Đánh giá số thành phần liên thông của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân affine hai mục tiêu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BẾ ĐÌNH TIẾN ĐÁNH GIÁ SỐ THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE HAI MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BẾ ĐÌNH TIẾN

ĐÁNH GIÁ SỐ THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

BIẾN PHÂN AFFINE HAI MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng

Thái Nguyên – 2013

Möc löc

1 Têng quan v· b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v  b§t ¯ng

1.1 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v  ành lþ tçn t¤i nghi»m 6

3 Cæng thùc ¡nh gi¡ sè th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªpnghi»m b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine hai

3.1 ¡nh gi¡ sè th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp nghi»m

b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine hai möc

3.2 Mët sè v½ dö v· b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 43

LÍI NÂI †U

Khði ¦u tø b i b¡o cõa Giannessi [5], b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ational inequality - V I) ¢ ÷ñc c¡c nh  to¡n håc quan t¥m v  nghi¶ncùu r§t m¤nh m³ trong ba thªp k¿ trð l¤i ¥y do þ ngh¾a quan trångv· lþ thuy¸t công nh÷ trong thüc t¸ cõa nâ B i to¡n b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n vectì (vector variational inequality problem - V V I ) ângmët vai trá quan trång trong vi»c nghi¶n cùu c¡c c¥u häi kh¡c nhau(c§u tróc cõa tªp nghi»m, t½nh ên ành nghi»m, ë nh¤y cõa nghi»m, ) cõa b i to¡n tèi ÷u vectì Hìn núa, VVI l  mët trong nhúng mæh¼nh quan trång cõa lþ thuy¸t b i to¡n c¥n b¬ng vectì ë nh¤y cõanghi»m v  c¡c t½nh ch§t tæpæ cõa tªp nghi»m cõa b i to¡n VVI ìn

(vari-i»u m¤nh vîi c¡c ¡p döng v o b i to¡n tèi ÷u vectì ¢ ÷ñc nghi¶ncùu trong [6,7] G¦n ¥y, b¬ng vi»c sû döng k¸t qu£ ên ành cõa c¡cb§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u ÷ñc ÷a ra bði Robinson [8, ành

lþ 2] v  ph÷ìng ph¡p væ h÷îng hâa [6,9], Yen v  Yao [10] v  Yen [11] ¢thi¸t lªp ÷ñc c¡c i·u ki»n õ cho t½nh nûa li¶n töc tr¶n cõa c¡c ¡nhx¤ nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine ìn i»u chùatham sè ( affine vector variational inequality problem - AVVIs) C¡ck¸t qu£ â câ þ ngh¾a thüc t¸ v  li¶n quan ¸n t½nh ên ành nghi»m v t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u vectì to n ph÷ìnglçi v  b i to¡n tèi ùu vectì ph¥n thùc tuy¸n t½nh Luªn v«n tr¼nh b yl¤i k¸t qu£ cõa b i b¡o [4] B i b¡o [4] ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng tªpnghi»m Pareto v  tªp nghi»m Pareto y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n affine hai möc ti¶u vîi tªp ch§p nhªn ÷ñc m  khæng nh§tthi¸t ph£i compact câ húu h¤n th nh ph¦n li¶n thæng Ngo i ra luªn

v«n công ÷a ra ¡nh gi¡ sè th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp nghi»m

To n bë luªn v«n tr¼nh b y líi gi£i cho hai c¥u häi ch½nh:

affine hai möc ti¶u câ húu h¤n khæng?

¯ng thùc bi¸n ph¥n affine hai möc ti¶u l  nh÷ th¸ n o?

Luªn v«n gçm 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine hai möc ti¶u v  ki¸n thùc li¶nquan

Ch÷ìng 2 Tr¼nh b y k¸t qu£ cõa [4] v· ¡nh gi¡ sè th nh ph¦nli¶n thæng cõa tªp nghi»m Pareto v  Pareto y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng

Ch÷ìng 3 Cö thº hâa k¸t qu£ cõa [4] v· ¡nh gi¡ sè th nh ph¦nli¶n thæng cõa tªp nghi»m Pareto v  Pareto y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡iNguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS TS T¤ Duy Ph÷ñng Tæi xin

b y tä sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u s­c èi vîi th y h÷îng d¨n

¢ tªn t¼nh gióp ï tæi º ho n th nh luªn v«n

Tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn èi vîi Pháng  o t¤o Sau ¤ihåc, ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n, Khoa To¡n tr÷íng ¤i håc S÷ph¤m Th¡i Nguy¶n, tªp thº lîp cao håc To¡n -K18, c¡c b¤n b± çngnghi»p v· sü quan t¥m gióp ï V  cuèi còng, xin c£m ìn nhúng ng÷íith¥n trong gia ¼nh ¢ luæn gióp ï, t¤o måi i·u ki»n, ëng vi¶n v kh½ch l» cho tæi trong suèt thíi gian d i håc tªp

Th¡i Nguy¶n, ng y 10 th¡ng 9 n«m 2013

T¡c gi£

B¸ ¼nh Ti¸n

H» (2) ÷ñc gåi l  h» li¶n k¸t vîi h» ph÷ìng tr¼nh (1).

óng

H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t (2) luæn câ nghi»m t¦m th÷íng

Ta gåi:

l  ma trªn bê sung (ho°c ma trªn h» sè mð rëng) cõa h» (1).

tr¶n câ thº vi¸t d÷îi d¤ng

ành lþ 0.1 (xem [1], trang 106)

Tªp nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t (2) lªp th nh

n − rankA

Mët cì sð cõa khæng gian nghi»m n y ÷ñc gåi l  mët h» nghi»m

cì sð

M»nh · 0.2 (xem [1], trang 106)

th¼ ta câ thº vi¸t nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh (1) d÷îi d¤ng

trong â t1, , tr ∈ R.

÷ñc gåi l  nghi»m têng qu¡t cõa h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh (1)

ành lþ 0.4 (Kronecker - Capelli - xem [1] trang 107)

H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh (1) câ nghi»m khi v  ch¿ khi h¤ng cõa matrªn li¶n k¸t b¬ng h¤ng cõa ma trªn bê sung, ngh¾a l  rankA = rankB.H» qu£ 0.5 (xem [1], trang 107) H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh (1) cânghi»m duy nh§t khi v  ch¿ khi rankA = rankB = n

Ch֓ng 1

Têng quan v· b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v  b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine hai möc ti¶u

Tªp nghi»m Sol(V I) cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l  tªpt§t c£ x ∈ K thäa m¢n (1.1)

Nhªn x²t 1.2 Nh¬m sau n y mð rëng ành ngh¾a cho b i to¡n b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì, (1.1) cán ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng nh÷ sau:

T¼m iºm x ∈ K sao cho

Chùng minh Gi£ sû x l  nghi»m àa ph÷ìng cõa b i to¡n b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n, tùc l  tçn t¤i mët sè ε > 0 thäa m¢n (1.4).V¼ K l  mët tªp lçi n¶n vîi méi y ∈ K tçn t¤i t ∈ (0, 1) sao cho

||y − x||

n¶n suy ra: hF (x), y − xi ≥ 0 vîi måi y ∈ K Do â x ∈ Sol(V I)

ành l½ Hartman - Stampacchia d÷îi ¥y l  ành l½ cì b£n v· sü tçnt¤i nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

ành lþ 1.4 ( xem [2], trang 12).

to¡n V I câ nghi»m

Vîi i·u ki»n phò hñp, chóng ta câ ành l½ tçn t¤i nghi»m cõa b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n cho tr÷íng hñp tªp K l  khæng compact

ành l½ ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:

ành lþ 1.5 ( xem [2], trang 14)

th¼ b i to¡n V I câ nghi»m

Nhªn x²t 1.6 Biºu thùc (1.5) câ ngh¾a l : Vîi γ > 0 cho tr÷îc câthº t¼m ÷ñc mët sè ρ > 0 sao cho:

óng vîi måi y ∈ K thäa m¢n ||y|| > ρ

(coercivity condition) ÷ñc thäa m¢n i·u ki»n bùc âng vai trá quantrång trong nghi¶n cùu b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong tr÷íng hñp tªph¤n ch¸ K khæng compact

th¼ (1.5) ÷ñc thäa m¢n Thªt vªy, n¸u (1.6) ÷ñc thäa m¢n th¼ ta

N¸u tçn t¤i mët sè α > 0 sao cho

th¼ (1.6) hiºn nhi¶n ÷ñc thäa m¢n Suy ra (1.5) công ÷ñc thäa m¢n

ành ngh¾a 1.7 N¸u tçn t¤i α > 0 sao cho (1.7) ÷ñc thäa m¢nth¼ F ÷ñc gåi l  ìn i»u m¤nh (strongly montone) tr¶n K v  V It÷ìng ùng ÷ñc gåi l  b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u (monotonevariationl inequality).

Bê · 1.8 (Bê · Minty, xem [3], trang 89)

B§t ¯ng thùc (1.10) cán ÷ñc gåi l  b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥nMinty

H» qu£ 1.9 C¡c kh¯ng ành sau l  óng:

(1) N¸u F l  ìn i»u ch°t tr¶n K th¼ b i to¡n V I khæng thº cânhi·u hìn mët nghi»m

(2) N¸u F l  li¶n töc v  ìn i»u tr¶n K th¼ tªp nghi»m cõa b i to¡n

Chùng minh:

(1) Gi£ thi¸t ph£n chùng r¬ng F ìn i»u ch°t tr¶n K nh÷ng b ito¡n V I câ hai nghi»m ph¥n bi»t l  x v  y Khi â hF (x), y − xi ≥ 0

K¸t hñp hai b§t ¯ng thùc n y ta ÷ñc hF (y) − F (x), y − xi ≤ 0.Nh÷ng b§t ¯ng thùc n y m¥u thu¨n vîi t½nh ìn i»u ch°t cõa F l 

mët nghi»m

(2) Gi£ sû F l  li¶n töc v  ìn i»u tr¶n K Vîi méi y ∈ K ta k½ hi»u

Do F l  li¶n töc tr¶n tªp lçi K n¶n Ω(y) l  tªp lçi v  âng Tø Bê ·

y∈K

Ω(y)

Do â Sol(V I) l  mët tªp lçi, âng (câ thº réng)

Chó þ r¬ng tªp K ð h» qu£ n y khæng nh§t thi¸t ph£i compact

1.2 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine hai möc ti¶u

Cho o¤n th¯ng âng

1.2.1 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì hai möc ti¶u

Ta câ c¡c ành ngh¾a sau

ành ngh¾a 1.10 B i to¡n t¼m x ∈ K sao cho

ành ngh¾a 1.11 B i to¡n t¼m iºm x ∈ K sao cho

÷ñc gåi l  b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì hai möc ti¶u y¸u(bicriteria weakly vector variational inequality problem), vi¸t gån l 

Tªp nghi»m Solw(V V I)cõa b i to¡n V V Iw l  tªp t§t c£ c¡c x ∈ Kthäa m¢n (1.12).

ành lþ d÷îi ¥y cho ta mèi quan h» giúa c¡c tªp nghi»m cõa c¡c

b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

1.2.2 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine hai möc ti¶u

ành ngh¾a 1.14 B i to¡n t¼m x ∈ K sao cho

÷ñc gåi l  b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì affine hai möc ti¶u(bicriteria affine vector variational inequality problem), k½ hi»u l  AV V I.Tªp nghi»m Sol(AV V I) cõa b i to¡n AV V I l  tªp t§t c£ c¡c x ∈ Kthäa m¢n (1.17).

ành ngh¾a 1.16 B i to¡n t¼m x ∈ K sao cho

÷ñc gåi l  b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì affine hai möc ti¶uy¸u (bicriteria weakly affine vector variational inequality problem), k½

Tªp nghi»m Sol(AV I)ξ cõa b i to¡n AV Iξ l  tªp t§t c£ c¡c x ∈ Kthäa m¢n (1.19).

Chó þ: B§t ¯ng thùc (1.19) câ thº vi¸t t÷ìng ÷ìng nh÷ sau:

ành lþ 1.19 (xem [3], trang 92)

nâ cho ph²p chuyºn v§n · t½nh tªp nghi»m cõa b i to¡n AV V I v·vi»c gi£i h» ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh, (xem c¡c v½ dö trongCh÷ìng 3).

