Chuyên đề 5 Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số... — Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần...

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

CHUYÊN ĐỀ 5: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Bài 1 TÍCH PHÂN

Khái niệm tích phân

— Cho hàm số f x( ) liên tục trên K và a b K,  Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của f x( )

trên K thì F b( ) F a( ) được gọi là tích phân của f x( ) từ a đến b và được kí hiệu là ( )

b

a

f x dx

 Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ,

b

b a a

If x dx F x F b F a với a gọi là cận dưới, b là cận trên

— Đối với biến số lấy tích phân, ta có thễ chọn bất kì một chư̂ khác nhau thay cho x , nghĩa là:

– Bước 1 Biến đổi để chọn phép đặt t u x ( ) dt u x dx  ( )  (xem lại các phương pháp

đỗi biến số trong phần nguyên hàm )

– Bước 2 Đổi cận: ( )

u b

u a

I  f t dt đơn giản hơn và dễ tính toán

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 1 Tính các tích phân sau:

Dạng toán 1 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Dạng toán:

n Phương pháp 1

m n

120

I b)

1

5 2

0

1 ( 1)

1

5 3 6

0 (1 )

168

I e)

1 3

2 0

1

2 3 0

(1 )

1 5

2 0

1

x

 

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nghèn – Hà Tĩnh

f)

6

1

3 1 2

Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Du – Tp Hồ Chí Minh

BT 3 Tính các tích phân sau (căn thức cũa logarit, mũ hoặc lượng giác):

3

2 1

ln

1 3ln

e

x dx I

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

2

0 cos 3sin 1

x dx I

1

2

dx I

1

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

j)

0

1

BT 5 Tính các tích phân sau (trường hợp không đặt t căn):

 Bài toán tổng quát: Tính tích phân 2 2 2

 Phương pháp: Đặt xasint hoặc x a cos t

Mấu chốt việc đặt ẩn phụ này là xuất phát từ công thức 2 2

sin t cos t 1

a x  a a t  a  t a t a t ta sê tương tự

nếu đặt x a cos t Mục đích chính của vi ệc đặt ẩn này là giúp khai căn d ễ

1 2

0 1

4

I d)

1 2

1 2

2

0 1

x dx I

0

1 2016 6 2016

x x

3

I  

BT 6 Tính các tích phân sau (trường hợp không đặt t căn):

 Bài toán tổng quát: Tính tích phân 2 2 2

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Có phép đặt ẫn phụ này là xuất phát từ công thức 2

a a

Mục đích chính củ a việc đặt ẩn này là giúp khai căn d ễ dàng

a)

2 2 0

2

2

dx I

0 1.

1 1

3

1 (1 )

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

 Bài toán tổng quát: Tính tích phân 2 2 2

sin

a x t

 chẳng hạn đặt

cos

a x t

 thì biểu thức:

2 1

dx I

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

1

3 1 2 1

BT 9 Tính các tích phân sau (đỗi biến cũa hàm logarit):

Bài toán: Tính (ln ) 1

   sẽ không bị mất tính tổng quát so với khi đặt tlnx và làm

cho việc xử lý bài toán sau khi đặt ẩn phụ sẽ đơn hơn Ngoài ra, khi gặp căn thức , ta

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

ln( 4) 4

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

p)

1

ln 2 ln

ln(3 ) ln(3 ) 9

2 ln 1 (8 ln 8 ln 3)

c)

ln 2

2 0

( 1)

x x

e dx I

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

d)

3

1 x 1

dx I

ln 6 2

0

3

0 sin cos

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

a)

3

4

0 sin cos

sin cos

π 3

sin cos 2 cos

sin cos

sin

1 cos

xdx I

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

2 0

3 0

(cos ) sin cos

0

tan cos 2

dx I

0

3 2(1 tan ) cos os

Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Du – Tp Hồ Chí Minh

BT 14 Tính các tích phân sau (dạng (sin cos ) (sin cos ) PP

f x x  x x  đặt t sinx cos ) :x

a)

2

4

sin cos sin cos

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Iu x v x dx    u x v x   u x v x dx   hay .

b a

Iudv u v vdu

— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv phần còn lại Nghĩa là nếu có ln hay

loga x thì chọn u ln hay log 1 .ln

ln

a

a

  và dv còn lại Nếu không có ln; log thì chọn

u đa thức và dv còn lại Nếu không có log, đa thức, ta chọn u lượng giác,…

— Lưu ý rằng bậc cũa đa thức và bậc cũa ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm

— Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 15 Tính các tích phân (dạng tích phân từng phần cơ bản):

4

Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Văn Lang – Tp Hồ Chí Minh

Dạng toán 2 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

c)

0 cos

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Bình Tân – Tp Hồ Chí Minh

o)

2

0 (2 1) .x

1 ln

e I

e

2 5 4

e

I  

Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Nam Mŷ – Tp Hồ Chí Minh

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

z)

1

2

0 (4 1) x .

