Đi tìm lời giải của bài toán tích phân và ứng dụng

Góp phần tìm tòi lời giải gọn gàng, hiệu quả cho một lớp các bài toán về tích phân và ứng dụng, giúp học sinh tư duy hiệu quả và tự tin hơn khi gặp các bài tập dạng này. Nắm vững nội dung đề tài, lời giải của học sinh củng tự nhiên và trong sáng hơn. Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ công tác của bản thân, cũng như việc trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Đi tìm lời giải của bài toán tích phân và ứng dụng”.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài

Phần tích phân chiếm một thời lượng tương đối lớn trong chương trình trung học phổ thông và là một vấn đề không thể thiếu trong các kì thi tốt nghiệp, Đại học và Cao đẳng Đây là một vấn đề khó đối với học sinh cũng như giáo viên Đặc biệt nhiều bài toán tích phân và ứng dụng của tích phân trong các kì thi Đại học, Cao đẳng dạng bình thường ít được ra, mà ta thường gặp các bài toán ở mức độ khó và biến đổi phức tạp hơn Đứng trước các bài toán này thí sinh thường lúng túng trong việc nhận dạng, biến đổi, phân tích

và chọn lời giải Để phần nào khắc phục được hạn chế đó chúng tôi nêu lên đề

tài: “ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

” mà trong quá trình giảng dạy đã đúc kết được Đề tài thể hiện được hướng

tiếp cận và khai thác hiệu quả đối với các dạng toán tích phân trong chương trình lớp 12 THPT góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy và ôn thi Đại học, Cao đẳng Rất mong sự đồng cảm và chia sẽ của các thầy cô và các bạn quan tâm đến vấn đề này

2 Mục đích nghiên cứu

Góp phần tìm tòi lời giải gọn gàng, hiệu quả cho một lớp các bài toán

về tích phân và ứng dụng, giúp học sinh tư duy hiệu quả và tự tin hơn khi gặp các bài tập dạng này

Nắm vững nội dung đề tài, lời giải của học sinh củng tự nhiên và trong sáng hơn

Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ công tác của bản thân, cũng như việc trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài

Đối tượng nghiên cứu là phương pháp tiếp cận để giải quyết lớp các bài toán về tích phân thường gặp trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng cũng như tốt nghiệp THPT

4 Phạm vi nghiên cứu của đề tài

Đề tài được áp dụng cho các học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp, luyện thi Đại học và Cao đẳng

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đi tìm lời giải của bài toán tích phân và ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng

Kỹ năng phân tích, nhận dạng và tính tích phân

6 Phương pháp nghiên cứu

a) Nghiên cứu tài liệu:

Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:

- Sách giáo khoa Giải tích lớp 12

- Tài liệu tham khảo

b) Điều tra:

- Thực dạy và kết quả kiểm tra:

Trong quá trình nghiên cứu đề tài năm học 2012-2013 đã tiến hành đối chứng 12B và thực nghiệm các lớp 12G, 12I thực nghiệm

- Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết và khả năng giải toán tích phân của học sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp, từ đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình

c) Giả thuyết khoa học:

Nếu học sinh nắm vững các bước giải và dạng toán thì các em cảm thấy hăng say, tích cực, tự tin và kết quả kiểm tra cho thấy các lớp thực nghiệm vẫn cao hơn

1.2 Cơ sở thực tiễn:

1.2.1 Thực trạng việc dạy của giáo viên:

Có một số giáo viên đã vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo nhưng thường dừng lại ở mức độ đơn lẻ, chưa đưa ra được các cách giải và cách phân tích cho một bài toán để chọn được lời giải hay Đối với dạng toán tích phân đặc biệt và ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng giáo viên ít quan tâm hơn

1.2.2 Thực trạng việc học của học sinh:

Đa số học sinh biết giải các bài tập tích phân cơ bản, biến đổi đơn giản

và bế tắc khi gặp dạng biến đổi phức tạp Nhiều học sinh còn lúng túng khi chọn phương pháp giải và lời giải chưa thật sự rõ ràng Đối với dạng toán tích phân đặc biệt và ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng học sinh còn sợ khó

Chất lượng thực tế qua khảo sát năm 2012-2013:

1.2.3 Sự cần thiết của đề tài:

Qua phân tích thực trạng việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh, tôi nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy khối

12 Đề tài giới thiệu những kinh nghiệm, phương pháp phù hợp nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy tích phân cho học sinh khối 12 và giúp các em đạt kết quả cao trong các kì thi tốt nghiệp, Đai học và cao đẳng

Chương 2: ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG

Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

Để hoàn thành đề tài, tôi đã tiến hành các bước sau: Chọn đề tài; Điều tra thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương và lập kế hoạch; Tiến hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài

Nội dung của chương 2:

2.1 Dạng bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1

2.1.1 Phương pháp

Dạng 1: [ ( )] '( )

b a

b u t a u t b x a x

=

=

=

= ÞBước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được:

I = ò = ò

) (

) (

) ( )

( ' )]

( [

b u

a u b

a

dt t f dx x u x u

3 Sử dụng phương pháp đổi biến số loại 1…

- Trình bày lời giải theo phương pháp đổi biến số như sau:

Nhận xét: Đối với dạng toán tương tự như bài 1 sử dụng phương pháp

đổi biến số cho ta một lời giải rõ ràng và hiệu quả Với hướng 1 nếu số mũ lớn thì việc khai triển khó khăn hơn và đó đương nhiên không thực tế

2 1

- Với bài toán này ta có thể nghỉ đến hướng giải:

1 Sử dụng phương pháp đổi biến số, thực hiện theo hai cách:

+ Tách thành 1 tích phân cơ bản và một tích phân đổi biến số

+ Sử dụng ngay phép đổi biến số

lí, hiệu quả Ví dụ:

Bài 4: (ĐH Khối B - 2010) 2

1

ln (2 ln )

- Bài toán này có hướng giải:

1 Sử dụng phương pháp đổi biến số có thể đặt t= + 2 lnx hoặc t = lnx

1 10

x

I =òx dx= =

1 2

0 1 2

x x

e

e

= +

- Đứng trước bài toán này ta có các hướng giải:

1 Dùng công thức hạ bậc để biến đổi tích phân về dạng đơn giản nhất

2 Biến đổi tích phân thành tổng tích phân quen thuộc và tích phân đổi biến số

- Lời giải theo phương pháp đổi biến số:

2 2

Nhận xét: Trên đây là các dạng toán rất hay và quen thuộc đối với

chúng ta Đứng trước các bài toán này ta có nhiều cách giải, tuy nhiên việc

chọn lời giải đẹp, gọn gàng và hiệu quả là rất quan trọng Để làm được điều

đó chúng ta phải thường xuyên tiếp cận, thực hành giải các bài toán về tích

phân từ đó hình thành được kỉ năng nhận dạng và chọn lời giải Dưới đây là

các bài tập dùng để rèn luyện phần này:

1 1

0 1 3 cos

sin 2 sin

-4

2 sin 1

cos sin

p p

sin 2

1 cos

x dx x

p

+

dx x x

0

3 2

) sin

cos 1

p

dx x

x x

x x

x

0 cos2 4 sin2

2 sin

p

dx x x

2 sin

p p

(HV BCVT HN: 1998)

2 0

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được:

I = òb

a

dx x

2 0

1 1

x

= -

ò b)

2

2 0

Đổi cận: Với x= 0 thì t= 0, với 1

6 0 2

2 Khi đó:

4 4sin 2 cos 2 cos 2 cos 4 cos

=ò - Thực hiện cac bước giải sau:

Đối với các bài toán dạng này trong các đề thi Đại học và Cao đẳng ra

0 0

9 3x dx I

- Biến đổi tích phân về dạng quen thuộc

- Áp dụng phương pháp đổi biến số ta có lời giải:

Nhận xét: Trên đây là bài toán không quá khó, tuy nhiên để giải một

lớp các bài toán tương tự, ta phải nhận được dạng và nắm được các bước giải bài toán tổng quát:

1 2 2

b a

2 I 2 1 2dx

b a

Đặt vấn đề: Để làm rõ hơn về việc vận dụng dạng toán tổng quát:

Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản của đổi biến số dạng 2, việc tìm tòi

lời giải dựa trên phương pháp đổi biến số

x ò1 + +

0

2 4

1

x x

x

ò3 +

1 2

2

3 9

dx x

x

1

2 0

1

1 1

dx x

+

-ò

1

2 0

1

dx x

-ò

1

2 0

1 1

1 4

2 1

x dx

I =ò f x dx

Phương pháp chung:

Ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Biến đổi tích phân về dạng:

( ) ( )

Bước 3: Khi đó:

b a

u=c bx)

Dạng 3: ( ) ( 0),

b

x a

I =òP x e dxa a ¹ đặt u=P x( ) Dạng 4: ln , ( 1)

b a

1 1

x dx

dv

v x

ò

Nhận xét: Trên đây là một trong những bài toán khó của dạng tích

phân từng phần, thoạt đầu nhìn cảm thấy khó chịu và có liên tưởng đến

phương pháp đổi biến số, tuy nhiên đây chính là dạng 4 của tích phân từng phần

Bài 2: (ĐH TC HN -1998)

/4

2 0

- Tính:

1 2 1

ln( 1)

I =òx x + dx

(HV KTQS -1999)

/2 0

e e

x

x

= +

ò

(ĐH GT HN - 1997) 1/9 2

5 0

(ĐH Khối D- 2010)

1

3 (2 ) ln

e

x

=ò

-2.4 Dạng bài toán tích phân đặc biệt

2.4.1 Bài toán dựa vào tính liên tục và tính lẻ của hàm số lấy tích phân

Bài 1: Cho f x( ) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [-a a a; ]( > 0) tính:

( )

a a

-+

= 0

0

) ( )

( )

(

a

a a

a

dx x f dx x f dx x f

ì

= Þ

=

= Þ -

Đặt vấn đề: Đây là bài toán đại diện cho một lớp rất nhiều các bài

toán, cụ thể là trường hợp riêng của bài toán này Ví dụ: Tính các tích phân sau:

- Do đó ta có kết quả

1 2 1

sin

0 1

x dx x

-= +

í = Þ = î

- Với bài toán trên chúng ta thường suy nghỉ đến ba hướng:

1 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần và thực hiện 2014 lần tích phân từng phần điều đó không thự tế

2 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần cho công thức tổng quát:

Tính:

0 2014 1

í = Þ = î

-5

sin

p p

xdx

2 1

sin 1

x dx x

2

sin 4

p p

Bài 1: Cho f(t) là một hàm số liên tục trên đoạn [0;1] Chứng minh:

0

2 0

) (cos )

(sin

dx x f dx x f

é

= Þ

=

= Þ

=

0 2

2 0

t x

t x

Đặt vấn đề: Trên đây là bài toán hay và có vai trò quan trọng trong

việc đi tìm lời giải của 1 lớp các bài toán tích phân có chứa hàm số lượng giác Cụ thể:

Bài 2:

6 2

0

sin cos sin

Đứng trước bài toán này ta thường nghỉ đến hai hướng:

1 Biến đổi lượng giác đưa tích phân về dạng quen thuộc, tuy nhiên do bậc của

hàm số lượng giác khá cao nên chưa chắc đã là hiệu quả

2 Áp dụng bài toán đại diện:

- Ta thấy

6

cos ( )

0

cos cos sin

x dx

0

sin cos sin

x dx

é

= Þ

=

= Þ

=

0 2

2 0

t x

t x

6 2

Bài tập rèn luyện

Tính các tích phân sau:

ò2 +

0 cos sin cos

p

dx x x

x

n n

n

ò2 +

0

4 4

4

sin cos

cos

p

dx x x

x

ò2 +

0

6 6

6

sin cos

cos

p

dx x x

) (sinx dx f x dx xf

x= p - Þ = - và ê

ë

é

= Þ

=

= Þ

=

0

0

t x

t x

p

p

Khi đó:

0 0

) (sinx dx f x dx

Đứng trước bài toán này ta thường nghỉ đến hai hướng:

1 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tuy nhiên việc tính v rất phức tạp

p

p -

=

= Þ

=

0

0

t x

t x

p

p -

ê = Þ = ë

-Khi đó:

1 1 2

sin cos x xdx

Bài 1: Cho f(x) là hàm số liên tục và chẵn trên ¡ ,thì:

ò =ò

+

-a a

) ( 1

) (

dx x f dx a

x f

) ( 1

) (

dx a

x f dx a

x f dx a

x f

x x

x

a

x f

=

= Þ -

=

0

0 t x

a

a

x f a dt a

a t f dt a

t f

x x t

) ( 1

) (

Đặt vấn đề: Bài toán tổng quát trên, cho ta lời giải tương tự đối với các

bài toán sau đây:

1 4 0

Tính:

1 2x 1

x dx

ê = Þ = ë

x dx

+

+

dx e

+

-+

ò (với a> 0)

2.5 Dạng toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng

Bài toán: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [ ]a; b Gọi

D là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f1(x) và y = f2(x) và các đường thẳng x = a, x = b thì diện tích của hình phẳng được tính theo công thức:

-=

b a

dx x f x f

S 1( ) 2( )

Đặt vấn đề: Việc tính diện tích hình phẳng của bài toán trên ta thấy có

phần đơn giản Song trong thực tế ta gặp rất nhiều bài toán không phải như thế, sau đây là các bài toán có dạng khác với mức độ khó hơn Ví dụ tính diện tích hình phẳng (H i) được giới hạn bởi các đường sau:

4 3 ( ) ( )

= + ïî

- + = + Ûíé - + = + Û = =

ê

ï - + = +ë

î

2

5 2 ( )

ï = ï î

b H a

ò

+ Xét dấu: 3 1

1

x x

-Ta thấy 3 1 0, [ 1; 0]

x

x x

= î

ëKhi đó:

5 0 ( ) :

+ - = î

-ëKhi đó:

0 (Ox) ( ) :

1

x

x y

H

x e x

ì = ï

ïï =í

ï = ï

= ïî

Phân tích

- Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C) và (Ox) tìm

e H

e H

dx

du x

0

( O x )( ) :

III KẾT LUẬN

1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

- Qua thực tế giảng dạy đề tài “ Đi tìm tòi lời giải của bài tập tích phân

và ứng dụng” được học sinh tiếp thu khá tốt, các em đã vận dụng ngày càng linh hoạt, sáng tạo để giải quyết một lớp các bài toán về tích phân trong kì thi tốt nghiệp, Đại học và Cao đẳng

- Giữa 2 lớp 12G, 12I có học chuyên đề của đề tài và lớp 12B không học chuyên đề này thì các học sinh lớp 12G, 12I có hướng giải quyết bài tập nhanh và nhiều em có lời giải tốt hơn lớp 12B khi cho bài tập cùng loại

2 Những bài học kinh nghiệm

Qua thời gian nghiên cứu và vận dụng đề tài vào giảng dạy chúng tôi rút ra

được một số ý kiến sau:

a Giáo viên:

- Thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp

- Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các

em không cảm thấy áp lực trong học tập

- Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh

Qua đề tài chúng tôi thấy rằng từ việc nắm được phương pháp đến việc vận dụng nó một cách thành thạo là cả một quá trình Điều cần nhất là chúng

ta cần thực hiện vấn đề tới nơi tới chốn chứ đừng bỏ dở giữa chừng dù phải đối mặt với những tính toán phức tạp

b Học sinh:

Sau khi học sinh tiếp thu một chuyên đề mới, có hiệu quả thì các em sẽ tự tin hơn trong giải quyết được các bài toán dạng này và các dạng tương tự

3 Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm cho ta một hướng tiếp cận, khai thác hiệu quả đối với các dạng toán tích phân trong chương trình lớp 12 THPT Đề tài góp phần giúp học sinh giải quyết vấn đề nhanh chóng nhằm nâng cao hiệu quả

ôn thi Đại học, cao đẳng

4 Khả năng ứng dụng, triển khai

Áp dụng cho học sinh khối 12 ôn thi tốt nghiệp và luyện thi cao đẳng đại học

5 Những kiến nghị và đề xuất

- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy, góp

ý hoàn thiện đề tài và mở rộng phạm vi ứng dụng Tổ chuyên tiếp thu đề tài

để triển khai ôn tập, luyện thi cho học sinh

- Học sinh cần tăng cường học tập, tiếp thu đề tài nhằm nâng cao chất

lượng học tập

Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề tài của tôi không tránh khỏi hạn chế Rất mong được sự giúp đỡ của các thầy, các cô để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Tạ Mân, Đào Tam, Lê Thống Nhất (1996), Các bài giảng luyện thi môn toán - tập 3, Nxb Giáo dục

2 Lê Hồng Đức - Nhóm cự môn (2008), Giải toán giải tích 12(tập 2),

Nxb Hà Nội

3 Th.s Lê Hồng Đức- Nhóm cự môn (2011), Bài giải và lời giải chi tiết

giải tích 12, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội

4 Lê Hồng Đức - Lê Bích Ngọc (2012), Phương pháp giải toán tích

phân, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội

5 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2008), Sách giáo khoa Giải tích lớp

12 cơ bản, Nxb Giáo Dục

6 Nguyễn Phụ Hy (2001), Giảng dạy tích phân trong chương trình

toán 12, Nxb Giáo dục

7 Trần Phương (2010), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải

toán, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội

8 Tạp chí toán học tuổi trẻ(2011- 2012), Nxb Giáo dục