X²t b i to¡n tèi ÷u vectì ph¥n thùc tuy¸n t½nh hai möc ti¶u sau:

ành ngh¾a 1.20 Vectì x ∈ K ÷ñc gåi l  mët nghi»m húu hi»u(hay mët nghi»m Pareto) cõa b i to¡n (P ) n¸u khæng tçn t¤i y ∈ Ksao cho ϕ(y) ≤ ϕ(x) v  ϕ(y) 6= ϕ(x)

N¸u khæng tçn t¤i y ∈ K sao cho ϕ(y) < ϕ(x) th¼ vectì x ∈ K ÷ñcgåi l  mët nghi»m húu hi»u y¸u (hay mët nghi»m Pareto y¸u) cõa b ito¡n (P )

K½ hi»u tªp nghi»m húu hi»u v  tªp nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i

Ng÷íi ta ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng, tªp nghi»m húu hi»u (tªp nghi»mhúu hi»u y¸u) cõa b i to¡n tèi ÷u vectì (P ) tròng vîi tªp nghi»mPareto (tªp nghi»m Pareto y¸u) cõa b i to¡n AV V I ìn i»u ÷ñc

Bê · 1.21 (Bê · Farkas, xem [12] trang 200)

Ch֓ng 2

Cæng thùc ¡nh gi¡ sè th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp nghi»m b i

to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

affine hai möc ti¶u

2.1 Nh­c l¤i mët sè ành ngh¾a

ành ngh¾a 2.1 Cho X l  mët tªp hñp, T l  hå c¡c tªp con cõa X

A l  li¶n thæng trong tæpæ v  nâ khæng l  tªp con thüc sü cõa tªp li¶nthæng n o cõa X.

Méi th nh ph¦n li¶n thæng cõa X l  mët tªp con âng

ành ngh¾a 2.4 N¸u vîi méi c°p x, y ∈ X câ thº x¥y düng ÷ñc

h m sè li¶n töc γ : [0, 1] −→ X vîi γ(0) = x v  γ(1) = y th¼ ta nâi X

l  li¶n thæng ÷íng (arcwise connected)

mët iºm a ∈ X sao cho vîi måi x ∈ X ta câ ψ(x, 0) = x, ψ(x, 1) = a

(pseudo-face) cõa K ÷ñc ành ngh¾a bði:

li¶n thæng

degArs(ξ1) ≤ n − 1 v  degP (ξ1) ≤ n.

h m kh£ vi v  li¶n töc tr¶n mi·n n y

V¼ 0 < ξ < 1 n¶n ta ch¿ x²t P (ξ) tr¶n (0, 1)

thù hai cõa hñp trong v¸ ph£i cõa (2.5) l  hñp cõa k tªp lçi, do â méitªp l  tªp li¶n thæng ÷íng, n¶n l  hñp cõa k tªp li¶n thæng ÷íng(arcwise connected sets)

Chóng ta s³ ch¿ ra r¬ng:

hñp cõa húu h¤n th nh ph¦n li¶n thæng

Cè ành ch¿ sè i ∈ I v  quan t¥m tîi i·u ki»n:

B¥y gií ta ch¿ ra r¬ng sè nghi»m x thäa m¢n (2.6) l  húu h¤n

Thay (2.4) v o biºu thùc tr¶n ta ÷ñc biºu thùc t÷ìng ÷ìng sau:

cõa si¶u ph¯ng §y vîi ÷íng cong câ khæng qu¡ n iºm K¸t qu£ l 

câ húu h¤n th nh ph¦n li¶n thæng

sao cho (2.1) thäa m¢n.

cho:

Vªy G(ξ1) l  mët tªp lçi.

ph£i v¸ ph£i cõa (2.11) l  hñp cõa k l  tªp lçi Do vªy nâ l  hñp cõa

th nh ph¦n li¶n thæng ÷íng

°t v¸ ph£i cõa (2.13) l  x(ξ1, ν) Rã r ng, x(ξ1, ν) ∈ Fα n¸u v  ch¿n¸u

K½ hi»u |α| l  sè ph¦n tû cõa α (lüc l÷ñng cõa α) X²t ma trªn vuæng

cët câ |α| th nh ph¦n

Bði v¼ vectì cët µ := (µi)i∈α câ c¡c tåa ë khæng ¥m v  tø (2.17) ta câ:

¥y l  h» c¡c ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh

º t¼m µ vectì

x£y ra mët trong hai tr÷íng hñp:

X

i∈α

K¸t hñp i·u ki»n n y vîi cæng thùc (2.13) v  (2.14) ta th§y x ∈

Vîi méi j ∈ {0, , q − 1} ph÷ìng tr¼nh

câ nghi»m duy nh§t

ho°c sè giao iºm cõa Hi vîi ÷íng cong tr¶n l  khæng qu¡ nh(n − 1)|α| − 1i.V¼ vªy, t÷ìng tü nh÷ chùng minh ð Kh¯ng ành 1, tø (2.18) chóng ta

cõa F thäa m¢n b§t ¯ng thùc (2.19) vîi ch¿ sè k ∈ I \ α n¸u v  ch¿

m¢n (2.19) V¼ vªy, sè th nh ph¦n li¶n thæng cõa giao c¡c tªp nghi»mbiºu di¹n theo(2.26) còng vîi tªp µ thäa m¢n (2.19) l  khæng v÷ñtqu¡

Vªy ành lþ 2.6 ¢ ÷ñc chùng minh.

Nhªn x²t: Tø chùng minh cõa ành lþ 2.5 v  ành lþ 2.6 ta công

ho°c l  c¡c ÷íng cong a thùc, ho°c l  c¡c tªp lçi li¶n thæng Chùng

tä r¬ng méi th nh ph¦n li¶n thæng l  tªp li¶n thæng ÷íng ( ho°c l 

÷íng cong a thùc ho°c l  mët ph¦n cõa ÷íng th¯ng)

Ch֓ng 3

Cæng thùc ¡nh gi¡ sè th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp nghi»m b i

to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

3.1 ¡nh gi¡ sè th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp

nghi»m b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine hai möc ti¶u trong R2

Gåi Fα l  gi£ m°t cõa K v  ÷ñc ành ngh¾a bði:

* Vîi ` = 2 ho n to n t÷ìng tü nh÷ tr¶n ta câ:

B¥y gií ta ¡nh gi¡ sè th nh ph¦n li¶n thæng cõa t¥p nghi»m b i to¡n

trong â P (ξ) l  mët a thùc bªc khæng qu¡ 2, vîi

Ta x²t c¡c tr÷íng hñp sau:

mët ÷íng th¯ng, vîi méi nghi»m cõa P (ξ) th¼ câ tèi a mët th nhph¦n li¶n thæng

* N¸u D 6= 0 th¼ ph÷ìng tr¼nh (3.2) câ nghi»m duy nh§t

º ¡nh gi¡ sè th nh ph¦n li¶n thæng lîn nh§t câ thº câ ta x²t tr÷íng

Tø cæng thùc (1.15) cõa ành lþ (1.13) ta th§y r¬ng:

* N¸u {x(ξ)| ξ ∈ (ξ0, ξ1)} n¬m ngo i FØ th¼ ta g¡n cho xj d§u

qu¡ 2p Suy ra câ tèi a p iºm ÷ñc ¡nh d§u d÷ìng v  méi d§ud÷ìng t÷ìng ÷ìng vîi mët th nh ph¦n li¶n thæng Vªy trong tr÷ínghñp n y câ tèi a l  p th nh ph¦n li¶n thæng (xem h¼nh 3.1)

cõa x(ξ) v  sè giao iºm x(ξ) vîi t§t c£ c¡c c¤nh cõa a di»n K l khæng qu¡ 2p n¶n suy ra câ tèi a p + 1 ÷ñc ¡nh d§u d÷ìng, nh÷vªy câ tèi a p + 1 th nh ph¦n li¶n thæng trong tr÷íng hñp n y (xemh¼nh 3.2)

sè cõa ph¦n tû câ dáng r cët s cõa ma trªn M(ξ).

vîi ξ

n¬m trong kho£ng (0, 1)

tr¶n mët ÷íng th¯ng, vîi méi nghi»m cõa P (ξ) th¼ câ tèi a mët

th nh ph¦n li¶n thæng

nh§t l 

º ¡nh gi¡ sè th nh ph¦n li¶n thæng lîn nh§t câ thº câ ta gi£ sû

Ta k½ hi»u G(ξ) l  tªp nghi»m cõa (3.7)

Ta th§y th nh ph¦n thù hai cõa hñp trong v¸ ph£i (3.10) l  hñp cõa

l  mët a thùc bªc khæng qu¡ 2 èi vîi ξ

Nh÷ vªy (3.12) l  mët ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t èi vîi µ vîi i·u ki»n

ho°c l  væ sè nghi»m èi vîi måi µ n¶n luæn thäa m¢n vîi måi µ ≥ 0, n¶n trong tr÷íng hñp n y ta câ tèi a mët th nh ph¦n li¶n thæng.

c¤nh câ tèi a l  6 th nh ph¦n li¶n thæng Do vªy tr¶n to n bë bi¶ncõa K câ tèi a 6p th nh ph¦n li¶n thæng

+ Vîi |α| = 2 khi â F2 l  tªp c¡c iºm l  ¿nh cõa a gi¡c ( giaocõa hai c¤nh a gi¡c li·n k·), nh÷ vªy a gi¡c câ tèi a p c¤nh n¶n

câ tèi a ¿nh Ta x²t t¤i méi ¿nh cõa a gi¡c, khi â tªp nghi»mcõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n câ thº væ nghi»m ho°c câ tèi

a mët nghi»m, n¶n câ tèi a 1 th nh ph¦n li¶n thæng Nh÷ vªy têng

th nh ph¦n li¶n thæng cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine

3.2 Mët sè v½ dö v· b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n

ph¥n

D÷îi ¥y chóng tæi ÷a ra mët sè v½ dö v· tªp nghi»m cõa b i to¡n

b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affin v  sû döng ành l½ (1.19) ºt½nh nghi»m.Ta c¦n nhî l¤i r¬ng:



00

x¡c ành tø tªp K Ta câ(1) ⇔

K¸t hñp vîi (8) ta câ

2

Nhªn x²t:

Tªp nghi»m gçm hai tia thuëc ph¦n trong v  mët ÷íng th¯ng n¬mtr¶n bi¶n cõa tªp h¤n ch¸.Tªp h¤n ch¸ âng nh÷ng khæng bà ch°n Tªp

v  khæng li¶n thæng vîi nhau Sè th nh ph¦n li¶n thæng l  3

D÷îi ¥y l  h¼nh v³ biºu di¹n sè th nh ph¦n li¶n thæng cõa b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n cho v½ dö tr¶n:





−30

Nhªn x²t tªp nghi»m l  mët o¤n th¯ng v  n¬m tr¶n bi¶n cõa tªp h¤nch¸ Tªp h¤n ch¸ l  mët tªp âng v  khæng bà ch°n Trong th½ dö n y

v  °c bi»t b¬ng nhau Sè th nh ph¦n li¶n thæng l  1

D÷îi ¥y l  h¼nh v³ biºu di¹n sè th nh ph¦n li¶n thæng cõa b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n cho v½ dö tr¶n:

H¼nh 3.5:

K˜T LUŠN

Nëi dung cõa luªn v«n l  tr¼nh b y l¤i b i b¡o [4] v· nghi¶n cùu v 

¡nh gi¡ sè th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp nghi»m b i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n affine hai möc ti¶u, vîi i·u ki»n tªp h¤n ch¸ kh¡créng, lçi, âng v  khæng nh§t thi¸t ph£i compact K¸t qu£ cõa b ib¡o ¢ ch¿ ra r¬ng sè th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp nghi»m Pareto

thùc bi¸n ph¥n affine hai möc ti¶u l  húu h¤n Luªn v«n ¢ ¤t ÷ñcnhúng k¸t qu£ ch½nh nh÷ sau:

1 Tr¼nh b y l¤i k¸t qu£ cõa b i b¡o [4] câ h» thèng

2 ÷a ra ¡nh gi¡ sè th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp nghi»m b i

3 T½nh to¡n cö thº th½ dö ÷a ra sè th nh ph¦n li¶n thæng cõatªp nghi»m b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine hai möc ti¶u

Tuy trong b i b¡o [4] ¢ ch¿ ra ÷ñc sè th nh ph¦n li¶n thæng l  húuh¤n, nh÷ng ¡nh gi¡ tr¶n, theo chóng tæi cán r§t lîn V¼ vªy nhúngc¥u häi sau ¥y cán ch÷a ÷ñc tr£ líi: