Bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu

Tính ổn định, độ nhạy nghiệm và các tính chất tôpô của tập nghiệmcủa bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu đã được nghiên cứu trong[12, 13, 26]... kiện đủ cho tính nửa liên tục trên

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên đã tậntình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khoá luận.

Xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ giải tích-khoaToán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ

em hoàn thành khoá luận này

Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiệnthuận lợi cho em trong quá trình thực hiện khoá luận

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Văn Mừng

i

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của ThS Nguyễn Văn Tuyênkhóa luận tốt nghiệp “Bất đẳng thức biến phân vector affine đơnđiệu” được hoàn thành không trùng với bất kỳ khóa luận nào khác.

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, tôi đã thừa kế những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Văn Mừng

ii

Mở đầu 1

1.1 Bất đẳng thức biến phân 41.2 Bài toán bù 101.3 Bất đẳng thức biến phân affine 111.4 Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine 191.4.1 Sự tồn tại nghiệm dưới giả thiết đơn điệu 191.4.2 Sự tồn tại nghiệm dưới giả thiết đồng dương 26

2 Bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu 342.1 Bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu 342.2 Tính ổn định của tập nghiệm 392.3 Tính liên thông của tập nghiệm 48

iii

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem)

ra đời vào những năm 1960, gắn liền với công trình của G Stampacchia,

J L Lions [6] Hiện nay, bài toán bất đẳng thức biến phân đã đượcphát triển thành nhiều dạng khác nhau, ví dụ: bất đẳng thức biến phânvector, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bấtđẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng

Bài toán này thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học vìcác mô hình của nó chứa nhiều bài toán quan trọng của một số lĩnh vựckhác nhau trong toán học như là trường hợp riêng, ví dụ: tối ưu hóa, lýthuyết trò chơi, cân bằng Nash, cân bằng mạng giao thông

Khái niệm bất đẳng thức biến phân vector (Vector VariationalInequality) (viết tắt là VVI) được đưa ra bởi F Giannessi trong bài báo[4] Có rất nhiều bài báo nghiên cứu về vấn đề này có thể tìm thấy trongcuốn sách chuyên khảo của GS F Giannessi [5] Ta cũng chú ý rằngVVI có thể coi như một công cụ thích hợp để nghiên cứu các bài toántối ưu vector và VVI còn là một trong những công cụ quan trọng nhất đểnghiên cứu các bài toán cân bằng vector Các tác giả có những đóng gópcho sự phát triển của bài toán này có thể kể đến: F Giannessi [4, 5, 6],

T N Hoa, T D Phuong và N D Yen [8, 9], G M Lee, N N Tam và

N D Yen [13, 14, 15], N D Yen và J.-C Yao [26],

Tính ổn định, độ nhạy nghiệm và các tính chất tôpô của tập nghiệmcủa bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu đã được nghiên cứu trong[12, 13, 26]

kiện đủ cho tính nửa liên tục trên của ánh xạ tập nghiệm của bất đẳngthức biến phân vector affine đơn điệu có tham số đã được trình bàytrong [26] Ngoài ra, trong luận văn còn trình bày một số tính chất tôpôcủa tập nghiệm cho lớp bài toán này.

Luận văn được chia thành hai phần Chương 1 trình bày các kiếnthức cơ bản về bài toán bất đẳng thức biến phân affine, các bài toánliên quan và một số điều kiện tồn tại nghiệm Chương 2 trình bày cáctính chất cơ bản của tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phânvector affine đơn điệu, tính ổn định của ánh xạ tập nghiệm và tính liênthông của tập nghiệm

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về bài toán bất đẳng thức biến phân vector affine đơnđiệu và các tính chất của ánh xạ tập nghiệm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu tính ổn định của ánh xạ tập nghiệm và tính các tínhchất tôpô của tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vectoraffine đơn điệu

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

5 Cấu trúc khoá luận

Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳngthức biến phân affine, các bài toán liên quan và một số điều kiện tồn tạinghiệm

Chương 2 trình bày các tính chất cơ bản của tập nghiệm của bàitoán bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu, tính ổn định củaánh xạ tập nghiệm và tính liên thông của tập nghiệm

Bất đẳng thức biến phân affine

1.1 Bất đẳng thức biến phân

Bài toán bất đẳng thức biến phân được nảy sinh một cách tự nhiên

từ các bài toán tối ưu Cho f : Rn → R với f thuộc lớp C1

Do đó ta có điều phải chứng minh.

4 → Rn là một toán tử thì bài toán tìm ¯x ∈ 4 thỏa mãn (1.4) đượcgọi là bài toán bất đẳng thức biến phân, hay đơn giản là bất đẳng thứcbiến phân, kí hiệu là VI(φ, 4) Tập nghiệm Sol(VI(φ, 4)) của VI(φ, 4)

từ bài toán tối ưu hóa (1.1) bằng phương pháp trên hay không ? Nếu cóhàm f tồn tại thì phải có

Có thể thấy rằng nếu f thuộc lớp C2 thì toán tử φ : Rn → Rn

được định nghĩa ở (1.3) là một ma trận Jacobian đối xứng Nhớ lại rằngnếu một hàm vector φ : Rn → Rn có các thành phần trơn φ1, , φn thì

ma trận Jacobian của φ tại x được định nghĩa bởi công thức

Từ giả thiết f thuộc lớp C2 và từ (1.3) ta có

Điều này chỉ ra rằng J φ(x) là ma trận đối xứng

Mệnh đề 1.2 Cho 4 ⊂ Rn là một tập lồi, đóng, khác rỗng Nếu φ :

Rn → Rn là một hàm vector với các thành phần trơn mà

Mệnh đề 1.3 Cho ¯x ∈ 4 Nếu tồn tại ε > 0 sao cho

h∇f (¯x), y − ¯xi ≥ 0 ∀ y ∈ 4 ∩ ¯B(¯x, ε), (1.6)thì ¯x ∈ Sol(VI(φ, 4))

Chứng minh Giả sử ε > 0 thỏa mãn (1.6) Hiển nhiên với mỗi

y ∈ 4, ∃t = t(y) ∈ (0, 1) sao cho y(t) := ¯x + t(y − ¯x) ∈ 4 ∩ ¯B(¯x, ε)

Từ (1.6), 0 ≤ hφ(¯x), y(t) − ¯xi = t hφ(¯x), y − ¯xi Điều này có nghĩa làhφ(¯x), y − ¯xi ≥ 0 ∀y ∈ 4 Do đó ¯x ∈ Sol(VI(φ, 4))

Bài toán VI(φ, 4) phụ thuộc vào hai dữ kiện: tập 4 và toán tử φ.Cấu trúc của tập nghiệm Sol(VI(φ, 4)) được quyết định bởi tính chấtcủa tập hợp và toán tử Trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân có cácvấn đề cơ bản sau: sự tồn tại và duy nhất của nghiệm, tính ổn định và

độ nhạy của tập nghiệm tương ứng với bài toán nhiễu dữ kiện, thuậttoán để tìm tập nghiệm hay một phần của tập nghiệm

Định lý Hartman-Stampacchia sau đây là một định lý cơ bản về

sự tồn tại nghiệm của bài toán VI Nó được chứng minh bằng việc sửdụng định lý điểm bất động Brouwer

Định lý 1.1 (Định lý Hartman-Stampacchia) Nếu 4 ⊂ Rn là mộttập lồi, compact, khác rỗng và φ : 4 → Rn là liên tục thì bài toánVI(φ, 4) có nghiệm

Dưới các điều kiện bức thích hợp, ta có thể thu được các định lý về

sự tồn tại nghiệm của bài toán VI trên các tập lồi nhưng không compact.Chẳng hạn, ta có kết quả sau:

Ý nghĩa chính xác của (1.7) là: cho γ > 0 ta có thể tìm ρ > 0 saocho

0), y − x0

||y − x0|| ≥ γ với mỗi y ∈ 4 thỏa mãn ||y|| > ρ.

Rõ ràng là nếu 4 là compact thì, với mỗi x0 ∈ 4, (1.7) đúng Nếu tồntại x0 ∈ 4 sao cho (1.7) đúng thì ta nói rằng điều kiện bức được thỏamãn Điều kiện bức có vai trò quan trọng khi nghiên cứu bất đẳng thứcbiến phân trên các tập ràng buộc không compact Chú ý rằng (1.7) chỉ

là một dạng quen thuộc của điều kiện bức

Nếu tồn tại x0 ∈ 4 và α > 0 sao cho

0), y − x0 ≥ α||y − x0||2 ∀y ∈ 4 (1.8)thì (1.7) thỏa mãn Rõ ràng là nếu tồn tại x0 ∈ 4 và α > 0 sao cho

hφ(y) − φ(x), y − xi ≥ α||y − x||2 ∀x, y ∈ 4, (1.9)thì (1.8) được thỏa mãn

Định nghĩa 1.3 Nếu tồn tại α > 0 sao cho (1.9) thỏa mãn thì φ đượcgọi là đơn điệu mạnh trên 4 Nếu các điều kiện yếu hơn là:

hφ(y) − φ(x), y − xi > 0 ∀x, y ∈ 4, x 6= y, (1.10)và

hφ(y) − φ(x), y − xi ≥ 0 ∀x, y ∈ 4, (1.11)

là đúng thì φ được gọi tương ứng là đơn điệu chặt và đơn điệu trên 4

Ví dụ 1.1 Cho 4 ⊂ Rn là một tập lồi, đóng, khác rỗng Cho D ∈ Rn×n

và c ∈ Rn Nếu ma trận D là xác định dương thì toán tử φ : 4 → Rnđược định nghĩa bởi φ(x) = Dx + c, x ∈ 4, là đơn điệu mạnh trên 4.Trong trường hợp này, dễ dàng thấy rằng điều kiện α > 0 để (1.9) đượcthỏa mãn có thể được định nghĩa bằng cách đặt

α = infvT

Dv : v ∈ Rn, ||v|| = 1 Tương tự, nếu D là nửa xác định dương thì công thức φ(x) = Dx+c, x ∈

4, định nghĩa một toán tử đơn điệu

Để chứng minh (ii) ta phải sử dụng bổ đề sau.

Bổ đề 1.1 Nếu 4 ⊂ Rn là một tập lồi, đóng và φ : 4 → Rn là toán tửđơn điệu, liên tục thì ¯x ∈ Sol(VI(φ, 4)) khi và chỉ khi ¯x ∈ 4 và

Điều kiện đủ: Giả sử ¯x ∈ 4 và (1.12) được thỏa mãn Cố định

y ∈ 4 Do 4 là tập lồi nên y(t) := ¯x + t(y − ¯x) ∈ 4 với mỗi t ∈ (0, 1).Thế y = y(t) thì (1.12) trở thành

0 ≤ hφ(y(t)), y(t) − ¯xi = hφ(¯x + t(y − ¯x)), t(y − ¯x)i

Điều này có nghĩa

hφ(¯x + t(y − ¯x)), y − ¯xi ≥ 0 ∀t ∈ (0, 1)

Cho t → 0, do φ liên tục nên thu được hφ(¯x), y − ¯xi ≥ 0 Do bất đẳngthức cuối đúng với y ∈ 4 bất kỳ, nên ta có ¯x ∈ Sol(VI(φ, 4))

Ta sẽ chứng minh Mệnh đề 1.4

Chứng minh (i) Giả sử phản chứng φ là đơn điệu chặt trên 4 nhưngbài toán VI(φ, 4) có hai nghiệm khác nhau ¯x và ¯y Khi đó, ta có

hφ(¯x), ¯y − ¯xi ≥ 0 và hφ(¯y), ¯x − ¯yi ≥ 0 Cộng theo các vế các bất đẳngthức này ta được hφ(¯x) − φ(¯y), ¯y − ¯xi ≥ 0 Điều này mâu thuẫn vớihφ(¯y) − φ(¯x), ¯y − ¯xi > 0

(ii) Giả thiết rằng φ đơn điệu và liên tục trên 4 Với mỗi y ∈ 4, kýhiệu Ω(y) là tập tất cả ¯x ∈ 4 thỏa mãn bất đẳng thức hφ(y), y − ¯xi ≥ 0

Chứng minh Giả sử ¯x là một nghiệm của (1.4) Với mỗi υ ∈ 4, do 4

2x − ¯¯ x

= −1

2hφ(¯x), ¯xivà

0 ≤ hφ(¯x), 2¯x − ¯xi = hφ(¯x), ¯xi

Vì vậy hφ(¯x), ¯xi = 0 Ta đã chứng minh được (1.13)

Bây giờ, giả sử ¯x thỏa mãn (1.13) Với mỗi y ∈ 4, từ hφ(¯x), ¯xi = 0

và φ(¯x) ∈ 4+, ta có

hφ(¯x), y − ¯xi = hφ(¯x), yi ≥ 0

Điều này có nghĩa là ¯x ∈ Sol(VI(φ, 4))

Định nghĩa 1.4 Bài toán (1.13) ở đó 4 ⊂ Rn là nón lồi, đóng và

φ : Rn → Rn, được kí hiệu là NCP(φ, 4) và được gọi là bài toán bù(không tuyến tính) được định nghĩa bởi φ và 4

Từ bài toán bù là bài toán bất đẳng thức biến phân đặc biệt, cácđịnh lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán VI có thể được áp dụng chonó

1.3 Bất đẳng thức biến phân affine

Theo định lý 3.1 [13], nếu ¯x là một nghiệm địa phương của bàitoán quy hoạch toàn phương

ở đó M là ma trận đối xứng cấp n × n, q ∈ Rn và 4 ⊂ Rn là tập lồi

đa diện thì hM ¯x + q, y − ¯xi ≥ 0 với mỗi y ∈ 4 Tức là ¯x là một nghiệmcủa bài toán VI(φ, 4) ở đó φ(x) = M x + q là toán tử affine có ma trậnJacobian M đối xứng

Định nghĩa 1.5 Cho M ∈ Rn×n, q ∈ Rn Cho 4 ⊂ Rn là tập lồi đadiện Bài toán bất đẳng thức biến phân:

Tìm ¯x ∈ 4 sao cho

hM ¯x + q, y − ¯xi ≥ 0 ∀y ∈ 4 (1.15)được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân affine được xác định bởitập dữ liệu {M, q, 4} và được kí hiệu là AVI(M, q, 4) Tập nghiệm củabài toán được kí hiệu là Sol(AVI(M, q, 4))

Định lý 1.3 Vector ¯x ∈ Rn là nghiệm của (1.15), với 4 được cho bởicông thức

và I1 = {i ∈ I : hai, ¯xi > bi} Với mỗi υ ∈ Rn thỏa mãn

hai, υi ≥ 0 với i ∈ I0,

dễ dàng thấy rằng tồn tại δ1 > 0 sao cho hai, ¯x + tυi ≥ bi với mỗi

i ∈ I và t ∈ (0, δ1) Thế y = ¯x + tυ, với t ∈ (0, δ1), vào (1.15) ta được

hM ¯x + q, υi ≥ 0 Do đó

h−M ¯x − q, υi ≤ 0với mỗi υ ∈ Rn thỏa mãn

h−ai, υi ≤ 0 với i ∈ I0.Theo Bổ đề Farkas (xem định lý 3.2 [13]) tồn tại các số thực không âm

Đặt ¯λi = 0 với mọi i ∈ I1 và ¯λ = ( ¯λ1, , ¯λm) Do ai = AiT với i = 1, , m,

từ (1.18) ta được đẳng thức thứ nhất trong (1.17) Từ ¯x ∈ 4(A, b) và

Ta có thể suy ra từ định lý 1.3 hai hệ quả sau, một hệ quả có thể

áp dụng cho trường hợp 4 có biểu diễn:

4 = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} (1.19)

và trường hợp còn lại áp dụng khi 4 có biểu diễn:

4 = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, Cx = d} (1.20)

Ở đó A ∈ Rm×n, b ∈ Rm, C ∈ Rs×n và d ∈ Rs

Hệ quả 1.1 Vector ¯x ∈ Rn là một nghiệm của (1.15), ở đó 4 được chobởi công thức (1.19) khi và chỉ khi tồn tại ¯λ = ( ¯λ1, , ¯λm) ∈ Rm sao cho

Định lý 1.4 Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine

là hợp của hữu hạn các tập lồi đa diện

Chứng minh Xét một bài toán AVI tổng quát dạng (1.15) Do 4 là tậplồi đa diện nên tồn tại m ∈ N, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm sao cho

4 = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} Theo Định lý 1.3, x ∈ Sol(AVI(M, q, 4)) khi

và chỉ khi tồn tại λ = (λ1, , λm) ∈ Rm sao cho

Cho I = {1, , m} Cho x ∈ Sol(AVI(M, q, 4)), ta đặt

I0 = {i ∈ I : Aix = bi} , I1 = I \ I0 = {i ∈ I : Aix > bi} Từ bất đẳngthức cuối trong (1.23) ta được

Sol(AVI(M, q, 4)) = [{PrRn(QI0) : I0 ⊂ I} , (1.25)

ở đó PrRn(x, λ) := x Do PrRn(.) : Rn × Rm

→ Rn là một toán tửtuyến tính, với mỗi I0 ⊂ I, PrRn(QI0) là tập lồi đa diện Từ (1.25) ta cóSol(AVI(M, q, 4)) là hợp của hữu hạn các tập lồi đa diện

Định nghĩa 1.6 Một nửa đường ω = {¯x + t¯υ : t ≥ 0}, ở đó ¯υ ∈ Rn\{0},

và là một tập con của Sol(AVI(M, q, 4)), được gọi là một tia nghiệm củabài toán (1.15)

Định nghĩa 1.7 Một đoạn ωδ = {¯x + t¯υ : t ∈ [0, δ)}, ở đó ¯υ ∈ Rn\ {0},

δ > 0, và là một tập con của Sol(AVI(M, q, 4)), được gọi là một khoảngnghiệm của bài toán (1.15)

Hệ quả 1.3 Các khẳng định sau đây là đúng:

(i) Tập nghiệm của bất dẳng thức biến phân affine là một tập đóng (cóthể rỗng)

(ii) Nếu tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine không bị chặn

thì bài toán có một tia nghiệm.

(iii) Nếu tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine là vô hạn thì bàitoán có một khoảng nghiệm

Chứng minh Khẳng định (i) được suy ra trực tiếp từ công thức (1.25)

vì, với mỗi I0 ⊂ I, tập PrRn(QI0) là lồi đa diện và đóng

Nếu Sol(AVI(M, q, 4)) là không bị chặn thì từ (1.25), tồn tại tập chỉ số

I0 ⊂ I sao cho

ΩI0 := PrRn(QI0) (1.26)

là một tập không bị chặn Do ΩI0 là một tập lồi đa diện, nên nó là tậplồi, đóng và không bị chặn Theo định lý 8.4 (xem [21], Rockafellar), ΩI0chứa một phương lùa xa; có nghĩa là tồn tại ¯υ ∈ Rn \ {0} sao cho

x + t¯υ ∈ ΩI0 ∀x ∈ ΩI0, ∀t ≥ 0 (1.27)Lấy ¯x ∈ ΩI0 tùy ý, từ (1.25) và (1.27) ta có ¯x + t¯υ ∈ Sol(AVI(M, q, 4))với mọi t ≥ 0 Do đó ta đã chứng minh được bài toán (1.15) có mộttia nghiệm Nếu Sol(AVI(M, q, 4)) là vô hạn thì từ (1.25) ta suy ratồn tại tập chỉ số I0 ⊂ I sao cho tập lồi đa diện ΩI0 là vô hạn Do

đó phải tồn tại hai điểm khác nhau x ∈ ΩI0 và y ∈ ΩI0 Rõ ràng là tập[x, y) := {x + t(y − x) : t ∈ [0, 1)} là một khoảng nghiệm của (1.15)

Bằng cách sử dụng Định lý 1.4 ta có thể thu được một đặc trưngđầy đủ của tính chất không bị chặn của tập nghiệm của bài toán AVI.Chúng ta xét bài toán (1.15) ở đó 4 được cho bởi công thức (1.16) và

ta đưa vào các kí hiệu sau

δ(A) = {υ ∈ Rn : Aυ ≥ 0} ,δ(A)+ = z ∈ Rn

: zTυ ≥ 0 ∀υ ∈ δ(A) ,l(M ) = z ∈ Rn : zTM z = 0

Chú ý rằng δ(A) và {υ ∈ Rn : Aυ ∈ δ(A)+} là các nón lồi đa diện, trongkhi l(M ), trong trường hợp tổng quát, là nón đóng, không lồi Chú ýrằng δ(A) = 0+4 và δ(A)+ = (0+4)+.

Định lý 1.5 Tập nghiệm của (1.15) là không bị chặn khi và chỉ khi tồntại một cặp (υ, u0) ∈ Rn× Rn, υ 6= 0, u0 ∈ Sol(AVI(M, q, 4)), sao cho(i) υ ∈ δ(A), M υ ∈ δ(A)+, υ ∈ l(M );

(ii) (M u0 + q)Tυ = 0;

(iii) 0 ≥ 0 ∀y ∈ 4

Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử rằng có cặp (υ, u0) ∈ Rn × Rn, υ 6=

0, u0 ∈ Sol(AVI(M, q, 4)), sao cho (i)-(iii) thỏa mãn Đặt xt = u0 +

u0 + tυ ∈ ΩI0 ⊂ Sol(AVI(M, q, 4)) ∀t ≥ 0 (1.28)

Do A(u0 + tυ) ≥ b với mọi t > 0, ta có thể kết luận rằng Aυ ≥ 0 Điềunày có nghĩa là υ ∈ δ(A) Từ (1.28), ta có

0 + tυ) + q, y − (u0 + tυ) ≥ 0 ∀y ∈ 4 (1.29)

0 ≤ 0 + q + tM υ, y − u0 − tυ

= 0 + q, y − u0 0 ∀t > 0

Điều này suy ra bất đẳng thức 0 < 0 là sai Do đó ta có

Thế y = u0 + ω, ở đó ω ∈ δ(A), vào (1.32) ta có hM υ, ωi ≥ 0 với mỗi

ω ∈ δ(A) Điều này có nghĩa là M υ ∈ δ(A)+ Do đó (i) là đúng Định lý

đã được chứng minh

Hệ quả 1.4 Bài toán (1.15) có tập nghiệm compact (có thể rỗng) nếumột trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

(γ1) Nón l(M ) chỉ gồm một phần tử 0

(γ2) Giao của các nón l(M ) và {υ ∈ Rn : M υ ∈ δ(A)+} chỉ gồm mộtphần tử 0.

(γ3) Giao của các nón l(M ),{υ ∈ Rn : M υ ∈ δ(A)+} và δ(A) chỉ gồmmột phần tử 0

1.4 Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân

affine

1.4.1 Sự tồn tại nghiệm dưới giả thiết đơn điệu

Xét bài toán AVI(M, q, 4)

Tìm ¯x ∈ 4 sao cho hM ¯x + q, y − ¯xi ≥ 0 ∀y ∈ 4, (1.33)

ở đó M ∈ Rn×n, q ∈ Rn, và 4 là một tập lồi đa diện khác rỗng trong

Rn

Do 4 là tập lồi đa diện nên tồn tại m ∈ N, A ∈ Rm×n và b ∈ Rm sao cho

4 = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} (1.34)Định lý 1.6 Nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn

(i) Tồn tại ¯x ∈ 4 sao cho (M ¯x + q)Tυ ≥ 0 với mỗi υ ∈ 0+4;

(ii) (y − x)TM (y − x) ≥ 0 với mọi x ∈ 4 và y ∈ 4;

với I là ma trận đơn vị trong Rm×m Đặt

!

∈ Rn+m

sao cho

M ¯x − ATλ + q = 0, A¯¯ x ≥ b, ¯λ ≥ 0 (1.36)Lấy υ ∈ 0+4 Theo (1.34), ta có Aυ ≥ 0 Từ (1.36) ta suy ra

0 = (M ¯x − ATλ + q)¯ Tυ = (M ¯x + q)Tυ − ¯λTAυ

Do đó (M ¯x + q)Tυ = ¯λTAυ ≥ 0

Điều kiện đủ: Giả sử tồn tại ¯x ∈ 4 sao cho (M ¯x + q)Tυ ≥

0 với mọi υ ∈ 0+4 = δ(A) Xét bài toán quy hoạch tuyến tính

mincTy : y ∈ 4 , (1.37)

ở đó c := M ¯x + q Từ giả thiết 4 6= ∅ và (M ¯x + q)Tυ ≥ 0 với υ ∈

Rn, Aυ ≥ 0 Theo định lý 3.3 [13], tồn tại ¯λ ∈ Rm sao cho

−AT¯λ + c = 0, ¯λ ≥ 0 (1.38)

Từ ¯x ∈ 4, ta có A¯x ≥ b Kết hợp điều này với (1.38) ta suy ra ¯z :=

!

= 1

2

xλ

!+ qTx − bTλ

Do đó f (z) bị chặn dưới trên ˜4 Theo Định lý 2.1 [13], (1.35) có nghiệm

Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý 1.6

Chứng minh Theo giả thiết (i) và theo Bổ đề 1.3, bài toán quy hoạch

toàn phương bổ trợ (1.35) có nghiệm ¯z = x¯

¯λ

! Vì vậy, theo Hệ quả

3.2 [13] tồn tại các nhân tử Lagrange θ = θ

¯λ

¯λ



≥



b0

¯λ



−



b0

¯λ

¯λ

−b



 = 0,

A¯x ≥ b, ¯λ ≥ 0, θ1 ≥ 0, θ2 ≥ 0,(θ1)T(A¯x − b) = 0, (θ2)T¯λ = 0

Hệ này tương đương với hệ sau

(M ¯x − ATλ + q) + M¯ Tx + A¯ Tλ − A¯ Tθ1 − MTµ = 0, (1.39)

A¯x − A¯x − θ2 + Aµ − b = 0, (1.40)A¯x ≥ b, λ ≥ 0, θ1 ≥ 0, θ2 ≥ 0, (1.41)

(θ1)T(A¯x − b) = 0, (θ2)Tλ = 0.¯ (1.42)

Từ (1.39) và ¯z = x¯

¯λ

¯

λT(A¯x − b) = 0

Theo Định lý 1.3 ta có ¯x ∈ Sol(AVI(M, q, 4))

Định nghĩa 1.8 Ta nói rằng ma trận M ∈ Rn×n là đơn điệu trên tậplồi đóng 4 ⊂ Rn nếu toán tử tuyến tính tương ứng với M đơn điệu trên

4, có nghĩa là

(y − x)TM (y − x) ≥ 0 ∀x ∈ 4, ∀y ∈ 4 (1.46)

