một số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu

102.2 Sự tồn tại và các tính chất cơ bản của tập nghiệm bài toánbất đẳng thức biến phân.. Do đó bài toán này đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu.Trong hướng nghiên cứu này, phương ph

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG TUẤN ANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

2.1 Phát biểu bài toán và ví dụ 102.2 Sự tồn tại và các tính chất cơ bản của tập nghiệm bài toán

bất đẳng thức biến phân 152.2.1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến

phân 152.2.2 Tính chất nghiệm của bài toán 19

3.1 Các loại hàm đánh giá 233.1.1 Định nghĩa 233.1.2 Các hàm đánh giá cho bài toán VI(K,F) 243.2 Một số thuật toán lặp giải bất đẳng thức biến phân 35

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắcđến thầy GS TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Khoa học và Công nghệ ViệtNam) đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo, động viên tác giả trong suốt thờigian nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy, các cô trong Khoa Toán - Tin, phòngĐào tạo khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn sinh viên trong lớp cao họctoán K2, trường Đại học Khoa học đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên,

và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân

đã luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học

và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này vẫn không tránh khỏinhững thiếu sót và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đónggóp và phản hồi từ phía các thầy, các cô, các bạn để luận văn này đượchoàn thiện một cách tốt hơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10-2010

Tác giả

Hoàng Tuấn Anh

Một số ký hiệu viết tắt

Rn không gian Euclide n-chiều

|β| trị tuyệt đối của số thực β

x := y x được định nghĩa bẳng y

∀x với mọi x

∃x tồn tại x

k x k chuẩn của véc tơ x

hx, yi tích vô hướng của hai véc tơ x, y

V I bài toán bất đẳng thức biến phân

N CP bài toán bù phi tuyến

t.ư tương ứng

Lời nói đầu

Bất đẳng thức biến phân là một bài toán quan trọng trong toán họcứng dụng Do đó bài toán này đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu.Trong hướng nghiên cứu này, phương pháp giải là một đề tài quan trọng.Mục đích của luận văn này là tập trung giới thiệu trình bày về bài toánbất đẳng thức biến phân, một số tính chất về tập nghiệm của bất đẳngthức biến phân Đặc biệt đi sâu vào việc giới thiệu các phương pháp giải

cơ bản cho lớp bài toán này

Luận văn bao gồm 3 chương Chương 1: Các kiến thức cơ bản về giảitích lồi và toán tử đơn điệu, chương này nhắc lại và trình bày các kháiniệm, định lý, tính chất dùng để nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biếnphân ở chương sau Chương 2: Bài toán bất đẳng thức biến phân, chươngnày trình bày định nghĩa về bài toán bất đẳng thức biến phân và các ví

dụ Đồng thời cũng trình bày về sự tồn tại và tính chất tập nghiệm bàitoán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều Rn Chương3: Các hàm đánh giá cơ bản, trình bày một số khái niệm và ví dụ về hàmđánh giá dùng để giải bất đẳng thức biến phân, đồng thời cũng trình bàymột số phương pháp lặp cơ bản để giải bài toán bất đẳng thức biến phân

Thái Nguyên, tháng 10-2010

Tác giả

Hoàng Tuấn Anh

Chương 1

Các kiến thức cơ bản

Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày những kiến thức cơ bản về tậplồi, hàm lồi, những kiến thức sẽ được sử dụng ở phần sau Do chương nàychỉ có tính chất phụ trợ nên các kết quả có được sẽ không chứng minh, chitiết có thể xem thêm ở các tài liệu [1], [2], [3], [4]

Định nghĩa 1.1 Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất cả các điểm x =(1 − λ)a + λb với 0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a và b, và được

ký hiệu [a, b]

Tập C ⊂ Rn được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểmbất kỳ thuộc nó; nói cách khác, nếu (1 − λ)a + λb ∈ C với mọi a, b ∈ C

và mọi 0 ≤ λ ≤ 1

Định lí 1.1 Tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một

số và phép lấy tổ hợp tuyến tính Tức là, nếu A và B là hai tập lồi trong

Định nghĩa 1.3 Tập con M của Rn được gọi là một nón (đỉnh tại gốc)nếu:

x ∈ M, λ > 0 =⇒ λx ∈ M

Nón M được gọi là nón lồi nếu M là tập lồi

Định nghĩa 1.4 Cho tập lồi A ⊆Rn, hàm số f : A −→ R∪ {+∞} đượcgọi là hàm lồi trên A, nếu

