phương pháp xấp xỉ trong để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu

Mở đầuBài toán bất đẳng thức biến phân là một công cụ rất hữu hiệu để nghiên cứu và giảicác bài toán ứng dụng như các bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, vận tải, líthuyết trò ch

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TS PHẠM NGỌC ANH

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

Mục lục

1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 3

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản 3

1.1.1 Tập lồi và hàm lồi 3

1.1.2 Dưới vi phân 5

1.2 Ánh xạ đa trị 7

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 12

1.3.1 Bất đẳng thức biến phân đa trị và các bài toán liên quan 12

1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán (M V I) 18

2 Phương pháp xấp xỉ trong với điều kiện Lipschitz 20 2.1 Phương pháp hàm phạt điểm trong [1] 20

2.2 Thuật toán xấp xỉ trong và sự hội tụ 23

3 Phương pháp xấp xỉ trong không Lipschitz 33 3.1 Thuật toán và sự hội tụ 33

3.2 Một số kết quả tính toán cụ thể 39

4 Thuật toán kiểu điểm gần kề cho bài toán (M V I) 41 4.1 Thuật toán kiểu điểm gần kề 41

4.1.1 Sơ bộ về phương pháp kiểu điểm gần kề 41

4.1.2 Thuật toán điểm gần kề 43

4.2 Thuật toán mới và sự hội tụ 45

4.2.1 Thuật toán 45

4.2.2 Sự hội tụ của thuật toán 47

4.3 Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I) 51

Danh mục các công trình có liên quan đến luận văn 56 Tài liệu tham khảo 57

Lời cảm ơn

Trong suốt quá trình làm luận văn này, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và chỉbảo tận tình của thầy giáo TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễnthông) Thầy luôn động viên và hướng dẫn tận tình cho tôi trong thời gian học tập,nghiên cứu và làm luận văn Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.Xin cảm ơn Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Thái Nguyên

đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa cao học này

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy, cô thuộc Bộ môn Toán - Tin, Phòng Đào tạo và Quan

hệ Quốc tế và các thầy cô trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên,cùng các thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp cao học khóa 2 (2008 - 2010) đã mang đếncho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống

Xin cảm ơn các bạn học viên cao học toán khóa 2 đã tạo điều kiện thuận lợi, độngviên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và rèn luyện tại trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót vàhạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô và bạn đọc

để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 9-2010Người viết luận văn

Dương Thị Bình

Mở đầu

Bài toán bất đẳng thức biến phân là một công cụ rất hữu hiệu để nghiên cứu và giảicác bài toán ứng dụng như các bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, vận tải, líthuyết trò chơi, bài toán cân bằng mạng, · · ·

Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu bởi Hartman và Stampacchia vàonăm 1966 Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quan tới việc giải các bàitoán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng.Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều và các ứng dụngcủa nó được giới thiệu trong cuốn sách "An introduction to variational inequalitiesand their application" của D.Kinderlehrer và G Stampacchia xuất bản năm 1980 [8]

và trong cuốn sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to freeboundary problem" của Baiocci và Capelo xuất bản năm 1984

Từ đó, bài toán bất đẳng thức biến phân đã có những bước phát triển rất mạnh vàthu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu Một trong các hướng nghiên cứuquan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương phápgiải Thực tế cho thấy việc giải trực tiếp để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thứcbiến phân là khó khăn và không phải trường hợp nào cũng thực hiện được Vì vậy cácnhà toán học đã nghiên cứu và xây dựng nhiều thuật toán vô hạn để tìm nghiệm củabài toán này, tuy nhiên việc tìm ra nghiệm chính xác là khó thực hiện được Do đóngười ta thường phải lấy nghiệm xấp xỉ với độ chính xác nào đó

Những năm gần đây việc nghiên cứu giải tích đa trị cũng phát triển mạnh, điềunày giúp cho các nhà toán học có cái nhìn rộng hơn về lớp các bài toán tối ưu, trong

đó có bài toán bất đẳng thức biến phân Vì vậy việc nghiên cứu bất đẳng thức biếnphân đa trị cũng có những bước phát triển mới Nhiều phương pháp đã được đề xuất

