Bất đẳng thức biến phân Vector Affine đơn điệu

Trong lu¾n văn này chúng tôi h¾ thong lai m®t so ket quá ve đieuki¾n đn cho tính núa liên tuc trên cna ánh xa t¾p nghi¾m cna bat đangthúc bien phân vector affine đơn đi¾u có tham so đã đ

em hoàn thành khoá lu¾n này.

Xin chân thành cám ơn gia đình và ban bè đã tao moi đieu ki¾nthu¾n loi cho em trong quá trình thnc hi¾n khoá lu¾n

Em xin chân thành cám ơn.

Hà N®i, ngày tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyen Văn Mùng

i

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna ThS Nguyen Văn Tuyên

khóa lu¾n tot nghi¾p “Bat đang thNc bien phân vector affine đơn đi¾u” đưoc hoàn thành không trùng vói bat kỳ khóa lu¾n nào khác.

Trong quá trình hoàn thành khóa lu¾n, tôi đã thùa ke nhungthành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, ngày tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyen Văn Mùng

ii

Mnc lnc

1.1 Bat đang thúc bien phân 41.2 Bài toán bù 101.3 Bat đang thúc bien phân affine 111.4 Sn ton tai nghi¾m cna bat đang thúc bien phân affine 191.4.1 Sn ton tai nghi¾m dưói giá thiet đơn đi¾u 191.4.2 Sn ton tai nghi¾m dưói giá thiet đong dương 26

2 Bat đang thNc bien phân vector affine đơn đi¾u 34

2.1 Bat đang thúc bien phân vector affine đơn đi¾u 342.2 Tính on đ%nh cna t¾p nghi¾m 392.3 Tính liên thông cna t¾p nghi¾m 48

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Bài toán bat đang thúc bien phân (Variational InequalityProblem) ra đòi vào nhung năm 1960, gan lien vói công trình cna G.Stampacchia,

J L Lions [6] Hi¾n nay, bài toán bat đang thúc bien phân đã đưocphát trien thành nhieu dang khác nhau, ví du: bat đang thúc bien phânvector, tna bat đang thúc bien phân, giá bat đang thúc bien phân, batđang thúc bien phân an, bat đang thúc bien phân suy r®ng

Bài toán này thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà toán hoc vìcác mô hình cna nó chúa nhieu bài toán quan trong cna m®t so lĩnhvnc khác nhau trong toán hoc như là trưòng hop riêng, ví du: toi ưuhóa, lý thuyet trò chơi, cân bang Nash, cân bang mang giao thông

Khái ni¾m bat đang thúc bien phân vector (Vector VariationalInequality) (viet tat là VVI) đưoc đưa ra bói F Giannessi trong bài báo[4] Có rat nhieu bài báo nghiên cúu ve van đe này có the tìm thaytrong cuon sách chuyên kháo cna GS F Giannessi [5] Ta cũng chú

ý rang VVI có the coi như m®t công cu thích hop đe nghiên cúu cácbài toán toi ưu vector và VVI còn là m®t trong nhung công cu quantrong nhat đe nghiên cúu các bài toán cân bang vector Các tác giá cónhung đóng góp cho sn phát trien cna bài toán này có the ke đen: F.Giannessi [4, 5, 6],

T N Hoa, T D Phuong và N D Yen [8, 9], G M Lee, N N Tam và

N D Yen [13, 14, 15], N D Yen và J.-C Yao [26],

Tính on đ%nh, đ® nhay nghi¾m và các tính chat tôpô cna t¾pnghi¾m cna bài toán bat đang thúc bien phân đơn đi¾u đã đưoc nghiêncúu trong [12, 13, 26]

Trong lu¾n văn này chúng tôi h¾ thong lai m®t so ket quá ve đieuki¾n đn cho tính núa liên tuc trên cna ánh xa t¾p nghi¾m cna bat đangthúc bien phân vector affine đơn đi¾u có tham so đã đưoc trình bàytrong [26] Ngoài ra, trong lu¾n văn còn trình bày m®t so tính chat tôpôcna t¾p nghi¾m cho lóp bài toán này

Lu¾n văn đưoc chia thành hai phan Chương 1 trình bày các kienthúc cơ bán ve bài toán bat đang thúc bien phân affine, các bài toánliên quan và m®t so đieu ki¾n ton tai nghi¾m Chương 2 trình bày cáctính chat cơ bán cna t¾p nghi¾m cna bài toán bat đang thúc bien phânvector affine đơn đi¾u, tính on đ%nh cna ánh xa t¾p nghi¾m và tính liênthông cna t¾p nghi¾m

2 Mnc đích nghiên cNu

Nghiên cúu ve bài toán bat đang thúc bien phân vector affine đơnđi¾u và các tính chat cna ánh xa t¾p nghi¾m

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Nghiên cúu tính on đ%nh cna ánh xa t¾p nghi¾m và tính các tínhchat tôpô cna t¾p nghi¾m cna bài toán bat đang thúc bien phân vectoraffine đơn đi¾u

4 Phương pháp nghiên cNu

Đoc tài li¾u, phân tích, so sánh, tong hop

5 Cau trúc khoá lu¾n

Chương 1 trình bày các kien thúc cơ bán ve bài toán bat đangthúc bien phân affine, các bài toán liên quan và m®t so đieu ki¾n ton tainghi¾m

Chương 2 trình bày các tính chat cơ bán cna t¾p nghi¾m cna bàitoán bat đang thúc bien phân vector affine đơn đi¾u, tính on đ%nh cnaánh xa t¾p nghi¾m và tính liên thông cna t¾p nghi¾m

Chương 1

Bat đang thNc bien phân affine

1.1 Bat đang thNc bien phân

Bài toán bat đang thúc bien phân đưoc náy sinh m®t cách tn

nhiên tù các bài toán toi ưu Cho f : Rn → R vói f thu®c lóp C1 và

= f r (x¯, y − x¯)

= (∇f (x¯), y − x¯)

≤

Đ%nh nghĩa 1.1 Neu 6 ⊂ R n là t¾p con loi, đóng, khác rong và φ :

đưoc

goi là bài toán bat đang thúc bien phân, hay đơn gián là bat đang

VI(φ, 6) là t¾p tat cá x¯ ∈ 6 thóa mãn (1.4)

Đ%nh nghĩa 1.2 Nón pháp tuyen N 6(x¯) cna m®t t¾p loi 6 ⊂

đang thúc bien phân M®t câu hói tn nhiên đ¾t ra: Cho m®t bat đang

đưoc tù bài toán toi ưu hóa (1.1) bang phương pháp trên hay không ?

Neu có hàm f ton tai thì phái có

Có the thay rang neu f thu®c lóp C2 thì toán tú φ : Rn → R n

đưoc đ%nh nghĩa ó (1.3) là m®t ma tr¾n Jacobian đoi xúng Nhó lai rang

neu m®t hàm vector φ : Rn → R n có các thành phan trơn φ1, , φn

∂x

2

=

∂x i

i, j.

Đieu này chí ra rang Jφ(x) là ma tr¾n đoi xúng.

M¾nh đe 1.2 Cho 6 ⊂ R n là m®t t¾p loi, đóng, khác rong Neu φ :

coi như là đieu ki¾n can b¾c nhat cúa bài toán toi ưu (1.1)

Như v¾y, ta thay rang bài toán toi ưu hóa trơn lóp C2 tương úng vói bat đang thúc bien phân vói toán tú đoi xúng trơn.

M¾nh đe đơn gián sau đây cho thay, khác vói nghi¾m cna bàitoán quy hoach toán hoc, nghi¾m cna bài toán VI có m®t đ¾c trưng đ%aphương

x ¯ ∈ 6 Neu ton tai

Chúng minh Giá sú ε > 0 thóa mãn (1.6) Hien nhiên vói moi

:=

x ¯ + t(y − x¯) ∈ 6 ∩ B¯ (x¯, ε).

Tù (1.6), 0 ≤ (φ(x¯), y(t) − x¯) = t (φ(x¯), y − x¯) Đieu này có

nghĩa là

(φ(x¯), y − x¯) ≥ 0 ∀y ∈ 6 Do đó x¯ ∈ Sol(VI(φ, 6)).

Bài toán VI(φ, 6) phu thu®c vào hai du ki¾n: t¾p 6 và toán tú

chat cna t¾p hop và toán tú Trong lý thuyet bat đang thúc bien phân

có các van đe cơ bán sau: sn ton tai và duy nhat cna nghi¾m, tính on đ

%nh và đ® nhay cna t¾p nghi¾m tương úng vói bài toán nhieu duki¾n, thu¾t toán đe tìm t¾p nghi¾m hay m®t phan cna t¾p nghi¾m

Đ%nh lý Hartman-Stampacchia sau đây là m®t đ%nh lý cơ bán ve

sn ton tai nghi¾m cna bài toán VI Nó đưoc chúng minh bang vi¾c súdung đ%nh lý điem bat đ®ng Brouwer

Đ%nh lý 1.1 (Đ%nh lý Hartman-Stampacchia) Neu 6 ⊂ R n là

Dưói các đieu ki¾n búc thích hop, ta có the thu đưoc các đ%nh lý

ve sn ton tai nghi¾m cna bài toán VI trên các t¾p loi nhưng khôngcompact Chang han, ta có ket quá sau:

Đ%nh lý 1.2 Cho 6 ⊂ R n là m®t t¾p loi, đóng, khác rong và φ : 6 → R n

là toán tú liên tnc Neu ton tai x0 ∈ 6 sao cho

|

y

Rõ ràng là neu 6 là compact thì, vói moi x0 ∈ 6, (1.7) đúng Neu ton

tai x0 ∈ 6 sao cho (1.7) đúng thì ta nói rang đieu ki¾n búc đưoc

thóa

mãn Đieu ki¾n búc có vai trò quan trong khi nghiên cúu bat đang thúcbien phân trên các t¾p ràng bu®c không compact Chú ý rang (1.7) chí

là m®t dang quen thu®c cna đieu ki¾n búc

Neu ton tai x0 ∈ 6 và α > 0 sao cho

thì (1.8) đưoc thóa mãn

Đ%nh nghĩa 1.3 Neu ton tai α > 0 sao cho (1.9) thóa mãn thì φ

đưoc goi là đơn đi¾u manh trên 6 Neu các đieu ki¾n yeu hơn là:

là đúng thì φ đưoc goi tương úng là đơn đi¾u ch¾t và đơn đi¾u trên 6

Ví dn 1.1 Cho 6 ⊂ R n là m®t t¾p loi, đóng, khác rong Cho D ∈

Rn×n và c ∈ R n Neu ma tr¾n D là xác đ%nh dương thì toán tú φ :

manh trên 6 Trong trưòng hop này, de dàng thay rang đieu ki¾n α >

0 đe (1.9) đưoc thóa mãn có the đưoc đ%nh nghĩa bang cách đ¾t

α = inf .v T Dv : v ∈ R n , ||v|| = 1 .

2

Tương tn, neu D là núa xác đ%nh dương thì công thúc φ(x) =

Dx +c, x ∈ 6, đ%nh nghĩa m®t toán tú đơn đi¾u.

M¾nh đe 1.4 Các khang đ%nh sau đây là đúng

(i) Neu φ là đơn đi¾u ch¾t trên 6 thì bài toán VI(φ, 6) không the

có nhieu hơn m®t nghi¾m.

(ii) Neu φ là liên tnc và đơn đi¾u trên 6 thì t¾p nghi¾m cúa bài toán

VI(φ, 6) là loi và đóng (có the rong).

Đe chúng minh (ii) ta phái sú dung bo đe sau

Bo đe 1.1 Neu 6 ⊂ R n là m®t t¾p loi, đóng và φ : 6 → R n là toán tú đơn đi¾u, liên tnc

0 ≤ (φ(y(t)), y(t) − x¯) = (φ(x¯ + t(y − x¯)), t(y − x¯))

Đieu này có nghĩa

(φ(x¯ + t(y − x¯)), y − x¯) ≥ 0 ∀t ∈ (0, 1).

Cho t → 0, do φ liên tuc nên thu đưoc (φ(x¯), y − x¯) ≥ 0 Do bat

đang thúc cuoi đúng vói y ∈ 6 bat kỳ, nên ta có x¯ ∈ Sol(VI(φ, 6)).

Ta se chúng minh M¾nh đe 1.4

bài toán VI(φ, 6) có hai nghi¾m khác nhau x¯ và y¯ Khi đó, ta có

(φ(x¯), y¯ − x¯) ≥ 0 và (φ(y¯), x¯ − y¯) ≥ 0 C®ng theo các ve các

bat đang thúc này ta đưoc (φ(x¯) − φ(y¯), y¯ − x¯) ≥ 0 Đieu này

mâu thuan vói (φ(y¯) − φ(x¯), y¯ − x¯) > 0.

(ii) Giá thiet rang φ đơn đi¾u và liên tuc trên 6 Vói moi y ∈ 6, ký

hi¾u Ω(y) là t¾p tat cá x¯ ∈ 6 thóa mãn bat đang thúc (φ(y), y − x¯)

≥ 0 Rõ ràng Ω(y) là loi và đóng Tù Bo đe 1.1 ta có

Sol(VI(φ, 6)) = \ Ω(y).

y∈6

Do đó Sol(VI(φ, 6)) là t¾p loi và đóng (có the rong)

Tù Đ%nh lý 1.2 và M¾nh đe 1.4 (i) ta có: neu 6

Vì v¾y (φ(x¯), x¯) = 0 Ta đã chúng minh đưoc (1.13).

Bây giò, giá sú x¯ thóa mãn (1.13) Vói moi y ∈ 6, tù (φ(x¯), x¯)

= 0

và φ(x¯) ∈ 6+, ta có

(φ(x¯), y − x¯) = (φ(x¯), y) ≥ 0.

Đieu này có nghĩa là x¯ ∈ Sol(VI(φ, 6)).

Đ%nh nghĩa 1.4 Bài toán (1.13) ó đó 6 ⊂ R n là nón loi, đóng và

φ : Rn → R n, đưoc kí hi¾u là NCP(φ, 6) và đưoc goi là bài toán

Tù bài toán bù là bài toán bat đang thúc bien phân đ¾c bi¾t, cácđ%nh lý ve sn ton tai nghi¾m cna bài toán VI có the đưoc áp dung chonó

1.3 Bat đang thNc bien phân affine

Theo đ%nh lý 3.1 [13], neu

x¯ toán quy hoach toàn phương

là m®t nghi¾m đ%a phương cna bài

ó đó M là ma tr¾n đoi xúng cap n × n, q ∈ R n và 6 ⊂ R n là t¾ploi đa di¾n thì (M x¯ + q, y − x¯) ≥ 0 vói moi y ∈ 6 Túc là x¯ là

m®t nghi¾m cna bài toán VI(φ, 6) ó đó φ(x) = Mx + q là toán tú

đưoc goi là bài toán bat đang thúc bien phân affine đưoc xác đ%nh bói

t¾p du li¾u {M, q, 6} và đưoc kí hi¾u là AVI(M, q, 6) T¾p nghi¾m

cna bài toán đưoc kí hi¾u là Sol(AVI(M, q, 6)).

(1.17)

thành phan thú i cna vector b Ta đ¾t ai = Ai T vói i = 1, , m Giá sú x¯

x ¯) = bi } và I1 = {i ∈ I : (ai , x ¯) > bi } Vói moi υ ∈ R n thóa mãn



Theo Bo đe Farkas (xem đ%nh lý 3.2 [13]) ton tai các so thnc không âm

λ¯ i(i ∈ I0) sao cho

(1.17) thóa mãn Khi đó, vói moi y ∈ 6 ta có

là m®t nghi¾m cna (1.15) Đ%nh lý đã đưoc chúng

Ta có the suy ra tù đ%nh lý 1.3 hai h¾ quá sau, m®t h¾ quá có the

áp dung cho trưòng hop 6 có bieu dien:

6 = {x ∈ R n : Ax ≥ b, x ≥ 0} (1.19)

và trưòng hop còn lai áp dung khi 6 có bieu dien:

é đó A ∈ R m×n , b ∈ R m , C ∈ R s×n và d ∈ R s

H¾ quá 1.1 Vector x¯ ∈ R n là m®t nghi¾m cúa (1.15), ó đó 6 đưoc

cho bói công thúc (1.20) khi và chs khi ton

Đ%nh lý 1.4 T¾p nghi¾m cúa bài toán bat đang thúc bien phân affine

là hop cúa huu han các t¾p loi đa di¾n.

Chúng minh Xét m®t bài toán AVI tong quát dang (1.15) Do 6 là t¾p

loi đa di¾n nên ton tai m ∈ N, A ∈ R m×n , b ∈ R m sao cho

Cho I = {1, , m} Cho x ∈ Sol(AVI(M, q, 6)), ta đ¾t

tú tuyen tính, vói moi I0 ⊂ I, PrR n (QI0 ) là t¾p loi đa di¾n Tù (1.25)

ta có Sol(AVI(M, q, 6)) là hop cna huu han các t¾p loi đa di¾n

Đ%nh nghĩa 1.6 M®t núa đưòng ω = {x¯ + tυ¯ : t ≥ 0}, ó đó υ¯

m®t tia nghi¾m cna bài toán (1.15).

Đ%nh nghĩa 1.7 M®t đoan ωδ = {x¯ + tυ¯ : t ∈ [0, δ)}, ó đó υ¯

goi là m®t khoáng nghi¾m cna bài toán (1.15).

H¾ quá 1.3 Các khang đ%nh sau đây là đúng:

(i) T¾p nghi¾m cúa bat dang thúc bien phân affine là m®t t¾p đóng (có

the rong).

(ii) Neu t¾p nghi¾m cúa bat đang thúc bien phân affine không b% ch¾n

0

thì bài toán có m®t tia nghi¾m.

(iii) Neu t¾p nghi¾m cúa bat đang thúc bien phân affine là vô han thì bài

toán có m®t khoáng nghi¾m.

Chúng minh Khang đ%nh (i) đưoc suy ra trnc tiep tù công thúc (1.25)

vì, vói moi I0 ⊂ I, t¾p PrRn (Q I0 ) là loi đa di¾n và đóng

Neu Sol(AVI(M, q, 6)) là không b% ch¾n thì tù (1.25), ton tai t¾p chíso

vói moi t ≥ 0 Do đó ta đã chúng minh đưoc bài toán (1.15) có m®t

tia nghi¾m Neu Sol(AVI(M, q, 6)) là vô han thì tù (1.25) ta suy

ra ton tai t¾p chí so I0 ⊂ I sao cho t¾p loi đa di¾n Ω I0 là vô han

Do đó phái ton tai hai điem khác nhau x ∈ Ω I0 và y ∈ Ω I0 Rõ ràng làt¾p [x, y) := {x + t(y − x) : t ∈ [0, 1)} là m®t khoáng nghi¾m

cna (1.15)

Bang cách sú dung Đ%nh lý 1.4 ta có the thu đưoc m®t đ¾c trưngđay đn cna tính chat không b% ch¾n cna t¾p nghi¾m cna bài toánAVI Chúng ta xét bài toán (1.15) ó đó 6 đưoc cho bói công thúc

(1.16) và ta đưa vào các kí hi¾u sau

δ (A) = {υ ∈ R n : Aυ ≥ 0} ,

l (M ) = .z ∈ R n : z T Mz = 0 .

Chú ý rang δ(A) và {υ ∈ R n : Aυ ∈ δ(A)+} là các nón loi đa di¾n,

trong

khi l(M ), trong trưòng hop tong quát, là nón đóng, không loi Chú

ý rang δ(A) = 0+6 và δ(A)+ = (0+6)+

Đ%nh lý 1.5 T¾p nghi¾m cúa (1.15) là không b% ch¾n khi và chs khi

6)), sao cho

(i) υ ∈ δ(A), Mυ ∈ δ(A)+, υ ∈ l(M );

(ii) (Mu0 + q) T υ = 0;

(iii) .Mυ, y − u0 ≥ 0 ∀y ∈ 6.

% ch¾n Tù (1.25), ton tai I0 ⊂ I sao cho t¾p Ω I0 đưoc đ%nh nghĩabói (1.26) là b% ch¾n Áp dung Đ%nh lý 8.4 ([21], Theorem 8.4) suy raton

Do A(u0 + tυ) ≥ b vói moi t > 0, ta có the ket lu¾n rang Aυ ≥ 0 Đieu này có nghĩa là υ ∈ δ(A) Tù (1.28), ta có

M (u0 + tυ) + q, y − (u0 + tυ) ≥ 0 ∀y ∈ 6 (1.29)

H¾ quá 1.4 Bài toán (1.15) có t¾p nghi¾m compact (có the rong) neu

m®t trong các đieu ki¾n sau đưoc thóa mãn:

(γ1) Nón l(M ) chs gom m®t phan tú 0.

−

(γ2) Giao cúa các nón l(M ) và {υ ∈ R n : Mυ ∈ δ(A)+} chs gom m®t

1.4.1 SN ton tai nghi¾m dưái giá thiet đơn đi¾u

Xét bài toán AVI(M, q, 6)

Tìm x¯ ∈ 6 sao cho (M x¯ + q, y − x¯) ≥ 0 ∀y ∈ 6, (1.33)

ó đó M ∈ R n×n , q ∈ R n , và 6 là m®t t¾p loi đa di¾n khác rong

tai x ¯ ∈ 6 sao cho (M x¯ + q) T υ ≥ 0 vói moi υ ∈ 0+6;

(ii) (y − x) T M (y − x) ≥ 0 vói moi x ∈ 6 và y ∈ 6;

= z

n+m : Mx − A T λ + q = 0, Ax ≥ b, λ ≥ 0 , λ

˜

vói I là ma tr¾n đơn v% trong R m×m Đ¾t

6

R

Bây giò ta se chúng minh đ%nh lý 1.6.