Hàm f được gọi là hàm tựa lõm trên A nếu −f là hàm tựa lồi trên A

Định lí 1.2 Cho f là một hàm lồi trên tập A và f là một hàm lồi trêntập B Lúc đó các hàm sau là lồi trên A ∩ B:

1 λf + βf, với mọi λ, β ≥ 0

2 M ax(f, g)

Định nghĩa 1.5 Cho tập lồi A ⊆Rn, hàm số f : A −→ R∪ {+∞} đượcgọi là hàm lồi mạnh trên A nếu tồn tại một hằng số ρ > 0 (hằng số lồimạnh) sao cho với mọi x, y ∈ A, và mọi λ ∈ [0; 1] ta có bất đẳng thức:

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)ρ k x − y k2

Định lí 1.3 Nếu f là hàm lồi mạnh và khả vi trên tập lồi đóng K ⊆ Rn

thì:

1 h5f (x) − 5f (y), x − yi ≥ ρ k x − y k2.

2 Với bất kỳ x0 ∈ K, tập mức dưới K0 = {x ∈ K : f (x) ≤ f (x0)} bịchặn

3 Tồn tại duy nhất điểm x∗ ∈ K sao cho f (x∗) = min{f (x) : x ∈ K}.Định nghĩa 1.6 Cho hàm bất kỳ f : K −→ [−∞, +∞] với K ⊆ Rn, tagọi các tập

domf = {x ∈ K : f (x) < +∞}

và

epif = {(x, α) ∈ S ×Rn : f (x) ≤ α}

lần lượt là miền hữu dụng và tập trên đồ thị của hàm f

Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞ vớimọi x ∈ K

Định nghĩa 1.7 Cho hàm lồi chính thườngf trên Rn, vectơ p ∈ Rn đượcgọi là dưới gradient của f tại điểm x0 nếu

hp, x − x0i + f (x0) ≤ f (x), ∀x ∈ Rn

Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f

tại điểm x0 và được ký hiệu ∂f (x0)

Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0) 6= ∅.

Định lí 1.4 Cho f : Rn −→ Rn là hàm lồi chính thường Khi đó, nếu f

có tại x0 một vectơ dưới gradient duy nhất (tức là ∂f (x0) chứa duy nhấtmột phần tử) thì f khả vi tại x0

Định nghĩa 1.8 Cho M là tập con của không gian Rn Tập M được gọi

là tập compact trong Rn nếu mọi dãy {xn} ⊂ M đều chứa một dãy conhội tụ tới x0 ∈ M

Tập M ⊆ Rn là tập compact khi và chỉ khi M là tập bị chặn và đóng

Định nghĩa 1.9 Ma trận M ∈ Rn×n được gọi là ma trận đối xứng nếu

MT = M

Định nghĩa 1.10 Cho ma trận M ∈ Rn×n với các phần tử mij(x) : i =

1, 2, , n; j = 1, 2, , n là các hàm số xác định trên tập S ⊂ Rn, là nửaxác định dương trên S nếu với mỗi x ∈ S, ta có

Định nghĩa 1.13 Hàm số f được gọi là liên tục Lipschitz trên tập K nếutồn tại số L > 0 sao cho

là nửa xác định dương (xác định dương) Khi đó, F là đơn điệu (đơn điệuchặt)

Định lí 1.6 Giả sử F : K −→ Rn là khả vi, liên tục trên tập mở chứa

K, 5F (x) xác định dương mạnh Khi đó F là đơn điệu mạnh

Chương 2

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Trên cơ sở các kiến thức về hàm lồi và tập lồi ta đã tổng hợp ở chương

1, chương này luận văn trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân trongkhông gian hữu hạn chiều Rn, điều kiện khi nào bài toán đó có nghiệm, vànếu có nghiệm thì tập nghiệm của bài toán sẽ có tính chất như thế nào?

Định nghĩa 2.1 Cho K là tập lồi đóng của không gian Rn và ánh xạ

F : K → Rn, bài toán bất đẳng thức biến phân , ký hiệu là VI(K,F) là bàitoán

Tìm vectơ x∗ ∈ K sao cho

hF (x∗), (x − x∗)i > 0, ∀x ∈ K (2.1)

Tập nghiệm của bài toán VI(K,F) được ký hiệu là SOL-VI(K,F)

Với mỗi x0 ∈ K, ta định nghĩa nón pháp tuyến của K tại x0 như sau:

N (x0, K) = {d ∈ Rn : dT(y − x0) ≤ 0, ∀y ∈ K}

Véc tơ d ∈ N (x0, K) được gọi là véc tơ pháp tuyến của K tại x0

Định nghĩa 2.2 Cho K làm một nón lồi đóng và ánh xạ F : K → Rn,bài toán bù phi tuyến, ký hiệu NCP(K,F), là bài toán

