Từ bài toán quy hoạch toàn phương đến bất đẳng thức biến phân affine

323.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine 363.3 Giải bài toán quy hoạch toàn phương bằng cách đưa về bàitoán bất đẳng thức biến phân affine... Có thể nói bài to

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1.1 Tập lồi 4

1.1.1 Tập affine và bao affine 4

1.1.2 Tập lồi, nón lồi và bao lồi 6

1.1.3 Điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa và phương cực biên 8

1.1.4 Các định lý tách tập lồi 8

1.1.5 Tập lồi đa diện 9

1.1.6 Hàm lồi và tính chất 10

1.2 Hàm toàn phương 12

1.2.1 Ma trận xác định dương và ma trận nửa xác định dương 12

1.2.2 Hàm toàn phương 13

2 Bài toán quy hoạch toàn phương 15 2.1 Giới thiệu bài toán và sự tồn tại nghiệm 15

2.1.1 Định nghĩa bài toán quy hoạch toàn phương 15

2.1.2 Các dạng bài toán quy hoạch toàn phương 17

2.1.3 Điều kiện tồn tại nghiệm 17

2.2 Điều kiện tối ưu (Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (KKT)) 29 3 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine 31 3.1 Giới thiệu bài toán 31

3.1.1 Bất đẳng thức biến phân 313.1.2 Bất đẳng thức biến phân affine 323.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine 363.3 Giải bài toán quy hoạch toàn phương bằng cách đưa về bài

toán bất đẳng thức biến phân affine 40

a f f E bao affine của E

cone E bao nón sinh bởi E

coA bao lồi của tập A

Lời nói đầu

Bài toán quy hoạch toàn phương lồi là một lớp bài toán quan trọng vềtối ưu vì bài toán này có rất nhiều ứng dụng trong thực tế

Bài toán bất đẳng thức biến phân cũng là một lớp bài toán quan trọng.Một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hay được xét là bài toán bất đẳngthức biến phân affine Có thể nói bài toán bất đẳng thức biến phân affine làmột dạng tổng quát của bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc lồi.Trong luận văn này xét đến mối quan hệ giữa bài toán quy hoạch toànphương với ràng buộc lồi với bài toán bất đẳng thức biến phân Ta nhận thấy

là bài toán quy hoạch toàn phương lồi có thể mô tả dưới một bài toán bấtđẳng thức biến phân đơn điệu Tuy nhiên, không phải mọi bài toán bất đẳngthức biến phân affine đều sinh ra từ bài toán quy hoạch toàn phương Quađây ta thấy sự phát triển từ bài toán quy hoạch toàn phương đến bất đẳngthức biến phân affine

Cụ thể trong luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày một số kiến thức cơ bản nhất

về tập lồi, hàm lồi và hàm toàn phương như: tập affine và bao affine; tậplồi, nón lồi và bao lồi; điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa và phươngcực biên; các định lý tách tập lồi; tập lồi đa diện; hàm lồi và các tính chất;hàm toàn phương

Chương 2: Bài toán quy hoạch toàn phương Trình bày định nghĩa bài

toán quy hoạch toàn phương, các dạng bài toán, điều kiện tồn tại nghiệm vàđiều kiện tối ưu của bài toán quy hoạch toàn phương

Chương 3: Bài toán bất đẳng thức biến phân affine Giới thiệu về bài

toán bất đẳng thức biến phân affine, điều kiện tồn tại nghiệm của bài toánbất đẳng thức biến phân affine và phương pháp giải bài toán quy hoạchtoàn phương bằng cách đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân affine

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Lê Dũng Mưu.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướngdẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thờigian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốtquá trình làm luận văn.

Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ íchcho công tác và nghiên cứu của bản thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơnsâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học ToánK9Y (khóa 2015–2017); Nhà trường và các phòng chức năng của Trường;Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quantâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K9Y (khóa2015–2017) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trìnhhọc tập, nghiên cứu

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnhđạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiệntốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, ngày 05 tháng 9 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Sim

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản nhất về tập lồi, hàm lồi,hàm toàn phương Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu khái niệm tập lồi, hàm lồi.Mục 1.2 trình bày định nghĩa hàm toàn phương Các kiến thức của chươngnày được viết trên cơ sở tổng hợp từ các tài liệu [1], [2] và [3]

1.1 Tập lồi

1.1.1 Tập affine và bao affine

Cho x1, x2 là hai điểm trong Rn Đường thẳng đi qua x1, x2 là tập tất cảcác điểm x ∈ Rncó dạng x = (1 − λ ) x1+ λ x2= x1+ λ x2− x1
với λ ∈ R

Định nghĩa 1.1.1 Tập A ⊆ Rnđược gọi là tập affine (hay đa tạp tuyến tính)

Định lý 1.1.1 Mỗi tập affine A không rỗng là một tập affine khi và chỉ khi

A= a + L trong đó a ∈ A và L là một không gian con.

Chứng minh.

Giả sử A là một tập affine và a ∈ A Khi đó, A = a + L với L = −a + A

Do −a ∈ Rn nên L = −a + A cũng là một tập affine Hơn nữa, 0 ∈ L (vì

a∈ A) nên L là một không gian con Ngược lại, giả sử A = a + L với a ∈ A

và L là một không gian con Do không gian con L là một tập affine nên

A= a + L cũng là một tập affine

Không gian con L nói trên được gọi là không gian con song song với tậpaffine A: A//M Nó được xác định một cách duy nhất 

Định nghĩa 1.1.2 Chiều (thứ nguyên) của một tập affine A không rỗng

được định nghĩa là chiều của không gian con song song với nó Kí hiệudimA

Chú ý 1.1.1 Quy ước: dim∅ = −1.

Giả sử L là một không gian con trong Rn, phần bù trực giao của L đượcxác định như sau: L⊥= {x ∈ Rn: x⊥y, ∀y ∈ L}, trong đó x⊥y ⇔ (x, y) = 0.Khi đó, tập L⊥cũng là một không gian con và dim L + dim L⊥= n, L⊥
⊥=L

Định nghĩa 1.1.3 Tập affine n − 1 chiều trong Rn được gọi là một siêu

Định nghĩa 1.1.4 Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1x1+ λ2x2+ + λkxk với

xi ∈ Rn và λ1+ λ2+ + λk = 1 gọi là một tổ hợp affine của các điểm

x1, x2, , xk

A là một tập affine khi và chỉ khi A chứa mọi tổ hợp affine các phần tử

thuộc nó Giao của một họ bất kì các tập affine cũng là một tập affine Cho

E là một tập bất kì trong Rn, có ít nhất một tập affine chứa E, cụ thể là Rn

Định nghĩa 1.1.5 Giao của tất cả các tập affine chứa E gọi là bao affine

(affine hull) của E, ký hiệu là a f f E Đó là tập affine nhỏ nhất chứa E

Định nghĩa 1.1.6 Điểm x ∈ Rnđược gọi là tổ hợp affine của điểm x1, , xm

Do đó, dim L = m ⇔ b1− b0, b2− b0, , bm− b0 độc lập tuyến tính

1.1.2 Tập lồi, nón lồi và bao lồi

Cho hai điểm x1, x2∈ Rn Đoạn nối x1, x2 được định nghĩa như sau:

x1; x2 = x ∈ A : x = λ x1+ (1 − λ ) x2, 0 6 λ 6 1

Định nghĩa 1.1.8 Tập C ⊂ Rn được gọi là lồi nếu:

∀x1, x2∈ C ∀λ ∈ R : 0 6 λ 6 1 thì λ x1+ (1 − λ ) x2 ∈ C

Nói cách khác, nếu C chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó

Ví dụ 1.1.1 Trong R2các hình tam giác, hình chữ nhật, hình tròn, hình elipđều là các tập lồi

Trong R3 các hình cầu, khối lăng trụ tam giác, khối chóp tứ giác là các tậplồi

Các nửa không gian, hình cầu đơn vị trong không gian Banach là các tậplồi

Một số hình vẽ về tập lồi, tập không lồi trong R2 (xem Hình 1.1)

Hình 1.1:

Định nghĩa 1.1.9 Vectơ x ∈ Rnđược gọi là tổ hợp lồi của vectơ x1, , xm∈

Rn nếu ∃λi > 0, i = 1, 2, , m sao cho x =

m

∑

i=1

λixm

Chú ý 1.1.2 Tập C lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các phần

tử thuộc nó Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập lồi C, ký hiệu dimC làthứ nguyên của bao affine của nó Một tập lồi C trong Rngọi là thứ nguyênđầy nếu dimC = n

Định nghĩa 1.1.10 Một tập con M của Rn được gọi là một nón (mũi tại 0) nếu x ∈ M, λ > 0 thì λ x ∈ M Nón M gọi là nón lồi nếu tập M lồi.

