúc ngược dòng ẩn trong hợp tác với nhóm VKI CFD, và dòng nhớt tốc độ cao

GS E Dick

Trường đại học Ghent,

Sint-Pietersnieuwstraat 41,

9000 Gent, Bỉ

Erik Dick nhận bằng kỹ sư Kỹ nghệ Cơ khí tại Trường đại học Ghent, Bỉ, vào năm

1973 và TS về cơ chất lỏng cùng ở trường đại học đó vào năm 1980 Từ 1974 đến 1991,

ông đã làm việc tại Trường đại học Ghent trong bộ môn Kỹ nghệ Cơ khí, ngành máy phản lực, là nhà nghiên cứu và người lãnh đạo nghiên cứu Vào năm 1991 ông trở thành PGS

và năm 1995 là GS trong cùng ban Ông dạy cơ chất lỏng lý thuyết, cơ chất lỏng tính toán, máy phản lực và máy bay trực thăng Hoạt động khoa học chính của ông là kỹ thuật tính toán và mô hình hóa sự chuyển tiếp Công trình thuật toán gần đây của ông là về kỹ thuật thể tích hữu hạn ngược dòng kết hợp với những phương pháp lưới đa cấp Công trình mô hình hoá của ông tập trung vào phương trình dòng có điều kiện để mô tả sự chuyển tiếp

động lực của con tàu trở nên rất khốc liệt, và là mối quan tâm nổi bật trong thiết kế những con tàu như vậy Hơn nữa, bạn biết được công việc thực hiện gần đây tại Phòng thực nghiệm hàng không Ames của NACA bởi H Julian Alien và những đồng nghiệp, trong đó một vật thể mũi tù chịu sức nóng khí động lực ít hơn nhiều vật thể mũi nhọn, sắc - điều ngược lại với trực giác của công chúng vào thời gian ấy Công trình này cuối cùng được chuyển từ dạng mật sang dạng công khai và được công bố vào năm 1958 trong

Báo cáo NACA 1381 có tiêu đề "Nghiên cứu chuyển động và sức nóng khí động lực của tên

lửa đạn đạo khi đi vào khí quyển Trái đất với vận tốc siêu thanh" Do vậy, bạn biết rằng

nhiệm vụ của bạn là thiết kế một vật thể mũi tù cho tốc độ siêu cao Hơn nữa từ thực nghiệm gió siêu âm trong đường hầm, bạn biết rằng trường dòng khí trên vật thể mũi tù

được phác họa định tính như trong Hình 1.1 Bạn biết rằng một sóng xung mạnh hình cung nằm phía trước mũi tù, cách mũi khoảng , được gọi là khoảng cách tách xung Bạn biết rằng nhiệt độ khí giữa xung và vật thể có thể cao đến 7000oK đối với một tên lửa đạn

đạo xuyên lục địa ICBM và 11000oK đối với sứ mệnh lên mặt trăng Và bạn biết rằng cần phải hiểu một vài chi tiết của dòng khí này để thiết kế con tàu một cách thông minh Như vậy, bước lôgíc đầu tiên của bạn là thực hiện sự phân tích dòng khí động lực trên một vật thể mũi tù để cung cấp thông tin chi tiết về phân bố áp suất và truyền nhiệt trên bề mặt vật thể, và để khảo sát những thuộc tính của lớp xung nhiệt độ cao giữa sóng xung hình

cung và vật thể Bạn hỏi những câu hỏi như sau: dạng sóng xung hình cung như thế nào; khoảng tách xung  là gì; phân bố nhiệt độ và áp suất trong lớp xung ra sao, vv Tuy nhiên, điều kinh khủng đối với bạn là, bạn thấy rằng không tồn tại một lý thuyết khí

động lực đáng tin cậy và chính xác để trả lời những câu hỏi của bạn Bạn nhanh chóng khám phá rằng độ chính xác và phân tích thực hành dòng siêu âm trên vật thể mũi tù

đang nằm ngoài khả năng hiện thời của bạn Kết quả là, cuối cùng bạn phải dùng đến thông tin thực nghiệm với một vài lý thuyết đơn giản nhưng gần đúng (như lý thuyết Newton) để thực hiện nhiệm vụ thiết kế con tàu giao cho bạn

Hình 1.1 Những khía cạnh định tính của dòng trên vật thể mũi tù có tốc độ siêu âm

Đoạn trên minh họa một trong những bài toán quan trọng nhất, tuy vẫn còn lúng túng, về khí động lực của những năm 1950 và đầu những năm 1960 ứng dụng của những vật thể mũi tù đã trở nên vô cùng quan trọng bởi ICBM và sau đó là Chương trình kiểm soát không gian Tuy vậy, không tồn tại lý thuyết khí động lực thích hợp để tính toán dòng khí trên những vật thể như vậy Đương nhiên, toàn bộ các phiên họp kỹ thuật (như những cuộc họp của Viện Khoa học Hàng không ở Hoa Kỳ, về sau trở thành Viện Hàng không và Không gian Mỹ) đã đặc biệt dành riêng cho nghiên cứu bài toán vật thể mũi tù siêu âm Hơn nữa, ngày đó một vài nhà khí động lực giỏi nhất đã tiêu phí thời gian của họ cho bài toán này, dù được cấp vốn và động viên rất lớn bởi NACA (sau này là NASA), Không lực Mỹ và những cơ quan khác

Cái gì đã gây ra khó khăn? Tại sao dòng khí trên một vật thể chuyển động với vận tốc siêu âm lại khó tính toán như vậy? Về cơ bản câu trả lời dựa vào phác họa trong Hình 1.1, hình này minh họa dòng ổn định qua một vật thể mũi tù siêu âm Khu vực dòng ổn định gần vùng mũi đằng sau xung về cục bộ là dưới âm, và do vậy được kiểm soát bởi những

phương trình đạo hàm riêng eliptic Ngược lại, dòng xa hơn ở hạ lưu mũi trở nên siêu âm,

và dòng ổn định siêu âm cục bộ này được kiểm soát bởi những phương trình đạo hàm riêng hyperbolic Những phương trình "eliptic" và "hyperbolic" có nghĩa là gì, và sự khác biệt toán học giữa chúng sẽ được thảo luận trong Chương 4 Đường phân cách giữa những vùng dưới âm và siêu âm được gọi là hàng rào âm thanh, như thể hiện trong Hình 1.1 Sự thay đổi trạng thái toán học của những phương trình chủ đạo từ eliptic trong vùng dưới

âm đến hyperbolic trong vùng siêu âm tạo nên một phân tích toán học chặt chẽ bao gồm cả hai vùng là gần như không thể nào nhận được Các kỹ thuật được phát triển cho phần dưới âm, và những kỹ thuật khác (như "phương pháp đặc trưng" chuẩn) được phát triển cho vùng siêu âm Không may là việc vá víu cho phù hợp các kỹ thuật khác nhau này đối với vùng chuyển tiếp xung quanh đường âm thanh là vô cùng khó Do đó sau giữa những năm 60, vẫn chưa tồn tại kỹ thuật khí động lực thích hợp để xử lý toàn bộ dòng khí qua vật thể mũi tù Tình trạng này được ghi nhận rõ ràng trong sách giáo khoa cổ điển của Liepmann và Roshko [1] xuất bản vào năm 1957, trong đó một thảo luận về dòng khí trên vật thể mũi tù ở trang 105, phát biểu:

"Vào thời điểm hiện nay, dạng xung và khoảng tách xung là không thể dự báo về mặt

lý thuyết"

Mục đích của thảo luận dài dòng này về tình trạng bài toán vật thể mũi tù vào cuối những năm 1950 là đặt nền móng cho điểm quan trọng sau đây Vào năm 1966, đã xảy ra một bước đột phá trong bài toán vật thể mũi tù Sử dụng khả năng đang phát triển của