để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị như: Phương pháp

chiếu tổng quát, phương pháp siêu phẳng cắt, · · ·

Luận văn này trình bày phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán bất đẳng thức biếnphân đa trị giả đơn điệu được viết trong bài báo của Phạm Ngọc Anh " An interiorproximal method for solving pseudomonotone nonlipschitzian multivalued variationalinequalities, Nonlinear Analysis Forum 14, (2009), 27-42." [4] và một kết quả mới vềthuật toán điểm gần kề mở rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị [6]Ngoài lời nói đầu và phần tài liệu tham khảo, luận văn gồm 4 chương Chương 1nhắc lại các kiến thức cơ bản của giải tích lồi, ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz và ánh

xạ đa trị đơn điệu Phần tiếp theo, phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị,các bài toán liên quan và một số ví dụ thực tế, đồng thời trình bày điều kiện có nghiệmcủa bài toán này Chương 2 gồm hai phần chính: Phần thứ nhất giới thiệu về phươngpháp hàm phạt điểm trong; Phần thứ hai trình bày thuật toán xấp xỉ trong giải bàitoán (M V I) giả đơn điệu Lipschitz và chứng minh sự hội tụ của thuật toán Chương

3 đề xuất thuật toán giải bài toán (M V I) không có điều kiện Lipschitz Chương nàyđưa ra thuật toán xấp xỉ, trong đó có sự kết hợp hàm logarit toàn phương với kĩ thuậtđường tìm kiếm Cuối chương trình bày một số kết quả tính toán cụ thể minh họa chothuật toán ở chương 2 và chương 3 Chương 4 trình bày phương pháp mới để giải bàitoán (M V I) và các kết quả tính toán để minh họa thuật toán đã đề xuất

Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biến phân

đa trị

Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Euclid n chiều Rn Mỗiphần tử x = (x1, x2, · · · , xn)T ∈ Rn là một véc tơ cột của Rn Với hai véc tơ bất kì

được gọi là tích vô hướng của hai véc tơ x, y

Chuẩn Euclid (hay độ dài) của véc tơ x ∈ Rn, kí hiệu ||x|| được xác định bởi

Định nghĩa 1.3 [10] Một tập C ⊆ Rn được gọi là nón nếu

∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C

Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi Như vậy, một tập lồi C

là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:

(a) λC ⊆ C, ∀λ > 0

(b) C + C ⊆ C

Tập C ⊆ Rn dưới đây luôn giả thiết là một tập lồi (nếu không giải thích gì thêm).Định nghĩa 1.4 Cho x ∈ C, nón pháp tuyến ngoài của C tại x, kí hiệu là NC(x),được xác định bởi công thức

(iii) lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta có

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β||x − y||2

Định lí 1.1 [2] (i) Cho hàm f lồi, khả vi trên tập lồi C Khi đó, với mọi x, y ∈ C, tacó

Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0) 6= ∅

Ví dụ 1.1 Cho C là một tập lồi, khác rỗng của không gian Rn Xét hàm chỉ trên tậpC

Ví dụ 1.2 (Hàm lồi thuần nhất dương) [10]

Cho f : Rn → R là hàm lồi thuần nhất dương, tức là: Một hàm lồi f : Rn → Rthỏa mãn

f (λx) = λf (x), ∀λ > 0, ∀x ∈ Rn.Khi đó

∂f (x0) = {w ∈ Rn|hw, x0i = f (x0), hw, xi ≤ f (x), ∀x ∈ C}

Chứng minh Nếu w ∈ ∂f (x0) thì

hw, x − x0i ≤ f (x) − f (x0), ∀x ∈ C (1.1)Thay x = 2x0 vào (1.1), ta có

hw, x0i ≤ f (2x0) − f (x0) = f (x0) (1.2)Còn nếu thay x = 0 vào (1.1), ta được

−hw, x0i ≤ −f (x0) (1.3)Kết hợp (1.2) và (1.3), suy ra

hw, x − x0i = hw, xi − hw, x0i

≤ f (x) − f (x0), ∀x ∈ C

Vậy nên w ∈ ∂f (x0) 2Nếu hàm f là hàm lồi thuần nhất dương thỏa mãn: f (−x) = f (x) ≥ 0, ∀x ∈ C thì

hw, xi ≤ f (x), ∀x ∈ Ctương đương với

Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị và đưa ramột số ví dụ minh họa

