14 bai tap tu luan va trac nghiem giai tich 12 tich phan va ung dung (NXB dai hoc quoc gia 2008) le hong duc, 208 trang

Trong thời gian không xa, theo chủ trương của BGD&ĐT các trường đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp sẽ chuyển sang hình thức tuyển sinh hằng phuxng pháp trắc nghiệm.. Ở đây, thô

MỞ ĐẦU

ĩự ưu việt của phương pháp thi trắc nghiệm dã và đang được chứng minh từ nhũng nước có nén giáo dục tiên tiến trên thế giới hởi những ưu điểm như tính khá h quan, tính hao quát và tính kinh tế.

Trong thời gian không xa, theo chủ trương của BGD&ĐT các trường đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp sẽ chuyển sang hình thức tuyển sinh hằng phuxng pháp trắc nghiệm Và đ ể có được thời gian chuẩn hi tốt nhất, các hài kiểm tra tiến thức trong chương trình THCS và THPT cũng sẽ có phần trắc nghiệm đ ể các em học sinh làm quen.

Tuy nhiên, việc hiên soạn các câu hỏi trắc nghiệm cần tuân thủ một sô'yêu cầu

cơ tản về mặt lí luận sư phạm và ỷ nghĩa đích thực của các sô'liệu thống kê Ngoài

ra, nột để thi môn toán được chấm hoàn toàn dựa trên kết quả trắc nghiêm chắc chắĩ sẽ chưa phù hợp với hiện trạng giáo dục của nước ta hởi nhiều lí do, từ đó dẩn tới ỉệc không đảm hảo được tính khách quan trong việc đánh giá kết quả học tập của học sinh Đ ể khắc phục nhược điểm này Nhóm Cự Môn chúng tôi đề xuất hưcng thực hiện như sau:

1 Với mỗi đê thi hoặc đề kiểm tra vẫn tuân thủ đúng cấu trúc chung và điểm

trắc nghiệm không quá 3.5 điểm.

2 Trong những câu hỏi có phần trắc nghiệm sẽ được hiểu là "trác nghiêm và

tự luận" Ở đây, thông thường các em học sinh sẽ phải lựa chọn một trong

hôn đáp sô' và cần biết rằng sô'điểm a của càu hỏi này dược chia làm đôi:

■ Nếu lựa chọn đúng lời giải trắc nghiêm sẽ nhản đươc — điểm.

2

■ Nếu thực hiện đúng lời giải tự luận cho câu hỏi sẽ nhận được — điểm còn lại.

)ả y chính ỉ à yếu tô' đ ể đảm hảo tính khách quan hởi:

Với những học sinh chỉ mò mẫm dáp án hoặc nhận dược nó thông qua những yếu tô'xung quanh sẽ chỉ nhận dược tối đa — điểm với xác suất 25%.

2 Với những học sinh hiểu được nội dung câu hỏi từ đó ậịnh hướng được các

phép thử hằng tay hoặc hằng máy tính fx -57 0 M S chắc chắn sẽ nhận được

— điểm.

2

ỉ Với những học sinh khá hơn’hiểu hiện hằng việc hiểu được nội dung câu hỏi

và có th ể thực hiện được một phần câu hỏi này dưới dạng tự luận sẽ nhận đươc khoảng — + — = — điểm.

BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN THPT

sách giải hài tập của hộ sách Học và Ôn tập Toán (được theo lớp 10, 12) <1(0

Cuốn GIẢI TÍCH 12: TÍCH PHÂN VÀ í \ ( i DỤNG được 8

Chủ đề 6: Phương trình, bất phương trình tích phân

Chủ đề 7: Sử dụng tích phân tính diện tích của hình phẳng

Chủ đề 8 : Sử dụng tích phân tính thể tích của các vật thể

góp quỷ háu của hạn đọc gần xa Mọi ý kiến đóng góp hệ

Địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Môn do Lê Hồng Đức phụ trách

Số nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hồ - Hà Nội Điện thoại: (04)7196671 hoặc 0893046689

E-mail: cumon@hn.vnn.VII hoặc lehongduc39@vahoo.com

Hà Nội, ngày 8 tháng 6 năm 2006

NHÓM C ự MÔN - LÊ HỔNC ĐỨC

4

Định lí:Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) thì:

3 S/TỒ N TẠI CỦA NGUYÊN HÀM

Đụn/ lí:Mọi hàm số T(x) liên tục trên đoạn [a, b) đều đoạn

í —J— = tgu + c

cos u

J —y - = - cotgu + c sin u

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TẬP Bài toán 1: Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a, b) bằng định nghĩa.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 :Xác định F '(x) trên (a, b).

