Sự tồn tại nghiệm của các bất đẳng thức biến phân với các toán tử giả đơn điệu

Gần đây một số công trình xuất hiện trên các tạp chí chuyên ngành đã đưa ra được một số kết quả mới về sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tử giá đơn điệu theo nghĩa Karamadian và the

LOI CAM ON

Lôi xin chân thành cắm ơn các thầy giáo, cô giáo giảng đạy chuyên ngành luán trường Đại học Sự Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài, Đặc biệt, tôi xin cắm ơn thầy giáo 15 Bùi Irọng Kiên giáng viên Khoa Công nghệ Thông tin, lrường Đại học Xây dựng Hà Nội đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu lựa chọn đề tài và hoàn chỉnh

đề tài, Lôi xin cảm ơn các bạn học viện lớp cao học KII Toán Giải tích đã giúp

đỡ và có những đóng góp quí báu cho bán luận văn này,

Hà Nội, tháng 10 năm 2009

Tac gia

LOI CAM DOAN

Lôi xin cam đoan Luận van là công trình nghiên cứu của riêng tôi được thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy giáo LS Bùi lrọng Kiên giáng viên Khoa Công nghệ Thong tin, Irường Đại học Xây dựng Hà Nội,

Ngoài các kết quả được trích dẫn, các kết quá còn lại là những kết quả mới

mà chúng tôi thu được trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài, các kết quả này chưa được công bố ở bất kỳ tạp chí nào

Hà Nội, tháng 10 năm 2009

Tac gia

3.2 Sự tồn tại nghiệm của VIs với toán tử giá đơn điệu theo nghĩa Brézis 21

Chương4 Bất đẳng thức biến phân với toán tứ giả đơn điệu theo nghĩa

BANG KY HIEU

VI Variational Inequality

Vis Variational Inequalities

VI(X, ƒ) bài toán bất đăng thức biến phân xác định

boi tap Ava anh xạ ƒ

S(K, f) tập nghiệm của bài toán VI(X, ƒ)

MỞ ĐẦU

1, Ly do chon dé tai

Bat dang thitc bién phan (VL, Variational Inequality) duoc xem nhu mot mo hình hữu hiệu để giái quyết các bài toán xuất hiện trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như; lý thuyết tối ưu, phương trình đạo hàm riêng, các bài toán cân bằng kinh tế, cơ học Kế từ khi ra đời của định lý Harmand-Spampacchia năm

1966, sự tồn tại nghiệm của VIs và các chủ đề liên quan vẫn đang thụ hút sự quan tâm của các nhà toán học, Nhiều câu hỏi mở trong hướng này vẫn còn đang tổn tại Chú ý rằng các kết quả kinh điển trước đây chủ yếu nghiên cứu cho VIs với các toán tử đơn điệu Gần đây một số công trình xuất hiện trên các tạp chí chuyên ngành đã đưa ra được một số kết quả mới về sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tử giá đơn điệu theo nghĩa Karamadian và theo nghĩa Brézis Ngudi ta da biết rằng hai lớp toán tử giá đơn điệu này là hoàn toàn khác nhau Năm 2000, Domokos và Kolumbán đã đưa ra một định nghĩa mới cho các toán tử giá đơn điệu Lớp các toán tử thoả mãn định nghĩa này chứa cả hai lớp toán tứ đơn điệu theo nghĩa cua Karamadian và Bréz1s Dựa trên khái niệm mới này họ đã đạt được một số kết quả khá thú vị về sự tồn tại nghiệm của VIs,

Mục tiêu của luận văn này là tiếp tục nghiên cứu sự tôn tại nghiệm của VIš với các toán tứ giá đơn điệu theo nghĩa của Domokos và Kolumbán và đưa ra một kết quả mới mở rộng các kết quả trước đó của Domokos và Kolumbán, Dé đạt được kết quá này trước hết chúng ta phải kháo sát các kết quả về sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tử đơn điệu, các kết quả về sự tồn tại nghiệm của

