giải tích chuyên đề tích phân suy rộng

Tích phân suy rộng loại một Bài toán Tìm diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi đường cong: , trục hoành, đường thẳng x = a... Tích phân suy rộng loại một được gọi là tích phân suy rộng lo

I Tích phân suy rộng loại một Bài toán

Tìm diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi đường cong: , trục hoành, đường thẳng x = a y  f x( )  0

Tích phân suy rộng loại một

được gọi là tích phân suy rộng loại một

Các tích phân sau cũng là tích phân suy rộng loại một

Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng

1) Tính tích phân suy rộng (thường rất phức tạp)

Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz)

Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

dx S

dx x



1

1 lim

dx x

Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

2

1

dx x

 

2ln

e

dx I



(ln )ln

Ví dụ Tính tích phân 2

dx I

2

x I

Ví dụ Tính

5 10

1 1

dx I

10 5

1

dx I

Ví dụ Tính

 3/ 2

2 0

arctan1

arctan1

0

arctan

1 1

x dx

x x

Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)

0

1 1

1

phaân kyø, neáu

Tích phân hàm không âm

và khả tích trên

 x a f x ( )  0, ( )g x  0 a,

f x  g x ở lân cận của . Khi đó:

1) Nếu hội tụ, thì hội tụ ( )

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2

1 2 sin 3

dx I



 , nên hội tụ theo tchuẩn so sánh 1 I

Chú ý (trong tiêu chuẩn 1):

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2

1 sin 3

dx I

Tích phân hàm không âm

và khả tích trên

 x a f x ( )  0, ( )g x  0 a,

( ) lim

( )

x

f x K

Để khảo sát sự hội tụ của ( )

Hội tụ tuyệt đối

Nếu hội tụ, thì hội tụ ( )

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

1 5 ln

dx I

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

0 (3 1) 1

dx I

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

0 (3 1) 1

dx I

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 1/ 2

1

1cos

1

x

x e

 



3 3/

Ví dụ Chứng minh tích phân hội tụ và tính

2

3 1

dx I

1

t t

Ví dụ Chứng minh tích

phân hội tụ và tính 4 2

dx I

2 4

Ví dụ Chứng minh tích phân phân kỳ và tính giới hạn

x x

e

dt t

x x

e

dt t

x x

e

dt t

e





Sai! vì f(x) có dấu tùy ý, không sử dụng so sánh được

Xét tích phân hàm không âm 2



Tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

1

sin xdx I

x



 Tích phân từng phần:

2 1

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

1

sin xdx I

x



  hội tụ (tương tự ví dụ trước)

Tích phân đã cho hội tụ, nhưng không hội tụ tuyệt đối

vẫn chưa kết luận t/phân ban đầu phân kỳ

2) Với tích phân có hai điểm suy rộng

I Tích phân suy rộng loại hai Định nghĩa

Điểm x0 được gọi là điểm kỳ dị của đường cong y = f(x),

loại hai của f(x)

trên đoạn [a,b]

I Tích phân suy rộng loại hai

I Tích phân suy rộng loại hai

Tích phân suy rộng loại

hai của f(x) trên đoạn [a,b]

I Tích phân suy rộng loại hai

Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng loại một

Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ

Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn

so sánh cho tích phân hàm không âm

Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim ( ) : ( )

Cho x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất của f(x) trên [a,b]

Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị

Ví dụ Tính tích phân

4

dx I

2

t t

d x x

lim 2 2

t t

Ví dụ Tích phân

3

0 1

dx I

x





3

0 1

dx I

Vậy tích phân phân kỳ I1

Suy ra tích phân đã cho phân kỳ

Ví dụ Tính tích phân

1

0 (2 ) 1

dx I

21

21

dt t

 



1 0

Tích phân hàm không âm

và khả tích trên

 x a f x ( )  0, ( )g x  0 a b, 

f x  g x ở lân cận của trái của .b Khi đó:

1) Nếu hội tụ, thì hội tụ ( )

Trường hợp x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất

Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị duy nhất

Tích phân hàm không âm

và khả tích trên

 x a f x ( )  0, ( )g x  0 a b, 

( ) lim

( )

x b

f x K

Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)

1 1

1

phaân kyø, neáu

1

phaân kyø, neáu

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ  5 3 

1 0

ln 1

1

x

x dx I

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

3 3

2 0

29

x dx I

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

1 3

0

5tan

x x







Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2

2 0

sin xdx I

sin

x

x x

I Tính các tích phân sau

3

11)

(x 1)(x 2)(x 3) dx



2 3

(5 3)3)

2 0

16)

37)

8)

1

x

dx x







2 0

111)

112)

113)

cosh ( )x dx





2 0

4 0

16)

1

x

dx e







2 2 2

1

e e

3 1

25)

1

xdx x

 2

2 0

1

1230)

1

x

dx x





3 9



2 3 3 13 4

3 3



13 4



 2 1

31)

dx x







3/ 2 2

32)

( 3)

dx x



 

3

2 0

ln34) xdx

x





 5 1

135)

1

dx x







1 4

1 10

2 5 5 1 3

1 64

 3 3 

1

5 3 0

236)

x x dx x

 



1

2 1

15



5 5

  

3



(2 )

x dx

13)

( 1)8)

110)

 

2

  

12

 