Chúng minh Theo giá thiet (i) và theo Bo đe 1.3, bài toán quy hoach

toàn phương bo tro (1.35) có nghi¾m

¯.

λ¯

Vì v¾y, theo H¾ quá

3.2 [13] ton tai các nhân tú Lagrange θ

(M x¯ − A T λ¯ + q) + M T x ¯ + A T λ¯ − A T θ1 − M T µ = 0,

(1.39)

Ax ¯ − Ax¯ − θ2 + Aµ − b = 0, (1.40)

Ax ¯ ≥ b, λ ≥ 0, θ1 ≥ 0, θ2 ≥ 0, (1.41)

(θ1)T (Ax¯ − b) = 0, (θ2)T λ¯ = 0. (1.42).

Tù (1.39) và z¯ = x

¯

 λ¯ T (Ax¯ − b) = 0 Theo Đ%nh lý 1.3 ta có x¯ ∈ Sol(AVI(M, q, 6)).

Đ%nh nghĩa 1.8 Ta nói rang ma tr¾n M ∈ R n×n là đơn đi¾u trên

t¾p loi đóng 6 ⊂ R n neu toán tú tuyen tính tương úng vói M đơn đi¾u

trên 6, có nghĩa là

(y − x) T M (y − x) ≥ 0 ∀x ∈ 6, ∀y ∈ 6. (1.46)

Ma tr¾n M đưoc goi là đong dương trên 6 neu

Neu M là đong dương trên R n thì ta nói m®t cách đơn gián M là ma

tr¾n đong dương Ma tr¾n M đưoc goi là đong dương ch¾t trên 6 neu

Nh¾n xét 1.1 Tính đơn đi¾u kéo theo tính đong dương Đieu ngưoc

lai là không đúng Th¾t v¾y, neu (1.46) là đúng và neu 6 khác rong thì,

là ma tr¾n núa xác đ%nh dương thì, vói moi t¾p loi, đóng, khác rong

Vì v¾y z T Mz ≥ 0 vói moi z ∈ R n

Nh¾n xét 1.3 Rõ ràng neu M là đong dương ch¾t trên 6 thì nó

là đong dương trên 6 Đieu ngưoc lai nói chung không đúng Chang

Đ%nh lý 1.6 có the áp dung cho bài toán này Th¾t v¾y, do M là đơn đi¾u

trên 6, nên ton tai x¯ ∈ 6 sao cho (M x¯ + q) T υ ≥ 0 vói moi υ ∈

Tù Đ%nh lý 1.6 de dàng thu đưoc ket quá sau.

Đ%nh lý 1.7 Neu M là ma tr¾n núa xác đ%nh dương và ton tai

6

nghi¾m.

1.4.2 SN ton tai nghi¾m dưái giá thiet đong dương

Trong muc này ta thu đưoc m®t vài đ%nh lý ve sn ton tai cho bài

toán AVI (1.33), ó đó M không đưoc giá thiet là đơn đi¾u trên 6 Ta

chí giá thiet rang M đong dương trên 6.

Ta phát bieu m®t đ%nh lý ve sn ton tai dưói giá thiet đong dươngch¾t

Đ%nh lý 1.8 Neu ma tr¾n M là đong dương ch¾t trên t¾p loi đa di¾n

Bo đe 1.4 Ma tr¾n M ∈ R n×n là đong dương ch¾t trên t¾p loi đa

ch¾t trên 6 Neu 0+6 = {0} thì 6 là compact Do đó, chon tùy

0+6 =ƒ

lai rang (1.49) sai Khi đó, ton tai γ > 0 và m®t dãy y k ⊂ 6 sao

cho

the tìm t¾p compact K ⊂ 6 sao cho

Do đó, vói moi k ∈ N, ton tai u k ∈ K và υ k ∈ 0+6 sao cho y k = u k +

υ k De dàng thay rang ||υ k || → +∞ Không giám tính tong quát ta có

the