Định nghĩa 1.8 [3] Cho X, Y là hai tập con bất kì của Rn và F : X → 2Y là ánh xạ

từ X vào tập hợp toàn bộ các tập con của Y Khi đó ta nói F là ánh xạ đa trị từ Xvào Y , tức là, với mỗi x ∈ X, F (x) là tập con của Y (F (x) có thể là tập rỗng).Nếu với mọi x ∈ X, tập F (x) chỉ có đúng một phần tử thì ta nói F là ánh xạ đơn trị

từ X vào Y

Ví dụ 1.3 Cho X ⊆ R2, X = {(x, 0)| x ∈ R} Xét ánh xạ F : X → 2R2 thỏa mãn

F (x, 0) :=

({(x, y) ∈ R2| y = |x|1 } nếu x 6= 0,{0} × (0, +∞) nếu x = 0

là một ánh xạ đa trị từ X vào R2

Với ánh xạ đa trị F : X → Y , ta xác định đồ thị và miền hữu hiệu của ánh xạ Ftương ứng bằng các công thức

graphF : = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)},domF : = {x ∈ X| F (x) 6= ∅}

Ta biết rằng, ánh xạ liên tục Lipschitz là một khái niệm có vai trò quan trọng tronggiải tích toán học Trong mục này ta sẽ định nghĩa liên tục Lipschitz của một ánh xạ

đa trị dựa trên khoảng cách Hausdorff như sau:

Định nghĩa 1.9 (Khoảng cách Hausdorff)

Với A, B là hai tập con đóng và khác rỗng bất kì của Rn, khoảng cách Hausdorffgiữa hai tập A và B được xác định bởi

ρ(A, B) := max{d(A, B), d(B, A)},trong đó

Định nghĩa 1.10 (Ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz)

Cho C ⊆ Rn Ánh xạ đa trị F : C → 2Rn được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số

L > 0 (viết tắt là L-Lipschitz) trên C, nếu

= max

(x 1 ,y 1 )∈F (x 1 ,0)|x1− x2|

= |x1− x2|

= ||(x1, 0) − (x2, 0)||

≤ max

(x 2 ,y 1 )∈F (x 1 ,0)

√5|x1− x2|

=√5|x1− x2|

=√5||(x1, 0) − (x2, 0)||

Do đó

ρ(F (x1, 0), F (x2, 0)) ≤√

5||(x1, 0) − (x2, 0)||, ∀(x1, 0), (x2, 0) ∈ Chay F là ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz, với hằng số L =√

Định nghĩa 1.11 [3] Ánh xạ đa trị F : C → 2Rn, được gọi là:

(i) Nửa liên tục trên tại ¯x ∈ domF nếu với mọi tập mở V chứa F (¯x), tồn tại lân cận

mở U của ¯x sao cho

F (x) ⊆ V, ∀x ∈ U(ii) Nửa liên tục dưới tại ¯x ∈ domF nếu với mọi tập mở V thỏa mãn F (¯x) ∩ V 6= ∅,tồn tại lân cận mở U của ¯x sao cho

Ví dụ 1.5 Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R thỏa mãn:

Khi đó, ánh xạ F là nửa liên tục trên trên R

Chứng minh Dễ thấy ánh xạ F nửa liên tục trên tại mọi điểm x 6= 0 Hơn nữa, Fnửa liên tục trên tại ¯x = 0, vì với mọi tập mở (a, b) ⊃ [−1, 1] = F (0), tồn tại lân cậncủa 0, chẳng hạn (−1, 1), ta có

{1} nếu 0 < x < 1

Do đó F (x) ⊆ (a, b) với mọi x ∈ (−1, 1)

Vậy F là ánh xạ nửa liên tục trên trên R 2

Ví dụ 1.6 Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R thỏa mãn

F (x) =[0, 1] nếu x 6= 0,

{0} nếu x = 0Khi đó F nửa liên tục dưới tại ¯x = 0

Thật vậy: Với mọi tập mở (a, b) thỏa mãn

(a, b) ∩ F (0) = {0} 6= ∅,tồn tại lân cận của 0, chẳng hạn U = (−12,12) Ta có

F (x) =[0, 1] nếu x 6∈ (−1

2,12)\{0},{0} nếu x = 0

C, nếu nó đóng tại mọi điểm thuộc C

F được gọi là ánh xạ giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi với mọi x ∈domF

Mệnh đề dưới đây cho ta mối quan hệ giữa tính nửa liên tục trên và ánh xạ đóng.Mệnh đề 1.1 Giả sử F : C → 2Rn là ánh xạ đa trị, U là tập con lồi của C

(i) Nếu F là nửa liên tục trên trên U và có giá trị đóng, thì nó đóng trên U

(ii) Nếu F đóng và với mỗi tập compact X ⊆ U , tập F (X) là compact thì F là nửaliên tục trên trên U

Định nghĩa 1.13 [9] Với C ⊆ Rn, ánh xạ đa trị F : C → 2Rn, được gọi là:

(i) đơn điệu mạnh trên C với hằng số β > 0, nếu

Ví dụ 1.8 (Tính đơn điệu của dưới vi phân của hàm lồi)

Với bất kì hàm lồi, chính thường f : Rn → ¯R, ánh xạ ∂f : Rn → 2Rn là đơn điệutrên dom(∂f )

Chứng minh Giả sử f là hàm lồi, với mọi x, x0 ∈ dom(∂f ), w ∈ ∂f (x) và w0 ∈ ∂f (x0),

ta có

hw0, x − x0i ≤ f (x) − f (x0)

hw, x0− xi ≤ f (x0) − f (x)

với các giá trị f (x) và f (x0) hữu hạn Cộng hai bất đẳng thức trên ta được

hw0, x − x0i + hw, x0 − xi ≤ 0hay hw − w0, x − x0i ≥ 0, ∀x, x0 ∈ dom(∂f ), w ∈ ∂f (x), w0 ∈ ∂f (x0)

Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn và F : C → 2Rn là một ánh xạ đatrị Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị được phát biểu như sau:

(M V I)Tìm x∗ ∈ C và w∗∈ F (x∗) sao cho

hw∗, x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

F được gọi là ánh xạ giá của bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I)

Khi F là ánh xạ đơn trị thì bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng (viết tắt(V I))

Tìm x∗∈ C sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

Bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I) có quan hệ mật thiết với nhiều bài toánkhác của giải tích, như là: Bài toán bù phi tuyến, bài toán điểm bất động và bài toánquy hoạch lồi, · · ·

Bài toán điểm bất động Kakutani

Cho C là tập lồi, đóng tùy ý trong Rn và T là ánh xạ đa trị từ C vào chính nó Bàitoán điểm bất động của ánh xạ đa trị T được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ ∈ T (x∗) (1.4)Đặc biệt, nếu T là ánh xạ đơn trị thì bài toán điểm bất động Kakutani trở thànhbài toán điểm bất động Brower có dạng:

Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ = T (x∗)

Mệnh đề sau cho ta thấy mối liên hệ giữa bài toán (M V I) với bài toán điểm bấtđộng (1.4)

Mệnh đề 1.2 Nếu ánh xạ F được xác định bởi

F (x) := x − T (x), ∀x ∈ Cthì bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (M V I) xảy ra đồng thời với bài toán điểmbất động (1.4)

Chứng minh Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán (M V I) và F (x) = x − T (x), tức là

Chiều ngược lại hiển nhiên đúng 2

Bài toán bù phi tuyến

Chú ý rằng khi C là một nón lồi trong Rn thì bài toán (M V I) trở thành bài toánbù:

Tìm x∗ ∈ C, w∗∈ F (x∗), w∗ ∈ C0 sao cho hw∗, x∗i = 0, (CP )trong đó

C0 := {y ∈ Rn | hx, yi ≥ 0, ∀x ∈ C}

là nón đối ngẫu của C Khi đó, ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.3 Nếu C là một nón lồi, đóng trong Rn thì bài toán bù (CP ) tương đươngvới bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I)

Chứng minh Nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I) và

w∗∈ F (x∗) thì

hw∗, x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C (1.5)

Do C là nón lồi, x∗ ∈ C nên

x∗+ x ∈ C, ∀x ∈ CTrong bất đẳng thức trên ta thay x bởi x∗+ x, ta được

hw∗, x∗+ x − x∗i = hw∗, xi ≥ 0, ∀x ∈ C

Suy ra w∗ thuộc nón đối ngẫu C0

Còn nếu thay x = 0 vào (1.5), ta được

hw∗, x∗i ≤ 0Suy ra hw∗, x∗i = 0, hay x∗ ∈ C, w∗∈ F (x∗), w∗ ∈ C0 là nghiệm của bài toán bù CP )Ngược lại, nếu x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán bù thì

Mệnh đề 1.4 Giả sử f : C → R là hàm khả vi, lồi trên tập lồi C ⊂ Rn Khi đó,

x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.6) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳngthức biến phân (V I), với F (x) := ∇f (x)

Chứng minh Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán (1.6), tức là:

f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ C

Để chứng minh x∗ là nghiệm của bài toán (V I), ta giả sử ngược lại rằng:

Ngược lại, nếu x∗ là nghiệm của bài toán V I), tức là:

h∇f (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

Do f là hàm lồi, khả vi nên

f (x) − f (x∗) ≥ h∇f (x∗), x − x∗i, ∀x ∈ CSuy ra

f (x) ≥ f (x∗), ∀x ∈ C

hay x∗ là nghiệm của bài toán (1.6) 2Trong trường hợp f là hàm không khả vi thì ta có cách tiếp cận dựa trên mệnh đềsau:

Mệnh đề 1.5 Cho f : C → R là hàm lồi, khả dưới vi phân trên C Khi đó, x∗ lànghiệm của bài toán (1.6) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân (M V I), với F (x) := ∂f (x)

Chứng minh Giả sử x∗ ∈ C và w∗ ∈ ∂f (x∗) thỏa mãn

hw∗, x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

Vì w∗∈ ∂f (x∗) nên

hw∗, x − x∗i ≤ f (x) − f (x∗), ∀x ∈ C

Từ đó suy ra

f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ C

hay x∗ là nghiệm của bài toán (1.6)

Ngược lại hiển nhiên đúng 2Dưới đây ta xét hai ví dụ thực tế của bài toán bất đẳng thức biến phân

Ví dụ 1.9 Bài toán cân bằng mạng giao thông

Xét một mạng giao thông được cho bởi một mạng luồng hữu hạn Gọi •N : tập hợpcác nút mạng

•A: là tập hợp các cạnh (mỗi cạnh được gọi là một đoạn thẳng)

Giả sử O ⊆ N , D ⊆ N sao cho O ∩ D = ∅ Mỗi phần tử của O được gọi là điểmnguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích Mỗi điểm nguồn và điểm đíchđược nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp các cạnh (được gọi là một tuyến đường)

•λiw là mức độ chi phí trên tuyến đường w của phương tiện giao thông i

•xiw là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈ O × D

Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thỏa mãn

nối điểm nguồn và điểm đích của tuyến đường đó Khi đó ta có

fai = X

p∈P w

xipδap ∀i ∈ I, w ∈ O × D, (1.8)trong đó

δap :=1 nếu a ∈ p

0 nếu a /∈ pVới mỗi tuyến đường p nối một điểm nguồn và một điểm đích, đặt

fai (i ∈ I, a ∈ O × D) Một cặp (d∗, f∗) thỏa mãn các điều kiện (1.7) và (1.8) được gọi

là điểm cân bằng mạng giao thông nếu

cip(f∗)= λi

w(d∗) khi xip > 0,

> λiw(d∗) khi xip = 0,với mỗi i ∈ I và mỗi tuyến đường p Theo định nghĩa này, tại điểm cân bằng đối vớimọi loại phương tiện giao thông và mọi tuyến đường, chi phí sẽ thấp nhất khi có lưulượng giao thông trên tuyến đó Trái lại, chi phí sẽ không phải thấp nhất Đặt

Ví dụ 1.10 Bài toán kinh tế bán độc quyền

Giả sử có n công ty cùng sản xuất một loại sản phẩm và lợi nhuận pi của mỗi công

ty i phụ thuộc vào tổng số lượng sản phẩm của tất cả các công ty σ := Pn

i=1xi Kíhiệu hi(xi) là chi phí của công ty i khi sản xuất ra lượng hàng hóa xi Giả sử lợi nhuậncủa công ty i được cho bởi

trong đó p(Pn

j=1xj) là giá của một đơn vị sản phẩm, phụ thuộc vào tổng sản phẩm,còn hàm chi phí của một công ty i chỉ phụ thuộc vào mức độ sản xuất của công ty đó.Đặt Ui ⊂ R, (i = 1, · · · , n) là tập chiến lược của công ty i Lẽ dĩ nhiên, mỗi công

ty cần xác định cho mình một mức độ sản xuất để đạt được lợi nhuận cao nhất Tuynhiên, trong trường hợp tổng quát, việc tất cả các công ty đều có lợi nhuận cực đại làkhó có thể được Vì vậy người ta dùng đến khái niệm cân bằng:

Một điểm x∗ = (x∗1, · · · , x∗n) ∈ U := U1× · · · × Un được gọi là điểm cân bằng Nashnếu

fi(x∗1, · · · , x∗i−1, yi, x∗i+1, · · · , x∗n) 6 fi(x∗1, · · · , x∗n), ∀yi∈ Ui, ∀i = 1, · · · , n.Trong mô hình cân bằng Cournot cổ điển, hàm chi phí và hàm lợi nhuận của mỗicông ty là affine có dạng

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (M V I) phụ thuộc vào hàm giá F và miền ràngbuộc C Định lí sau đây khẳng định sự tồn tại nghiệm của bài toán (M V I)

Định lí 1.4 [9] Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của không gian Rn và F : C →

2Rn là ánh xạ nửa liên tục trên, F (x) là tập lồi, compact với mỗi x ∈ C Giả sử rằngmột trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) C là tập bị chặn.

(ii) Tồn tại một tập con U khác rỗng và bị chặn của C sao cho với mọi x ∈ C\U , tồntại y ∈ U thỏa mãn

hw, x − yi > 0, ∀w ∈ F (x)

Khi đó, bài toán (M V I) có nghiệm

Mệnh đề sau chỉ ra tính chất nghiệm của bài toán (M V I)

Mệnh đề 1.6 [9] Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của không gian Rn và

F : C → 2Rn là ánh xạ đa trị Khi đó:

(i) Nếu F đơn điệu ngặt trên C thì bài toán (M V I) có nhiều nhất một nghiệm.(ii) Nếu F là đơn điệu mạnh, nửa liên tục trên và F (x) lồi, compact, khác rỗng vớimọi x ∈ C, thì bài toán (M V I) có duy nhất nghiệm

Kết luận chươngTrong chương này, ta nhắc lại các kết quả quan trọng của giải tích lồi, mối quan hệgiữa bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị với các mô hình toán học khác, các kháiniệm về ánh xạ đa trị đơn điệu mạnh, đơn điệu, giả đơn điệu, đơn điệu ngặt và cácđiều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (M V I) Chương này cũng trình bày một cáchchi tiết các ví dụ minh họa cho một vài tính chất đơn điệu, Lipschitz theo khoảng cáchHausdorff của ánh xạ đa trị

Trước hết ta nhắc lại nội dung phương pháp điểm trong giải bài toán tối ưu sau:

min{f (x)|x ∈ D} (P )trong đó D được xác định như sau:

D := {x ∈ Rn|gi(x) ≤ 0, i = 1, 2, , m},

f và gi : Rn → R, i = 1, 2, , m là các hàm liên tục, gi(x) ≤ 0, i = 1, 2, , m đượcgọi là các ràng buộc và D được gọi là miền chấp nhận được của bài toán Ở đây ta luôngiả thiết rằng D là tập compact

Đối với các bài toán tối ưu không có ràng buộc thường dễ xử lí hơn các bài toán córàng buộc Chẳng hạn như phương pháp hướng có thể cho bài toán không có ràng buộc,

ta chỉ cần tìm hướng tụt mà không cần quan tâm đến tính chấp nhận được, vì trongtrường hợp này mọi hướng đều chấp nhận được Từ đó nảy sinh ý tưởng là chuyển bài

toán có ràng buộc về các bài toán không có ràng buộc Kỹ thuật cơ bản để thực hiện

ý tưởng này là hàm xấp xỉ Điều này đặt ra hai vấn đề cần giải quyết là xây dựng hàmxấp xỉ và bài toán phụ sao cho có thể xấp xỉ lời giải của bài toán ban đầu từ lời giảicủa các bài toán phụ Có hai loại hàm xấp xỉ cơ bản là hàm xấp xỉ trong và hàm xấp

xỉ ngoài

Hàm xấp xỉ trong thường dùng khi biết trước một điểm x0 ∈ intD Người ta xâpdựng một hàm xấp xỉ trong sao cho nó hữu hạn trong miền intD, nhưng trên biên của

D nó sẽ là +∞ Cụ thể, ta giả thiết hàm ϕ thỏa mãn các tính chất sau:

(a) ϕ liên tục trên tập

Rõ ràng khi x ∈ D và gi(x) → 0 với một i nào đó thì ϕ(x) → +∞

Cho s(t) là hàm số một biến thỏa mãn các tính chất:

(i) s(t) > 0, ∀t > 0,

(ii) s(t) liên tục trên (0, +∞) và s(t) → 0 khi t → +∞,

(iii) s(t) đơn điệu giảm trên khoảng (0, +∞), nghĩa là s(t1) > s(t2), với mọi 0 < t1<

t2

Ví dụ 2.1 Ta có thể lấy hàm s(t) = 1t hoặc s(t) = t12

Đặt

F (x, t) := f (x) + s(t)ϕ(x),với miền xác định là

C := {(x, t)| x ∈ intD, t > 0}

Xét bài toán phụ:

min

x {F (x, t) : x ∈ C} (Pt)Giả sử bài toán (Pt) có nghiệm x(t) Khi đó x(t) là một hàm số xác định trên(0, +∞) Tính đơn điệu của hàm f (x) và hàm ϕ(x) được cho bởi mệnh đề sau

Mệnh đề 2.1 Giả sử các điều kiện (a), (b) và (i), (ii), (iii) thỏa mãn và bài toán (Pt)

có nghiệm với mọi t > 0 Khi đó, nếu 0 < t1< t2 và xi là nghiệm của (Pti) (i = 1, 2)thì

Chứng minh Theo mệnh đề 2.1, dãy {f (xk)} đơn điệu giảm Do đó dãy này hội tụ Taxét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Giả sử rằng bài toán có một lời giải x∗ ∈ D0 Do {xk} là nghiệmcủa bài toán (Ptk) nên

f (xk) + s(tk)p(xk) ≤ f (x∗) + s(tk)ϕ(x∗) (2.3)

Do D compact, ta có thể giả sử rằng, nếu cần qua dãy con, dãy {xk} hội tụ đến u∗nào đó.

+) Nếu u∗ ∈ D0 thì qua giới hạn, chú ý rằng s(tk) → 0 và ϕ(x∗), ϕ(u∗) hữu hạn,nên qua giới hạn trong (2.3), ta có ngay f (u∗) ≤ f (x∗) Vậy u∗ là nghiệm của (P ) Dotính đơn điệu nên ta suy ra toàn bộ dãy {f (xk)} hội tụ đến giá trị tối ưu f∗

+) Nếu u∗ 6∈ D0 thì theo (b), tồn tại một chỉ số K1 sao cho s(tk)ϕ(xk) ≥ 0 với mọi

k ≥ K1 Khi đó, từ (P ) ta có f (xk) ≤ f (x∗) + s(tk)ϕ(x∗) với mọi k ≥ K1 Qua giớihạn ta được

Trong chương này, ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I) trên tập lồi đadiện C trong Rn, được xác định bởi

C := {x ∈ Rn | Ax ≤ b},trong đó A là ma trận cỡ p × n, b ∈ Rp, p ≥ n Giả sử A là ma trận có hạng cực đại,tức là, rankA = n và intC := {x | Ax < b} khác rỗng

Như ta đã biết, bài toán bất đẳng thức biến phân (V I) được định nghĩa trong chương

1 có thể được xem như là việc đi tìm không điểm của toán tử T (x) = F (x) + NC(x),trong đó NC(x) là nón pháp tuyến ngoài của C tại x

Phương pháp cổ điển để giải bài toán này là thuật toán xấp xỉ, thuật toán này xuấtphát từ điểm tùy ý x0 ∈ C và λk ≥ λ > 0, bước lặp tiếp theo xk+1 là nghiệm của bàitoán

0 ∈ λkT (x) + ∇xh(x, xk),trong đó

h(x, xk) = 1

2||x − xk||2.Gần đây, Auslender và các cộng sự đã đề xuất một phương pháp mới để giải bài toán(V I) trên C := Rn+ mà trên đó người ta thay thế hàm h(x, xk) bằng hàm dφ(x, xk),được định nghĩa là

φ(t) =

ν

2(t − 1)2+ µ(t − logt − 1) nếu t > 0,+∞ nếu t ≤ 0,với ν > µ > 0

Áp dụng ý tưởng này vào bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I), Phạm NgọcAnh đã đề xuất hàm [4]

Kí hiệu ai là các véc tơ dòng của ma trận A và ta định nghĩa các đại lượng dướiđây:

li(x) = bi− hai, xi,l(x) = (l1(x), l2(x), · · · , lp(x)),D(x, y) = d(l(x), l(y))