VIs cho các toán tử giả đơn điệu theo nghia cua Karamadian va Brézis va cdc két quả gần đây của Domokos và Kolumbán Irên cơ sở đó chúng ta sẽ đật bài toán

và giải quyết vấn đê bằng việc đưa ra và chứng minh một kết quả mới nho nhỏ,

mở rộng các kết quả trước đó của Domokos và Kolumbán

Luận văn được mang tên "Sự tôn tại nghiệm của các bất đẳng thức biến

An

phân với các toán tử giả đơn điệu”, bao gồm 4 chương, lIrong chương 1 ching

ta sẽ trình bày một số kết quả bổ trợ liên quan tới các định lý điểm bất động Chương 2 trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tử đơn điệu Chương 3 gồm các kết quả về sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tử giả đơn điệu theo nghĩa của Karamadlian và theo nghĩa của Brézis, Chương 4 được dành cho các kết quả mới nhất về sự tồn tại nghiệm của VIs cho các toán tử giá đơn điệu theo nghĩa của Domokos-Kolumbán, Cuối chương này là một số kết quả mới mở rộng các kết quả của Domokos-Kolumbán

2, Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hoá lại các kết quả về sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tứ giả đơn điệu theo nghĩa Karamadian và giả đơn điệu theo nghĩa của Brếz¡š, trên

cơ sở đó đưa ra một kết quá mới mở rộng các kết quá của Domokos-Kolumbán,

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tứ giả đơn điệu,

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tử giá đơn điệu theo nghĩa Kara- madian, giá đơn điệu theo nghĩa Brézis và giá đơn điệu theo nghĩa Domokos-

Kolumbán

5, Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu cũng như các kỹ thuật của giải tích cổ điển, giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích không trơn, giải tích đa trị và lý thuyết tối ưu,

6 Gia thuyết khoa học

Đề tài đã đưa ra được các kết quá mở rộng về sự tồn tại nghiệm của VIs với các toán tử giá đơn điệu theo nghĩa Domokos-Kolumbán,

Chuong 1

Các kết quả bổ trợ

Irong chương này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả bổ trợ bao gồm các định lý điểm bất động, đinh lý về sự tồn tại chân hình chiếu và định lý về sự tồn tại nghiệm của VIs trong không gian hữu hạn chiều

1.1 Các nguyên lý điểm bất động

lIrong suốt mục này chúng ta giá sử rằng X là một không gian Banach va

AC X là một tập đóng Giả sử ƒ : 4A — X là một ánh xạ Điểm # € A được gọi

la diém bat dong cua f néu f(z) = 2

Định nghia L.1 Anh xu f : A > X gọi là ánh xụ có nếu tôn tại vố œ € [0, 1) sav cho

voi moi x,y € A

Chúng ta có kết quả quen thuộc sau đây về là nguyên lý ánh xa co Banach Định lý 1.2 Giớ xứ A C X là một tập đóng và ƒ : A —: A là một ánh xạ cơ Khi

đó ƒ có duy nhất một điểm bất động thuộc A

Nhắc lại rằng một tập Œ C X được gọi là lôi nếu với moi 7, y € C va với mọi À € [0, 1], ta có À# + (1— À)y € Œ, 1 có nguyên lý điểm bất động Brouwer sau đây,

Định lý 1.3 |6, tr 8J Giá vứ K C X Ia tap loi va compact, hh: K — K la mot ánh xạ liên tục Khi đó h có điểm bất động

Bổ đề L.4 |6, tr 8-0] Giá sứ K là tập con lôi đóng trong không gian Hilbert H

va x € H Khi dé ton tai duy nhdt y © K sav cho

Ching minh, bat d = inf.¢, ||z — z|| từ định nghĩa của infimum, tồn tại

dãy z„ € K sao cho lim, 400 |] — z„|| = đ Sử dụng qui tắc hình bình hành

llz + z|Ÿ + llz — | = 2|Izlf + 2lIlU:

ta có

|z» — z|Ủ = 2ll# — z»|Ï + 2llz — zlỦ — Alle — sŒ» + z)|Ÿ

Vì / là tập lồi, ta có z(z„ + z;) € K và lla — $(2m + 2%) || > d HE qua la

llz„ — | < 2ll# — z„|l + 2llz — z|lŸ — 4đ

Do đó lim, „„ |[z„ — Zz¿|| — 0 và vì vậy (z„) là đãy Cauchy, Mặt khác A là

không gian HIlbert, nên z„ — ạ € H, Vì K là tập đóng, ta có yo € A Hon nita

lui — 0¿|# = 2l — gil? + 2k = gol? = Alle — Sn + wa)|# < 4# = 44 = 0,

Lừ đây suy ra ¡ = #› và do đó chân hình chiếu của z là duy nhất, Bố để được chứng minh, O