Bước 2 :Chứng tỏ rằng F'(x) = f(x) với Vx e (a, b).

Chú ý: Nếu thay (a, b) bằng [a, b] thì phải thực hiện chi tiết hom, như sau:

Bước 1 :Xác định F '(x) trên (a, b)

Bài tập 6 Cho hai hàm số:

f(x) = x In X khi x > 0

x 2(21n x - 1)

0Chứng minh rằng hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

khi x> 0khi X = 0

6

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 : Xác định F '(x) trên (a, b).

Bước 2 :Để F(x) là một nguyên hàm cùa hàm số f(x) trên (a, b), điếu kiện là:

F '(x) = f(x) với Vx € (a, b) => giá trị của tham số.

Chú ý:Nếu thav (a, b) bằng [a, b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:

Bước 1: Xác định F'(x) trên (a, b)

BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

Bài tập 9 Cho hai hàm số: f(x) = 2x khi X < 1

2 khi X > 1 và F (x )=

ax + h khi X > 1Xác định a, b đê hàm sô' F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

BÀI TẬP Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tập 13 Cho hàm số y = —-T— Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm sô' và

đồ thị của hàm sô' y = F(x) đi qua điểm M

r 71

;0

\thì F(x) là:

8

iBii tậ p 14 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) = sinx và F(0) = 0 thì F(x) là:

iBii tập 15 Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) = —-— và F(2) = I K’' ; dó F(3) bằng:

X - I

]Bii tậ p 16 Cho hàm số f(x) = sin3x Một ngi.yên hàm của f(x) bằng:

( l - 3 x )18099

D F(x) = -cosx + — cos5x — - cos3x + c.

Bài tập 37 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a f(x) =

e x + e

sin X + cos X cos X

t í Lựa chọn đáp án bằng phép thử: Ta lần luọt đánh giá với dạng hàm sô F = uv:

b Viết lại hàm số h(x) dưới dạng:

ai Ta xét hai trường hợp :

JBÍ Lời giải tự luận:Xét hai trường hợp:

Trường hợp J:Với X *■ 1, ta có:

Í2x khi X < 1F'(x) =

|a khi X > 1

Trường hợp 2: Với X = 1, thì để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm X = 1, trước hết

lim F(x) = lim F(x) = F(1)<=> 1 = a + b o b = 1 - a = - 1

X - M X—>1 +

■ Đạo heim hên trái của hàm số y = F(x) tại điểm X = 1.

■ Đạo heim hên phải của hàm số y = F(x) tại điểm X = 1.

F i n - lim F (x > - F<1-> = lim = |im , 2

Vậy, với a = 1, b = — thoả mãn điểu kiện đầu bài

Chú ý:Trong lời giải trên, để có được phép chuyổn:

B ài tập 11 .Đ ásô trắc nghiệm D.

F(x) = (2ax + b)e”x - (ax2 + bx + c)e”x = Ị-ax2 + (2a - b)x + b - c]e'

Tứ đó, để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) điểu kiện là:

Lời giải tự lu ậ :Với hàm số y = — thì: F(x) = -cotx + c.

sin X

í n N

Khi đó, để đồ thi của hàm số y = F(x) đi qua điểm M — ;0 điêu kiên là:

6

Lụa chọn đáp án hằng phép thử 1: Ta lần lượt đánh giá:

Lựa chọn đáp án hằng phép th ử 2: Ta lần lượt đánh giá:

sin X

Do đó, việc lựa chọn đáp án A là đúng đắn

Bài tập 14 Đáp số trắc nghiêm c

JSÍ Lời giải tự lu ậ :Với hàm sô f(x) = sinx thì: F(x) = -cosx + c.

