Luận văn thạc sĩ phân hoạch và hàm sinh

Cæng huyºn êi ng÷ñ.. Nguy¶n lþ Bò-Trø.. Chuéi ly thøa h¼nh.. V nh huéi ly thøa h¼nh.. sè Stirling lo¤i mët.. Leibnizl ng÷íiu ti¶nquan t¥m¸nb i to¡nph¥n hsètü nhi¶n... Têng qu¡t nguy¶n lþ

NGUY™N THÀ HU› LINH

LUŠN V‹N TH„C Sß TON HÅC

NGUY™N THÀ HU› LINH

Líi nâi u 2

1.1 Quan h» t÷ìng ÷ìng 4

1.2 Tê hñp suy rëng 5

1.3 Khai triºn a 7

1.4 Cæng huyºn êi ng÷ñ 11

1.5 Nguy¶n lþ Bò-Trø 14

1.6 Chuéi ly thøa h¼nh 17

1.6.1 V nh huéi ly thøa h¼nh 17

1.6.2 ành lþ htenholz v· hëi tö 19

2 Ph¥n h tªp hñp húu h¤n 20 2.1 Ph÷ìng ph¡p ph¥n h tªp hñp 20

2.2 D¢y sè Stirling 24

2.2.1 sè Stirling lo¤i hai 25

2.2.2 sè Stirling lo¤i mët 31

2.3 Mët v i k¸t qu£ v· sè Bell 34

2.3.1 Kh¡i ni»m sè Bell 34

2.3.2 Sè Bell i·u ki»n 37

3 Ph¥n h sè nguy¶n d÷ìng 41 3.1 Ph¥n h sè nguy¶n d÷ìng 41

3.2 Ph÷ìng ph¡p h m sinh Euler 56

3.3 H m sinh th÷íng sè Stirling v  sè ph¥n h 59

Líi nâi u

B i to¡n ph¥n h tªp hñp v  ph¥n h sè nguy¶n d÷ìng ¢ ÷ñ

bi¸t ¸n tø r§t l¥u v  ng y nay nâ vai trá quan trång khæng h¿ trong

l¾nh to¡n hå m  nâ ÷ñ ¡p döng trong nhi·u ng nh khoa hå

nh÷ Vªt Lþ, àaLþ, Vªy th¸ n o l  ph¥n h tªphñp v  th¸ n o

l  ph¥n h sè nguy¶n d÷ìng

Leibnizl ng÷íiu ti¶nquan t¥m¸nb i to¡nph¥n hsètü nhi¶n

V o n«m 1674, trong mët th÷ gûi J.Bernoulli, æng ¢ häi v· h hia

mëtsè nguy¶n khæng ¥m Nâi theo thuªt ngú hi»n ¤i, Leibniz ¢ °t

häi u ti¶n v· sè ph¥n h mët sè tü nhi¶n Æng ¢ ÷a ra mët v i

v½ dö thº d÷îi ¥y:

(1) Sè 2 hai ph¥n h 2 = 2 = 1 + 1,

(2) Sè 3 ba ph¥n h 3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1,

(3)Sè4 n«mph¥n h4 = 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1.Nhi·u b i to¡n sè hå hay tê hñp s³ trð n¶n d¹ gi£i hìn khi sû döng

Ch÷ìng 1 - Ki¸n bà Ch÷ìng n y tr¼nh b y v§n ·

v·: Quan h» t÷ìng ÷ìng, tê hñp suy rëng, khai triºn a

huyºn êi ng÷ñ nguy¶n lþ Bò-trø, huéi ly thøa h¼nh

Ch÷ìng 2 - Ph¥n ho tªp hñp húu h¤n Tr¼nh b y v· ph÷ìng ph¡p

ph¥n h tªp hñp, d¢y sè Stirling v  mët v i k¸t qu£ v· sè Bell

Ch÷ìng 3 - Tr¼nh b y kh¡i ni»m b£n, mët sè ành lþ, h» qu£,

H m sinh th÷íng sè Stirling v  sè ph¥n h.