2 3 2

e

2 9 4

0 sin



2 4 16

I  

Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Tân Phong – Tp Hồ Chí Minh

cc)

2 2

I x e dx ĐS:

2 3 4

ln(cos ) cos

ln( 1) ( 2)

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

0 ln( 1) .

e

2 1 4

e

I  

qq)

2 2

0 ( 1).sin

 

ss)

1 2

0 ( 2 ) .x

tt)

2

0 cos

0 sin 4

25

e I

0 sin ( ) .

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Trần Nhân Tông – Tp Hồ Chí Minh

c)

1

2

0 (1 ) (2 x)

2 1 4



3 3

I  

Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chu Văn An – Hà Nội

e)

2 3

1 (2 ln ) .

ln( ) ( 2)

2 3 4

0 ( x) .



3 1 24



2 8 32

I  

Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Sỡ GD & ĐT Hà Tînh

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU



3 2

2 5 4



3 2.

0 ( ) .x

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

y)

1 3

0 (2 ) .x

0 ( sin ) .



4 1.



2 8 32

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

2 0

2 tan cos

1 ( x 1) .



60 4

I e

e

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

1

0 (2 x x) .

9

I 

Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp Hồ Chí Minh

BT 18 Tính các tích phân (Sữ dụng đỗi biến trước, rồi tính tích phân từng phần sau):

a)

2

4

0 cos

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Phan Đình Phùng – Hà Nội

BT 19 Tính các tích phân sau (kỹ thuật chọn hằng số C phù hợp để .

2

I d)

1

2

0 ln(2 ) .

ln(sin 2 cos ) cos

8

I g)

ln 2

0 ln( 1) .

5 3ln( 2) ( 1)

ln ( 2)

x dx I

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

 Diện tích hình phẳng giới bạn bởi một đường

cong, trục Ox và hai đường thẳng:

( ) ( 0)

O a b x

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

cong và hai đường thẳng:

( ) ( )

y=f(x)

y=g(x)

O a b x

 Diện tích hình phẳng tạo một bởi đường

cong, trục Ox và một đường thẳng:

( ) ( 0)

 Tìm hoành độ giao điểm x  xo của

đường cong và trục Ox

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

 Tìm tất cả các hoành độ giao

điểmx x1, 2, , xi của hai đường cong (là

nghiệm của phương trình f x ( )  g x ( ))

 Với x1  x2   xi, khi đó diện tích hình

phẳng được tính bởi công thức:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: xex    0 x 0

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x e x x  1 và trục Ox được tính:

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

Các em tự tính tích phân và tìm kết quả

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln  x  1  và y  x

e) y  xex, y   x,và đường thẳng x  1

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

 Thể tích vật tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới

hạn bởi đường cong:y  f x ( ) và hai đường

 Thể tích vật tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới

hạn bởi đường cong: y  f x ( ) và hai đường

thẳng y  a , y  b

 Ta biến đổi y  f x ( )   x g(y)

 Xoay quanh Oy:

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

 Thể tích vật tròn xoay tạo bởi hai đường

cong: y  f x ( )và y  g x ( )

 Xác định diện tích tạo bởi hai đường cong

 Tìm tất cả các hoành độ giao

điểmx x1, 2, , xi của hai đường cong

Ví dụ 1: Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường y  x2  2 x x  1 x  2 và trục hoành

Tính thể tích khối tròn xoay khi cho S xoay quanh Ox

Ví dụ 2: Cho hình phẳng S giới hạn bởi hai đường y  3 x và y   x 2

a) Tính thể tích khối tròn xoay khi cho S xoay quanh Ox

b) Tính thể tích khối tròn xoay khi cho S quay quanh Oy

Giải:

42

x x

      Thể tích khối tròn xoay khi cho S xoay quanh Ox được tính:

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

3 1

2

6 9

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU