tóm tắt phương pháp tính tích phân nguyên hàm

TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM 1... Phương pháp đổi biến số: 1... b Phương pháp giải toán bằng phương pháp tích phân từng phần:... PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH P

TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

NGUYÊN HÀM

1 Định nghĩa: F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên D nếu

F’(x) = f(x),  x  D

2 Các tính chất:

1) ( f ( x ) dx)’ = f(x)

2)  af ( x ) dx = a f ( x ) dx

3)  [( f ( x )  g ( x )] dx   f ( x ) dx   g ( x ) dx

4)  f ( x ) dx  F ( x )  C   f ( u ) du  F ( u )  C

3 Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp:

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp tương ứng

(dưới đây u = u(x))

 dx  x  C







C

x

dx

x

1

1





 dx  x  C

1

(x  0))

 exdx  ex  C

a

a

dx

a

x x

ln (0) < a  1)

 cos xdx sin  x  C

2

1

tan

cos x dx x C



2

1

cot sin x dx x C



 du  u  C







C

u du u

1

1





 du  u  C

u ln

1

(u  0))

a

a du a

u u

ln (0) < a  1)

 cos udu sin  u  C

 sin udu   cos u  C

2

1

tan cos u du  u C



2

1

cot sin u du u C



Hệ quả:

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp











C 1

) b ax ( a

1 dx

)

b

ax

(

1





a

1 dx

b

ax

1

   sin( ax  b )  C

a

1 dx ) b ax cos(

    cos( ax  b )  C

a

1 dx

) b ax sin(

   e   C

a

1 dx



a ln

a m

1 dx

a

n mx n

2

cos (ax b )dxa ax b C



2

sin (ax b )dx a ax b C



ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN

I Định nghĩa tích phân:

b

a

b

x F dx x

II Các tính chất:

a

a

dx

x

f ( ) 0)

b

a

a

b

dx x f dx

x

f ( ) ( )

b

a

b

a

dx x f k dx

x

b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x

f ( ) ( )] ( ) ( )

[

c

a

b

a

c

b

dx x f dx x f dx

x

(6) f(x)  0, x  [a; b] a; b]  

b

a

dx x

(7) f(x)  g(x), x  [a; b] a; b]   

b a

b a

x g dx x

f ( ) ( )

(8) m  f(x)  M , x  [a; b] a; b]      

b

a

a b M dx x f a

b

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

I Phương pháp đổi biến số:

1 Đổi biến dạng 1:

Dạng : Tính tích phân: ( )

b a

I f x dx

+ Đặt x = u(t)  dx = u’(t)dt.

+ Đổi cận: x = a  t =  và x = b  t = 

Khi đó:









dt t u t u f dx x f I

a a

) ( ' )]

( [ )

(

Các dạng toán thường gặp :

Bài toán 1: I a2 x dx2





  Đặt x = asint, t  ;

2 2

 



Bài toán 2: I 21 2dx









 Đặt x = asint, t  ;

2 2

 







2 2

 

Bài toán 4: I 2 1 2dx









 Đặt x = atant, t  ;

2 2

 



Bài toán 5: 2 1

a x b x c







với phương trình a’x 2 + b’x + c’ = 0 vô nghiệm.

Ta viết lại : 1 2 1 2









Đặt x+b = atant, t  ;

2 2

 



2 Đổi biến dạng 2:

Dạng : Tính tích phân: ( ) '

b a

I f u u dx

+ Đặt t = u(x)  dt = u’(x)dx

+ Đổi cận: x = a  t =  và x = b  t = 

I f t dt( )





2 Phương pháp tích phân từng phần:

a) Công thức vi phân:    

b

a

b

a

b

v u

trong đó u, v là các hàm số ẩn x có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b]

b) Phương pháp giải toán bằng phương pháp tích phân từng phần:

Tính tích phân:  

b a

dx x g x f

I [ ( ) ( )]

+ Đặt:























) (

) ( ' )

(

) (

x G v

dx x f du dx

x g dv

x f u

+ Khi đó:

b

a

b a b

a

vdu v

u dx x g x f

b

a

b

x G x

f ( ) ( ) ( ) ' ( )

c) Một số dạng toán áp dụng thuật toán tích phân từng phần:

Xét P(x) là một đa thức biến x, ta có các dạng toán áp dụng công thức tích phân tứng phần sau đây

Dạng 1: ( ).sin

cos

x b

a

e

x

PP: Đặt: u = P(x) và dv =

x cos

x sin

ex

dx

Dạng 2: .sin

cos

b x a

x

x



PP: Đặt u = e x và dv =

x sin

x

cos

dx và thực hiện hai lần tích phân từng phần.

Dạng 3:  

b

a

xdx x

P

PP: Đặt u = lnx và dv = P(x).

PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

I Tích phân hàm phân thức mẫu bậc nhất:

Dạng 1: A = dx

b ax





1











b

ax a

b ax

b ax

d a

dx b





Dạng 2: ( )

ax

f x

b











PP:

Cách 1: Ta thực hiện phép chia đa thức để viết tích phân về dạng:

( )

Cách 2: Đổi biến bằng cách đặt t = ax + b

Dạng 3: C = dx

b



 ( )

1

( k  1)

PP:























) (

) (

1 )

(

) (

1 )

(

1

b ax d b

ax a

b ax

b ax

d a

dx b

ax

k k

k

= 1 1 1 1







Cách 2: Đổi biến bằng cách đặt: t = ax + b

II Tích phân hàm phân thức mẫu là tam thức bậc hai:

TH1: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x = x 1 và x = x 2

Dạng 1: 1

(x a x b)( )dx



  

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:

Dạng 2: dx

c bx ax

n

mx





PP: Ta viết tích phân dưới dạng:

dx x x

B x

x

A a

dx x

x x x a

n mx dx

c bx

ax

n

mx































) (

1 )

)(

Dạng 3: dx

c bx ax

) x (

f

2

với f(x) là đa thức bậc lớn hơn 1.

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:

2



TH2: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm kép x = x 0

Bằng cách viết lại: ax 2 + bx + c = a(x - x 0 ) 2 Ta có:

2

( )

f x







0)

f x dx











Dùng phương pháp đổi biến đặt t = x – x 0

TH3: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm.

Dạng 1: 2 1 dx



   Bài toán 1: I 2 1 2dx











Đặt x = atant, t  ;

2 2

 

Bài toán 2: 2 1

a x b x c







Ta viết lại : 1 2 1 2









Đặt x+b = atant, t  ;

2 2

 

Dạng 2: dx

c bx ax

n

mx

   





PP: Ta viết tích phân dưới dạng:

dx c bx ax

M c

bx ax

c bx ax

d dx

c bx

ax

n

mx





























2 2

2

2

) (

Dạng 3: 2 f x( ) dx

ax bx c

với f(x) là đa thức bậc lớn hơn 1

PP: Ta viết tích phân dưới dạng: 2 f x( ) dx ( ( )h x m x n2' ' )dx



TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ

I Các dạng toán dùng phương pháp đổi biến:

1 Dưới căn thức là nhị thức bậc nhất:

Dạng : I f x ax b dx( ,n )





Biểu thức ( , f x ax b n  ) chỉ chứa các lũy thừa của x và các lũy thừa của n ax b

PP: Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = n ax b

2 Dưới căn thức là biểu thức có bậc lớn hơn một:

Dạng : I f x( ,k n ax k b x dx) k 1







Biểu thức ( , f x k n ax k b) chỉ chứa các lũy thừa của x k và các lũy thừa của n ax k  b

PP: Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = n ax k b

2 Có nhiều dấu căn thức của cùng một biểu thức:

Dạng : I f(m ax k b,n ax k b x dx) k 1







Biểu thức ( f m ax k b,n ax k b) chỉ chứa các lũy thừa của m ax k  và các lũy thừa của b n ax k  b

PP: Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = mn k

ax b

II Một số bài toán đặc biệt cần nhớ:

Bài toán 1: I a2 x dx2





PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x = asint, t  ;

2 2

 



Bài toán 2: I 21 2dx









PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x = asint, t  ;

2 2

 

Bài toán 3: 2 1 2







PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x – b = asint, t  ;

2 2

 

Bài toán 4: I = 







dx k

x2

1

PP: Dùng phương pháp đổi biến Đặt t  x  x2  k

Bài toán 5: I = 









dx c bx

ax2

1

, với a > 0)

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:











dx c bx

ax2

1









dx k )

m x (

1 a

1

2

PP: Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = x + m đưa về bài toán 4.

Bài toán 6: I = x2 kdx









PP: Dùng phương pháp tích phân từng phần:

Đặt

2

2

x









2

2

2

x

k











2

2

2

2

1

2

k

k









 

 









Bài toán 7: I = ax2 bx cdx







Ta viết lại: ax2 bx cdx a (x m)2 ndx

Đặt t = x + m đưa tích phân về bài toán 6.

III Các dạng toán phải nhân thêm lượng liên hiệp:

Dạng 1 I = 1



   

Dạng 2 I =

 2

1

dx



  

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

I Phương pháp biến đổi thông thường:

1 Các công thức nguyên hàm cơ bản:

 cos xdx sin  x  C    sin( ax  b )  C

a

1 dx ) b ax cos(

a

1 dx

) b ax sin(

x

dx

2

 tg ( ax b ) C

a

1 ) b ax ( cos

dx

2

x

dx

cot

 cot g ( ax b ) C

a

1 )

b ax ( sin

dx

2

2 Các dạng thường gặp:

Dạng 1: I = 





axdx sinn

J = 





axdx

n

Phương pháp:

+ Nếu n chẵn thì dùng công thức hạ bậc:

2

2 cos 1

2

2 cos 1

+ Nếu n lẻ thì:

 Tích phân I ta biến đổi:

sin n ax = sin 2k ax.sinax = (1 – cos 2 ax) k sinax

và dùng phương pháp đổi biến, đặt t = cosax

 Tích phân J ta biến đổi:

cos n ax = cos 2k ax.cosax = (1 – sin 2 ax) k cosax

và dùng phương pháp đổi biến, đặt t = sinax

Dạng 2: I = 





bxdx

ax cos

sin J = cos cosax bxdx





K = sin sinax bxdx





Phương pháp:

Dùng các công thức sau biến đổi từ tích sang tổng:

 cos( ) cos( ) 

2

1 cos

cos a b  a  b  a  b

2

1 sin

sin a b  a  b  a  b

 sin( ) sin( )  2

1 cos

sau đó áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.

Một số công thức giúp hạ bậc các biểu thức lượng giác:

sin3 cos3 (sin cos )(1 sin cos ) (sin cos )(1 1sin 2 )

2

sin cos (sin cos )(1 sin cos ) (sin cos )(1 sin 2 )

2

sin4 cos4 1 1sin 22

2

II Phương pháp đổi biến:

Bài toán 1: f(sinx).cosxdx







PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx

Bài toán 2: f(cos ).sinx xdx







PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = cosx

Bài toán 3: (t anx) 12

os







PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = tanx

Bài toán 4: (cot x) 12

sin

x







PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = cotx

Bài toán 5: f(sin 2x,sinx cos )(sinx cos )x x dx







PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx + cosx và sin2x = t 2 - 1

Bài toán 6: f(sin 2x,sinx-cos )(sinx+ cos )x x dx







PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx - cosx và sin2x = 1- t 2

 Chú ý: Một số dạng tích phân hàm lượng giác f(sinx, cosx) phức tạp, nếu khó biến đổi thành các tích phân

đặc biệt thì dùng phương pháp đổi biến đặt:

t = tan

2

x

và áp dụng các công thức: sinx = 2

1

2

t

t

2

1

1

t

t





III Phương pháp tích phân từng phần:

Bài toán 1: ( ).sin

cos

b a

x

x



PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u = P(x) và dv = sinx

cosx dx

Bài toán 4: sin

cos

b x a

x

x



PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u = sinx

cos x và dv = e x dx

Bài toán 3: 2

sin x

ax b









PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u = ax + b và dv = 12

sin xdx

Bài toán 4: 2

cos x

ax b









PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u = ax + b và dv = 12

cos xdx

IV Một số dạng toán đặc biệt cần nhớ:

Bài toán 1: I = 





xdx

n cos





dx x

x

m

n

cos sin

Phương pháp:

+ Nếu mũ lẻ đối với sinx thì đặt t = cosx Nếu mũ lẻ đối với cosx thì đặt t = sin x.

+ Nếu mũ lẻ đối với cả sinx và cosx thì nên đặt t = sinx.

Bài toán 2: 1

cosx dx





PP: Viết lại:

I = 1 cos2 cos 2



sau đó đổi biến t = sinx

Bài toán 3: 1

cosx sinxdx



 

PP: Viết lại:

I =



sau đó đổi biến t = sin ( )

4

x 

Bài toán 4: 1

sinxdx





PP: Viết lại:

I = 1 sin2 sin 2



sau đó đổi biến t = cosx

Bài toán 5: 14

cos xdx





PP: Viết lại:

I = 14 (1 tan2 ) 12

sau đó đổi biến t = tanx

Bài toán 5: 14

sin xdx





PP: Viết lại:

I = 14 (1 cot2 ) 12

sau đó đổi biến t = cotx

Bài toán 6: 2 1 2

sin cos







PP: Viết lại: 2 1 2 (1 cot2 ) 12 (1 12 ) 12

sin x.cos x dx x cos xdx tan x cos xdx

sau đó đổi biến t = tanx

Bài toán 7: sin cos

dx







PP: Đổi biến đặt : t = tan

2

x

, sinx = 2

1

2

t

t

2

1

1

t

t





TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LÔGARIT

I Tích phân hàm số mũ:

1 Các công thức nguyên hàm cơ bản:

a

1 dx

a

a dx

a

x x



a ln

a m

1 dx

a

n mx n

mx

2 Phương pháp đổi biến:

Bài toán 1: I1 f e e dx( ).x x







PP: Đổi biến t = e x

Bài toán 2: I2 f e( ax, e ax c e dx) ax





PP: Đổi biến t = e ax c

Bài toán tổng quát: I2 f e( ).( ' )u u e dx u







PP: Đổi biến t = e u

3 Phương pháp tích phân từng phần :

Bài toán 1 : I =





dx x f

ex ( )

PP: Đặt











dx e dv

x f u

x

)

(

tính tích phân từng phần.

Bài toán 2 : I =





xdx

ex sin

PP: Đặt











dx e dv

x u

x

sin

tính tích phân từng phần hai lần để tìm I

Bài toán 3 I =





xdx

ex cos

PP: Đặt











dx e dv

x u

x

cos

tính tích phân từng phần hai lần để tìm I

II Tích phân hàm lôgarit:

1 Phương pháp đổi biến:

Bài toán 1: 1

1 (ln )

x







PP: Đổi biến t = lnx

Bài toán 2: 1

1 (ln ,n ln )

x





PP: Đổi biến t = n alnx b

Bài toán 3:

1 1

ln (ln )

k

k x

x









PP: Đổi biến t = ln k x

2 Phương pháp tích phân từng phần:

Bài toán 1: I 1 =  





dx x f b

ln(

PP: Đặt













dx x f dv

b ax u

) (

)

ln(

tính tích phân từng phần.

Bài toán 2: I 2 =  





dx b ax

ln

Đặt













dx

dv

b ax

u lnk( )

tính tích phân từng phần k lần.

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

A TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP:

BÀI TOÁN 1: Tính diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục

hoành và hai đường thẳng: x = a, x = b.

| ( ) |

b a

S f x dx

Để tính tích phân này, ta thực hiện:

+ Tìm nghiệm x 1 , x 2 , của phương

trình f(x) = 0 trên đoạn [a; b] a; b].

+ Lập bảng xét dấu Dựa và dấu của

f(x) trên các khoảng để tính diện tích S.

BÀI TOÁN 2: Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi hai đường cong

y = f(x),y = g(x) và hai đường thẳng

x = a, x = b.

| ( ) ( ) |

b

a

S f x  g x dx

THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY

A TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP:

BÀI TOÁN 1: Tính thể tích vật thể tròn

xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi

đường cong (C): y = f(x), trục Ox, x = a

và x = b khi xoay quanh trục Ox

Xác định bởi công thức:



 



b

a

b

a

dx x

f dx

y

V  2  [ ( )]2

BÀI TOÁN 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay

sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong

(C): y = f(x) và y = g(x) khi xoay quanh trục Ox

+ Tìm nghiệm x 1 và x 2 của phương

trình f(x) = g(x)

+ Thể tích khối trụ tròn xoay xác định

bởi công thức:

   

2

1

2 2

x x

V  f x  g x dx

BÀI TOÁN 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): x = f(y), y =

a, y = bvà trục Oy khi xoay quanh trục Oy Xác định bởi công thức:





b

a

dy y

f

V  [ ( )]2

y = f(x)