Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Tài liệu tham khảo về môn toán ( nguyên hàm, tích phân ) dành cho học sinh phổ thông cho biết về nguyên hàm, tích phân và những ứng dụng của nó khi giải quyết những vấn đề đạo hàm hay giới hạn. Có những định lý và bài tập ứng dụng của các lý thuyết có thể giúp các bạn học sinh hiểu sâu sắc những quy tắc về nguyên hàm và tích phân.

§ 4 MOT SO PHUONG PHAP TINH TICH PHAN

' A TRONG TAM KIEN THUC

I NGUYEN HAM

1 Khai niém nguyén ham

a) Định nghĩa Cho hàm số ƒ(z) liên tục trên khoảng J Ham sé F(x) được

gọi là nguyên hàm của ƒ(z) trên 7, nếu #“{z) = ƒ(z) với mọi z thuộc 7

b) Định lí Giả sử hàm số F'{z) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(z) trên khoảng ï Khi đó : ,

© Véi mdi hang s6 C , ham s6 G(r) = F(z) + Œ cũng là một nguyên hàm của f(z) trén I

® Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) cua f(z) trén J thi tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x)+C với mọi z thuộc ï

Như vậy :

® Nếu hàm số có một nguyên hàm, thì nó có vô số nguyên hàm Tuy nhiên hai

nguyên hàm của cùng một hàm sô chỉ sai khác nhau mot hang so

® Người ta dùng kí hiệu J7) để chỉ tất cả các nguyên hàm của ƒ(z) Nếu F{) là một nguyên hàm của f(z), thi tất cả các nguyên hàm của ƒ(z) là tập

-3 Một số tính chất cơ bản của nguyên ham

Nếu f(z) va ø(z) là hai hàm số liên tục trên J thi:

a) [ (Fe) + ala) de = f Harder + [ g6 :

f (Fa) = 9(a)) de = ƒ ƒœ)de~— [ ga) ;

b) J kf(x)du = k J f(œ)dz, ở đây k là số thực khác 0

MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đỗi biến số |

Cho hàm số = u(œ) có đạo hàm liên tục trên ƒ và ham SỐ 1 = ƒ(u) liên tục sao cho = flu(z)| xác định trên 7ï Khi đó, nếu #' là một nguyên hàm của

ƒ, tức là | ƒ(u)du = P(u) )+C thi f flu@u'@de = F[ua)] +e,

2 Phuong pháp lây nguyên hàm từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên J thi

f ula)! (z)d+ = u(x)v(x) — ff v(a)u' (+z)dz hay : | J udu = uv — J udu

- IU TICH PHAN

1 Khai niém tich phan

Định nghĩa Cho hàm số ƒ liên tục trén J va a, 6 1a hai số bất kì thuộc 7

Nếu #' là một nguyên hàm của ƒ trên 7 thì hiệu số F(b)— F(a) duge goi là

tích phán cua f tie a đến b và kí hiệu là J f(z)dz

Gia str, trén (a ; 6) ham sé f(x) cé nguyén ham la F(x) Khi d6 ta định nghĩa :

f " fla)de = F(b) — F(a)

163

Chú ý rằng vì mọi nguyên hàm của ƒ(z) chỉ khác nhau một hằng số Œ, do đó trong định nghĩa trên lấy F(x) la bat kì nguyên hàm nào của ƒ(z) cũng được

Người ta còn dùng kí hiệu F(a)’ dé chi hiéu s6 F(b) — F(a) Nhu vay néu F

là một nguyên hàm của ƒ trên / thì [` ƒ(z)dz = F(2)| = F(b)- F(a)

Định lí Cho hàm số = f(z) liên tục, không âm trên 7 ; ø và b là hai điểm _

thudc J (a <b) Khi đó diện tích Š của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị

hàm số = ƒ(z), trục hoành và hai đường thẳng z = ø, z = b là

©) [sade + f° olz)ae = f° pleae ;

a) fsa) + oa)lae =f playae +f oleyae ;

