bất đẳng thức biến phân nửa affine

Một trong những bài toán bất đẳng thức biến phân được nghiên cứunhiều đó là bài toán bất đẳng thức biến phân a-phin và bất đẳng thứcbiến phân nửa a-phin.. Do đó nghiên cứu về lớp các bài

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Thái Nguyên - 2014

Mục lục

Bảng kí hiệu vi

Mở đầu vii

Nội dung 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Không gian Rn 1

1.2 Giải tích lồi 2

1.3 Tính đồng dương cộng 5

1.4 Bài toán bù tuyến tính 7

Chương 2 Bất đẳng thức biến phân nửa a-phin 12

2.1 Bất đẳng thức biến phân a-phin 12

2.1.1 Định nghĩa 12

2.1.2 Sự tồn tại nghiệm 21

2.2 Bất đẳng thức biến phân nửa a-phin 38

2.2.1 Định nghĩa 38

2.2.2 Sự tồn tại nghiệm 39

2.2.3 Tính ổn định 43

Kết luận 56

Tài liệu tham khảo 57

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS TS.Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướngdẫn về phương hướng, nội dung và phương pháp nghiên cứu trong quátrình thực hiện luận văn

Nhân dịp này tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Bangiám hiệu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, phòng Sauđại học, Trường cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật Phú Thọ, đã tạo điều kiệnthuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên

và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này

Thái Nguyên, tháng năm 2014

Tác giả

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Thái Nguyên, tháng năm 2014

Tác giả

Bảng kí hiệu

Rn không gian thực n - chiều

RanT Miền giá trị của toán tử T

SpanP Không gian con tuyến tính nhỏ nhất của Rn chứa P

P rK(.) hoặc PK(.) Phép chiếu metric từ Rn

vào một tập con lồi đóng K ⊂ Rn

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức biến phân là một bài toán đã được nghiên cứu rấtnhiều Nó có liên quan đến nhiều bài toán khác của toán học và củathực tế (bài toán tối ưu, bài toán bù, bài toán cân bằng )

Một trong những bài toán bất đẳng thức biến phân được nghiên cứunhiều đó là bài toán bất đẳng thức biến phân a-phin và bất đẳng thứcbiến phân nửa a-phin Tuy chúng không phức tạp, nhưng bất đẳng thứcbiến phân a-phin và nửa a-phin là một trong những bài toán có cấu trúcđặc thù và chứa một số lớp bài toán quan trọng

Do đó nghiên cứu về lớp các bài toán bất đẳng thức biến phân a-phin

và nửa a-phin không những làm sáng tỏ nhiều vấn đề của bất đẳng thứcbiến phân tổng quát mà chúng còn cung cấp những công cụ mạnh chocác nhánh khác nhau của toán học.Vì vậy nó thu hút sự quan tâm củanhiều nhà toán học trên thế giới cũng như ở Việt Nam trong mấy chụcnăm qua Đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứunhững khía cạnh khác nhau của bất đẳng thức biến phân a-phin và nửaa-phin

Sau khi được học những kiến thức về Toán ứng dụng, với mong muốntìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ của chúng vớinhững kiến thức chưa biết và ứng dụng của chúng, được sự động viêncủa các thầy cô giáo, đặc biệt là sự động viên giúp đỡ của thầy Nguyễn

Năng Tâm, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Bất đẳng thức biến phân nửaa-phin”.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Trình bày khái niệm bất đẳng thức biến phân a-phin và nửa a-phin

• Trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân a-phin

• Trình bày về sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân nửaa-phin và bài toán bù tuyến tính tổng quát

• Trình bày tính ổn định nghiệm của bất đẳng thức biến phân nửaa-phin

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức biến phân nửa a-phin

• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và tính ổn định nghiệm của bấtđẳng thức biến phân a-phin, nửa a-phin, và bài toán bù tuyến tínhtổng quát.