º ho n th nh luªn v«n n y, tr÷î h¸t gi£ xin ÷ñ gûi líi ìn

s¥u tîi PGS TS  m V«n Nh¿ ¢ d nh thíi gian h÷îng d¨n, h¿ b£o

tªnt¼nh giópï trongsuètqu¡ tr¼nhx¥y düng· t i nh÷ ho nthi»n

luªn v«n Ti¸p theo, gi£ xin gûi líi ìn h¥n th nh tîi

thy ¢ å kiºm tra, ¡nh gi¡ v ho nhúng þ ki¸n quþ b¡u º luªn

v«n ÷ñ y õ hìn, phong phó hìn Qua ¥y, gi£ xin ÷ñ gûi

líi ìn tîi Ban gi¡m hi»u, pháng  o t¤o, Khoa To¡n - Tin Tr÷íng

¤i hå Khoa hå - ¤i hå Th¡i Nguy¶n v  b¤n çng nghi»p ¢ t¤o

i·u ki»n thuªn lñi trong suèt qu¡ tr¼nh hå tªp t¤i tr÷íng

T gi£ r§t mong nhªn ÷ñ sü âng gâp þ ki¸n thy v 

b¤n çng nghi»p º luªn v«n ÷ñ ho n thi»n hìn

ành ngh¾a 1.2 Gi£ thi¸t X 6= ∅ v  S 6= ∅ l mët quan h» hai ngæi trong

X. Quan h» S ÷ñ gåi l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng trong X n¸u nâ thäam¢n ba i·u ki»n sau ¥y:

(i) (Ph£n x¤) Vîi måi x ∈ X xSx.

(ii) (èi xùng) Vîi måi x, y ∈ X, n¸u xSy th¼ ySx.

(iii) Vîi måi x, y, z ∈ X, n¸u xSy v ySz th¼ xSz.

Khi S l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng trong X th¼ ta th÷íng kþ hi»u ∼ thay

ho S. °t C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} v  gåi nâ l  mët lîp t÷ìng ÷ìng vîi x

l m ¤i di»n D¹ d ng h¿ ra t½nh h§t sau:

T½nh h§t 1.1 Gi£ sû ∼ l  quan h» t÷ìng ÷ìng trong X 6= ∅. Khi â(i) Vîi måi x ∈ X â x ∈ C(x).

(ii) Vîi måi y, z ∈ C(x) â y ∼ z v  y, z ∼ x.

(iii) Vîi måi x, y ∈ X, â ho C(x) ∩ C(y) = ∅ ho C(x) = C(y).

X/ ∼

1.2 Tê hñp suy rëng

ành ngh¾a 1.3 Méi h s­p x¸p thù tü k phn tû m  phn tûthº l°p l¤i tªp T gçm n phn tû nhau ÷ñ gåi l  mët

hñp l°p k tªp n phn tû Kþ hi»u sè h¿nh hñp l°p hªp k

tªp gçm n phn tû nhau l  A k n K¸t qu£ sau ¥y l  hiºn nhi¶n.M»nh · 1.1 Sè hñp l°p k mët tªp gçm n phn tûnhau l  A k n = n k

ành ngh¾a 1.4 Méi h l§y k phn tû m  phn tû thº l°p l¤imët tªp n phn tû ÷ñ gåi l  mët tê hñp l°p hay tê hñp suy rënghªp k tªp n phn tû

Kþ hi»u sè t§t tê hñp l°p hªp k mët tªp gçm n phn tû

nhau l  C k n Ta k¸t qu£ sau ¥y

M»nh · 1.2 Sè ho¡n và l°p n phn tû, trong â â n 1 phn tûnh÷ nhau thuë lo¤i 1, n 2 phn tû nh÷ nhau thuë lo¤i 2, , n s phn tûnh÷ nhau thuë lo¤i s, s³ óng b¬ng

n!