Khi đó, để F(0) = 0 điểu kiện là:

0 = -cosO + c o c = 1 => F(x) = 1 - cotx, ứng với đáp án c

đáp án A và B bị loại

Lời giải tự luận 1 :Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản, ta có với:

=> nó có một nguyên hàm là - — cos3x

JBÍ Lựa chọn đáp án bâng phép thử: Ta lần lượt đánh giá:

Với F(x) = 2008Mn2008 thì:

f(x) = (2008Mn2008)’ = 2008Mn220 08 => Đáp án B bị loại

2008xVới F(x) = ——— thì: f(x) =

Lời giải tự luận: Ta có:

jsiirx.cosx.dx = Ậ Isin2x.sinx.dx = — |(cosx - cos3x).dx

= í(sinx - cosx)~Ị/5.d(sinx - cosx)

= — (sinx - œ sx )4'5 + c = —V (sin X - cos x)4 + c

Bài tậ p 19 Đáp sô trac nghiệm A

£ Lời giải tự luận: Ta có:

Jg£ Lời ẹiấi tư luân: Ta có: íf(x)dx = 1 ■—X " dx = I x - = ln(l 4- X2) 4 c,

gí Lời giải tự luận Biến đổi:

1

Chú ý:Trong lời giải của cách 2, chúng ta đã sử dụng kết quả:

gỉ Lời giải tự luận:Ta có:

22

Ịf(x)dx = Ị dx _ l j d(2x - l ) J_|

= - l n 8

(ln|2x - 3| - ln|2x + 3|) + c

Bài tập 24 Đáp s ô t r ắ c n g h iệm B

gí Lời giải tự lu ậ :Ta có:

|f(x )d x = jex( 1 - e~x)dx = í(ex - l)dx = ex - X + c, ứng với đáp án B

gS Lựa chọn đáp án hằng phép thửI (Từ trái qua phải): Ta lần lượt đánh giá:

gí Lời giải tự luận:Ta có ngay:

a Đáp so trắc nigfhiem B

£ỉ Lời giải tự luật '1 Ta biến đổi:

f(x) = (sin2x< + cos2x)' - 3sin2x.cos:x(sin2x + cos2x)

JSS Lời g iả i t ự luận:Ta có:

e i Lựa chọn đáp án hằng phép tilthTa lần lượt đánh giá;

&S Luc chon dáp án hang phép thú2 (Tír phái qua trái): Ta lán lirot dánh giá:

Bal Up 32 Dáp só trac nghiém B

f w = í - r - V +c V 3 eos x 31 (cos>x),'J 6 o 1 -3*sinx.cos'; x _ tanx6 3

=> Dáp án B dúng

D) do, viéc lira chon dáp án B la dúng dán

Lúa chon dáp án háng phép thu2 (Tír phái qua trái) -J&tni doc tuthuc hien

& ¡Ld giá i tu lu: Ta bién dcii:

f(x) = - = - 7

4 - ( l - s i n 2 x ) 4 - ( s i n x - c o s x )

Từ đó, suy ra:

4 - ( s i n x -c o sx )'

- ì , „4

a = 3

b = 2

c = 1Vậy, với a = 3, b = 2, c = 1 thoả mãn điêu kiện đầu bài

Bài tập 36.

a Đáp sô trắc nghiệm B.

JS$ Lời giải tự luận: Ta có:

4sinx + 3cosx = a(sinx + 2cosx) 4 b(cosx - 2sinx)

=(a - 2b)sinx + (2a + b)cosx

2a 4 b = 3 <=> <

a = 2

b = -1Vậy, với a = 2, b = -1 thoả mãn điều kiện đầu bài

F (x )-G (x ) = ln I sinx + cosx I + c ,

CHỦ Đ Ế 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 PHƯƠNG PHÁP Đ ổ i BIỂN s ố

Các phương pháp đổi biến số được sừ dụng khá phổ biến trong việc tìm nguyên

bàiiL Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau:

a Nếu jf(x)dx = F(x) + c và u = (p(x) là hàm số có đạo hàm thì

jf(u)du = F(u) + c

hàm của nó (p'(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được

jf(x)dx = Jf[q>(t)].<p'(t)dt.

Từ đó, chúng ta thấy có hai phương pháp đổi biến

1.1 Đ ổi biến dang 1

mới.

3 u(a) = a vù u(ß) = b.

thì ta có: jf(x )d x = |f [u ( t) ] u '( t) d t.

1.2 Đ ổi biến dang 2

Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần được sử dụng khá phổ biến trong việc

tìm nguyên hàm Cơ sở của phương pháp là địríh lí sau:

Định lí: Nếu u(x), v(x) lei hai hàm s ố có đạo hàm Hên tục trên I thì:

ju(x)V(x).dx = u(x)v(x) - ív(x).u(x).dx

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TẬP

Bài toán 1: Phương pháp phân tích

PĨlŨơNtỉ PHÁP CHUNG

Bước J: Biến đổi f(x) về dạng: f(x) = V ot f (x ),

1 = 1với fị(x) có nguvên hàm trong bàng công thức và a, là các hằng số

Bước2: Khi đó: jf(xìdx = l ^ a f (x)dx

1=1

= Jfj(x)dx

Chú ý quan trọng' Điểm mấu chốt là phép phàn tích trong bước 1, các em hoc sinih

có thể rút ra ý tưởng cho riêng mình từ một vài minh hoạ sau:

2

f(x) = 2(cos3x + 3cosx).sinx = 2cos3x.sinx + ócosx.sinx

= sin4x - sin2x + 3sin2x = sin4x + 2sin2x

A In

B In

2011( l - x ) :0lfl

2010 1

2011( 1- x )

+ c.

2010

3x + 2

2009 Khi đó Jf(x)dx bằng:

Bìi tập 7 Cho hàm sô' f(x) = cos22x.cos6x Khi đó Ịf(x)dx bằng:

Bài tập 8 Cho hàm số f(x) = tanx.tan

1) - ln |cos3xi + c 3

Bài tập 9 Cho hàm sô f(x) = sin42x Khi đó Jf(x)dx bằng:

A 1

15 L2

Để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1 tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

chúng ta thực hiện theo các bước:

Bước I:Chọn X = cp(t), trong đó cp(t) là hàm sô' mà ta chọn cho thích hợp Bước 2 :Lấy vi phân dx = <p’(t)dt.

Bước 3 :Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt.

c xVl -X 2 +G

1 + GI)

B

2 x - 3

2V(x - l) ( 2 - x ) Bài tập 22 Tim nguyẻn hàm 1

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2 tìm nguyên hàm của hàm sô' f(x)

chúng ta thực hiện th«o các bước:

Bước 1:Chọn ti = <í>'(x), trong đó cp( X) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi

xác định x = I|/(t) (nếu có thể)

Bước 2 :Xác địrih vi phân dx = <p’(t)dt.

Bước 3:Biểu th ị f((x>dx theo t và dt Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt.

BÀI TẬ P T ự LUẬN VÀ TRẮC N GHIỆM

Bai tậ p 23 Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x3(2 - 3x2)8 là:

r *

Bài tặp 36 Họ nguyên hàm của hàm sô f(x) 2x

Để tìm nguyên hàm của hàm sô' f(x) bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng

phần ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1:Biến đổi: íf(x)dx = íf|(x).f2(x)dx

u = f,(x)

V

Bước3: Khi đó íf(x)dx = uv - ívdu.

hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:

b Tích phân bất định ívdu đuợc xác định một cách dễ dàng, hơn so với I

BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC N GHIỆM

Bài tậ p 39 Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos(lnx) là:

Bài tậ p 40 Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = VĨ + X2 là:

A In Ịx + Vl + X2 I + X Vl + X2 + c.

B — (ln |x + Vl + X2 I + X Vl + X2 ) + c.

2

c — (ln Ix + Vi + X2 I - X Vi + X2 ) + c.

mL

D In lx + Vl + X 2 I - X Vl + X 2 ) + c.