Bổ đề 1.5 |6, tr 9-10] Giá sứ K là tập con lôi đóng trong không gian Hilbert H vac € H Khi dé y = Prax nếu và chí nếu

(Œ,z—9) > (ø,z— 1), Vze€ K (1.3)

Chứng minh: Giá y = 7„z Vì K là tập lồi ta có

(l-t)yttz=y+t(z-y) eK, Vze K, te [0,1]

Cố định tuỳ ý z € và xét hàm số

8(0) = lz — ((1— 9y +2)|Ì: 42

Vì ø là chân hình chiếu của z lên tập 7C, ta có

%6) = |lz ~ ((L~= #)w +#z)|Ï > l|z — | = ®(0)

Điều này suy ra ®'(0) > 0, Mặt khác ta lại có

Ø(0) = lle — yl|? — 2t(e — yz —y) + lle — vi:

—10—

Do đó ®/(0) = —2É — ÿ,z — ) > 0 Điều này suy ra (1.3)

Ngược lại nếu (,z — ) > (z,z — ) với mọi z € K thì = Px„z Thật vậy, ta có

lle — yl] = inf ||2 — z|

Vậy ta có = P„z Bổ đề được chứng minh 0

Bổ đề L6 |6, tr 10] Giá sử K là tập con lôi đồng trong không gian Hilbert H Khi đó pháp chiếu metric Px la khong ddan, titc la

|Px+ — Pxzl| < || — +, Vz,z'c€ K

Chứng minh Đặt ¡ = 7z, y! = D„z' theo Bố đề 1.5 ta có

va

(y2-y) 2 (v,z-y'), Vee Kk (1.6)

Thay z = y’ vao (1.5) ta được

(, — 0) > (, — 9} (1.7)

Tuong tu thay z = y trong (1.6) ta cd

L3 Bất đẳng thức biến phân trung không gian hữu hạn chiều

Lrong mục này chúng ta giả sử K là tập lồi đóng trong #" và ƒ : K — R”

là một ánh xạ Bài toán tìm z € J sao cho

được gọi là bất đẳng thức biến phân xác định bới K và ƒ ký hiệu là VI(X, ƒ)

Điểm z € K thoả mãn (1.9) gọi là nghiệm của VI(X, ƒ) Chúng ta ký hiệu

S(£, ƒ) là tập nghiệm của VI(KX, ƒ)

Định lý L.7 Giá sứ K CC R" Ia tap Idi đóng, ƒ : K — Tì" là một ánh xụ và

x € K Khi dé diéu kién

tương đương với

lu có điều phải chứng minh, E1

Định lý sau đây cho ta một kết quả đầu tiên về sự tồn tại nghiệm của VIs trong không gian hữu hạn chiều

Định lý L.8 Giá sứ rằng K C R" là tập lôi compact và f : K > R" la mot anh

xạ liên tục Khi đó VI(K, ƒ) có nghiệm

Chứng minh Xét ánh xạ ® : Z — #Z được cho bởi ®(+) = P„(z — f(x)

Như vậy ® = Px o (J — ƒ) là một ánh xạ liên tục, Theo nguyên lý điểm bất động (Định lý 1.3), tổn tại z € £ sao cho ®(zg) = zo Mật khác theo Định lý 1.7

điều kiện D(z) = Xo tuong duong voi

(f(x0),y — to) >0, Vụ € M

Do đó zụ € S(K, ƒ) Định lý được chứng minh,

—13-

Chuong 2

Sự tồn tại nghiệm của VIs với toán tử đơn điệu

lIrong suốt chương này chúng ta giá sử rằng X là một không gian Banach, X7 là không gian đối ngẫu của X và C X là tập lồi đóng khác rỗng

Định nghĩa 2.1 Á»h x¿ ƒ : K — X* gọi là đơn điệu nến

Nhắc lại rằng một hàm g : K —› ? là lồi nếu

g(tx + (1 —t)y) < tg(x) + (1—t)g(y) , Va,y € K,t € [0,1] (2.2)

Ví dụ sau cho ta một toán tử đơn điệu

Vi du 2.2 Gia stg: U > K — P? là một hầm lồi khả vi, ở đó / là một tập lồi và

mở trong X Khi đó toán tử đạo hàm ƒ = g': kK —› X”" là đơn điệu, Thật vậy với moi z,y € K vat € 0, 1] từ (2.2) ta có

gly + tx — y)) < t(g(x) — g(y)) + gy)

thi (f(2n),y) > (f(x), y) vor moi y € X

Định lý sau cho ta kết quả tồn tại nghiệm của VIs với toán tử đơn điệu trong các không gian vô hạn chiều