n 1 !n 2 ! n s ! ·

Chùng minh Kþhi»u phntû l a 1 , a 2 , , a s ,trong âa 1 xu§thi»n

n 1 ln, a 2 xu§thi»n n 2 ln, , a s xu§t hi»nn s ln n 1 phn tû b¬ngnhau a 1

÷ñ kþ hi»u qua a 11 , , a 1n 1 ; n 2 phn tû b¬ng nhau a 2 ÷ñ kþ hi»u qua

a 21 , , a 2n 2 ; ; n s phn tû b¬ng nhau a s ÷ñ kþ hi»u qua a s1 , , a sn s

Vîi n = n 1 + n 2 + · · · + n s phn tû a ij ta n! ho¡n và Khi ành

a i1 , , a in i , i 6= 1, n 1 phn tû b¬ng nhau a 11 , , a 1n 1 ho¡n và vîinhau

ta h¿ ÷ñ mët ho¡n và Trong tr÷íng hñp n y, t¸ méi phn

tû ¢ ÷ñ t½nh n 1 ! ln T÷ìng tü x²t tr÷íng hñp V¼ tr÷ínghñp l  ë lªp vîi nhau n¶n theo quy nh¥n ta th§y méi ho¡n và

t¸¢÷ñ t½nhn 1 ! n s !ln Vªysè ho¡nvà t½nhb¬ng

n!

n 1 !n 2 ! n s ! · 

M»nh· 1.3 Kþ hi»u T l sè ph¥n nçvªt nhauv o trong

k hëp nhausao â n i vªt ÷ñ °t v o hëp thù i vîi i = 1, 2, , k.

Khi â T = n!

n 1 !n 2 ! n k ! ·

Cn 1

ti¸p theo C n 2

n−n 1 h hån n 2 vªt tø n − n 1 vªt °t v o hëp thù hai, ,

l C n k

n−n 1 −···−n k−1 h hån n k vªt tø n − n 1 − · · · − n k−1 vªt °t v ohëp thù k V¼ tr÷íng hñp hån ð tr¶n l ë lªp vîinhau n¶n theo quy

sao méi hëp óng m vªt Khi â T = n!

(m!) k · Do k hëp gièng nhau n¶n méi h ph¥n hia

¢ xu§t hi»n k! ln Vªy t¸ sè h ph¥n hia l  T = n!

k!(m!) k · 

V½ dö 1.2 Gi£ sû â s lo¤i hëp gçm m 1 lo¤i thù nh§t, m 2 lo¤ithù hai, , m s lo¤i thù s, trong â nhúng lo¤i gièng h»tnhau Câ n = m 1 n 1 + m 2 n 2 + · · · + m s n s ç vªt x¸p h¸t v o hëp saoméi hëp thuë lo¤i thù i óng n i vªt Kþ hi»u T l  sè ph¥n

n ç vªt nhau x¸p v o s lo¤i hëp gçm m 1 + m 2 + · · · + m s

â Khi â

T = (m 1 n 1 + m 2 n 2 + · · · + m s n s )!

m 1 !m 2 ! m s !(n 1 !) m 1 (n 2 !) m 2 · · · (n s !) m s ·

B i gi£i Tr÷î ti¶n ta hia n vªt th nh s phn sao ho phn thù i

m i n i vªt Khi â sè h ph¥n hia l 

(m1n1)!(m1n2)! (msns)! ·

emphn thùi l  m i n i vªt x¸p v o m i hëpgièngh»t nhau.Khi â sè h

ành ngh¾a h» sè tê hñp a ìn d÷îi ¥y nh÷ mët sü têng qu¡t

ho tê hñp v  khai triºn Nhà Newton

ành ngh¾a 1.5 Vîi sè nguy¶n d÷ìng n v  k, sè

trong â têng l§y theo t§t £ r 1 , , r k ∈ N vîi r 1 + · · · + r r = n.

Chùng minh Ta hùng minh k¸t qu£ b¬ng ph÷ìng ph¡p qui n¤p theo

n. Vîi n = 1 hiºn nhi¶n óng Gi£ sû óng vîi n. Tah¿ ra nâ óng vîi n + 1. Thªt vªy, ta

r ∗

1 ! (r ∗

k − 1)! ] x

r ∗ 1

V½ dö 1.3 Vîi b§t ký sè nguy¶n d÷ìng k luæn â çng nh§t

H» qu£ 1.1 Sè sè h¤ng trong khai triºn (x 1 + x 2 + · · · + x k ) n

M»nh · 1.6 Tªp A vîi k phn tû tr÷î Sè d¢y k phn tû âl°p (r 1 , r 2 , , r k ) vîi ë d i d¢y l  r 1 + r 2 + · · · + r k = n l 

V½ dö 1.4 Gi£ sû â b£ng §u t¤o vîi 3 ¡i a, b, c. T¼m sè

tø bao gçm n m  trong â â mët sè ¡i a.

B i gi£i N¸u trong hú 2r hú a th¼ ta thº °t theo C2r n h;trong n − 2r và tr½ l¤i ta 2n−2r

B¥y gií ta sû döng kþ hi»u h¼nh º hùng minh huyºn

êi ng÷ñ v· têng qua tê hñp d÷îi ¥y:

B i gi£i B¬ng ph÷ìng ph¡p qui n¤p theo n, vîi x1 = 1 − √ 5

vîi n > 1. °t f k = ( −1) k D k v  g k = ( −1) k k!. Khi â

Khi x²tb i to¡n tê hñp, tath÷íngph£i ¸m xem baonhi¶u h¼nh

thº t¤ora vîinhúng y¶u °ttr÷î Nâi hung, º ¸m h¼nh

¢ ho ng÷íi ta t¼m h ÷a h¼nh v· lo¤i quen thuë qua

ph¥n ra th nh lîp º ¡p döng nguy¶n lþ d÷îi ¥y:

Card (A ∪ B) =Card (A) +Card (B) −Card (A ∩ B).

Têng qu¡t nguy¶n lþ ta Nguy¶n lþ Bò-Trø C¡i khâ vªn

döng nguy¶n lþ Bò-Trø l  ph¥n lîp nh÷ th¸ n o º d¹ d ng ÷ñ

sè ¸m

Kþ hi»u l÷ñng tªp A gçm mët sè húu h¤n phn tû qua |A|.

Chùng minh Ta hùng minh b¬ng ph÷ìng ph¡p qui n¤p Tr÷î ti¶n

ta th§y n = 1 k¸t luªn óng Vîi n = 2, x²t hai tªp hñp A, B vîil÷ñng húu h¤n N¸u A ∩ B = ∅ th¼ hiºn nhi¶n |A ∪ B| = |A| + |B|. N¸u

V½ dö 1.8 Câ bao nhi¶u sè tü nhi¶n n ∈ [1, 2005] m  khæng h¸tmët sè n o trong sè 2,3,11,13.

B i gi£i Kþ hi»u A = {1, 2, , 2005} v  A i l  tªp A gçm t§t

sè nguy¶n d÷ìng hia h¸t ho i. Ta |A 2 | =



2005 2



= 182 v  |A 13 | =

 2005 13



= 334, |A 2 ∩A 11 | =



2005 22



= 91, |A 2 ∩A 13 | =



2005 26



=

77, |A 3 ∩ A 11 | =

 2005 33



= 60, |A 3 ∩ A 13 | =

 2005 39



= 7, |A 3 ∩A 11 ∩A 13 | =



2005 429



= 2. Sè T sè thuë A khæng hia h¸t

ho 2, 3, 11, 13 l 

T = |A| − |A 2 ∪ A 3 ∪ A 11 ∪ A 13 | = 2005 − (1002 + 668 + 182 + 154) + + (334 + 91 + 77 + 60 + 51 + 14) − (30 + 25 + 7 + 4) + 2 = 562.

p i p j v |A i ∩ A j | = n

pipj· T÷ìng tü t½nh l÷ñng tªp giao

Theo nguy¶n lþ Bò-Trø, ành lþ 1.3, ta

ϕ(n) = n −

1.6 Chuéi ly thøa h¼nh

1.6.1 V nh huéi ly thøa h¼nh

n y tªp trung x²t huéi ly thøa h¼nh mët bi¸n tr¶n mët

Chuéi f ÷ñ gåi l  húu t¿ n¸u hai a p(x), q(x) ∈ K[x] º

f (x) = p(x)

q(x) hay f (x)q(x) = p(x) trong K[[x]]. N¸u q(0) = 1, b f (x)

l  deg f (x) := deg p(x) − deg q(x). N¸u tçn t¤i h m (¤i sè si¶u vi»t)