động lực học chất lỏng tính toán tại thời gian ấy, và áp dụng khái niệm tiếp cận "phụ thuộc thời gian" đối với trạng thái ổn định, Moretti và Abbett [2] đã phát triển một lời giải số sai phân hữu hạn cho bài toán vật thể mũi tù siêu âm, thiết lập nên lời giải kỹ nghệ thực hành trực tiếp đầu tiên với dòng này Lời giải này sẽ được thảo luận trong Chương 7 Sau năm 1966, bài toán vật thể mũi tù thực sự không còn là "vấn đề" Những phòng thực nghiệm công nghiệp và của chính phủ nhanh chóng chấp nhận kỹ thuật tính toán này cho những phân tích vật thể mũi tù của họ Có lẽ khía cạnh nổi bật nhất để so sánh là, bài toán vật thể mũi tù siêu âm, một trong số những bài toán lý thuyết khí động lực của những năm 1950 và những năm 1960 được nghiên cứu nghiêm túc nhất, khó nhất, thì ngày nay được coi như bài tập ở nhà cho khoá cao học về động lực học chất lỏng tính toán tại Trường đại học Maryland

Đây là một ví dụ về sức mạnh của động lực học chất lỏng tính toán Mục đích của

những bài giảng này là trình bày về động lực học chất lỏng tính toán Ví dụ trên liên quan đến dòng vật thể mũi tù phục vụ để minh họa tầm quan trọng của động lực học chất lỏng tính toán đối với những ứng dụng khí động lực hiện đại ở đây, nếu một bài toán quan trọng không thể giải theo kiểu thực hành trước khi có động lực học chất lỏng tính toán (CFD), thì bây giờ trở thành dễ dàng và trực tiếp nhờ sử dụng kỹ thuật hiện đại của CFD Tất nhiên, đây chỉ là một trong nhiều ví dụ mà CFD đang cách mạng hóa thế giới khí động lực Mục đích của tác giả hiện nay khi viết bài giảng này, và bạn sẽ đọc chúng

và dự các khoá VKI ngắn hạn, là đưa bạn tới cuộc cách mạng này

Nói riêng, nếu bạn quan tâm hơn về chi tiết lịch sử của bài toán vật thể mũi tù, xem Mục 1.1 của Tham khảo 3

1.2 Động lực học chất lỏng tính toán: đó là gì?

Những khía cạnh vật lý của bất kỳ dòng chất lỏng nào đều được kiểm soát bởi ba

nguyên lý cơ bản sau: (1) bảo toàn khối lượng; (2) F = ma (định luật thứ hai của Newton);

và (3) bảo toàn năng lượng Những nguyên lý cơ bản này có thể biểu thị dưới dạng các số hạng của phương trình toán học, mà dạng tổng quát nhất của chúng là những phương trình đạo hàm riêng theo thông lệ Động lực học chất lỏng tính toán là nghệ thuật thay thế những phương trình đạo hàm riêng chủ đạo của dòng chất lỏng bằng số và đưa những

số này vào không gian và/hoặc thời gian để nhận được sự mô tả số cuối cùng của trường dòng chảy đầy đủ cần quan tâm Đây không phải là định nghĩa bao quát của CFD; có một

số bài toán cho phép lời giải tức thời của trường dòng chảy mà không cần đưa vào thời gian hoặc không gian, và có một vài ứng dụng xét đến những phương trình tích phân thay vì những phương trình đạo hàm riêng Trong bất kỳ sự kiện nào, tất cả các bài toán như vậy đều xét đến sự thao tác số và lời giải số Sản phẩm cuối cùng của CFD đương nhiên là một tập hợp của những con số, ngược với lời giải giải tích dạng khép kín Tuy nhiên rốt cuộc là, mục tiêu của đa số các phân tích kỹ nghệ, dạng khép kín hoặc này khác, là mô tả

định lượng của bài toán, tức là bằng những con số [Ví dụ xem Tham khảo 4]

Tất nhiên, công cụ cho phép tăng tốc thực hành CFD là máy tính số cao tốc Những lời giải CFD nói chung yêu cầu thao tác lặp hàng nghìn, hoặc thậm chí là hàng triệu con

số - một nhiệm vụ không thể thực hiện bởi con người mà không có sự trợ giúp của máy tính Bởi vậy, những ưu thế của CFD và ứng dụng của nó với những bài toán ngày càng chi tiết và phức tạp hơn, liên quan mật thiết với phần cứng máy tính, đặc biệt là dung lượng và vận tốc tính toán Đó là tại sao nguồn lực mạnh nhất dẫn đến sự phát triển những siêu máy tính mới là đến từ cộng đồng CFD (ví dụ xem bài khảo sát của Graves [5])

1.3 Vai trò của động lực học chất lỏng tính toán trong động lực học chất lỏng hiện đại

Trước hết, chúng ta hãy thực hiện một số bình luận lịch sử Có lẽ ví dụ chính đầu tiên của động lực học chất lỏng tính toán là công trình của Kopal [6], người vào năm 1947 đã biên tập những bảng khổng lồ các dòng siêu âm chảy qua những hình nón nhọn bằng lời giải số các phương trình vi phân chủ đạo (phương trình Taylor-Maccoll [7]) Những lời giải này được thực hiện trên máy tính số nguyên thuỷ tại Viện Công nghệ Massachusetts Tuy nhiên, thế hệ đầu tiên của lời giải động lực chất lỏng tính toán xuất hiện vào thời kỳ những năm 1950 và đầu những năm 1960 đã được thúc đẩy bằng việc xuất hiện đồng thời của máy tính hiệu năng cao, và bởi nhu cầu giải các bài toán vật thể bay có vận tốc cao, nhiệt độ cao Những nhiệt độ cao cần xét đến trong những năng lượng dao động và phản ứng hóa học trong các bài toán dòng, đôi khi cân bằng và đôi khi lại không cân bằng Hiện tượng vật lý như vậy nói chung không thể giải bằng giải tích, thậm chí với dạng dòng đơn giản nhất Bởi vậy lời giải số của phương trình chủ đạo trên máy tính số cao tốc là một nhu cầu tuyệt đối Những ví dụ tính toán của thế hệ đầu tiên là công trình tiên phong của Fay và Riddell [8], và Blottner [9, 10] đối với các lớp biên, và Hall và nnk [11] cho dòng

không nhớt Mặc dù việc mô tả các tính toán động lực khí có nhiệt độ cao như vậy theo kiểu "động lực học chất lỏng tính toán" là không hợp thời vào lúc đó, chúng vẫn đại diện cho thế hệ đầu tiên của chuyên ngành này

Hình 1.2 Mối quan hệ giữa thực nghiệm thuần tuý và lý thuyết thuần tuý

Thế hệ thứ hai của lời giải động lực học chất lỏng tính toán, những lời giải mà ngày nay nói chung là mô tả nguyên lý, đòi hỏi áp dụng những phương trình chủ đạo cho các bài toán động lực học chất lỏng ứng dụng, chính chúng rất phức tạp (dù không có mặt những phản ứng hóa học ) đến mức phải sử dụng máy tính Ví dụ của những bài toán khó cố hữu như vậy là dòng dưới âm - siêu âm hỗn hợp (như bài toán vật thể mũi tù siêu

âm thảo luận trong Mục 1.1), và dòng nhớt mà không đáng phải xấp xỉ lớp biên, như dòng tách và dòng tái lưu Với trường hợp này, phương trình Navier-Stokes đầy đủ yêu cầu một lời giải chính xác Trong trường hợp sau, kỹ thuật phụ thuộc thời gian được trình bày theo kiểu thực hành vào giữa những năm 60 đã tạo ra một cách mạng trong tính toán trường dòng Kỹ thuật này sẽ được thảo luận trong Chương 7

Vai trò của CFD trong dự báo kỹ nghệ đã trở nên mạnh đến mức ngày nay nó có thể

được nhìn nhận như "chiều thứ ba" trong động lực học chất lỏng, hai chiều khác là những trường hợp cổ điển của thực nghiệm thuần tuý và lý thuyết thuần tuý Mối quan hệ này