[lee salar = f" Hadar — f° o(a)ae

IV MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến số

ub)

Công thức đôi biến số : Ƒ ƒ|[u(œ)]}u'(z)dz = , ƒ(u)du

Trong đó hàm số w = 1(z) có đạo hàm liên tục trên 7, hàm số = ƒ(u) liên

tục và sao cho hàm hợp ƒ [u(z)| xác định trên 7 ; ø và b là hai số thuộc ï

2 Phương pháp tích phân từng phần |

Tương tự như phương pháp lấy ao hàm từng phân, ta có công thức sau :

Ƒ u(z)v'(x)dz = u(z u(z)| - Ƒ 1(œ)u'(œ)dz

Trong đó, các hàm số u, ø có đạo hàm liên tục trên 7 và ø, b là hai số thuộc I

164

B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN DạngIl PHƯƠNG PHÁP BẢNG NGUYÊN HÀM

2e:

=Ine+In2—In(l+e)=In

l+e Nhận xét : Ta đã sử dụng phép thêm bớt để quy tích phân cần tính thành tổng

(hoặc hiệu) các tích phân mà để tính chúng dê dàng sử dụng bảng nguyên

++a)\z +

in ( t +a) , nlx +0)

= f|in( z +a)d(In ( + )) + In (œ + ð)d(n (z + a))|

= J alInŒ +a)tn(z +ð)]= m(s +a)In( +ð)+Ø,

dx

Ta có : Ï = J sinzd(tanz) _ ƒ tan zd(tan z) _ ; tan zd(tan +)

2 cos’ £

166

Đôi biến số là một trong những phương pháp quan trọng nhất đề tính nguyên

hàm và tích phân Phép đổi biến số dựa trên hai mệnh đề sau :

Z Mệnh đề I Cho ụ = ƒ(u) và uw = g(z) Nếu [ ƒ()dz = F() + C, thì

7 (ø(œ))g(ø)dz = [ f(0)du = F(u)+C

Mệnh đề 2 Cho = ƒ(z) liên tục trên [a ; b|, hàm z = g(£) khả vi, liên

tục trên đoạn [m ; M] và có miễn giá trị là [a ;b], (0m) = a, @(M) = b

Khi đó ta có : J ƒ(œ)dz = J fe()]¿'@)œ (1)

Ý nghĩa của việc đỗi biến số

® Giống như trong phép đổi biến số trong nguyên hàm, ý nghĩa của công

thc (1) 14 & ché sau khi doi bién z= y(t), thì J f(x)dz tré thành

f fly(t)|e'(Odt và tích phân thứ hai này có hàm dưới dấu tích phân

ƒ k2()]¿/() có dạng don gian‘hon va tinh nguyén hàm dễ hơn so với nguyên hàm của ƒ(z) ban đầu

® Cần lưu ý rằng sau khi thay biến z = y(t) ta phải đổi cận.lây tích phân vì

z €|ø ; b}, còn t €[m ; M] Nói một cách nôm na : Đổi biến thì đổi cận

® Cách giải trên là cách giải theo phương pháp đôi biến

® Bây giờ ta thử xem nêu dùng “bảng nguyên hàm” thì cách giải ra sao ?

Ta có : ? =e? —1=e =f?+ 1= e*drz = 2tdt

20

a2, ~1Ì+2l ~lÌ= “:7+3= 3 3

e Về bản chất hai phương pháp này là một Xem ra trong ví dụ này dùng đổi

biến thì lời giải “gọn hơn” tí chút mà thôi

Bat t= V1—cos' 2 Khi c= 0 thì £ =0 ¡ khí o = thi =1,

Ta có : £Ê = 1— cos” z = 6£ dt = 3cos’ xsin dz

«© 2dt = cosỀ + sìn xđ+

169

l= f? v 1—cos® x cos" a (cos? zsin xả)