5 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm, lý thuyếttối ưu

• Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến

đề tài

6 Dự kiến các đóng góp của luận văn

• Nghiên cứu và làm rõ được sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân a-phin và nửa a-phin

• Trình bày về tính ổn định của bất đẳng thức biến phân nửa a-phin

• Trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán bù tuyến tính tổng quát

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này giới thiệu và trình bày các kiến thức cơ bản về khônggian Rn, giải tích lồi, các khái niệm về đồng dương cộng, một số kiếnthức về bất đẳng thức biến phân a-phin và bài toán bù tuyến tính, được

áp dụng cho chương sau Các kết quả trong chương này được lấy từ tàiliệu [1],[3],[4],[9], [10]

1.1 Không gian Rn

Tích vô hướng của hai véc tơ x = (x1, , xn) và y = (y1, , yn) trong

Rn được biểu thị bởi

hx, yi = x1y1 + + xnyn.Chuẩn của một véc tơ x ∈ Rn được định nghĩa bởi

kxk = hx, xi1/2

Cho x0 ∈ Rn,  > 0, ta gọi tập

B(x0, ) = {x ∈ Rn : kx − x0k < }

Là hình cầu mở trong Rn có tâm tại x0, bán kính 

Tập U ⊂ Rn gọi là mở nếu với mọi x0 ∈ U , tồn tại  > 0 sao choB(x0, ) ⊂ U

Tập F ⊂ Rn được gọi là đóng nếu U = Rn\ F là mở.

Ma trận A ∈ M (n, n) được gọi là nửa xác định dương trên Rn nếu nóthỏa mãn điều kiện xTAx ≥ 0 với mọi x ∈ Rn Trong đó xT là chuyển vịcủa véc tơ x

1.2 Giải tích lồi

Định nghĩa 1.2.1 Tập X ⊂ Rn được gọi là lồi nếu

λx + (1 − λ)y ∈ X ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] Định nghĩa 1.2.2 Tập K ⊂ Rn được gọi là nón nếu

∀x ∈ K, ∀λ ≥ 0 ⇒ λx ∈ K

Định nghĩa 1.2.3 Cho K là nón trong Rn

K∗ = {y ∈ Rn : hy, zi ≥ 0, ∀z ∈ K},được gọi là nón đối ngẫu dương của nón K trong Rn

Định nghĩa 1.2.4 Tập K gọi là một nón lồi, nếu K vừa là nón vừa làmột tập lồi, có nghĩa là

∀x, y ∈ K, ∀λ, µ ≥ 0 ⇒ λx + µy ∈ K

Định nghĩa 1.2.5 Cho D là một tập lồi khác rỗng trong Rn Véc tơ

v ∈ Rn khác 0 gọi là phương lùi xa của D nếu với mọi x ∈ D, với mọi

t ≥ 0 ta có x + tv ∈ D

Tập tất cả các phương lùi xa của D cùng véc tơ 0 của Rn lập thành mộtnón lồi Ta gọi nón đó là nón lùi xa của D và kí hiệu là 0+D

Định nghĩa 1.2.6 Một siêu phẳng H trong Rn là một tập có dạng{x ∈ Rn

|ha, xi = b}, trong đó a là một véc tơ khác không trong Rn và

b ∈ Rn

Các tập {x ∈ Rn|ha, xi ≥ b}, {x ∈ Rn|ha, xi ≤ b} được gọi là các nửakhông gian đóng liên kết với siêu phẳng đó (cũng được gọi là các nửakhông gian dương và âm tương ứng)

Các tập {x ∈ Rn|ha, xi > b}, {x ∈ Rn|ha, xi < b} được gọi là các nửakhông gian mở liên kết với siêu phẳng đó

Định nghĩa 1.2.7 Nón pháp tuyến N∆(¯x) tới một tập lồi ∆ ⊂ Rn tạimột điểm ¯x ∈ Rn được định nghĩa bởi công thức

và các số thực b1, , bm sao cho C là tập nghiệm của hệ bất phương trìnhtuyến tính