Tìm vectơ x∗ ∈ K sao cho

K 3 x∗ ⊥ F (x∗) ∈ K∗ (2.2)

với K∗ là nón đối ngẫu của K, được xác định như sau:

K∗ = {y ∈ Rn|hy, xi ≥ 0, ∀x ∈ K}

Tập nghiệm của bài toán NCP(K,F) được ký hiệu là SOL-NCP(K,F).Trong trường hợp K ≡ Rn+ thì bài toán NCP(K,F) được ký hiệu làNCP(F), tức là:

Định nghĩa 2.3 Cho ánh xạ F : Rn+ → Rn, bài toán NCP(F) bài toán

Tìm vectơ x ∈ Rn sao cho

5f (x∗)T.(x − x∗) > 0, ∀x ∈ K (2.3)Chứng minh Xét hàm số Φ(t) = f (x∗ + t(x − x∗)) với t ∈ [0; 1]

Ta có

Φ0(0) = 5f (x∗)T.(x − x∗)

Do K là tập lồi đóng nên Φ(t) xác định với mọi t ∈ [0; 1] Điều kiện cần

để t∗ ∈ [a; b] là điểm cực tiểu của hàm số ϕ : [a; b] −→ R trên [a; b] là

ϕ0(t∗)(t − t∗) ≥ 0, ∀t ∈ [a; b] Do đó Φ0(0) ≥ 0 thì x∗ là nghiệm của bàitoán (2.3)

Ví dụ 2.2 Một trò chơi có N người chơi

Gọi Ki là tập chiến lược của người chơi thứ i, Ki ⊂ Rn i

θi(x): hàm giá trị, ví dụ là hàm chi phí của người chơi i, với x =(xi), xi ∈ Rni, i = 1, 2 N

Vấn đề của người chơi thứ i được xác định như sau: với mỗi véc tơe

xi = (xj : j 6= i), tìm xi, sao cho hàm chi phí θi(yi,xei) đạt giá trị nhỏnhất theo biến yi Nói một cách khác, xi chính là nghiệm của bài toán:

M inyi ∈K i{θi(yi,xei)}

Giả sử tập nghiệm của bài toán này là Si(xei).

Điểm cân bằng Nash là vectơ x = (xi, i = 1, 2 N ) với xi ∈ S(xei) vớimọi i = 1, 2 N

Định lí 2.1 Cho Ki ⊂ Rn i là tập lồi đóng, giả sử với mỗi điểm cố địnhe

xi hàm θi(yi,xei) là hàm lồi, khả vi, liên tục ứng với biến yi Khi đó x =(xi, i = 1, 2, N ) là điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi x là nghiệm củabài toán VI(K,F) với

Chứng minh Bằng tính chất của hàm lồi và nguyên lí giá trị nhỏ nhất, ta

có, với mỗi điểm x là điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi

(yi − xi)T 5xi θi(x) ≥ 0, ∀yi ∈ Ki, i = 1, 2 N

Do đó, với mỗi x là nghiệm của bài toán cân bằng Nash khi và chỉ khi x

là nghiệm của VI(K,F)

Ngược lại, nếu x = (xi, i = 1, 2, N ) là nghiệm của bài toán VI(K,F)thì

Ví dụ 2.3 Bài toán cân bằng giao thông

Cho một mạng giao thông với tập các điểm nút, ký hiệu là N và tậpcác cung (mỗi cung là một cạnh nối 2 điểm trong tập N) trong mạng, kýhiệu là A Giả sử người tham gia giao thông cố gắng làm cho chi phí trênhành trình của họ là nhỏ nhất, với hàm chi phí trên cung a ∈ A là hàm

phi tuyến ca(f ) của vectơ lưu lượngf với thành phần là fb, với mọi b ∈ A.Giả sử O ⊆ N , D ⊆ N sao cho O ∩ D = ∅ Mỗi phần tử của O gọi

là điểm nguồn, mỗi phần tử của D gọi là điểm đích Mỗi điểm nguồn vàđiểm đích được nối với nhau bởi một tập liên tiếp các cạnh (được gọi làmột tuyến đường) Tập các cặp nguồn - đích là tập W ⊆ O × D

Với mỗi w ∈ W, ta ký hiệu Pw là tập các đường nối nguồn đích củacặp w và đặt P = (Pw) với mọi w ∈ W