Điểm gốc 0 có thể thuộc hoặc không thuộc M Tập a + M (a ∈ Rn) gọi lànón có mũi tại a Nón M không chứa đường thẳng nào gọi là nón nhọn.Trong trường hợp này, gốc 0 gọi là đỉnh của M và là nón có đỉnh tại a Mỗinửa không gian đóng hay mở đều là một nón, nhưng không phải là một nónnhọn

Định nghĩa 1.1.11 Cho E là một tập lồi Tập {λ x : x ∈ E, λ > 0} gọi là

bao nónsinh bởi E và kí hiệu là coneE

Định nghĩa 1.1.12 Giả sử A ∈ Rn Tương giao của tất cả các tập lồi chứa

Ađược gọi là bao lồi (Convex hull) của tập A và ký hiệu là coA.

Nhận xét 1.1.3 a) coA là một tập lồi Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa A.

b) A lồi ⇔ A = coA

1.1.3 Điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa và phương cực biên

Cho tập lồi M ⊂ Rn Một x ∈ Rnđược gọi là điểm cực biên của M nếu xkhông thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi chặt của hai điểm phân biệtbất kì nào của M Số điểm cực biên của tập lồi có thể hữu hạn hoặc vô hạn.Khi tập lồi có hữu hạn điểm cực biên thì chúng thường được gọi là các đỉnh

Mệnh đề 1.1.3 Một tập lồi đóng khác rỗng M ⊂ Rn có điểm cực biên khi

và chỉ khi nó không chứa trọn một đường thẳng nào.

Định lý Krein–Milman Một tập lồi đóng, bị chặn trong Rnlà bao lồi của các điểm cực biên của nó.

Cho tập lồi khác rỗng M ⊂ Rn Vectơ d ∈ Rn, d 6= 0 gọi là phương lùi

xa của M nếu {x + λ d|λ > 0} ⊂ M với mỗi x ∈ M Rõ ràng, mọi nửa đườngthẳng song song với một phương lùi xa d xuất phát từ một điểm bất kì của

M đều nằm trọn trong M Tập M không bị chặn khi và chỉ khi nó có mộtphương lùi xa Tập tất cả các phương lùi xa của tập lồi M cùng vectơ 0tạo thành một nón lồi và được gọi là nón lùi xa của M Hai phương d1, d2

là khác biệt nếu d1 6= αd2 với α > 0 Phương lùi xa d của M được gọi làphương cực biên của M nếu không tồn tại các phương lùi xa khác biệt d1, d2của M sao cho d = λ1d1+ λ2d2, λ1, λ2 > 0

1.1.4 Các định lý tách tập lồi

Cho hai tập C, D ⊂ Rnvà siêu phẳng

H = {x ∈ Rn| ha, xi = α}

với a ∈ Rn\ {0} và α ∈ R Ta nói:

+ Siêu phẳng H tách hai tập C và D nếu:

ha, xi 6 α 6 ha,yi ∀x ∈ C ∀y ∈ D

+ Siêu phẳng tách hẳn (hay tách chặt) hai tập và nếu:

ha, xi < α < ha, yi ∀x ∈ C ∀y ∈ D

Định lý 1.1.2 (Định lý tách I) Nếu hai tập lồi C, D ⊂ Rn không rỗng và rời nhau thì có một siêu phẳng tách chúng.

Định lý 1.1.3 (Định lý tách II) Nếu hai tập lồi đóng C, D ⊂ Rn không rỗng rời nhau và một trong hai tập ấy là compact thì có một siêu phẳng tách hẳn chúng.

1.1.5 Tập lồi đa diện

Chúng ta nhắc lại rằng:

Tập lồi đa diện P ⊂ Rn là giao của một số hữu hạn nửa không gian conđóng Tập lồi đa diện là một tập lồi đóng Nếu tập lồi đa diện bị chặn thìđược gọi là đa diện lồi hay gọi tắt là đa diện

Mỗi điểm cực biên của tập lồi đa diện được gọi là đỉnh Mỗi tập con lồikhác rỗng F của tập lồi đa diện P được gọi là một diện của P nếu hễ F chứamột điểm trong tương đối của một đoạn thẳng nào đó thuộc P thì F chứatrọn cả đoạn thẳng đó, nghĩa là:

Từ định lý trên suy ra, một diện của tập lồi đa diện cũng là một tập lồi

đa diện và mỗi đỉnh của một diện cũng là một đỉnh của P

Định lý 1.1.5 (Định lý biểu diễn tập lồi của đa diện) Giả sửx1, , xN là

các tập đỉnh và d1, , dM là các phương cực biên của tập lồi đa diện P.

Khi đó, mỗi điểm x ∈ P đều có thể biểu diễn dưới dạng:

Ví dụ 1.1.2 Từ hình vẽ dưới đây cho thấy cách biểu diễn một điểm thuộc

tập lồi đa diện qua các đỉnh và cạnh vô hạn (mà đại diện là phương cựcbiên) của tập đó

Định nghĩa 1.1.16 Hàm f được gọi là lồi trên D nếu epi f là tập lồi trong

X× R Hàm f được gọi là lõm trên D nếu − f là hàm lồi trên D

Nhận xét 1.1.4 Nếu f lồi thì dom f lồi.

Thật vậy, dom f là hình chiếu trên X của epi f :

Định lý 1.1.6 Giải sử D là tập lồi trong không gian Rn, hàm f : D →

(−∞, +∞] Khi đó, f lồi trên D khi và chỉ khi:

f(λ x + (1 − λ )y) 6 λ f (x) + (1 − λ ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] ∀x, y ∈ D

Định nghĩa 1.1.17 Ta gọi f là hàm lồi chặt trên tập X nếu

f(λ x1+(1−λ )x2) < λ f (x1)+(1−λ ) f (x2) ∀x1, x2∈ X, x16= x2, 0 < λ < 1

Định nghĩa 1.1.18 Hàm f được gọi là hàm lồi mạnh nếu tồn tại số λ dương

sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi x, y thuộc D và λ ∈ [0; 1]:

f(λ x + (1 − λ )y) 6 λ f (x) + (1 − λ ) f (y) − λ (1 − λ )α kx − yk2

Nhận xét 1.1.5 Hàm lồi mạnh ⇒ lồi chặt, hàm lồi chặt ⇒ hàm lồi.

Định nghĩa 1.1.19 Hàm f được gọi là đóng nếu epi f đóng trong X × R Mệnh đề 1.1.4 Nếu f xác định trên tập lồi X ⊂ Rn là hàm lồi thì tập

{x ∈ X| f (x) 6 α} là tập lồi với mọi α ∈ R.

Cho hàm lồi f1 xác định trên tập lồi X1 ⊂ Rn, hàm lồi f2 xác định trêntập lồi X2⊂ Rn và số thực λ > 0 Ta định nghĩa các phép toán sau:

(λ f1(x)) = λ f1, x∈ X1;

( f1+ f2)(x) = f1(x) + f2(x), x∈ X1∩ X2;

max { f1, f2} (x) := max { f1(x), f2(x)} , x∈ X1∩ X2

Khi đó, ta có các kết quả sau:

Mệnh đề 1.1.5 Cho f1 là hàm lồi trên tập X1, f2 là hàm lồi trên tập X2 và các số thực α, β Khi đó, các hàm α f1+ β f2 và max { f1, f2} là hàm lồi

Định lý 1.1.8 Cho f là hàm khả vi hai lần trên tập lồi mở X ⊂ Rn, khi đó

là hàm lồi khi và chỉ khi ma trận Hesse ∇2f(x) xác định dương trên X

Áp dụng định trên cho hàm f (x) = 12hx, Qxi + hx, ci + α trong đó Q là

ma trận đối xứng cấp n × n Khi đó f là hàm lồi (tương ứng, lồi chặt) trênnếu là ma trận nửa xác định dương (tương ứng, xác định dương)

1.2 Hàm toàn phương

1.2.1 Ma trận xác định dương và ma trận nửa xác định dương

Định nghĩa 1.2.1 Ma trận thực vuông, đối xứng C (cấp n) gọi là xác định

dương nếu xTCx> 0 với ∀x 6= 0 (x ∈ Rn), gọi là nửa xác định dương (hay

xác định không âm) nếu xTCx> 0 với mọi x ∈ Rn Ma trận C gọi là xác

định âm (hay nửa xác định âm) nếu −C là xác định dương (nửa xác địnhdương)

Mệnh đề 1.2.1 Một tử thức chính bất kỳ của ma trận xác định dương (nửa

xác định dương) là ma trận xác định dương (nửa xác định dương).