Hàm f được gọi là một hàm lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X và vớimọi t ∈ [0, 1] ta có

f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)

Định nghĩa 1.2.10 Nếu ∆ ⊂ Rn là một tập lồi, đóng, khác rỗng và

φ : ∆ → Rn là một toán tử (ánh xạ) cho trước thì bài toán tìm ¯x ∈ ∆thỏa mãn

hφ(¯x), y − ¯xi ≥ 0 ∀y ∈ ∆, (1.1)được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân hoặc, đơn giản, là bất đẳngthức biến phân (viết tắt là VI) Nó được kí hiệu là V I(φ, ∆)

Tập tất cả các ¯x ∈ ∆ thỏa mãn (1.1) được gọi là tập nghiệm của bàitoán V I(φ, ∆) Kí hiệu là Sol(V I(φ, ∆))

Dễ thấy rằng ¯x ∈ Sol(V I(φ, ∆)) nếu và chỉ nếu

0 ∈ φ(¯x) + N∆(¯x),trong đó N∆(¯x) là nón pháp tuyến trên ∆ tại ¯x thỏa mãn

Định lý 1.2.1 (Hartman- Stampacchia) Nếu ∆ ⊂ Rn là lồi, compact,khác rỗng và φ : ∆ → Rn là liên tục thì bài toán V I(φ, ∆) có một nghiệm.Định lý 1.2.2 Cho ∆ ⊂ Rn là tập lồi, đóng, khác rỗng và φ : ∆ → Rn

là một toán tử liên tục Nếu tồn tại x0 ∈ ∆ sao cho

hφ(y) − φ(x0), y − x0iky − x0k → +∞ khi kyk → +∞, y ∈ ∆

thì bài toán V I(φ, ∆) có một nghiệm

Trong phần tiếp theo chúng ta trình bày định nghĩa ma trận đơn điệu

và ma trận đồng dương cộng trên một nón

1.3 Tính đồng dương cộng

Định nghĩa 1.3.1 Một ma trận M ∈ Rn×n được gọi là đơn điệu tone) trên một tập lồi đóng ∆ ⊂ Rn nếu toán tử tuyến tính tương ứngvới M là đơn điệu trên ∆, tức là

(mono-(y − x)TM (y − x) ≥ 0 ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆ (1.2)

Định nghĩa 1.3.2 Một ma trận M ∈ Rn×n được gọi là đồng dương trênmột tập lồi đóng ∆ nếu

vTM v ≥ 0 ∀v ∈ 0+∆ (1.3)Nếu M đồng dương trên Rn+ thì M được gọi là ma trận đồng dương.Định nghĩa 1.3.3 Một ma trận M ∈ Rn×n được gọi là đồng dương chặttrên một tập lồi đóng ∆ nếu

vTM v > 0 ∀v ∈ 0+∆ (1.4)

Định nghĩa 1.3.4 Một ma trận M ∈ Rn×n được gọi là đồng dươngcộng trên một nón K ⊂ Rn nếu

(i) v ∈ K kéo theo hM v, vi ≥ 0,

(ii) (v ∈ K, hM v, vi = 0) kéo theo (M + MT)v = 0

Nhận xét 1.3.1 Tính đơn điệu kéo theo tính đồng dương, nhưng điềungược lại, nói chung, là sai Thật vậy, nếu (1.2) đúng và nếu ∆ khácrỗng thì, với bất kỳ ¯x ∈ ∆ và v ∈ 0+∆, ta có

vTM v = ((¯x + v) − ¯x)TM ((¯x + v) − ¯x) ≥ 0

Do đó M là đồng dương trên ∆ Để thấy rằng, nói chung tính đồng dươngkhông kéo theo tính đơn điệu, ta xét ví dụ sau.

kỳ, M là đồng dương trên ∆ Nói cách khác, nếu int∆ 6= 0 thì tồn tại

thì M là đồng dương nhưng không đồng dương chặt trên ∆ Thật vậychọn ¯v = (0, 1) ta thấy rằng ¯v ∈ 0+∆ \ {0} = R2+\ {0} nhưng ¯vTM ¯v = 0.Nếu M là nửa xác định dương, thì M là đồng dương cộng trên bất kỳnón K ⊂ Rn Thật vậy, nếu hM v, vi ≥ 0 với mọi x ∈ Rn , thì điều kiện(i) đúng Hơn nữa nếu hM v, vi = 0 thì v là điểm cực tiểu của quy hoạchtoàn phương lồi min{h(M + MT)x, xi : x ∈ Rn} Theo quy tắc Fermat,(M + MT)v = 0; do đó (ii) đúng.

1.4 Bài toán bù tuyến tính

Phần này trình bày các kiến thức về bài toán bù tuyến tính và bàitoán bù tuyến tính tổng quát, nêu lên các kết quả về sự tồn tại nghiệm

và tính ổn định của tập nghiệm của bài toán bù tuyến tính và bài toán

∆

Định nghĩa 1.4.1 Bài toán (1.5) trong đó ∆ ⊂ Rn là một nón lồi đóng

và φ : Rn → Rn được gọi là bài toán bù (không tuyến tính) xác định bởi

φ và ∆ Kí hiệu là N CP (φ, ∆)

Định nghĩa 1.4.2 Bài toán (1.5) với ∆ = Rn+ và φ(x) = M x + q trong

đó M ∈ Rn×n và q ∈ Rn, kí hiệu là LCP (M, q), và được gọi là bài toán

bù tuyến tính xác định bởi M và q Tập nghiệm của bài toán này được

Định nghĩa 1.4.3 Cho ∆ ⊂ Rn là một tập lồi, đóng, khác rỗng, một

ma trận M ∈ Rn×n, một véc tơ q ∈ Rn Bài toán bù tuyến tính tổng quátđược phát biểu như sau

Mệnh đề 1.4.2 Tập nghiệm của (1.6) là không bị chặn nếu và chỉ nếutồn tại một cặp (v, u0) ∈ Rn× Rn, v 6= 0, u0 ∈ Sol(M, q), sao cho

(i) v ≥ 0, M v ≥ 0, v ∈ l(M );

(ii) (M u0 + q)Tv = 0;

(iii) hM v, u0i = 0

Ta kí hiệu

l(M ) = {z ∈ Rn : zTM z = 0}

Hiển nhiên l(M ) là một nón không lồi, đóng

Mệnh đề 1.4.3 Bài toán (1.6) có một tập nghiệm compact (có thểrỗng) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

Tính toán trực tiếp chỉ ra rằng giao của các nón l(M ), {v : M v ≥ 0}

và {v : v ≥ 0}, chỉ bao gồm 0 Theo Mệnh đề 1.4.3 Sol(M, q) là compact.Ngược lại M trong ví dụ trên là một ma trận không suy biến, nó kéotheo rằng tập nghiệm Sol(M, q) là một tập hữu hạn Theo định nghĩa

ma trận M = (aij) được gọi là ma trận không suy biến nếu, với bất kỳtập con khác rỗng α ⊂ {1, , n}, định thức của ma trận con chính Mααgồm các phần tử aij (i ∈ α, j ∈ α) của M là khác không

Ví dụ 1.4.2 Xét bài toán (1.6) với



 ∈ R2, µ 6= 0, n = 2

Tính toán trực tiếp chỉ ra rằng giao của các nón l(M ), {v : M v ≥ 0}

và {v : v ≥ 0}, là tập {v = (0, v2) ∈ R2 : v2 ≥ 0} Kiểm tra điều kiện (ii)trong Mệnh đề 1.4.2, không mất tính tổng quát giả sử rằng v = (0, 1)

Dễ thấy không có u0 ≥ 0 sao cho (M u0 + q)Tv = 0 và hM v, u0i = 0.Theo Mệnh đề 1.4.2, tập Sol(M, q) là compact

Ví dụ 1.4.3 Xét bài toán (1.6) với



∈ R2, n = 2

Tính toán trực tiếp chỉ ra rằng giao của các nón l(M ), {v : M v ≥ 0}

và {v : v ≥ 0}, là tập {v = (0, v2) ∈ R2 : v2 ≥ 0} Dễ thấy rằng điềukiện (i)- (iii) của Mệnh đề 1.4.2 thỏa mãn nếu ta chọn v = (0, 1) và

u0 = (1, 0) Theo Mệnh đề 1.4.2, tập Sol(M, q) không bị chặn

Định lý 1.4.1 Cho ∆ là một đa diện và M là đồng dương cộng trên

∆ Nếu GLCP (M, q, ∆) là chấp nhận được thì nó giải được

Định lý 1.4.2 Cho ∆ là một nón lồi, đóng, khác rỗng trong Rn, M ∈ Rn×nđồng dương cộng trên ∆ Thì,các tính chất sau là tương đương:

(a) Tập nghiệm của GLCP (M, q, ∆) là khác rỗng và bị chặn

(b) q ∈ int((0+∆)∗ − M ∆)

(c) Tồn tại  > 0 sao cho với mọi M0 ∈ Rn×n và q0 ∈ Rn với

max { k M0 − M k, k q0 − q k } <  }, tập nghiệm của GLCP (M, q, ∆)

là khác rỗng

Định lý 1.4.3 Nếu M là ma trận đồng dương và

q ∈ int([Sol(M, 0))]+),thì bài toán LCP (M, q) có một nghiệm

Định lý 1.4.4 Nếu M là ma trận đồng dương và

q ∈ [Sol(M, 0))]+Thì bài toán LCP (M, q) có một nghiệm

Kết luận: Chương này đã trình bày các khái niệm và các kết quả liênquan về Không gian Rn giải tích lồi, tính đồng dương cộng và bài toán

bù tuyến tính sẽ dùng cho các chương sau

Chương 2 Bất đẳng thức biến phân nửa a-phin

Trong chương này ta giới thiệu các khái niệm bài toán bất đẳng thứcbiến phân a-phin, nửa a-phin và các tập nghiệm của chúng Bên cạnh

đó ta cũng nghiên cứu về điều kiện tồn tại và tính ổn định nghiệm củachúng Các kiến thức trong chương này được lấy từ tài liệu [2],[5], [6],[7], [8], [9], [10]

2.1 Bất đẳng thức biến phân a-phin

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1 Cho M ∈ Rn×n, q ∈ Rn Cho ∆ ⊂ Rn là một tập lồi

đa diện Bài toán bất đẳng thức biến phân a-phin là bài toán:

Tìm ¯x ∈ ∆ sao cho

hM ¯x + q, y − ¯xi ≥ 0, ∀y ∈ ∆ (2.1)Được kí hiệu là AV I(M, q, ∆)

Định nghĩa 2.1.2 Tập tất cả các ¯x ∈ ∆ thỏa mãn (2.1) được gọi làtập nghiệm của bất đẳng thức biến phân a-phin (2.1), và được kí hiệu làSol(AV I(M, q, ∆))

Định nghĩa 2.1.3 Một nửa đường thẳng w = {¯x + t¯v : t ≥ 0}, trong

đó ¯v ∈ Rn \ {0}, mà là tập con của Sol(AV I(M, q, ∆)), được gọi là nửa

đường thẳng nghiệm của bài toán (2.1).

Định nghĩa 2.1.4 Một đoạn thẳng wδ = {¯x + t¯v : t ∈ [0, δ)}, trong đó

¯

v ∈ Rn \ {0} và δ > 0, mà là tập con của Sol(AV I(M, q, ∆)), được gọi

là đoạn thẳng nghiệm của bài toán (2.1)

Định lý 2.1.1 Véc tơ ¯x ∈ Rn là nghiệm của (2.1) trong đó ∆ được chobởi công thức

¯

λT (A¯x + b) = 0

(2.3)

Chứng minh Kí hiệu Ai là dòng thứ i của A và bi là phần tử thứ i của véc

tơ b Đặt ai = ATi với mọi i = 1, , m Cho ¯x ∈ Sol(AV I(M, q, ∆)) Đặt

I = {1, , m}, I0 = {i ∈ I : hai, ¯xi = bi} và I1 = {i ∈ I : hai, ¯xi > bi}.Với mỗi v ∈ Rn thỏa mãn

hai, vi ≥ 0,với mọi i ∈ I0, dễ thấy rằng tồn tại δ1 > 0 sao cho hai, ¯x + tvi ≥ bi vớimọi i ∈ I và t ∈ (0, δ1) Thay y = ¯x + tv, trong đó t ∈ (0, δ1) vào (2.1)được hM ¯x + q, vi ≥ 0 Do đó

h−M ¯x − q, vi ≤ 0,với mọi v ∈ Rn thỏa mãn

h−ai, vi ≤ 0,

Đặt ¯λi = 0 với mọi i ∈ I1 và ¯λ = (¯λ1, , ¯λm) Vì ai = ATi với mọi i ∈ I1,

từ (2.4) ta thu được đẳng thức đầu tiên trong (2.3) Vì x ∈ ∆(A, b) và

Từ Định lý 2.1.1 có thể suy ra hai hệ quả mà áp dụng cho trường hợp

∆ được biểu diễn dưới dạng

∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} (2.5)

và trường hợp

∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, Cx = d} (2.6)

Ở đây A ∈ Rm×n, b ∈ Rm, C ∈ Rs×n và b ∈ Rs

Hệ quả 2.1.1 Véc tơ ¯x ∈ Rn là một nghiệm của (2.1) trong đó ∆ đượccho bởi (2.5) nếu và chỉ nếu tồn tại ¯λ = (¯λ1, , ¯λm) ∈ Rm sao cho



, ˜b =



b0





Trong đó E là ma trận đơn vị trong Rn×n và 0 là véc tơ không trong Rn.Thì bài toán (2.1), trong đó ∆ được cho bởi (2.5), tương đương với bàitoán

Hệ quả 2.1.2 Véc tơ ¯x ∈ Rn là một nghiệm của (2.1) trong đó ∆được cho bởi (2.6) nếu và chỉ nếu tồn tại ¯λ = (¯λ1, , ¯λm) ∈ Rm và

Không giống như tập nghiệm và tập nghiệm địa phương của một quyhoạch toàn phương không lồi, tập nghiệm của một bài toán AV I có cấutrúc khá đơn giản.

Định lý 2.1.2 Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân a-phin

là hợp của hữu hạn các tập lồi đa diện

Chứng minh Xét bài toán AV I tổng quát có dạng (2.1) Vì ∆ là mộttập lồi đa diện, tồn tại m ∈ N, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm sao cho

∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} Theo Định lý 2.1.1, x ∈ Sol(AV I(M, q, ∆))nếu và chỉ nếu tồn tại λ = (λ1, , λm) ∈ Rm sao cho

ra rằng Sol(AV I(M, q, ∆)) là hợp của hữu hạn các tập lồi đa diện

Hệ quả 2.1.3 Các phát biểu sau là đúng:

(i) Tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân a-phin là một tập đóng (cóthể rỗng);

(ii) Nếu tập nghiệm của một bất đẳng thức biến phân a-phin không bịchặn, thì bài toán có một nửa đường thẳng nghiệm;