được phác hoạ trong Hình 1.2 Từ năm 1687, với sự công bố Principia của Isaac Newton

cho tới giữa những năm 1960, những tiến bộ về cơ chất lỏng được thực hiện bằng cách tổ hợp đồng vận các thực nghiệm tiên phong và phân tích lý thuyết cơ bản - những phân tích

mà hầu như luôn yêu cầu sử dụng những mô hình dòng đơn giản để nhận được lời giải dạng khép kín của các phương trình chủ đạo Những lời giải dạng khép kín có lợi thế nổi bật là đồng nhất ngay lập tức một vài tham số cơ bản của bài toán đã cho, và thể hiện rõ ràng câu trả lời cho những bài toán bị ảnh hưởng bởi sự biến đổi các tham số như thế nào Chúng thường bất lợi là không đưa ra mọi quá trình vật lý cần thiết của dòng CFD đi từng bước vào khung cảnh này vào giữa những năm 60 Với khả năng kiểm soát các phương trình chủ đạo ở dạng "chính xác" cùng việc xem xét các hiện tượng vật lý chi tiết như phản ứng hóa học ở mức độ hạn chế, CFD nhanh chóng trở thành một công cụ phổ biến trong phân tích kỹ nghệ Ngày nay, CFD hỗ trợ và bổ sung cả thực nghiệm thuần tuý lẫn lý thuyết thuần tuý, và quan điểm của các tác giả là từ giờ trở đi và sẽ luôn như

thế, CFD không phải là một say mê nhất thời; thay vì đó, với máy tính số cao tốc CFD sẽ duy trì chiều thứ ba trong động lực học chất lỏng, có dáng vóc và tầm quan trọng như nhau đối với thực nghiệm và lý thuyết Nó có một vị trí cố định trong tất cả các khía cạnh của động lực học chất lỏng, từ nghiên cứu cơ bản đến thiết kế kỹ nghệ

Hình 1.3 Những khía cạnh định tính của dòng qua một vật thể mũi tù siêu âm

Một trong những khía cạnh quan trọng nhất của CFD hiện đại là tác dụng của nó với việc thử nghiệm trong đường hầm gió Điều này liên quan tới việc giảm nhanh giá thành tính toán so với sự tăng nhanh kinh phí thực nghiệm trong đường hầm gió Trong khảo sát CFD đầu tiên vào năm 1979, Chapman [12] cho thấy hình vẽ chi phí tính toán tương

đối là một hàm của các năm kể từ 1953 Nó được trình bày trên Hình 1.3, trong đó sẽ thấy rằng chi phí tính toán tương đối đã giảm bớt một bậc về độ lớn từng tám năm một kể từ

1953, và vẫn giảm cho đến nay Đó là do sự phát triển không ngừng của những máy tính mới với thời gian chạy nhanh hơn, dẫn tới một lớp máy tính được gọi là "siêu máy tính" như máy CRAY và CYBER 205 Kết quả là, việc tính toán những đặc trưng khí động lực

để thiết kế máy bay mới theo các ứng dụng của CFD trở nên rẻ hơn nhiều so với việc đo

đạc những đặc trưng đó trong đường hầm gió Đương nhiên trong công nghiệp máy bay, việc thử thiết kế sơ bộ máy bay mới được thực hiện theo một loạt kiểm nghiệm đường hầm gió, thì ngày nay được thực hiện gần như trọn vẹn trên máy tính, đường hầm gió đ-

ược sử dụng cho thiết kế cuối cùng Đây là thực tế đặc biệt trong thiết kế dạng cánh máy bay mới [13] Ngoài bài toán kinh tế, CFD tạo cơ hội để nhận được thông tin trường dòng chi tiết, một vài trong số đó rất khó đo trong đường hầm gió, hoặc bị biến đổi bởi hiệu ứng tường chắn

Tất nhiên, tính kiên định trong thảo luận trên giả thiết rằng những kết quả CFD là chính xác cũng như hiệu ích của chi phí; nếu không, bất kỳ giả thiết nào về vai trò của

đường hầm gió thay thế bởi CFD cũng thành ngu xuẩn Những kết quả của CFD chỉ hợp

lệ khi những mô hình vật lý được tích hợp với phương trình chủ đạo và điều kiện biên và bởi vậy tùy thuộc vào sai số, đặc biệt đối với dòng rối Những sai số cắt cụt liên quan đến

thuật giải đặc biệt được sử dụng để nhận được lời giải số, và cũng như sai số làm tròn, cả hai kết hợp để thỏa hiệp độ chính xác của những kết quả CFD Những bài toán như vậy

sẽ được thảo luận trong các mục sau Mặc dù có những hạn chế cố hữu này, những kết quả của CFD chính xác đến mức ngạc nhiên đối với nhiều ứng dụng

Hình 1.4 Một ứng dụng phức tạp của khí động lực tính toán [theo Tham khảo 12]

Một ví dụ như vậy đã cho trong tham khảo 12, và được tái tạo trong Hình 1.4 ở đây chúng ta thấy việc tính toán hệ số nâng cho tổ hợp tàu quĩ đạo con thoi không gian/Boeing 747 nhận được từ một thực hiện phức tạp theo phương pháp tấm chắn dưới

âm (phương pháp tấm chắn sẽ được thảo luận trong Chương 3) Việc so sánh với dữ liệu

đường hầm gió cho phía dưới Hình 1.4 minh họa rõ ràng ở mức độ chính xác cao Đối mặt với so sánh này và lưu ý rằng các tính toán thường rẻ hơn phép đo đường hầm gió, những

kỹ sư hàng không đang ngày càng chuyển vai trò thử thiết kế sơ bộ từ đường hầm gió lên máy tính

Vai trò của CFD trong thiết kế sơ bộ có một hiệu quả trên nghiên cứu cơ bản Giả thiết rằng đã có lời giải CFD đối với một dòng chảy cơ bản (ví dụ, dòng phân tách trên thềm mặt sau) chứa tất cả yếu tố vật lý quan trọng, thì lời giải CFD này (chính là chương

trình máy tính) là một công cụ số Lần lượt, công cụ số có thể sử dụng để thực hiện thực

nghiệm số để trợ giúp nghiên cứu đặc trưng cơ bản của dòng chảy Những thực nghiệm số

này là tương tự trực tiếp với những thực nghiệm thực tế trong phòng thí nghiệm

Những loại trường dòng nào bây giờ có thể hoàn toàn được kiểm soát bởi CFD? Trả lời

đầy đủ câu hỏi này phải mất hàng tuần thảo luận và hàng tập bài giảng Tuy nhiên, chỉ một ví dụ nhỏ sẽ được đề cập ở đây

(1) Trường dòng đi qua không gian tàu con thoi Hình 1.5 minh họa một tính toán của sóng xung bao quanh một tàu kiểu con thoi Hình 1.6 minh họa phân bố áp suất dọc theo

đường trục đón gió và Hình 1.7 minh họa phân bố áp suất dọc theo hướng tăng khẩu độ

Hình 1.5 Tính toán dạng sóng xung bao quanh tàu kiểu con thoi với số Mach = 6 và góc khép là 26.6 độ

(theo Weilmuenser, K.J., "Tính toán dòng không nhớt có góc khép lớn cho tàu kiểu con thoi so với số liệu bay", tài liệu AIAA số 83-1798, 1983.) Chú ý: sự thể hiện êm ả của sóng xung là nhờ lưới sai phân hữu hạn

sử dụng trong tính toán

Hình 1.6 Tính toán phân bố áp suất dọc đường trục đón gió của tàu con thoi không gian, và so sánh với

số liệu chuyến bay kiểm tra (theo Weilmuenser, như tham khảo trong Hình 1.5)

Hình 1.7 Tính toán phân bố áp suất tăng khẩu độ trên mặt đón gió tàu con thoi không gian (theo Maus,

J.R và nnk: "Số Mach siêu âm và những hiệu ứng khí thực tế lên khí động lực tàu con thoi quỹ đạo không

gian", Tạp chí Tàu vũ trụ và Tên lửa, Tập 21, Số 2, Tháng Ba-Bốn, năm 1984, trang 136-141)