Mệnh đề 1.2.2 Nếu ma trận C nửa xác định dương và xTCx= 0 thì Cx = 0.

Mệnh đề 1.2.3 Nếu ma trận C xác định dương thì ma trận nghịch đảo C−1

tồn tại và xác định dương.

Mệnh đề 1.2.4 Nếu A là một ma trận tùy ý (vuông hay chữ nhật ) thì A AT

và ATA là các ma trận nửa xác định dương.

Mệnh đề 1.2.5 Ma trận đối xứng, lũy đẳng là ma trận nửa xác định dương.

1.2.2 Hàm toàn phương

Định nghĩa 1.2.2 (Hàm toàn phương) Hàm f : Rn → R được gọi là hàm

toàn phương nếu tồn tại ma trận D ∈ Rn×n, vectơ c ∈ Rn và số thực α saocho:

"

2 − 2

#

Ví dụ 1.2.2 Cho hàm bậc hai g(x) = 2x12− x22+ 2x1x2− 6x1x3+ x2x3 Rõràng g(x) là một dạng toàn phương 3 biến Ma trận D của dạng toàn phương

Định nghĩa 1.2.3 Một dạng toàn phương chính tắc là dạng toàn phương

mà trong biểu thức xác định không chứa tích xixj mà chỉ chứa các số hạngbình phương xi 2

Ví dụ 1.2.3 Cho hàm bậc hai f (x) = x12+ 2x22− 3x32 là một dạng chínhtắc

Định nghĩa 1.2.4 Dạng toàn phương f (x) = xTA x gọi là xác định dương

nếu xTA x> 0 với mọi x 6= 0, nghĩa là A là ma trận xác định dương

Ví dụ 1.2.4 Dạng toàn phương f (x) = x12+ x22 là xác định dương vì có

ma trận A của dạng toàn phương là A =

"

#

Định nghĩa 1.2.5 Dạng toàn phương gọi là nửa xác định dương nếu xTA x>

0 với mọi x và tồn tại ít nhất một x 6= 0 (x ∈ Rn) sao cho xTA x= 0 nghĩa là

Alà ma trận nửa xác định dương nhưng không xác định dương

Ví dụ 1.2.5 Dạng toàn phương f (x) = (x1− x2)2> 0 ∀x1, x2 và f (x) =

0 ⇒ x1= x2= 1, vì thế f (x) là nửa xác định dương

Định nghĩa 1.2.6 Dạng toàn phương f (x) = xTA x gọi là xác đinh âm (nửa

xác định âm)nếu − f (x) là xác định dương (nửa xác định dương)

Với dạng toàn phương ta có thể kiểm tra tính xác định dương của nó nhờdùng tính chất sau

* Dạng toàn phương f (x) = xTA x là xác định dương khi và chỉ khi mọiđịnh thức con chính của A đều dương Chẳng hạn, với n = 4 ta phải có

> 0,

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

... 2

Bài tốn quy hoạch tồn phương< /b>

Chương trình bày kiến thức tốn quy hoạch tồnphương Cụ thể, Mục 2.1 giới thiệu tốn quy hoạch tồn phương vànêu điều kiện tồn nghiệm tốn quy hoạch. ..

tốn quy hoạch tồn phương (hay quy hoạch tồn phương) với ràng buộctuyến tính

Nếu D ma trận khơng, f hàm tuyến tính Do đó, lớp tốnquy hoạch tuyến tính lớp lớp tốn quy hoạch tồn phương. Nếu... 2.1.1 Cho tốn quy hoạch toàn phương< /b>

Nhận xét 2.1.1 Nếu ma trận D hàm mục tiêu tốn quy hoạch< /b>

tồn phương ma trận nửa xác định dương tốn gọi quyhoạch toàn phương lồi