(iii) Nếu tập nghiệm của một bất đẳng thức biến phân a-phin vô hạn, thìbài toán có một đoạn thẳng nghiệm

Chứng minh Phát biểu (i) suy ra trực tiếp từ công thức (2.11) bởi

vì, với bất kỳ I0 ⊂ I, tập P rRn(QI0), là tập lồi đa diện, đóng NếuSol(AV I(M, q, ∆)) không bị chặn thì từ (2.11) suy ra tồn tại một tậpchỉ số I0 ⊂ I sao cho

ΩI0 : P rRn(QI0) (2.12)

là một tập không bị chặn Vì ΩI0 là một tập lồi đa diện, nó là một tậplồi không bị chặn Theo [10, Theorem 8.4], thừa nhận ΩI0 là một phươnglùi xa; tồn tại ¯v ∈ Rn\ {0} sao cho

x + t¯v ∈ ΩI0, ∀x ∈ ΩI0, ∀t ≥ 0 (2.13)Lấy bất kỳ ¯x ∈ ΩI0 ta suy từ (2.11) và (2.13) rằng ¯x+t¯v ∈ Sol(AV I(M, q, ∆))với mọi t ≥ 0 Do đó ta chứng minh được bài toán (2.1) có một nửa đườngthẳng nghiệm Nếu Sol(AV I(M, q, ∆)) là vô hạn thì từ (2.11) ta có mộttập chỉ số I0 ⊂ I sao cho tập lồi đa diện ΩI0 xác định bởi (2.12) là vôhạn Thì phải tồn tại hai điểm khác nhau x ∈ ΩI0 và y ∈ ΩI0 Rõ ràng[x, y) := {x+t(y −x) : t ∈ [0, 1) là một đoạn thẳng nghiệm của (2.1)

Dùng Định lý 2.1.2 có thể thu được đầy đủ đặc trưng của tính không

bị chặn của tập nghiệm của một bài toán AV I Ta xét bài toán (2.1)trong đó ∆ được cho bởi (2.2) ta đưa vào các ký hiệu sau:

δ(A) = {v ∈ Rn : Av ≥ 0},δ(A)+ = {z ∈ Rn : zTv ≥ 0, ∀v ∈ δ(A)},l(M ) = {z ∈ Rn : zTM z = 0}

Chú ý rằng δ(A) và {v ∈ Rn : Av ∈ δ(a)+} là các nón lồi đa diện, trongkhi l(M ), trong trường hợp tổng quát, là một nón không lồi đóng Cũngchú ý rằng δ(A) = 0+∆ và δ(A)+ = (0+∆)+

Định lý 2.1.3 Tập nghiệm của (2.1) không bị chặn nếu và chỉ nếu tồntại một cặp (v, u0) ∈ Rn× Rn, v 6= 0, u0 ∈ Sol(AV I(M, q, ∆)), sao cho(i) v ∈ δ(A), M v ∈ δ(A)+, v ∈ l(M );

(ii) (M u)+ q)Tv = 0;

(iii) hM v, y − u0i ≥ 0, ∀y ∈ ∆

Chứng minh Đủ : Giả sử rằng có một cặp (v, u0) ∈ Rn × Rn, v 6= 0,

u0 ∈ Sol(AV I(M, q, ∆)), sao cho (i) - (iii) thỏa mãn Cho xt = u0+tv, t >

0 Với bất kỳ y ∈ ∆ cho trước, ta suy ra từ (i) - (iii) rằng

hM xt + q, y − xti = hM (u0 + tv) + q, y − (u0 + tv)ihmU+q, y − u0i − thM u0 + q, vi +thM v, y − u0i − t2hM v, vi ≥ 0.Điều này suy ra rằng xt ∈ Sol(AV I(M, q, ∆)) với mọi t > 0 Do đó tậpnghiệm bị chặn

Cần: Giả sử rằng tập Sol(AV I(M, q, ∆)) bị chặn Theo (2.11), tồntại I0 ⊂ I sao cho tập ΩI0 xác định bởi (2.12) là không bị chặn Áp dụng[10, Theorem8.4], ta có thể khẳng định rằng tồn tại v ∈ Rn, v 6= 0 và

và bất đẳng thức trước chỉ ra rằng (ii) thỏa mãn Theo (2.15), (2.17) và(ii), với mọi y ∈ ∆ ta có

0 ≤ hM u0 + q + tM v, y − u0 − tvi

= hM u0 + q, y − u0i + thM v, y − u0ivới mọi t > 0 Điều này kéo theo bất đẳng thức hM v, y − u0i < 0 phảisai Vì vậy ta có

hM v, y − u0i ≥ 0, ∀y ∈ ∆ (2.18)Thay y = u0 + w, trong đó w ∈ δ(A) vào bất đẳng thức trong (2.18) tađược hM v, wi ≥ 0 với mọi w ∈ δ(A) Điều này suy ra M v ∈ δ(A)+ Do

đó ta thấy rằng ba bao hàm thức trong (i) đều thỏa mãn

Một vài điều kiện đủ đơn giản để (2.1) có tập nghiệm compact có thểthu được trực tiếp từ định lý trước

Hệ quả 2.1.4 Bài toán (2.1) có một tập nghiệm compact (có thể rỗng)nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

Xét bài toán (2.1) Vì ∆ là một tập lồi đa diện, tồn tại m ∈ N, A ∈

Rm×n và b ∈ Rm sao cho

∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} (2.19)Cho



 ∈ Rn+m.Xét quy hoạch toàn phương bổ trợ sau

¯λ



 ∈ Rn+m sao cho

M ¯x − ATλ + q = 0, A¯¯ x ≥ 0, ¯λ ≥ 0 (2.21)

Lấy v ∈ 0+∆.Từ (2.19), ta có Av ≥ 0 Từ (2.21) ta suy rằng

0 = (M ¯x − ATλ + q)¯ Tv = (M ¯x + q)Tv − ¯λTAv

Do đó (M ¯x + q)Tv = ¯λTAv ≥ 0

Đủ : Giả sử rằng tồn tại ¯x ∈ ∆ sao cho (M ¯x + q)Tv ≥ 0 với mọi

v ∈ 0+∆ = δ(A) Xét quy hoạch tuyến tính sau

trong đó c = M ¯x + q Theo điều giả sử suy ra rằng ∆ 6= ∅ và

(M ¯x + q)Tv ≥ 0 khi v ∈ Rn, Av ≥ 0 Do đó (2.22) có một nghiệm Suy

ra tồn tại ¯λ ∈ Rm sao cho

¯λ



 thuộc

˜

∆ Vì vậy ˜∆ 6= ∅

Bổ đề 2.1.2 Nếu tồn tại ¯x ∈ ∆ sao cho (M ¯x + q)Tv ≥ 0 với mọi

v ∈ 0+∆ thì bài toán quy hoạch toàn phương bổ trợ (2.20) có một nghiệm.Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.1, từ giả thiết suy ra rằng ˜∆ là khác rỗng.Cho

z =



xλ

= 1

2



xλ

Định lý 2.1.4 Nếu hai điều kiện sau thỏa mãn

(i) tồn tại ¯x ∈ ∆ sao cho (M ¯x + q)Tv ≥ 0 với mọi v ∈ 0+∆;

(ii) (y − x)TM (y − x) ≥ 0 với mọi x ∈ ∆ và y ∈ ∆;

thì tập nghiệm Sol(AV I(M, q, ∆)) khác rỗng

Chứng minh Theo giả thiết (i) và Bổ đề 2.1.2, quy hoạch toàn phương(2.20) có một nghiệm ¯z =





¯x

¯λ



 Do đó tồn tại hằng số nhân Lagrange