Với mỗi x > 0, ta có 1 − 1x ≤ logx ≤ x − 1 Vì x ∈ C nên li(x) > 0, ∀i = 1, · · · , p Khi

đó ta có thể chứng minh được rằng D(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C

Kí hiệu ∇1D(x, y) là gradient của D(., y) tại x với mọi y ∈ C Dễ thấy rằng

∇1D(x, y) = −AT l(x) − l(y) + µXylogl(x)

l(y)
, (2.5)

trong đó Xy = diag l1(y), · · · , lp(y)
và logl(x)l(y) = logl1 (x)

l 1 (y), · · · ,loglp (x)

l p (y)

Mệnh đề 2.2 Cho A là ma trận cỡ p×n, b ∈ Rp, p ≥ n, rankA = n, C := {x | Ax ≤ b}

và F : C → 2Rn là L-Lipschitz trên C Khi đó, ta có

ρ(F (x), F (y)) ≤ ¯L||A(x − y)||, ∀x, y ∈ Ctrong đó ¯A := (ai,j)n×n là ma trận con của A thỏa mãn rank ¯A = n và

|| ¯A−1|| = sup

||x||=1

|| ¯A−1(x)||

và ¯L = L|| ¯A−1||

Chứng minh Từ giả thiết L-Lipschitz của hàm F

ρ(F (x), F (y)) ≤ L||A(x − y)||, ∀x, y ∈ Cvà

||x − y|| = || ¯A−1( ¯A(x − y))|| ≤ || ¯A−1||.||( ¯A(x − y))||, ∀x, y ∈ C

Suy ra

ρ(F (x), F (y)) ≤ L|| ¯A||.||A(x − y)||, ∀x, y ∈ C

2Thuật toán 2.1

Bước 0 Cho x0∈ C, k := 0, w0 ∈ F (x0), một dãy số dương {ck} thỏa mãn ck → c > 0khi k → +∞

Bước 1 Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh

min{hwk, y − xki + 1

ckD(y, xk) | y ∈ C} (2.6)thu được nghiệm duy nhất yk

Nếu yk = xk thì dừng thuật toán

Ngược lại, chuyển sang bước 2

Bước 2 Chọn ¯wk ∈ F (yk) sao cho

||wk− ¯wk|| ≤ ρ(F (xk), F (yk)),

và tìm xk+1 là nghiệm duy nhất của bài toán sau

min{h ¯wk, y − yki + 1

ckD(y, xk) | y ∈ C}

Bước 3 Đặt k := k + 1 và trở lại bước 1

Các bổ đề sau đây khẳng định tiêu chuẩn dừng của thuật toán

Bổ đề 2.1 Nếu yk = xk thì xk là nghiệm của bài toán (M V I)

Chứng minh Vì yk là nghiệm của bài toán (2.6), từ một kết quả tối ưu trong quyhoạch lồi, ta có

∇1D(xk, xk) = 0

Do đó

hwk, y − xki ≥ 0, ∀y ∈ C

Điều này nghĩa là xk là nghiệm của bài toán (M V I) 2

Để chứng minh sự hội tụ của thuật toán 2.1, ta sẽ chứng minh một số tính chấtquan trọng của dãy {xk}k≥0 được sinh bởi thuật toán như sau:

Bổ đề 2.2 Giả sử rằng F : C → R ∪ {+∞} là hàm giả đơn điệu và L−Lipschitz trên

C Khi đó, nếu thuật toán không dừng thì ta có đánh giá sau:

Chứng minh Vì yk là nghiệm duy nhất của bài toán (2.6) nên

0 = wk+ 1

ck∇1D(yk, xk) (2.8)

Chú ý rằng, x∗ là nghiệm của bài toán (M V I), tức là

hw∗, x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C,nên

hw∗, xk− x∗i ≥ 0

Từ tính giả đơn điệu của hàm F suy ra

hwk, xk − x∗i ≥ 0 (2.9)Kết hợp (2.8) và (2.9) ta được

1

ckh∇1D(yk, xk), x∗− yki ≥ hwk, yk− xki (2.10)Mặt khác, vì xk+1 là nghiệm của bài toán quy hoạch lồi mạnh

min{hwk, yi +1

ckD(y, xk) | y ∈ C},nên tương tự ta có

∗− xk+1)i+ ckhwk, xk+1− yki − ckL¯