Giới Hạn Cơ Bản Hàm Số 1.
Trang 1Giới Hạn Cơ Bản Hàm Số
1 í ℎ ℎấ ơ ả ủ ớ ℎạ :
0
0
0
0
0
( )
( )
lim ( ) > 0
lim ( )
x x
x x
x x
x x
x x
a
f x a
0
( )
x
x x
2 ộ ố ớ ℎạ ơ ả :
0
0
0
0
0
1
0
1
sin
) lim 1 0 sin
tan
) lim 1 0 tan
1
ln(1 )
e) lim 1 0 ln 1
f) lim 1
1 ) lim 1 lim 1
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
x
x
x
x
e
Trang 2
1
h) lim 1
) lim sin khong ton tai
x
x
x
e x
3.Các dạng vô định thường gặp :
0
) ; b) ; c)0 d) e)1 )0 )
0
Dạng: 0
0
Có dạng:
0
( ) lim
( )
x x
f x
g x
trong đó ( )
( )
f x
0
0 ,
Cách làm: Ta tìm cách triệt tiêu đi xx0
2 3
2
8
x
Ví dụ 2 :
1
1
lim
1
x
x x
Ví dụ 3:
1
1
lim
1
x
x x
Ví dụ 4 :
1
1, 1 1
lim
x
x x
Ví dụ 5:
lim
5
x
x
Trang 34 2 2 2 2
2
5
x
Ví dụ 6: 3 3 2 2
Cách 1 :
3
2
2
2 2
suy ra : lim 3 2 1 1 2
x
x
Cách 2 :
x
0
cos cos
lim
sin
x
cx
Cách 1:
0
1
lim
x
Cách 2:
Trang 4
0
cos cos
lim
x
Ví dụ 8:
2
0
ln cos
lim
ln 1
x
x x
2
2
2
0
ln cos ln 1 cos 1 cos 1
ta co': lim 1 cos lim 2 sin 2
cos 1 2 1
lim
2
x
x
x
x x
Ví dụ 9:
10
9
1
2 1 lim
2 1
x
10
1
2 1
1 8 lim
x
Ví dụ 10: lim
x a
x a
x a
Trang 5
Ví dụ 11:
1
2 1
1
1
lim
1
lim
n n
x
x
x
2
1
1 1 1 1
( 1)
2
x
x
n n
1 2
lim
x a
x a
Ta có :
1
2
1
2
x a
Ví dụ 13:
5
0
243 3 lim
x
x x
Cách 1:
Ta có tính chất :
0
lim
x
u u
Trang 61 5 5
5
243 5 405 243
243
x x
x
x
Cách 2: Ta chú rằng :elnuu
Suy ra:
5
5
5.243 405
405 405
Cách 3 : Lopital 1
405
kq
Ví dụ 14:
3 0
lim
x
x
Cách 1:
2
1 1 1
2 3 6
Cách 2:
1 2 3 1
ln 1
ln 1
6
x x
x x
Ví dụ 15 :
2 2 1
lim
3 2
x
Trang 7
2 2
2
2
Cách 2 :
2 2
2 1
ln 1 4 3
2
3
3 3
2
x x
x x
x
Các dang bài tập tương tự:
2
3
4 4
1) lim 2) lim 3) lim
ln 1 sin 1 cos cos 5 cos 7 1
x
x
x
x
1
2 0
7
sin
1 6) lim
sin
1 2 cos cos cos 5 cos 7 cos 9 x 1
7) lim 6) lim
tan
ln 1 3 3 ln 1 3 5
x
x
x x
2
2
6
7
3 2
tan 2 sin
11) lim 12) lim 13) lim
1 2 ln sin
3 2 3 cos
1 ln
14) lim 15) lim
1 sin 2
x
x
x x
x
0
1 1 16) lim
sin 1 cos 7
17) lim 18) lim 19) lim
tan 2
x x
x
Trang 8
20) lim , 0
x
a x
Dạng 2: 1 , 0 , 0.
Đối với dạng 1 ta có công thức sau : 1
0
lim 1 x
lim 1
x
x
Ví dụ 16:
3 3
1 lim
1
x
x
x x
Cách 1:
31 3
3
2 1 2
0 1
x x x
x
x
Ví dụ 17 :
cot
0
lim ln 1
x
x
x e e
Cách 1:
cot 1
ln 1
ln 1
lim ln 1 lim 1 ln 1 lim 1 ln 1
x x
e
e
Cách 2:
x
x
e
Ví dụ 18:
1
1 lim
x x
e
Trang 9Cách 1:
2
2 1 2
x
Cách 2:
2
1
x
Ví dụ 19 : sin
0
lim cos x
Cách 1:
2
3 2
sin
sin
x
x
Cách 2:
2
x x
1 0
lim x x , 0
x
Cách 1:
lna 1 ln 1
ln 1
lim x x lim 1 x 1 x lim 1 ln 1 x a a
Cách 2:
ln 1
Bài tập tương tự :
1
1) lim 2) lim 3) lim 1 4) lim 1 tan
1 5sin 2
x
x
x x x