Ma trận M được gọi là đồng dương trên 4 nếu

υTM υ ≥ 0 ∀υ ∈ 0+4 (1.47)Nếu M là đồng dương trên Rn+ thì ta nói một cách đơn giản M là matrận đồng dương Ma trận M được gọi là đồng dương chặt trên 4 nếu

υTM υ > 0 ∀υ ∈ 0+4 \ {0} (1.48)Nhận xét 1.1 Tính đơn điệu kéo theo tính đồng dương Điều ngượclại là không đúng Thật vậy, nếu (1.46) là đúng và nếu 4 khác rỗng thì,với ¯x ∈ 4 và υ ∈ 0+4, ta có

Nhận xét 1.2 Nếu int4 6= ∅ thì ma trận M là đơn điệu trên 4 khi

và chỉ khi M là nửa xác định dương Thật vậy, rõ ràng nếu M ∈ Rn×n

là ma trận nửa xác định dương thì, với mỗi tập lồi, đóng, khác rỗng

4 ⊂ Rn, M là đồng dương trên 4 Mặt khác, nếu int4 6= ∅ thì tồn tại

¯

x ∈ 4 và ε > 0 sao cho B(¯x, ε) ⊂ 4 Với mỗi z ∈ Rn thì tồn tại t > 0sao cho y := ¯x + tz ∈ B(¯x, ε) ⊂ 4 Do đó, ta có

0 ≤ (y − ¯x)TM (y − ¯x) = t2zTM z

Vì vậy zTM z ≥ 0 với mọi z ∈ Rn

Nhận xét 1.3 Rõ ràng nếu M là đồng dương chặt trên 4 thì nó

là đồng dương trên 4 Điều ngược lại nói chung không đúng Chẳng

hạn, nếu 4 = R2+ và M = 1 0

0 0

!, thì M là đồng dương nhưngkhông đồng dương chặt trên 4 Thật vậy, chọn ¯υ = (0, 1) ta thấy rằng

Từ Định lý 1.6 dễ dàng thu được kết quả sau

Định lý 1.7 Nếu M là ma trận nửa xác định dương và tồn tại ¯x ∈ 4sao cho (M ¯x + q)Tυ ≥ 0 với mỗi υ ∈ 0+4, thì bài toán (1.33) có nghiệm

1.4.2 Sự tồn tại nghiệm dưới giả thiết đồng dương

Trong mục này ta thu được một vài định lý về sự tồn tại cho bàitoán AVI (1.33), ở đó M không được giả thiết là đơn điệu trên 4 Tachỉ giả thiết rằng M đồng dương trên 4

Ta phát biểu một định lý về sự tồn tại dưới giả thiết đồng dươngchặt

Định lý 1.8 Nếu ma trận M là đồng dương chặt trên tập lồi đa diệnkhác rỗng 4 thì, với mỗi q ∈ Rn, bài toán AVI(M, q, 4) có nghiệm

Bổ đề 1.4 Ma trận M ∈ Rn×n là đồng dương chặt trên tập lồi đa diệnkhác rỗng 4 ⊂ Rn khi và chỉ khi tồn tại x0 ∈ 4 sao cho

0, y − x0

||y − x0|| → +∞ khi ||y|| → +∞, y ∈ 4 (1.49)Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử 4 khác rỗng và M là đồng dươngchặt trên 4 Nếu 0+4 = {0} thì 4 là compact Do đó, chọn tùy ý

x0 ∈ 4, điều kiện (1.49) được thỏa mãn Bây giờ xét trường hợp 0+4 6={0} Chọn x0 ∈ 4 tùy ý Ta cần chỉ ra (1.49) là đúng Giả sử ngược lạirằng (1.49) sai Khi đó, tồn tại γ > 0 và một dãy yk ⊂ 4 sao cho

Do đó, với mỗi k ∈ N, tồn tại uk ∈ K và υk ∈ 0+4 sao cho yk = uk+ υk

Dễ dàng thấy rằng ||υk|| → +∞ Không giảm tính tổng quát ta có thể