F (x) sao ho f (x) = F (x) th¼ F (x) ÷ñ gåi l  æng âng huéi

f (x). Chóng ta khæng x²t i·u ki»n khi n o huéi f âng

3

− 1.1.3.5 2.4.6.8 x

4

± · · · (1 ± x) −1/2

= 1 ∓ 1

2 x +

1.1 2.4 x

2

∓ 1.1.3 2.4.6 x

3

+ 1.1.3.5 2.4.6.8 x

K¸t qu£ sau¥y G.M htenholz v· t½nh hëi tö mët h qua hëi

1 2

B i gi£i Gi£sû k l sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n u b i X²t k = 8.Tªp

T gçm t¡m sè h®n 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 khæng thäa m¢n i·u ki»n:

Vîi a, b ∈ T, a 6= b a 2 + b 2

l  sè nguy¶n tè N¸u k < 8 th¼ h¿ x²ttªp U ⊂ T ·u khæng thäa m¢n Do vªy k > 9. Ph¥n h tªp th nhtªp hai sè {a, b|a 2 + b 2

nguy¶n tè} :

A = {1, 4} ∪ {2, 3} ∪ {5, 8} ∪ {6, 11} ∪ {7, 10} ∪ {9, 16} ∪ {12, 13} ∪ {14, 15}.

Theo Nguy¶n lþ hlet, trong sè tªp tòy þ tªp A ph£i

méi tªp gçm 9 phn tû tªp A luæn tçn t¤i hai sè ph¥n bi»t a, b º

a 2 + b 2

V½ dö 2.2 Vîi méi sè nguy¶n d÷ìng n h¢y ành sè nguy¶n d÷ìng k

lîn nh§t vîi t½nh Trong méi tªp gçm n phn tû ·u â thº ra

k tªp on nhau thäa m¢n hai tªp on ph¥n bi»t trong sè tªp on

2 n

tªp A th nh 2 n−1 A i v phn bò B i = A \ A i vîi méi i.V¼ sètªp ÷ñ hån l  k > 2 n−1

n¶n ph£i ½t nh§t hai tªp ÷ñ hån

l A r , A s trð th nh d¤ng {A r , A s } = {A i , B i } theo nguy¶n lþ hlet

Do vªy A i ∩ B i = A r ∩ A s 6= ∅ : m¥u thu¨n Tø ¥y suy ra k = 2 n−1 

V½ dö 2.3 ành sè nguy¶n d÷ìng k º sao tªp hñp

X = {2012, 2012 + 1, 2012 + 2, , 2012 + k}

â thº ph¥n ra l m hai tªp A v  B thäa m¢n A ∩ B = ∅, A ∪ B = X v têng sè thuë tªp A óng b¬ng têng sè thuë tªp B.

B i gi£i Tr÷î ti¶n ta t¼m i·u ki»n ho k. Gi£ sû hai tªp A v  B

thäa m¢n u b i °t s l têng t§t sè thuë tªp A. Khi â tªp

X²t tr÷íng hñp (1): k ≡ 3( mod 4). D¹ d ng suy ra: Sè phn tû thuë tªp

X ph£i l bëi 4.Hiºn nhi¶n, 4 sè tü nhi¶n li¶n ti¸p n, n + 1, n + 2, n + 3

luæn thäa m¢n

n + n + 3 = n + 1 + n + 2 v  {n, n + 3} ∩ {n + 1, n + 2} = ∅.

Tªp X thäa m¢n t½nh h§t ái häi

Tr÷íng hñp (2): k ≡ 0( mod 4). Trong tr÷íng hñp n y, sè phn tû tªp

X ph£i l  sè l´ Gi£ sû X ÷ñ ph¥n ra l m hai tªp ríi nhau A v  B v 

A ∩ B = ∅. Ta thº gi£ thi¸t Card (A) > Card (B). °t k = 4m vîi sè

tü nhi¶n m. Khi â

Card (A) > 2m + 1, Card (B) 6 2m.

thäa m¢n u b i.

