Chuyên đề các phương pháp tính tích phân nguyễn duy khôi file word có đáp án và lời giải image marked

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giảiLỜI NÓI ĐẦU Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, tích phân đ

Trang 1

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, tích phân được ứng dụng rộng rãi như để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, nó còn là đối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Ngoài ra phép tính tích phân còn được ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học

Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh ở lớp 12, tiếp theo được phổ biến trong tất cả các trường đại học cho khối sinh viên năm thứ nhất và năm thứ hai trong chương trình học đại cương Hơn nữa trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh Đại học phép tính tích phân hầu như luôn có trong các đề thi môn Toán của khối A, khối B và cả khối

D Bên cạnh đó, phép tính tích phân cũng là một trong những nội dung để thi tuyển sinh đầu vào

hệ Thạc sĩ và nghiên cứu sinh

Với tầm quan trọng của phép tính tích phân, chính vì thế mà tôi viết một số kinh

nghiệm giảng dạy tính tích phân của khối 12 với chuyên đề “TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ĐỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦN” để phần nào củng cố, nâng

cao cho các em học sinh khối 12 để các em đạt kết quả cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh Đại học và giúp cho các em có nền tảng trong những năm học Đại cương của Đại học

Trong phần nội dung chuyên đề dưới đây, tôi xin được nêu ra một số bài tập minh họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần Các bài tập đề nghị là các đề thi Tốt nghiệp THPT và đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng của các năm để các em học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích phân và phần cuối của chuyên

đề là một số câu hỏi trắc nghiệm tích phân

Tuy nhiên với kinh nghiệm còn hạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày chuyên đề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý chân tình của quý Thầy

Cô trong Hội đồng bộ môn Toán Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai Nhân dịp này tôi xin cảm

ơn Ban lãnh đạo nhà trường tạo điều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy cô trong tổ Toán trường Nam Hà, các đồng nghiệp, bạn bè đã đóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành chuyên đề này Tôi xin chân thành cám ơn./

Trang 2

I.4 Bảng công thức nguyên hàm và một số công thức bổ sung 4

II Tích phân:

II.4 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số 10

Một số dạng khác dùng phương pháp đổi biến số loại 1 14

Bài tập đề nghị số 4: Các đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng 16

Bài tập đề nghị số 6: Các đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng 28

III Kiểm tra kết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính

Bài tập đề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân 30

Trang 3

I NGUYÊN HÀM:

I.1 ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM:

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu với mọi

x∈(a;b):

F’(x) = f(x) VD1: a) Hàm số F(x) = x3 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 trên R

b) Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số f(x) = 1

x trên (0;+∞)

I.2 ĐỊNH LÝ:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì:

a) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng ñó

b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết

Trang 4

I.4 BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM:

6/ cosudu=sinu+C

7/ sinudu= −cosu+C

Trang 5

II TÍCH PHÂN:

II.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH:

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phẩn tử bất kỳ của K, F(x)

là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K Hiệu F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) Ký hiệu:

m b a−  f x dxM b a−

9/ t biến thiên trên  ; ( ) ( )

t a

a b G t = f x dx là một nguyên hàm của f t và ( ) G a = ( ) 0

II.3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:

Chú ý 1: Để tính tích phân ( ) x

b a

I = f x d ta phân tích f x( )=k f x1 1( )+ + k f m m( )x Trong đó: k  i 0 (i=1, 2,3, ,m)các hàm f x i( ) (i=1, 2,3, ,m)có trong bảng nguyên hàm cơ bản

VD4: Tính các tích phân sau:

Trang 6

Trang 7

  (hơi giống đạo hàm hàm số hợp)

Với câu 7 trước hết phải hạ bậc rồi sử dụng công thức 6/ trong bảng nguyên hàm phần các công thức bổ sung

Trang 8

Trang 9

Q x

= với P(x) và Q(x) là hai đa thức:

* Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì lấy P(x) chia cho Q(x)

* Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì tìm cách đưa về các dạng trên

Nhận xét: Ví dụ 4 trên gồm những bài tập tính tích phân đơn giản mà học sinh có thể

áp dụng ngay bảng công thức nguyên hàm để giải ñược bài toán hoặc với những phép biến đổi đơn giản như nhân phân phối, chia đa thức, đồng nhất hai đa thức, biến đổi tích thành tổng Qua ví dụ 4 này nhằm giúp các em thuộc công thức và nắm vững phép tính tích phân cơ bản

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1: Tính các tích phân sau:

3 0

2 1

dx I

1

x dx I

x

=+

Trang 10

II.4 TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

II.4.1 Phương pháp đổi biến số loại 1:

2

dx I

ta sẽ liên tưởng ngay đến công thức: 2 2

1 sin− x = cos x =cosx, do đó:

Trang 11

2)

2

2 0

Đến đây, công thức nguyên hàm không phụ thuộc vào biến số nên ta tính được tích phân

theo biến số t một cách dễ dàng Ở đây ta cần lưu ý: Biểu thức trong dấu tích phân này là hàm số

theo biến số t đơn điệu trên [α;β]

Ta mở rộng tích phân dạng trên như sau:

Trang 12

Nhận xét: Ta thấy tam thức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm nên ta không sử dụng phương pháp

hệ số bất định như ví dụ 4.10 và không phân tích biểu thức trong dấu tích phân được như chú ý 2

Trang 13

dx I

Trang 14

Định lý: Nếu

1 Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục, đơn điệu trên đoạn [α;β]

2 Hàm số hợp f[u(t)] được xác định trên đoạn [α;β]

Từ đó ta rút ra quy tắc đổi biến số dạng 1 như sau:

B1: Đặt x=u t( ) (với u(t) là hàm có đạo hàm liên tục trên [α;β], f(u(t)) xác định trên [α;β] và

Một số dạng khác thường dùng phương pháp đổi biến số dang 1:

* Hàm số trong dấu tích phân chứa 2 2 2

dx I

=+ +

Hướng dẫn: Câu 4: Đặt 1

sin

x t

Trang 15

Áp dụng phương pháp trên để tính các tích phân sau :

1)

4 2

Trang 16

Trang 17

f x

dx f x dx a

−

=+

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 4: Tính các tích phân sau: (Các đề tuyển sinh ðại học)

a)

2 2 2

1

I = −x dx (ĐH Y HP 2000) c)

=+ + (ĐH T.Lợi 2000)

g)

1

2 2

1 1

dx I

1

dx I

Trang 18

( )2

Một số dạng cơ bản thường gặp khi đổi biến số loại 2:(Dạng nghịch)

Trong một số trường hợp tính tích phân bằng phương pháp phân tích hay tính tích phân bằng tích phân đổi biến số loại 1 không được nhưng ta thấy biểu thức trong dấu tích phân

Trang 19

Trang 20

.1

Trang 21

x 0

6



Trang 22

Nhận xét: Đối với những bài chứa căn thức, học sinh có thể đặt u bằng biểu thức trong dấu căn, nhưng sau khi đổi biến thì tích phân mới vẫn còn chứa căn thức nên việc tính tiếp theo sẽ phức tạp hơn (tức là học sinh phải đưa về xα) Ví dụ: Cách 2 của câu 5

1cos

Trang 23

b)

2 4

2 0

Trang 24

0

p

I = x dx g)

4 2 0

1cos

Trang 25

e

x dx I

1

1.ln ln ln

e e

5 3

1.1

2 0

e

=+

3 2 0

e dx I

e

=

+

 (ðH BKHN 2000) 15)

x x

=

+

 (ĐH NNghiệp 2000) 17)

6 2



Trang 26

II.5 TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

Định lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì:

1 1

Chú ý: Khi tính tích phân từng phần ta phải nắm nguyên tắc sau:

+ Chọn phép đặt dv sao cho dễ xác định được v

Nếu biểu thức trong dấu tích phân có chứa:

Dạng 1:P x sin nx dx P x cos nx dx P x e dx( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) nx ; ( ).P x a dx nx ta nên đặt:

Trang 27

x x

Trang 28

Nhận xét: Ví dụ trên là dạng 1 của tích phân từng phần ( ) nx

Trang 29

u x

A x tgx tgxdx dx

Trang 30

Nhận xét: Đến đây tích phân tiếp theo có dạng 1 của tích phân từng phần

Do đa thức là bậc hai nên để tính I, học sinh phải tính tích phân từng phần 2 lần:

Đặt

2

63

2

1 0

3

40

lncos

Trang 31

sin

xdx I

2

2 1

lg

I =x xdx (ĐH Y Dược 2001) i)

3

2

3 0

x

I =x e dx (ĐHCĐ Dự bị 2-2003); n) 1( )

2 0

I = x + x e dx− (ĐH GTVT 2003)

III Kiểm tra kết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính CASIO fx570-MS

Trong một số trường hợp một số bài tích phân phức tạp đã giải được kết quả nhưng chưa đánh giá được độ chính xác của kết quả là đúng hay sai, khi đó ta có thể sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx-570MS để kiểm tra kết quả Ví dụ với đề thi

Trang 32

+ Với kết qủa giải tay là 34

27 ta chuyển sang số thập phân ≈ 1,259259…

+ ðối với bài tích phân lượng giác trước hết chuyển sang chế độ Rad + Quy trình bấm máy CASIO fx-570MS như sau:

Và kết qủa máy tính là 1,2593 So với kết quả gần đúng trên đồng nghĩa với đáp số bài giải bằng tay trên đã đúng

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 7: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN

2 4

dx x

2 4

0

dx x

2 4

0

dx x

2 4

1

dx x

Trang 33

2 1

4ln

9ln

4

2 0

2 1

Trang 34

cos

4 sin

dx x

1 cos

x dx x

Trang 35

Trang 36

e +

2

14

e +

2

11

e +

2

13

Trang 37

e

−

0

cos ln

x e

11

Trang 38

Nhận xét: Trong phần nội dung chuyên đề trên, tôi chỉ nêu ra một số bài tập minh họa cơ bản tính

tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần Các bài tập đề nghị là các đề thi Tốt nghiệp THPT và đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng của các năm trước để các em học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích phân, bên cạnh đó cũng hướng dẫn học sinh kiểm tra kết quả bài giải của mình có kết quả đúng hay sai bằng máy tính cầm tay CASIO fx-570MS và phần cuối của chuyên đề là một số câu hỏi trắc nghiệm tích phân Để phần nào củng cố, nâng cao cho các em học sinh khối 12 để các em đạt kết quả cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh Đại học và giúp cho các em có nền tảng trong những năm học Đại cương của Đại học

Tuy nhiên với kinh nghiệm còn hạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày chuyên đề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý chân tình của quý Thầy Cô trong Hội đồng bộ môn Toán Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai Một lần nữa tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo nhà trường tạo điều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy cô trong tổ Toán trường Nam Hà, các đồng nghiệp, bạn bè đã ñóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành chuyên đề này Tôi xin chân thành cám ơn./

Trang 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa giải tích 12

2 Sách giáo viên giải tích 12

3 Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân - Trần Phương

4 Đạo hàm và tích phân - Võ Đại Mau & Võ Đại Hoài Đức

5 Chuyên đề tích phân và đại số tổ hợp xác suất - Phạm An Hòa & Nguyễn Vũ Thanh

6 Các dạng toán cơ bản giải tích 12 - Nguyễn Ngọc Khoa

7 Trắc nghiệm khách quan giải tích và tích phân - Đoàn Vương Nguyên

Trang 40

NHẬN XÉT

Trang 41

Trang 42

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	1,21 MB