Hình 1.8 Tính toán xoáy mép trước của một cánh hình đenta (theo khoá ngắn hạn AIAA có tiêu đề "Sử

dụng lời giải Euler" Tháng bảy 1984, với tư liệu giới thiệu bởi Wolfgang Schmidt)

(2) Chảy qua những vật thể có cánh hình mũi tên, như trong Hình 1.8 ở đây minh họa dòng xoáy từ mép cánh

(3) Những dòng dao động không ổn định đi qua cửa vào động cơ siêu âm, được đưa vào Hình 1.9 ở đây, những đường đẳng trị số Mach được cho theo bốn thời điểm khác nhau

(4) Trường dòng khí trên một xe ô tô kéo rơ moóc, được cho bằng các đường dòng trong Hình 1.10

(5) Dòng đi qua những buồng đốt động cơ phản lực siêu âm, như trên Hình 1.11 Danh sách còn nhiều Chúng chỉ là số ít ví dụ của việc những phương pháp của CFD

được sử dụng ngày nay như thế nào

Hình 1.9 Tính toán dòng không ổn định trong lạch (Theo Newsome, R W., “Mô tả số trường dòng không

ổn định gần phân giới và dưới phân giới trong lạch”, Tài liệu AIAA No83-0175, 1983)

Cái gì CFD không làm được? Trả lời cơ bản cho câu hỏi này là nó không thể tái tạo quá trình vật lý không được xét đúng mức trong trình bày bài toán Ví dụ quan trọng nhất là chuyển động rối Đa số các lời giải CFD với dòng rối hiện nay chứa những mô hình rối chỉ là xấp xỉ quá trình vật lý thực tế, và phụ thuộc vào dữ liệu kinh nghiệm đối với các hằng số khác nhau trong mô hình rối Bởi vậy mọi lời giải CFD với dòng rối chưa phải chính xác, mặc dù một số tính toán cho một vài tình huống là hợp lý Điều thú vị là thấy rằng cộng đồng CFD đang trực tiếp "tấn công" bài toán này theo ý nghĩa cơ bản nhất Ngày nay có nhiều công trình hướng tính toán trực tiếp về rối [Tham khảo 12] Nó dựa trên giả thiết rằng trong quy mô đủ mịn, mọi dòng rối đều tuân thủ phương trình Navier-Stokes (sẽ dẫn trong Chương 2); và nếu có thể sử dụng một lưới đủ mịn với số đủ lớn các điểm lưới, ở cả quy mô mịn và thô có thể tính toán các đặc trưng rối Đây là lĩnh vực rộng mở cho nghiên cứu CFD

Hình 1.10 Dòng tính toán theo hình thái xe ôtô kéo moóc (theo tham khảo như hình 1.8)

Hình 1.11 Tính toán trường dòng trong động cơ phản lực (Theo Drummond, J P và Weidner, E H., “Mô tả

số trường dòng trong động cơ phản lực”, Tạp chí AIAA, Tập 20, No9, IX/1982, tr 1182-1187)

Một lần nữa điều nhấn mạnh là, những lời giải CFD là nô lệ của mức độ vật lý thể hiện chúng Ví dụ khác là tính toán dòng phản ứng hóa học ở đây cơ chế suất động lượng hoá học cũng như độ lớn những hằng số thường không chặt chẽ, và bất kỳ lời giải CFD nào sẽ phải thỏa hiệp với những sự không chặt chẽ này

1.4 Vai trò của khoá học này

Mục tiêu của khoá học này có phần hơi khác với khoá ngắn hạn quy ước trong động lực học chất lỏng tính toán Mục đích của chúng ta ở đây là cung cấp một thể hiện rất cơ bản và thực hành của CFD, nhấn mạnh đến cơ sở và khảo sát một số kỹ thuật giải, từ dòng không nén vận tốc thấp đến dòng siêu tốc Khoá này tập trung một cách đầy đủ vào các sinh viên - người chưa có kinh nghiệm hoặc không từng trải trong động lực học chất lỏng tính toán Mục đích của khoá này là cung cấp cho những sinh viên như vậy: (A) sự hiểu thấu nào đó về tư tưởng và sức mạnh của CFD; (B) hiểu biết những phương trình chủ đạo; (C) làm quen với nhiều kỹ thuật giải phổ biến; và (D) từ vựng sử dụng trong môn học Hy vọng rằng khi kết thúc khoá học, bạn sẽ được chuẩn bị tốt để hiểu tài liệu tham khảo ở lĩnh vực này, đi theo các bài giảng phức tạp hiện đại hơn và bắt đầu ứng dụng CFD cho những lĩnh vực đặc biệt mà bạn quan tâm

Chương 2 những phương trình chủ đạo của Động

lực học Chất lỏng

J.D Anderson, Jr

2.1 Mở đầu

Nền tảng của động lực học chất lỏng tính toán là những phương trình chủ đạo cơ bản

của động lực học chất lỏng - phương trình liên tục, động lượng và năng lượng Những

phương trình này nói đến quá trình vật lý Chúng là những phát biểu toán học của ba

nguyên lý vật lý cơ bản mà toàn bộ động lực học chất lỏng đặt cơ sở trên đó:

(1) bảo toàn khối lượng,

(2) F = ma (định luật thứ hai của Newton),

(3) bảo toàn năng lượng

Mục đích của chương này là dẫn xuất và thảo luận về những phương trình này Mục tiêu chọn thời gian và không gian để dẫn ra các phương trình chủ đạo của động lực học chất lỏng theo hướng này có ba nhóm:

(1) Vì tất cả CFD dựa vào những phương trình này, điều quan trọng là mỗi sinh viên cảm thấy rất thuận tiện với những phương trình này trước khi tiếp tục những nghiên cứu của mình, và chắc chắn trước khi khởi sự bất kỳ ứng dụng nào của CFD đối với một bài toán đặc biệt

(2) Tác giả giả thiết những người dự khoá VKI ngắn hạn này có những kinh nghiệm

và cơ sở khác nhau Một số bạn về tổng thể có thể không quen với những phương trình này, trong khi những người khác có thể sử dụng chúng hàng ngày Với số người trước, chương này hy vọng làm một vài sáng tỏ; với số người sau, hy vọng chương này sẽ là một tổng quan thú vị

(3) Những phương trình chủ đạo có thể nhận được ở nhiều dạng khác nhau Với đa số

lý thuyết khí động lực, dạng đặc biệt của những phương trình làm cho chúng hơi khác nhau Tuy nhiên với CFD, việc sử dụng những phương trình ở một dạng này có thể dẫn tới thành công, trong khi sử dụng một dạng khác có thể tạo ra nhiễu động trong kết quả

số, hoặc thậm chí là bất ổn định Bởi vậy trong thế giới CFD, nhiều dạng phương trình là mối quan tâm sống còn Lần lượt, điều quan trọng là dẫn xuất những phương trình này

để chỉ ra những sự khác nhau và giống nhau của chúng và phản ánh sự liên quan có thể giữa ứng dụng của chúng với CFD

2.2 Mô hình hóa dòng

Để nhận được những phương trình cơ bản của chuyển động chất lỏng, tư tưởng sau luôn được tuân thủ:

(1) Chọn những nguyên lý vật lý cơ bản thích hợp từ những định luật vật lý, như (a) Bảo toàn khối lượng,

(b) F = ma (định luật thứ hai của Newton),

(c) Bảo toàn năng lượng

(2) áp dụng những nguyên lý vật lý này cho một mô hình dòng thích hợp

(3) Từ ứng dụng này, rút ra những phương trình toán học gồm những nguyên lý vật

lý như vậy

Mục này đề cập đến mục (2) ở trên, tức là xác định một mô hình thích hợp của dòng

Đây không phải là một xem xét tầm thường Một vật thể rắn khá dễ nhìn và xác định; mặt khác, một chất lỏng 'quánh' thì khó mà nắm bắt được Nếu một vật thể rắn trong chuyển động tịnh tiến, thì vận tốc của mỗi phần của vật thể là như nhau; mặt khác, nếu một chất lỏng chuyển động thì vận tốc có thể khác nhau tại mỗi vị trí trong chất lỏng Làm thế nào chúng ta thể hiện chất lỏng chuyển động để áp dụng với những nguyên lý vật lý cơ bản?