Định lý 2.4 |6, tr 84-86] Giá sứ K C X là tập khác lôi đóng khác rồng và bị chan, f : K = X* là một toán tứ đơn điệu và liên tục trên các không gian con hữu hạn chiêu của X Khi đó tôn tại € K sao cho

Để chứng minh định lý trên chúng ta cần bổ để Minty sau đây

BO dé 2.5 |6, tr 84-85] Gid s# K C X là tập đóng, lôi và giả xứ F: K — X*

là ánh xụ đơn điệu và lién tuc trén cdc khéng gian con hitu han chiéu cua X Vhi diéu kién

(œ + tí — #)),œ + t0 — ø) — #) = (ƒ(œ + tu — #)), f{tu — #)) > 0

Dat M = (w,r) Khi dé M la khong gian hữu hạn chiều, Vì y, = tw + (1—t)x €

Mvay, > x khit — 0, st dụng tính chất liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều của ƒ, ta có

— 16—

theo định nghĩa toán tứ liên hợp ta có

(A,7z) =Œ A,z), VAC X”,xzcMM

Đặt Ky = KOM va xét anh xạ 1) : Ky — M Vì Eụy là tập đóng và bị

chặn trong không gian hữu hạn chiều Ä⁄/ nên /{;; là tập compact, Mật khác 7" ƒ7

là ánh xạ liên tục (do ƒ liên tục), heo Dinh ly 1.8, ton tai uy, € Ky, sao cho

(i fi(um),v — Uw) > 0, Vu € Ky

Điều này tương đương với

(fi(uw),j(v —uw)) > 0, Vu € Ky

S(v) = {ue K : (f(v),v —u) > Of

Vi K 1a tap dong va bi chan nén S(6) là tập đóng và bị chặn với mỗi € K Vay f1¿¿„ 5(ø) là tập compact yếu của K Ta ching minh rang S(v) có tính chất giao giao hữu hạn tức là với mọi ø, ø›, ,ø„ € J€ tức là []j_; 5(;) # Ú Thật vậy đặt M = (v1, ve, ., Un), thi chiéu cua M là d(M) < n Đặt Kạ; = Km M AO

Theo chtmg minh trén ton tai a € Ky, sao cho

(f(v),v -—t) >0, Vu € Ky

Cho v = vu; € Ky,,7 = 1,2, ,n ta cd

(ƒ(0¡), 0 — #) >0, Vị = 1,2, ,m

I day suy ra

UE () S(v)

i=1 Vậy

—18—

Chuong 3

Sự tồn tại nghiệm của VIs với toán tử giả đơn điệu

Trong chương này chúng ta sẽ trình bầy một số kết quả về sự tồn tại nghiêm của VIs cho hai lớp toán tử giả đơn điệu, bao gồm lớp các toán tứ giá đơn điệu theo nghĩa của Karamadian và lớp các toán tử giả đơn điệu theo nghĩa của Brézis Như trong Chương 2, X vẫn là một không gian Banach, X” là không gian đối ngẫu của X và K C X là một tập lồi đóng

3.1 Sự tôn tại nghiệm của VIs với toán tử giả đơn diéu theo

Le(f,0!) = {a eK: (f(a),2—a"!) < 0} (3.2)

bị chặn (có thể rỗng)

(b) Tôn tại hình cầu mở © và vector #"°f € Q0 K sav cho

(c) Bài toán VI(1, ƒ) có nghiệm

Hơn nữa, nếu tôn tại ø'°f € K sao cho tập

Le (fal) = {re K:(J().z— e9) < 0} G4)

bị chặn thì tập nghiệm S(K, Ƒ) khác rỗng và bị chặn

Để chứng minh định lý trên chúng ta cần một kết quả mở rộng của bổ đề Minty sau day

Bố đề 3.4 |2, tr 142] Giá sứ K tà tập con lồi, đóng trong không gian Banach phản

xụ thực X, ƒ : K — X* là ánh xụ giả đơn điệu Giả sứ ƒ là hemi liên tục, tức là voi mui cap diém x,y € K ham

[0,1] t+ (f(ta + (1 — t)y),% — y)

la lién tuc tai 0+ Khi dé x € K la nghiệm của VI(K, ) khi và chí khi

((u).u—z)>0, Vục K.