® Như vậy đối với tích phân mà biểu thức đưới dấu tích phân có chứa hàm

căn thức về nguyên tắc có thể sử dụng phép biến đổi trực tiếp bang “bang nguyên hàm” hoặc dùng phép thay biến Qua các ví dụ trên chắc các bạn đã

tự rút ra cho mình kinh nghiệm chọn phương pháp nào thích hợp nhất để tính

tích phân với hàm dưới dấu tích phân chứa căn thức

Loại 2 Phép thay biến z = —¿

Phương pháp giải

Phép thay biến z = —£ rất thích hợp trong hai dạng toán sau đây : ‹

® Khi biểu thức dưới dấu tích phân là hàm chẫn, hoặc lẻ và tích phân can tinh

có dạng : Ƒ, \ f(z)dz Ta sir dung kết quả sau đây :

= Néu f(z) là hàm số lẻ và khả tích trên [—a ; ø], thi: Ƒ f(x)dz =

oth Nếu f(z) là hàm số chan và khả tich trén [—a ; a] thi:

170

(Tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến là z, là t hay là œ, )

Nhận xét : Đề ý rằng hàm số ƒ(z) = In (z +vz?+ 1) xác định trên R Ngoài ra với mọi z €]Ñ, tacó: -

~s 4—sin? x: 4—sin’t » 4—sin? t

Từ đó thay vào (4) ta được :

- 4—sin + 0 4-sin? x 0 4~sin’

Thay (3) va (5) vào (1), ta được ; J = m3

hon + , dùng phép thay biến z = —t, tacd:

172

Thay (2) vào (1) ta được :

= eS 7 sin # (3° +1) de = f" sin? ade

la a, trong do ham dudi dau tich phân thường chứa các biêu thức lượng giác

và các biểu thức này có liên quan đến cận trên ø (theo nghĩa chúng có môi liên hệ hàm số lượng giác của các góc liên quan đặc biệt) Vì thế các tích phân này thường có cận trén la 7, 27,

Dùng phép thay biến z = 5 —t => dr = ~dt,tacd:

2 ạ CO8” By + sin' ƒ mở > sin’ #Ø-+c0S # oth 30°

Từ đó suy ra: 27 = 2 sin’ 2+ 08 2 4 = [?4e=S

8 sin’ «+ cos’ t 0 2

Ví dụ 3 — Tính tích phân: ï = J 2n SH,

Giải Dat = — t= do = dt Khi ds:

174

Nhận xéi : Trong các Ví dụ 1, Ví dụ 3, cận trên ø =F hoặc z (đó là những cận hay gặp nhất của các tích phân loại này) Trong ví dụ này cận

trên a = 7 và là ví dụ hiếm hoi gặp phải

Loại 4 Hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức -

có dạng va? —z?, œ>0 Phương pháp giải

Với các tích phân này người ta có thể sử dụng phép biến đổi sau :

zœ=asinÝ hoặc t=acost

Khic=-Lst=—2 _ HT

Từ _ << suy ra cos > 0, do đó : Vcos’ t = cos’ t

Thay lại vào (1), ta được :

Dat : xs = cost > dz = —sintdt Khi x =0 thi Lộ, khi z=

t =7 Tacé: Vl—2’ = Vsin’t = sint (do tel nh Do đó:

cos’ t sin tdt 1 + cos 2t

Đặt : 1 — z = cost => —d+ = —sintdt = dx = sintadt

Khi z = 0 thì £ =0 ; khi z =1 thì ¿ = Khi đó ¿

176

L= fra — cost) Vsin? ‡ sin tdt = J sim t(Í1— cos#) d‡

= J? sin? tdt — J? sin? t cos tdt

2

Với tich phan I, = f° 2¥i—(2—1)' de

Dat: c—1=cost > dz = —sintdt Khi = 2 thi ¢=0 ; khi z =1 thì

(1)

tệ, Do d6: I, = ~ fe (1+ cost)sintsin tat = J? sin’ (1+ cost) dt

= [?sin® tdt + [? sin’ tcost

- Thay (1), (2) vào (*), ta được :