Với một chất lỏng liên tục câu trả lời là xây dựng một trong số hai mô hình sau

Thể tích kiểm soát hữu hạn

Xét một trường dòng tổng quát như được thể hiện bởi những đường dòng trong Hình

2.1a Ta hãy tưởng tượng một thể tích khép kín vẽ trong một khu vực hữu hạn của dòng Thể tích này xác định một thể tích kiểm soát V và một bề mặt kiểm soát S, xác định như

bề mặt khép kín bao quanh thể tích Thể tích kiểm soát có thể cố định trong không gian với chất lỏng chuyển động vòng qua nó, như ở bên trái Hình 2.1a Tương tự, thể tích kiểm soát có thể chuyển động cùng với chất lỏng, sao cho những hạt chất lỏng cùng nhau luôn ở trong nó, như bên phải của Hình 2.1a Trong mọi trường hợp, thể tích kiểm soát là một vùng đủ lớn, hữu hạn của dòng Những nguyên lý vật lý cơ bản được áp dụng cho chất lỏng nằm trong thể tích kiểm soát, và với chất lỏng cắt qua mặt kiểm soát (nếu thể tích kiểm soát cố định trong không gian) Bởi vậy, thay vì xem xét toàn bộ trường dòng một lúc, với mô hình thể tích kiểm soát chúng ta giới hạn sự chú ý chỉ với chất lỏng trong vùng hữu hạn của chính thể tích đó Những phương trình dòng chất lỏng mà chúng ta

nhận được trực tiếp do việc áp dụng những nguyên lý vật lý cơ bản cho một thể tích kiểm soát hữu hạn có dạng tích phân Những dạng tích phân này của những phương trình chủ

đạo có thể thao tác gián tiếp để nhận được những phương trình đạo hàm riêng Những

phương trình như vậy nhận được từ thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian

(phía trái Hình 2.1a) ở dạng tích phân hoặc dạng đạo hàm riêng, được gọi là dạng bảo

toàn của những phương trình chủ đạo Những phương trình nhận được từ thể tích kiểm

soát hữu hạn chuyển động cùng với chất lỏng (phía phải của Hình 2.la) ở dạng tích phân

hoặc đạo hàm riêng, được gọi là dạng không bảo toàn của những phương trình chủ đạo

Phần tử chất lỏng vô cùng bé

Xét một trường dòng tổng quát như được thể hiện bởi những đường dòng trong Hình 2.1b Ta hãy tưởng tượng một phần tử chất lỏng vô cùng bé trong dòng, với một thể tích vi

phân dV Phần tử chất lỏng là vô cùng bé theo khái niệm phép tính vi phân; tuy nhiên là

đủ lớn để chứa một số khổng lồ những phần tử để có thể nhìn nhận như một môi trường liên tục Phần tử chất lỏng có thể cố định trong không gian với chất lỏng chuyển động vòng qua nó, như bên trái của Hình 2.1b Tương tự, nó có thể chuyển động dọc theo dòng chảy với vận tốc vectơ V r bằng vận tốc dòng tại mỗi điểm Một lần nữa thay vì xét toàn dòng tại một lúc, những nguyên lý vật lý cơ bản chỉ ứng dụng cho chính phần tử chất

lỏng ứng dụng này trực tiếp dẫn tới những phương trình cơ bản ở dạng phương trình đạo

hàm riêng Hơn nữa, những phương trình vi phân đạo hàm riêng đặc biệt nhận được trực

tiếp từ phần tử chất lỏng cố định trong không gian (phía trái của Hình 2.1b) lại là dạng

bảo toàn của các phương trình Những phương trình nhận được trực tiếp từ phần tử chất

lỏng chuyển động (phía phải của Hình 2.1b) một lần nữa lại có dạng không bảo toàn của

các phương trình

Hình 2.1 (a) Tiếp cận thể tích kiểm soát hữu hạn, (b) Tiếp cận phần tử chất lỏng vô cùng bé

Trong lý thuyết khí động lực tổng quát, liệu có phải việc chúng ta đề cập tới dạng bảo toàn hoặc dạng không bảo toàn của những phương trình là không thích hợp Đương nhiên bằng các thao tác đơn giản, một dạng này có thể nhận được từ dạng khác Tuy nhiên, có những trường hợp trong CFD chúng ta sử dụng dạng nào sẽ trở nên quan trọng Trên

thực tế, danh mục sử dụng để phân biệt hai dạng này (bảo toàn so với không bảo toàn) đã xuất hiện chủ yếu trong tài liệu về CFD

Những bình luận trong mục này trở nên rõ hơn sau khi trên thực tế chúng ta dẫn xuất những phương trình chủ đạo Bởi vậy khi bạn kết thúc chương này, rất đáng đọc lại mục này

Bình luận cuối cùng, trong thực tế, chuyển động của chất lỏng là sự phân tách chuyển động trung bình của những nguyên tử và phân tử của nó Bởi vậy mô hình thứ ba của dòng có thể là cách tiếp cận vi mô, trong đó những định luật cơ bản của tự nhiên được

áp dụng trực tiếp cho những nguyên tử và phân tử, bằng cách sử dụng trung bình thống

kê thích hợp để xác định những thuộc tính chất lỏng kết quả Cách tiếp cận này nằm

trong tầm nhìn của lý thuyết động học, là một phương pháp rất thanh lịch với nhiều lợi

thế dài lâu Tuy nhiên, nó nằm ngoài phạm vi những bài giảng này

2.3 Đạo hàm thể chất

Trước khi dẫn ra những phương trình chủ đạo, chúng ta cần thiết lập một ký hiệu chung trong khí động lực, đó là đạo hàm thể chất Ngoài ra, đạo hàm thể chất có ý nghĩa vật lý quan trọng mà đôi khi chưa được đánh giá đầy đủ bởi những sinh viên khí động học Một mục đích chính của mục này là nhấn mạnh ý nghĩa vật lý đó

Hình 2.2 Phần tử chất lỏng chuyển động trong trường dòng - minh họa cho đạo hàm thể chất

Theo mô hình dòng, chúng ta sẽ chấp nhận bức tranh ở bên phải Hình 2.1b, tức là phần tử chất lỏng vô cùng bé chuyển động cùng với dòng Sự chuyển động của phần tử chất lỏng này được cho chi tiết hơn trong Hình 2.2 ở đây, phần tử chất lỏng chuyển động

qua không gian Đề các Những vectơ đơn vị dọc theo trục x, y, z là i j kr r, , r tương ứng Trường vectơ vận tốc trong không gian Đề các này cho bằng

k w j v i u

u = u(x, v, z, t)

v = v(x, y, z, t)

w = w(x, y, z, t)

Chú ý rằng về tổng quát chúng ta đang xét một dòng không ổn định, trong đó u, v, và

w là những hàm của cả không gian lẫn thời gian t Ngoài ra, trường mật độ vô hướng cho

bằng

 = (x, y, z, t)

Tại thời gian t 1 , phần tử chất lỏng được định vị tại điểm 1 trong Hình 2.2 Tại điểm

này và thời gian này, mật độ của phần tử chất lỏng là

1 = (x 1 , y 1 , z 1 , t 1 )

Vào thời gian t 2 về sau, phần tử chất lỏng đó đã di chuyển đến điểm 2 trong Hình 2.2

Do đó, tại thời gian t 2 , mật độ của vẫn phần tử chất lỏng này là

2

1 2 1 1

2

1 2 1 1

2

1 2 1 1

2

1 2

t

z z z t

t

y y y t

t

x x x t

Khảo sát vế trái của Pt (2.1) Về mặt vật lý đây là suất biến đổi mật độ trung bình

thời gian của phần tử chất lỏng khi nó di chuyển từ điểm 1 tới điểm 2 Trong giới hạn, khi

t 2 tiến đến t 1, số hạng này trở thành

dt

d t

t

t t

1 2

1 2

lim

ở đây, d/dt là ký hiệu suất biến đổi mật độ của phần tử chất lỏng ở thời gian tức thời khi nó di chuyển qua điểm 1 Theo định nghĩa, ký hiệu này được gọi là đạo hàm thể

chất d/dt Chú ý rằng d/dt là suất biến đổi mật độ theo thời gian của phần tử chất lỏng

đã cho khi nó di chuyển qua không gian ở đây, mắt chúng ta dõi theo phần tử chất lỏng

trong khi nó chuyển động, và chúng ta đang quan sát thay đổi mật độ phần tử khi nó di chuyển qua điểm 1 Nó khác với (/t), mà về mặt vật lý là suất biến đổi theo thời gian của mật độ tại điểm cố định 1 Với (/t)1, chúng ta tập trung chú ý vào điểm ổn định 1

và theo dõi sự thay đổi mật độ do những dao động tức thời trong trường dòng Như vậy,

d/dt và /t là những đại lượng khác nhau về mặt vật lý và số

Trở lại Pt (2.1), thấy rằng

u t t

x x

1 2

1 2

lim

v t t

y y

1 2

1 2

lim

w t t

z z

1 2

1 2

w y

v x

u dt

(2.2)

Khảo sát Pt (2.2) một cách chặt chẽ Từ đó, chúng ta có thể nhận được biểu thức cho

đạo hàm thể chất trong tọa độ Đề các:

z

w y

v x

u t dt

z

k y

j x

(2.5)

Pt (2.5) thể hiện định nghĩa của toán tử đạo hàm thể chất trong ký hiệu vectơ; như vậy nó hợp lệ đối với bất kỳ hệ tọa độ nào

Tập trung vào Pt (2.5), chúng ta một lần nữa nhấn mạnh rằng d/dt là đạo hàm thể

chất, mà về mặt vật lý là suất biến đổi theo thời gian của một phần tử chất lỏng chuyển

động; /t được gọi là đạo hàm địa phương, mà về mặt vật lý là suất biến đổi theo thời

gian tại một điểm cố định; V  

được gọi là đạo hàm đối lưu, mà về mặt vật lý là suất biến

đổi theo thời gian do chuyển động của phần tử chất lỏng từ vị trí này sang vị trí khác trong trường dòng, ở đó những thuộc tính dòng là khác nhau về không gian Đạo hàm thể

chất áp dụng cho bất kỳ biến trường dòng nào, ví dụ d/dt, dT/dt, du/dt , trong đó  và

T là áp suất thuỷ tĩnh và nhiệt độ, tương ứng Ví dụ:

z

T w y

T v x

T u t

T T V t

T dt

Xét một ví dụ mà sẽ giúp ta củng cố ý nghĩa vật lý của đạo hàm thể chất Tưởng tượng bạn đang đi trong núi, và bạn sắp sửa vào một hang Nhiệt độ trong hang mát hơn bên ngoài Như vậy trong khi bạn đi qua miệng hang, bạn cảm thấy nhiệt độ giảm bớt -

điều này tương tự như đạo hàm đối lưu trong Pt (2.6) Tuy nhiên tưởng tượng rằng, vào cùng thời gian đó một người ném một hòn tuyết vào bạn sao cho hòn tuyết trúng vào bạn

đúng thời điểm bạn đi qua miệng hang Bạn sẽ cảm thấy một sự giảm nhiệt độ bổ sung, nhưng tức thời khi hòn tuyết rơi trúng bạn - điều này tương tự với đạo hàm địa phương trong Pt (2.6) Sự giảm nhiệt độ ròng mà bạn cảm nhận khi bạn đi qua miệng hang bởi vậy là một tổ hợp của cả hai tác động của chuyển động vào trong hang, trong đó mát hơn,

và cú ném hòn tuyết tại cùng thời khắc đó - sự giảm nhiệt độ ròng này tương tự với đạo hàm thể chất trong Pt (2.6)

Xuất xứ của đạo hàm thể chất ở trên về cơ bản lấy từ sách giáo khoa khí động lực cơ bản của tác giả, như Tham khảo 3 Nó được sử dụng để trình bày cho những sinh viên khí

động lực mới, để hiểu được đầy đủ ý nghĩa vật lý của đạo hàm thể chất Sự mô tả được lặp lại ở đây với cùng lý do đó – tạo cho bạn một cảm giác vật lý về đạo hàm thể chất Chúng

ta có thể xả hơi với hầu hết thảo luận trên bằng việc nhận thức rằng đạo hàm thể chất

thực chất cũng như phép tính đạo hàm toàn phần Vậy, nếu

 = (x, y, z, t)

thì quy tắc dây chuyền từ phép tính vi phân cho ta

dz z

dy y

dx x

dt t

dy y dt

dx x t dt

z

w y

v x

u t dt

So sánh Pt (2.2) và (2.9), chúng ta thấy rằng d/dt là như nhau Bởi vậy, đạo hàm

thể chất không khác gì một đạo hàm toàn phần theo thời gian Tuy nhiên, việc dẫn xuất

Pt (2.2) làm sáng tỏ nhiều ý nghĩa vật lý của đạo hàm thể chất, trong khi xuất xứ của Pt (2.9) thiên về hình thức toán học hơn

2.4 ý nghĩa vật lý của V 

.

Coi đây là hạng mục cuối cùng trước khi dẫn ra những phương trình chủ đạo, chúng

nhiên, thể tích kiểm soát V và diện tích bề mặt S của nó đang thay đổi với thời gian trong

khi nó di chuyển tới những vùng khác nhau của dòng, trong đó những giá trị khác nhau của  tồn tại Như vậy, thể tích kiểm soát đang chuyển động có khối lượng không đổi này thường xuyên tăng hoặc giảm thể tích của nó và thay đổi hình dạng của nó, phụ thuộc vào những đặc trưng của dòng Thể tích kiểm soát này được cho trong Hình 2.3 tại thời

điểm nào đó Xét một phần tử vô cùng bé có bề mặt dS di chuyển với vận tốc V 

địa phương như trên Hình 2.3 Sự thay đổi thể tích V của thể tích kiểm soát chỉ do chuyển

động của dS qua một bước thời gian t, từ Hình 2.3, bằng thể tích của hình trụ dài, mỏng

với diện tích đáy dS và độ cao Vt n

được định nghĩa đơn giản là S  n  dS

 Sau bước thời gian t, thay đổi

tổng cộng về thể tích của toàn bộ thể tích kiểm soát là tổng của Pt (2.10) trên toàn bộ

diện tích kiểm soát Trong giới hạn, khi dS  0, tổng trở thành tích phân mặt

( ).

S V t dS 

 r ề

Nếu tích phân này được chia cho t, kết quả về mặt vật lý là suất biến đổi theo thời

gian của thể tích kiểm soát, biểu thị bởi dV/ dt, tức là

di chuyển cùng với dòng (chúng ta đang sử dụng bức tranh cho tại phía bên phải của

Hình 2.1a), và về mặt vật lý là ý nghĩa của đạo hàm thể chất áp dụng định lý phân kỳ từ phép tính vectơ cho vế phải của Pt (2.11), chúng ta nhận được

Hình 2.3 Thể tích kiểm soát chuyển động sử dụng để giải thích vật lý sự phân kỳ của vận tốc

Bây giờ, ta hãy tưởng tượng thể tích kiểm soát chuyển động trong Hình 2.3 đang co lại tới một thể tích rất nhỏ V, thực chất trở thành một phần tử chất lỏng vô cùng bé di

chuyển như phác hoạ trên phía bên phải của Hình 2.1a Vậy là Pt (2.12) có thể viết như sau

 về thực chất có cùng giá trị đó khắp trong V

Vậy tích phân trong Pt (2.13) có thể xấp xỉ như ( V)V

phải chúng ta có ý nghĩa vật lý của nó Vậy V 

.

 về mặt vật lý là suất biến đổi theo thời gian của thể tích của một phần tử chất lỏng chuyển động, trên thể tích đơn vị

2.5 Phương trình liên tục

Bây giờ chúng ta hãy áp dụng tư tưởng thảo luận trong Mục 2.2 để:

(a) viết nguyên lý vật lý cơ bản,

(b) áp dụng nó cho một mô hình thích hợp của dòng, và

(c) nhận được một phương trình thể hiện nguyên lý vật lý cơ bản

Trong mục này chúng ta sẽ xử lý trường hợp sau:

Nguyên lý vật lý: bảo toàn khối lượng

Chúng ta sẽ thực hiện ứng dụng của nguyên lý này cho cả thể tích kiểm soát hữu hạn lẫn những mô hình phần tử chất lỏng vô cùng bé của dòng Điều thực hiện ở đây đặc biệt

để minh họa những bản chất vật lý của cả hai mô hình Hơn nữa, chúng ta sẽ chọn thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian (bên trái của Hình 2.la), trong khi phần

tử chất lỏng vô cùng bé sẽ di chuyển với dòng (bên phải của Hình 2.1b) Theo cách này chúng ta sẽ làm tương phản những sự khác nhau giữa dạng bảo toàn và không bảo toàn của những phương trình như đã mô tả trong Mục 2.2

Trước hết, hãy xét mô hình của một phần tử chất lỏng chuyển động Khối lượng của phần tử này cố định, và cho bằng m Biểu thị thể tích của phần tử này bởi V như trong

Mục 2.4 Vậy

   (2 15) Vì khối lượng được bảo toàn, chúng ta có thể phát biểu rằng suất biến đổi của khối lượng của phần tử chất lỏng theo thời gian bằng 0 khi phần tử di chuyển cùng với dòng Theo ý nghĩa vật lý của đạo hàm thể chất thảo luận trong Mục 2.3, chúng ta có

( )

0

d m dt



 (2.16) Kết hợp Pt (2.15) và (2.16), chúng ta có

 bàn luận trong Mục 2.4 Do đó, kết hợp Pt (114) và (2.17), ta nhận được

Pt (2.18) là phương trình liên tục trong dạng không bảo toàn Từ những tư tưởng của

chúng ta đã thảo luận ở Mục 2.2, thấy rằng:

(1) Bằng việc áp dụng mô hình phần tử chất lỏng vô cùng bé, chúng ta nhận được Pt

(2.18) trực tiếp trong dạng đạo hàm riêng

(2) Bằng việc chọn mô hình chuyển động cùng với dòng, chúng ta nhận được dạng

không bảo toàn của phương trình liên tục, tức là Pt (2.18)

Bây giờ, hãy xét mô hình một thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian, như phác họa trong Hình 2.4 Tại một điểm trên bề mặt kiểm soát, vận tốc dòng là V 

và diện tích bề mặt của phần tử vectơ (như định nghĩa trong Mục 2.4) là S 

Cũng cho dV là

thể tích phần tử trong thể tích kiểm soát hữu hạn áp dụng cho thể tích kiểm soát này, nguyên lý vật lý cơ bản của chúng ta là khối lượng được bảo toàn, có nghĩa là:

khối lượng ròng chảy ra khỏi thể tích kiểm soát qua bề mặt S

= suất giảm khối lượng trong thể tích kiểm soát theo thời gian (2.19a)

luôn hướng ra khỏi thể tích kiểm soát Do đó, khi V 

cũng hướng ra khỏi thể tích kiểm soát (như trong Hình 2.4), tích

biểu thị sự chảy ra Lần lượt, khi V 

hướng vào thể tích kiểm soát, VS

 âm Hơn nữa, khi V 

hướng vào trong, dòng khối lượng về mặt vật lý đi vào thể tích kiểm soát, tức là một

sự chảy vào Do đó, một VS

 âm biểu thị sự chảy vào Dòng khối lượng ròng ra khỏi

toàn bộ thể tích kiểm soát qua bề mặt kiểm soát S là tổng trên S của những dòng khối

lượng phần tử trong Pt (2.20) Trong giới hạn, nó trở thành một tích phân mặt, mà về mặt vật lý là vế trái của Pt (2.19 a và b), tức là

.

S

B  ề   V dS r r (2.21)

Hình 2.4 Thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian

Bây giờ xét vế phải của phương trình (2.19a và b) Khối lượng chứa trong thể tích

phần tử dV là dV Toàn bộ khối lượng trong thể tích kiểm soát bởi vậy là





   (2.22) Như vậy, thay Pt (2.21) và (2.22) vào (2.19 b), chúng ta có

áp dụng định lý phân kỳ từ phép tính vectơ, tích phân mặt trong Pt (2.24) có thể biểu thị như một tích phân thể tích

 r r  r

ề ể (2.25) Thay (2.25) vào Pt (2.24), chúng ta có

Vì thể tích kiểm soát hữu hạn được vẽ tùy ý trong không gian, cách duy nhất để tích

phân trong Pt (2.26) bằng 0 là cho biểu thức dưới dấu tích phân bằng 0 tại mỗi điểm trong thể tích kiểm soát Do đó,

Pt (2.27) là phương trình liên tục trong dạng bảo toàn

Khảo sát các dẫn xuất trên theo các thảo luận của chúng ta trong Mục 2.2, nhận thấy rằng:

(1) Bằng việc áp dụng mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn, chúng ta nhận được Pt

(2.23) trực tiếp ở dạng tích phân

(2) Chỉ sau sự thao tác nào đó với dạng tích phân chúng ta gián tiếp nhận được một

phương trình đạo hàm riêng, Pt (2.27)

(3) Bằng việc chọn mô hình cố định trong không gian, chúng ta nhận được dạng bảo

toàn của phương trình liên tục, Pt (2.23) và (2.27)

Điều nhấn mạnh là Pt (2.18) và (2.27) đều phát biểu về bảo toàn khối lượng biểu thị trong dạng những phương trình đạo hàm riêng Pt (2.18) có dạng không bảo toàn, và Pt (2.27) có dạng bảo toàn; cả hai dạng hợp lệ như nhau Đương nhiên, một dạng này có thể

dễ dàng nhận được từ dạng khác như sau Xét đồng nhất vectơ bao gồm sự phân kỳ của tích vô hướng vectơ theo thời gian, như sau

.(V)  V V 

 r   r r (2.28) Thay Pt (2.28) trong dạng bảo toàn, Pt (2.27)

độ Do đó, Pt (2.29) trở thành

d

V dt

Một lần nữa chúng ta chú ý rằng việc sử dụng dạng bảo toàn hoặc không bảo toàn của những phương trình chủ đạo tạo nên sự khác biệt nhỏ trong hầu hết lý thuyết động lực học hàng không Ngược lại, sử dụng bất cứ dạng nào cũng đều có thể tạo sự khác nhau trong những ứng dụng CFD, và đó là tại sao là chúng ta đang tạo sự phân biệt giữa hai dạng khác nhau này trong bài giảng hiện thời

2.6 Phương trình động lượng

Trong mục này, chúng ta áp dụng nguyên lý vật lý cơ bản khác cho mô hình dòng, tức là:

Nguyên lý vật lý: F = ma (định luật thứ hai của Newton)

Chúng ta chọn trong mô hình dòng của chúng ta phần tử chất lỏng chuyển động như thấy tại phía bên phải Hình 2.1b Mô hình này được thể hiện chi tiết hơn trong Hình 2.5

Định luật thứ hai của Newton biểu thị ở trên, khi ứng dụng cho phần tử chất lỏng chuyển động trong Hình 2.5, nói rằng lực ròng tác động trên phần tử chất lỏng cân bằng với khối lượng của nó nhân với gia tốc của phần tử Đây là một quan hệ vectơ, và do đó có

thể chia ra ba quan hệ vô hướng dọc theo các trục x, y, và z Chúng ta hãy chỉ xét thành phần x của định luật thứ hai Newton,

F x = ma x (2.30)

trong đó F x và a x là thành phần vô hướng của lực và gia tốc, tương ứng

Hình 2.5 Phần tử chất lỏng vô cùng bé di chuyển (chỉ đưa ra những lực trong hướng x)

Trước hết, hãy xét vế trái của Pt (2.30) Chúng ta nói rằng phần tử chất lỏng chuyển

động chịu một lực trong hướng x Cái gì là nguồn của lực này? Có hai nguồn:

(1) Lực khối, tác động trực tiếp lên khối lượng thể tích của phần tử chất lỏng Những lực này tác động trên một khoảng cách, ví dụ là trọng lực, từ lực và điện lực

(2) Lực mặt, tác động trực tiếp lên bề mặt của phần tử chất lỏng Chúng chỉ do hai

nguồn: (a) phân bố áp suất tác động lên bề mặt, ép bởi chất lỏng bên ngoài bao vây phần

tử chất lỏng, và (b) những phân bố ứng suất tiếp tuyến và pháp tuyến tác động trên bề mặt, cũng bị ép bởi chất lỏng bên ngoài 'kéo' hoặc 'đẩy' trên bề mặt bởi ma sát

Chúng ta hãy biểu thị lực khối trên đơn vị khối lượng f

tác động lên phần tử chất

lỏng bằng f x với thành phần hướng x Thể tích của phần tử chất lỏng là (dx dy dz); do đó,

lực khối tác động lên phần tử chất lỏng theo hướng x = f x (dx dy dz) (2.31)

ứng suất tiếp tuyến và pháp tuyến trong một chất lỏng liên quan tới suất biến đổi theo thời gian của biến dạng phần tử chất lỏng, như phác hoạ trong Hình 2.6 là chỉ đối

với mặt phẳng xy ứng suất tiếp tuyến biểu thị bằng xy trong hình này, liên quan tới suất biến đổi theo thời gian của biến dạng trượt của phần tử chất lỏng, trong khi ứng suất pháp tuyến biểu thị bởi xx trong Hình 2.6, liên quan tới suất biến đổi theo thời gian của thể tích của phần tử chất lỏng Kết quả là, cả ứng suất tiếp tuyến lẫn pháp tuyến đều phụ thuộc vào những gradient vận tốc trong dòng, sẽ được chỉ ra về sau Trong đa số các dòng nhớt, ứng suất pháp tuyến (như xx) nhỏ hơn nhiều so với ứng suất tiếp tuyến và nhiều lần được bỏ qua ứng suất pháp tuyến (ví dụ xx trong hướng x) trở nên quan trọng khi

những gradient vận tốc pháp tuyến (như u/x) rất lớn, như trong một sóng xung

Hình 2.6 Minh họa ứng suất tiếp tuyến và pháp tuyến

Lực mặt trong hướng x tác động lên phần tử chất lỏng được phác hoạ trong Hình 2.5

Quy ước sử dụng ở đây là ij biểu thị ứng suất trong hướng j tác động thẳng góc lên mặt thẳng góc với trục i

Trên mặt abcd, lực duy nhất trong hướng x là do ứng suất tiếp tuyến yx dxdz Mặt efgh cách dy ở trên mặt abcd; do đó lực ứng suất trong hướng x trên mặt efgh là [yx +(yx /y)dy]dxdz Chú ý hướng của lực ứng suất trên mặt abcd và efgh; trên mặt đáy,

yx là sang trái (hướng x âm), trong khi trên mặt đỉnh, [yx +(yx /y)dy] là sang phải

(hướng x dương) Những hướng này chặt chẽ theo quy ước là tăng lên dương trong tất cả

ba thành phần vận tốc u, v và w, xuất hiện trong những hướng dương của các trục Ví dụ, trong Hình 2.5, u tăng trong hướng y dương Bởi vậy tập trung vào mặt efgh, u cao hơn

ngay ở trên mặt so với tại mặt; điều này tạo ra một tác động 'kéo' cố gắng kéo phần tử

chất lỏng trong hướng x dương (sang phía bên phải) như thấy trong Hình 2.5 Lần lượt, tập trung vào mặt abcd, u nhỏ hơn ở ngay dưới mặt so với tại mặt; nó tác động làm chậm hoặc kéo phần tử chất lỏng theo hướng x âm (sang trái) như thấy trong Hình 2.5

Những hướng khác của tất cả ứng suất nhớt cho trong Hình 2.5, kể cả xx có thể xử lý

theo một kiểu tương tự Đặc biệt trên mặt dcgh, zx tác động trong hướng x âm, trong khi trên mặt abfe, [zx +(zx /z)dz] tác động trong hướng x dương

Trên mặt adhe thẳng góc với trục hoành, lực duy nhất trong hướng x là lực áp suất

pdxdz, luôn tác động hướng vào trong phần tử chất lỏng, và xx dydz ngược hướng x Trong

Hình 2.5, lý do tại sao xx trên mặt adhe hướng sang trái mà những quy ước đề cập trước

đó lại là đối với hướng tăng vận tốc ở đây theo quy ước, một sự tăng dương của u xảy ra trong hướng x dương Do đó, giá trị của u ngay bên trái của mặt adhe là nhỏ hơn giá trị của u trên bản thân mặt Kết quả là, tác động nhớt của ứng suất pháp tuyến tác động như 'hút' trên mặt adhe, tức là có tác động cản (kéo) về phía trái làm chậm chuyển động

của phần tử chất lỏng

Ngược lại, trên mặt bcgf, lực áp suất [p + (p/x)dx]dydz ép vào trong trên phần tử

chất lỏng (trong hướng x âm), và vì giá trị của u ngay tại mặt phải bcgf lớn hơn giá trị của

u trên mặt, có sự 'hút' do ứng suất pháp tuyến nhớt cố gắng kéo phần tử sang phía bên

phải (trong hướng x dương) với một lực bằng [xx +(xx /x)dx]dydz

Với lưu ý trên, đối với phần tử chất lỏng chuyển động chúng ta có thể viết

dy dxdz y

dz dxdy z

Pt (2.33) biểu thị vế trái của Pt (2.30)

Xét vế phải của Pt (2.30) khối lượng của phần tử chất lỏng cố định và bằng

dxdydz

m   (2.34)

Cũng như vậy, gọi gia tốc của phần tử chất lỏng là suất biến đổi theo thời gian của

vận tốc của nó Do đó thành phần gia tốc trong hướng x biểu thị bằng a x, đơn giản là suất

biến đổi theo thời gian của u; vì chúng ta đi theo phần tử chất lỏng chuyển động, suất

biến đổi theo thời gian này là đạo hàm thể chất Như vậy,

dt

du

a x  (2.35) Kết hợp Pt (2.30), (2.33), (2.34) và (2.35), chúng ta nhận được

nữa, vì phần tử chất lỏng này chuyển động cùng dòng chảy nên Pt (2.36a-c) ở dạng không

bảo toàn Chúng là những phương trình vô hướng, và được gọi là phương trình

Navier-Stokes, lấy tên hai người: Navier-người Pháp và Stokes-người Anh, những người độc lập nhận được phương trình vào nửa đầu tiên của thế kỷ thứ mười chín

Phương trình Navier-Stokes có thể nhận được trong dạng bảo toàn như sau Viết vế

trái của Pt (2.36) đối với số hạng theo định nghĩa của đạo hàm thể chất,

Thay Pt (2.41) vào Pt (2.36a)

Pt (2.42a-c) là phương trình Navier-Stokes trong dạng bảo toàn

Vào cuối thế kỷ thứ mười bảy Isaac Newton phát biểu rằng ứng suất tiếp tuyến trong

một chất lỏng tỷ lệ với độ biến dạng theo thời gian, tức là gradient vận tốc Những chất

lỏng như vậy được gọi là chất lỏng Newton Những chất lỏng trong đó  không tỷ lệ với

gradient vận tốc là những chất lỏng phi Newton; máu là một ví dụ Trong thực tế tất cả các bài toán khí động lực thực hành, chất lỏng có thể giả thiết là Newton Với những chất lỏng như vậy, Stokes nhận được vào năm 1845:

x v V

y w V