Gọi hp là lưu lượng trên đường dẫn p ∈ P và Cp(h) là chi phí trênđường, với h = (hp)

Ký hiệu ∆ là ma trận cung - đường dẫn với các phần tử :

δap =



1 nếu p ∈ P thuộc cung a ∈ A

Giả sử rằng người tham gia giao thông có thể chọn chi phí nhỏ nhấtgiữa mỗi cặp nguồn - đích OD, và tuyến đường mà họ chọn sẽ có chi phítương đương Điều này có thể được viết lại như sau:

0 ≤ Cp(h) − uw ⊥ hp ≥ 0, ∀w ∈ W và p ∈ P (2.6)Hơn nữa, chi phí yêu cầu phải thỏa mãn:

Bài toán cân bằng giao thông tĩnh là bài toán tìm cặp (h, u) lưu lượnggiao thông trên đường và chi phí tối thiểu, gọi là điểm cân bằng giao thông,sao cho các điều kiện (2.6), (2.7), (2.8) được thỏa mãn.

Định lí 2.2 Giả sử hàm chi phí và hàm yêu cầu Cp(h) và dw(u) là không

âm và với mỗi cặp OD w ∈ W, có:

Định lí 2.3 Giả sử hàm chi phí Cp(h) thỏa mãn điều kiện (2.5) và d(u)

là hàm khả nghịch của u với hàm ngược là Φ(u)

Nếu (h, u) là điểm cân bằng giao thông theo mẫu lưu lượng - chi phí thì

(f, d) với f = ∆h và d = d(u) là nghiệm của bài toán VI(K,G) với

G(f, d) ≡ (c(f ), −Φ(d)) Ngược lại nếu (f, d) ∈ SOL − V I(K, G) và hàmngược Φ không âm thì (h, u) với u ≡ Φ(d) và h > 0: f = ∆h và d = Ωh

là điểm cân bằng giao thông

Chứng minh Đặt f = ∆h, d = Ωh, với h > 0 nếu (f, d) ∈ K Ta có bàitoán VI(K,F) tương đương với bài toán NCP(H) với

Hơn nữa, h là nghiệm của bài toán NCP(H)

Vậy suy ra (f, d) ∈ SOL − V I(K, G)

nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân

2.2.1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Định nghĩa 2.4 Cho K là tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn, với mỗivéc tơ x ∈ Rn, tồn tại duy nhất véc tơ x ∈ K˜ gần với x nhất theo chuẩnEuclide k k2 Véc tơ x ∈ K˜ này được gọi là hình chiếu Euclide của x lên

K, kí hiệu là PK(x)

Ánh xạ PK(x) : x 7−→ PK(x) gọi là phép chiếu Euclide lên K

Ta thấy PK(x) là nghiệm duy nhất của bài toán

Khi đó ta thấy PK,A(x) là điểm trong K gần x nhất theo chuẩn - A ở trên.

Từ định nghĩa này ta có một số kết luận chất sau:

Bổ đề 2.1 Với mỗi x ∈ Rn, PK,A(x) là véc tơ duy nhất x ∈ K¯ sao cho:

Chứng minh Giả sử rằngx∗ là nghiệm của bài toán VI(K,F) Ta cóF (x∗)T(x−

x∗) ≥ 0, ∀x ∈ K Nhân 2 về của bất đẳng thức trên với γ rồi cộng với

Chứng minh Theo định lý điểm bất động của Brouwer cho ánh xạ P :

K −→ K với P liên tục thì tồn tại ít nhất x∗ ∈ K sao cho x∗ = P (x∗)

Vì PK và (I − γF ) là các hàm liên tục nên PK(I − γF ) liên tục Do đó

áp dụng Bổ đề trên và định lý điểm dừng Brouwer cho hàm PK(I − γF )

ta có đpcm

Trong trường hợp tập K không giới nội, ta không áp dụng được định líBrouwer, ta đặt

BR(O) là hình cầu đóng tâm O, bán kính R

Điều này có nghĩa là x∗R ∈ SOL − V I(K, F )

Định lí 2.6 Giả sử F (x) thỏa mãn điều kiện bức

Khi đó bài toán VI(K,F) luôn luôn có nghiệm

Chứng minh Chon H > |F (x0)| và R > |x0| sao cho

hF (x) − F (x0), x − x0i ≥ H|(x − x0)|, ∀|x| > R, x ∈ K

Điều này trái với định nghĩa về hàm đơn điệu chặt Do đó x1 ≡ x∗.

Định lí 2.8 Nếu F là hàm đơn điệu mạnh thì bài toán VI(K,F) tồn tạiđúng một nghiệm x∗

2.2.2 Tính chất nghiệm của bài toán

Định lí 2.10 Nếu K là một nón lồi đóng trong Rn thì

SOL − V I(K, F ) ≡ SOL − N CP (K, F )

Chứng minh (⇒)SOL − V I(K, F ) ⊂ SOL − N CP (K, F ) :

Lấy bất kỳ x∗ ∈ SOL − V I(K, F )

Hiển nhiên x∗ ∈ K, lấyx = 0 thuộc nón K, thay vào bất đẳng thức (2.1)

Mặt khác, ta có

hF (x∗), (x − x∗)i = hF (x∗), xi − hF (x∗), x∗i = hF (x∗), xi

=⇒ F (x∗) ∈ K∗

Từ ba điều trên ta có x∗ ∈ SOL − N CP (K, F )

(⇐=)SOL − N CP (K, F ) ⊂ SOL − V I(K, F ) :

Lấy bất kỳ x∗ ∈ SOL − N CP (K, F ) Khi đó

Chứng minh Lấy x∗ ∈ SOL − V I(K, F ), theo định lý 2.9 x∗ = PK(x∗ −

F (x∗)) = PK(y) với y = x∗ − F (x∗)

Khi đó

FKnor(y) = F (PK(y)) + y − PK(y) = F (x∗) + x∗ − F (x∗) − x∗ = 0

Ngược lại, nếu x∗ = PK(y) và FKnor(y) = 0

hay x∗ = PK(y) và F (PK(y)) + y − PK(y) = 0

nên y = x∗ − F (x∗) và x∗ = PK(x∗ − F (x∗))

Theo định lý (2.9) thì x∗ ∈ SOL − V I(K, F )

Định lí 2.13 {Điều kiện Karush - Kuhn - Tucker cho bài toánVI(K,F)}: Cho K = {x ∈ Rn : g(x) ≤ 0, h(x) = 0} với các hàm gi, hj

liên tục, có đạo hàm bậc nhất Cho F : K −→ Rn là ánh xạ Khi đó, tacó:

(i) Cho x∗ ∈ SOL − V I(K, F ) Và giả sử điều kiện chính quy Abadieđúng tại x∗, thì tồn tại vectơ µ ∈ Rk và λ ∈ Rk sao cho

(ii) Ngược lại, nếu mỗi hàm hj là Affine, mỗi hàm gi là lồi và (x∗, µ, λ)

thỏa mãn hệ điều kiện trên thì x∗ là nghiệm của bài toán V I(K, F )

Chứng minh Để chứng minh (i), ta chú ý rằng nếu x ∈ SOL − V I(K, F )

thì x là nghiệm của bài toán

M in yTF (x), y ∈ K

Hệ trên là hệ KKT của bài toán bù, do đó, (i) đúng

Ngược lại, nếu gi, hj là các hàm affin và lồi, thì bài toán

M in yTF (x), y ∈ K

là bài toán lồi theo biến y Vì thế mọi điểm KKT của bài toán đều là cựctiểu toàn cục (có thể không duy nhất) Do đó, x là nghiệm của bài toánVI(K,F).

Chương 3

Một số hàm đánh giá cơ bản

Trong chương 2 trên, ta đã trình bày định nghĩa về bất đẳng thức biếnphân và các tính chất về tập nghiệm của bài toán Vấn đề đặt ra là, nếu bàitoán bất đẳng thức biến phân VI(K,F) có nghiệm thì việc tìm nghiệm củabài toán VI(K,F) như thế nào? Chương 3 này trình bày một vài phươngpháp giải bài toán VI(K,F) dùng hàm đánh giá và dùng phương pháp lặp

3.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 3.1 Hàm đánh giá của bài toán VI(K,F) trên một tập K làhàm không âm θ : K −→ R+ thỏa mãn x∗ ∈ SOL − V I(K, F ) khi và chỉkhi x∗ ∈ K và θ(x∗) = 0

Theo định nghĩa ta thấy tập nghiệm của bài toán VI(K,F) trùng vớitập nghiệm của bài toán tối ưu:



M in θ(y), y ∈ K

Qua đây, ta thấy, việc đi giải bài toán bất đẳng thức biến phân VI(K,F)

có thể thay thế bằng cách giải bài toán tối ưu (3.1) với θ là một hàm đánhgiá

Sau đây, ta trình bày một vài hàm đánh giá và ứng dụng vào việc giảibài toán VI(K,F)

Trước tiên, ta nhắc lại khái niệm điểm dừng Một điểm x∗ được gọi là