Khi k ≡ 0( mod 4) v  k > 92 : Ta vi¸t

vîi sè phn tû h®n d¹ d ng ph¥n ra l m hai tªp C v  D thãa m¢n

C ∩ D = ∅ v  C ∪ D = X 2 vîi têng sè trong tªp C v  D b¬ng nhau

Vªy A 0 = A ∪ C, B 0 = B ∪ D thäa m¢n u b i

Tâm l¤i, k ≡ 3( mod 4) k ≡ 0( mod 4) vîi k > 92 

V½ dö 2.4 Gi£ sû X l  tªp gçm n phn tû ành sè °p (A, B),

ð â A, B ⊆ X, thäa m¢n A khæng l  tªp on sü B.

B i gi£i Ta bi¸t r¬ng sè tªp tªp X óng b¬ng 2 n Vªy sè

(A, A) b¬ng2 n Vîi méi sè tü nhi¶n k v  tªp B gçm k phn tû, sètªp A B óng b¬ng 2 k Tø ¥y suy ra sè (A, B), ð â

i

= (a − 1)(b − 1).

B i gi£i Tªp iºm nguy¶n

A = {(i, j)|1 6 i 6 a − 1, 1 6 j 6 b − 1}

l÷ñng óng b¬ng (a − 1)(b − 1) v  khæng iºm n o thuë A n¬m

i

= (a − 1)(b − 1).



ành ngh¾a 2.2 Mët ph²p tªp V th nh k phn l  mët k-kiºutªp (A 1 , A 2 , , A k ), trongâ thº mët v i tªp l  tªp réng, thäam¢n hai i·u ki»n:

(i) V = A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A k

(ii) A i ∩ A j = ∅ vîi måi i, j, i 6= j.

M»nh · 2.1 Gi£ sû |V | = n v  |Aj| = rj vîi måi j. Khi â sè ph²pkiºu (A1, A2, , Ak) tªp V óng b¬ng

ành ngh¾a 2.3 Cho d¢y sè {a n }. Chuéi luÿ thøa h¼nh biºu di¹n

!

= 0 khi n > m, d¢y sè

m n

n! x

n

l  h m sinh m d¢y (A n

2.2.1 sè Stirling lo¤i hai

ành ngh¾a 2.4 Cho tªp húu h¤n S 6= ∅ Sè ph¥n h tªp S

th nh k phn ÷ñ kþ hi»u l  S(n, k) v  gåi l  sè Stirling lo¤i hai

V½ dö 2.7 S(4, 2) = 7 vîi ph¥n ho t÷ìng ùng nh÷ sau:

{{1}, {2, 3, 4}}; {{2}, {1, 3, 4}}; {{3}, {1, 2, 4}}; {{4}, {1, 2, 3}};

{{1, 2}, {3, 4}}; {{1, 3}, {2, 4}}; {{1, 4}, {2, 3}}.

Hiºn nhi¶n S(n, k) = 0, ∀k > n Ta thøa nhªn S(0, 0) = 1 

M»nh · 2.2 [çng nh§t "tüa" tam P Cho S l  tªphúu h¤n, S 6= ∅ Khi â, ta â

S(n, k) =S(n − 1, k − 1) + k.S(n − 1, k), 0 < k < n, (2.1)

S(n, 0) =0, ∀n > 0.

Chùng minh (2.2) v  (2.3) l  hiºn nhi¶n.

º hùngminh(2.1)tax²ttªpt§t ph¥n h tªp{1, 2, , n}

th nh k −khèi Tªp n y ÷ñ hia th nh hai lîp ríi nhau:

+) Lîp thù nh§t hùa ph¥n h hùa khèi mët phn tû {n}.+)Lîp thùhai hùa ph¥n htrongâ n n¬m trongkhèi lîn hìn(½t nh§t hai phn tû)

l÷ñng lîp thù nh§t b¬ng sè ph¥n h tªp

{1, 2, , n − 1}

th nh k − 1 khèi v  h½nh b¬ng S(n − 1, k − 1)

l÷ñng lîp thù hai b¬ng k.S(n − 1, k), v¼ méi mët ph¥n htªp {1, 2, , n − 1} th nh k −khèi t÷ìng ùng vîi óng k ph¥n hlîp thùhai,÷ñ t¤on¶ntø ph¥n htr¶nb¬ng hth¶m v o phn

Chùng minh Tath§y ngay,méi to n ¡nh f ∈ F n,k t÷ìng ùng mëtph¥n

(k) Câ duy nh§t 1 h hån sè nguy¶n i k º A k = f −1 (i k ).

Nh÷ vªy, t÷ìng ùng mët-mët giúa méi ph¥n h tªp D th nh k phnvîi k! to n ¡nh Vªy sè to n ¡nh trong tªp F n,k b¬ng k!S(n, k) 

Bê · 2.2 Sè ¡nh x¤ t«ng trong tªp F n,k óng b¬ng

k n

!

khi n 6 k

v  sè ¡nh x¤ khæng gi£m trong tªp F n,k óng b¬ng

k + n − 1 n

óng mët h¿nh hñp l°p hªp n k sè Sè h¿nh hñp l°p n y óngb¬ng k n Kþ hi»u A l  tªp t§t ¡nh x¤ tø S v o R v  ho méi i kþhi»u A i l  tªp A gçm t§t ¡nh x¤ tø S v o R \ {i}. Ta

Kþ hi»u ¯ng n y nh÷ sau c k = (1 − b) k

v  hiºu l  sau khi khai

triºn thay b i

bði b i Vîi kþ hi»u hi»u h¼nh óng vîi måi gi¡ trà

x, thº vi¸t çng nh§t nh÷ sau: (c + x) k = ( −b + 1 + x) k Cho

1 k!

D(n) = n!



1 0! − 1 1! +

1 2! − · · · + ( −1)

1 2! − · · · + ( −1)

D(n) = m! vîi måi sè nguy¶n m > n.

B i gi£i Do bði

!

Tø Bê· 2.1ta hùngminh ÷ñ mëtt½nh h§t sè Stirling

lo¤i hai, ho ta mèi li¶n h» giúa a x k

D¢y 1, [x] 1 , [x] 2 , trð th nhmët sð trongkhæng gian tuy¸n t½nh

a sè Stirling lo¤i hai óng b¬ng h» sè huyºn tø sð mët

b¬ngx n

.Thªt vªy,sè h mb¬ng sè d¢yhy 1 , y 2 , , y n i(y i ∈ Y ) hån

÷ñ tøtªpxphntøY.Méiyi x h hån.Vªyd¢yhy1, y2, , yni(yi ∈

− (n − 1)s(n − 1, 0).

So s¡nh h» sè x k

ð hai v¸ ta ÷ñ (2.7)

(2.8), (2.9) l  hiºn nhi¶n

Hiºn nhi¶n s(n, k) = 0 vîi måi k > n 

H» qu£ 2.2 Ta luæn â k¸t qu£ sau ¥y:

i m vªtv o hëpm sao hoi k ≥ 0(k = 1, 2, , m)v i 1 +i 2 + .+i m = n −1.

Vªt thù n thº v o hëp k theo i k + 1 h (Và tr½ u ti¶n v· b¶n tr¡i,

và tr½ thù hai tø tr¡i qua ph£i, và tr½ thù i k + 1 t½nh tø tr¡i qua ph£i) Do

l 1 , l 2 , , l m th¼ theo B i to¡n 2.1 [m] n

h s­p x¸p Tuy nhi¶n trð l¤i

b ito¡n n y,nhúng sü s­p x¸p m  h¿ nhaubði nhúng nh¢n d¡ntr¶n

n

2.3 Mët v i k¸t qu£ v· sè Bell

2.3.1 Kh¡i ni»m sè Bell

ành ngh¾a 2.6 Sè h ph¥n h mët tªp n phn tû ÷ñ gåi l  mët

sè Bell, (E T Bell 1883-1960), v  ÷ñ kþ hi»u qua B n

Hiºn nhi¶n, ta mèi quan h» B n =

• {a, b}, {c, d}; {a, c}, {b, d}; {a, d}, {b, c}

• {a, b, c}, {d}; {a, b, d}, {c}; {a, c, d}, {b}; {b, c, d}, {a}

!

Bi.

m n

n! x

n

l  h m sinh m dÂy (A n

2.2.1 số Stirling loÔi hai

nh nghắa 2.4 Cho têp hỳu hÔn