"HH .R

= f2dt— > cos ride = % —sinag =>:

(2)

Loại 5 Hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức

k

có dạng (142?) Phuong phap giai

Trong trường hợp này ta có thể sử dụng phép đổi biến :

+ = tan hoặc x =cott

sin £ Ì sin? ¿ sin’ t

Vi rel¿5 nén sint > 0 va cost >0 Do đó, từ (1) ta có :

fa [fst cISa=i

“sint

Nhận xét chung :

= Sau loai bài tập trên là những dạng thông dụng nhất của phép đôi biến Chú ý rằng trong các ví dụ này, ta đều sử dụng phép thay biến dạng :

z = y(t), @(#) được xác định rõ trong từng loại

< Trong phản tiếp theo chúng tôi trình bày các phép biến đổi dang t = y(z)

Loại 7 Hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức

bậc nhất của sin z, cosz

Thông thường với các dạng tích phân này, các phép đổi biến thông dụng là :

Đặt = sin z hoặc = cosz

179

Vidu I Tính tích phân : Ï = ạ_ CO8ZdZ xả+ —_

0 \ĩ+cos2z

Giải Đặt ¿ = sinz => đt = cossdz Khi z = 0 thì £ =0 ; khi ø =2 thì £ =1,

Do cos2z = 1 — 2sin? z = 1 — 2/?, nên ta có :

1 dt 1 pi dt I= { ———=->| Si eae ese —— (1) Lai dat ¢ = 2sinu > dt =2cosudu Khi t=0 thi u=O0 ; khi ¢=1 thi

V

meno

~ Je V4 —4sin? u ~ ado 2 cos u v2 °

= sin x cos® rdz

Vidu2 — Tính tích phân: ï = J 2 see ế

® 1+ cos? x Giải Đặt í = cosz = dt =—sinadr Khi x =0 thi t=1 ; khi n= thi

Nhận xét : Qua cac vi du trén, ta thay khi tinh m6t tích phân có thể phải sử dụng

nhiéu phuong phap :

= Trong Vi du 7, dùng hai phép đổi biến ;

« Trong Ví dụ 8, dùng một phép đổi biến và một phép dùng “bảng nguyên hàm”

Loại 9 Thêm bớt vào biểu thức dưới dấu tích phân rồi đổi biến

® Qua phần trình bày ở trên, các bạn đã thấy rõ vai trò của phép đổi biến

trong việc lầy nguyên hàm và tính tích phân

® Xin lưu ý các bạn điều sau đây : Khi doi biến các bạn phải quan tâm xem

phép đổi biến của ta có nghĩa không Vì nếu phép đổi biến là không có nghĩa

từ đầu, thì mọi tính toán tiếp theo là vô nghĩa

nên tích phân trên tồn tại Theo gợi ý bài toán này thuộc loại “Biểu thức đưới dấu

tích phân là các hàm bậc nhất của sinz và cosz ”, nên ta nghĩ ngay đến phép đôi

biến t= tan Tuy nhiên phép đổi biến này không có nghĩa ở chỗ : Khi z =z

thì £ = tan không xác định Vậy không thể sử dụng phép thay biến này được

Tích phân ấy tính như thế nào ? Nó được tính đơn giản như sau :

đối biến Nó cũng là một ví dụ để chứng tỏ rằng, các phép đôi biến nói trên chỉ

là những gợi ý, nó không phải là điều tuyệt đối phải nghe theo !

® Người ta thường nghĩ ngay đến các phép đổi biến : £—= tanz hoặc

= cotz Nhan thay :

Phép thay biến ¿= tanz là không áp dụng được (vì khi z =s thì

Với I, dùng phép đổi biến £ = tanz (Khi z = 0 thì ¿ = 0 ; khi ø =_ thì

t = 1) phép đổi biến này hoàn toàn xác định Ta có : dt = = Khi đó :

cos’ x

I = fi 1L ode — a d(tan x) _ƒ'

, 0 143tan’ z cos’ x 0 1+ 3tan” z 01+32

Đặt : t=-Etanu = dt=—“ Khi £=0=u=0 ; khí (=l

1, = [>—8* — 4 —

2 fia m8 Thay vao (1) suy ra:

cos’ u.3-

Kết luận : Như thế vẫn là các phép đôi biến z = tan, z = cot không

dùng được cho 7 nhưng lại dùng được cho 1, I,

Khi đó: [ (0x 1)e'# = (%¿~ 1)elb —2 [ cát

= 3e? +1-2(e? -1) =e? +3 (3)

Thay (3) vào (2), ta có : fit —t—1)e'dt = —2 (4) Thay (4) vào (1), ta được 7 = —1

Loại 2 Tích phân có dạng J ° P(z) sin axdz

hoặc J ° P(x) cosaxdz (P(x) là đa thức)

Dat u =e”, dv = cosbadx (hoac dv = sin brdz )

Ciing c6 thé dit: u = cosbz (hoac u = sinbr), dv = edz

Nhận xéi : Trong ví dụ này, ta đã chọn cách dat u = e”* Cần chú ý rằng, nếu đặt

u = e** thi trong lan str dung tich phân từng phần lần thứ hai cũng phải đặt = e3” (còn nếu như trong lần đầu chọn dv = e**dz, thi trong lần sử dụng

tích phân từng phần lần thứ hai cũng phải chọn đu = e”“dz ) Nếu không

như vậy, thì điều gì sẽ xảy ra ? Giả sử sau lần thứ nhất đặt = eŸ“”, ta đi đến (1) Bây giờ đáng lẽ trong lần thứ hai cũng phải đặt = e””; ta lại đặt :

= = cos5z đu = —5 sin 5xj+

(tức là “dậm chân tại chỗ”): Hiện tượng (4) gọi là xoay vòng Đó là hiện

tượng hay gặp phải khi áp dụng phương pháp tích phân

Vậy với tích phân loại 3, ta có thể có hai cách chọn tư, nhưng nên nhớ nếu

đã chọn như thế nào trong tích phân từng phần lần thứ nhất, thì cũng phải

sử dụng cách ấy trong lần sử dụng tích phân lân thứ hai

8 Loại 4 Tích phân có dạng J P(x) In* xdx (k € N)

Thay (2), (3) vào (1), ta được : 7 = ¬

Vi du 2 Tính tích phân : J = f “a? In? ade

war, „2 _— 13 e lpeo, 13 1 are |

Khi đó: [ # Inzd# =2 inal, sd, x dx =3° ed 1 |

Với các Ví dụ đã trình bày ở trên cho chúng ta biết cách sử dụng tích phân

từng phần đối với các loại hình bài tập cơ bản Xin lưu ý với các bạn răng các loại bài tap ấy chiếm đa phần trong chương trình học tập của các bạn ở

nhà trường phổ thông Dưới đây chúng tôi trình bày tiếp cách sử dụng phương pháp tích phân từng phần trong các loại hình bài tập khác Như đã trình bày với các bạn, mẫu chốt trong việc sử dụng tích phân từng phần là :

Chọn hàm + một cách thích hợp nhất Về nguyên lí việc chọn hàm wu cần đảm bảo được các tiêu chí sau đây :

e Chọn w làm sao để dễ dàng tính được J udu

® Tuy nhiên thông thường việc tính tích phân từng phần, thường phải trải qua vài bước Vì thế hàm + cần nhìn trước để chọn sao cho trong các lần

tính tích phân từng phần tiếp theo, thì việc tính các tích phân phải ngày càng

dễ đi Nếu đảm bảo được các tiêu chí này, chắc chắn các bạn sẽ thành công !