Bai tập 48 Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x'.lnx là:

gí Lởi '¡ải tự luận:Sử dụng đồng nhất thức X = 1 - (1 - x), ta được:

JSS Lựa chọn đáp án hằmị phép thử kết hợp p uép đánh giá: Ta lần lượt thấy:

JỀ Lời giòi tự luận : Sử dụng đồng nhất thức X2 = ( 1 - x)2 - 2( 1 - x) + 1, ta được:

gí Lựa chọn đáp án hằng phép thử I (Tù trái qua phải): Ta lần lượt đánh giá:

gí Lựa chọn đáp án hằng nhép thử2 (Từ phải qua trái): Ta lần lượt đánh giá:

f(x) = F’(x) = — cos8x + — cos2x = cos5x.cos3x

=> Dáp án C dúng

Do dó, viéc lira chon dáp án C la dúng dán

B>ái tá p 7 Dáp so trac nghiém A.

Lái giái tic luán /: Ta có:

jgS Lúa chon dáp án hang phép thir Ta lán lirot dánh giá:

Do dó, viéc lúa chon dáp án A lá dúng dán

jeS Lái giái tu luán: Ta có:

■ Với F(x) = - - - ln Isin3x| + Cthì:

3f(x) = F(xY =

sin3xVới F(x) = -3 In lcos3xl + c thì:

Lỳị giải tự luận 2: (Sử dụng phép hự bậc toàn cục): Biến đổi f(x) về dạng:

VT = sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2x.cos2x

Mỉ Lời giải tự luận 1 :(Sử dụng phép hạ dơn): Biến đổi f(x) về dạng:

= ítcosx - sinx)dx = sinx + cosx + c, ứng với đáp án B.

Lựa chọn đáp Ún hằng phép finir Ta lần lượt đánh giá:

sin X + c o s X

=> Đáp án B đúng

Lời giải tự luận: Sử dụng kết quả tan2x = — - 1 •

Lựa ch ọn đ á p án hằng p h ép thử. Ta lần lượt đánh giá:

• Với F(x) = 3tanx + tan3x + c thì:

cos X Đáp án A đúng

cosx

\ + ln|tan — I + c, ứng với đáp án A

' mí Lời giải tự lu2: Ta có:

dx _ rcosx.dx _ rd(sinx)jf(x)dx = J

d(sinx)

= - —ln 2

MS Lự a chọn đáp án hâtvỊ phé Ta lần lượt đánh giá:

Bài tậ p 19 Đáp sô trắc nghiệm B.

Mí Lời giải tự lu n: Đạt X = sint, - — < t < — suy ra:

f 1// I , ' ll /ì 11 si /1 n /ỈM I i /Í m / i nii/ín til i/* ' I 'r%1 A n1 ■ ^ /-v t /4(ỉnU nín •

Mí Lựu chọn (lá p án h ăn g p h é p thít. Ta lần lượt đánh giá:

Bài tâ p 20 sô trac nghiêm B

jê S Ldi giâi tu lucîn Dât x = tant, < t < ~ suy ra:

Bài tâ p 21 Dâp sô trac nghiêm B.

æ S Lua thon dâp an hang phép th ù - Ban doc tir thuc hiên.

Bài tâ p 22 VI diëu kiên Ixl > 1, ta xét hai trudng hop:

Trudng hçrp 1: Vdi x > 1 dât x = —î— , 0 < t < — suy ra:

+ tant

cos21 Icos21

sint cos t

tan t cos t

)dt)

Khi dô:

- — [ - icoit.d(cott) + Jtant.d(tant) + 2f ^ tan - ]

-I — jcott.at.conj + jiani.at,ianij + ¿j -j

Mí Lựa chọn đáp án hằng phép thủ' Ta lần lượt đánh giá:

Tức là, trong đáp án phải có các đa thức dạng X2 + X - 1 và X2 4 X + 3 Suy ra, các đáp án B, c và D bị loại.

Do đó, việc lựa chọn đáp án A là đúng đắn

Bài tập 25 Đáp sô trắc nghiệm c.

JSS Lời giải tự luận: Biến đổi hàm số vể dạng:

jes Lựa chọn đáp án hằng phép thỉr Ta lần lượt đánh giá:

Bài tập 27 Đáp sô trắc nghiệm c.

JSÍ Lời giải tự luận ỉ :Biên dổi hàm số về dạng f(x) = ^ + sinx)cosx