giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

Trong thực tế nhiều học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là:Tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân bằng dùng công thức cơ bảnhoặc phương pháp đổi biến số hoặc ph

Trong thực tế nhiều học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là:Tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân bằng dùng công thức cơ bảnhoặc phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp tích phân từng phần ngay màrất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàmcủa hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trongphương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đươngkhông? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sailầm dẫn đến lời giải sai Qua thực tế giảng dạy và ôn thi nhiều năm tôi nhận thấy

rất rõ yếu điểm này của học sinh Vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: ‘‘Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân’’

2 Phạm vi nghiên cứu

Các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong

quá trình tính toán trong chương III – Giải tích 12

3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 12A1 và 12A6 ôn thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng,

THCN và thi HSG tỉnh Thanh Hóa

4 Mục tiêu nghiên cứu

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt đượckết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quátrình học tập và các kỳ thi nói chung

II THỰC TRẠNG

Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm tích phân và ứng dụng” thường gặp phải những khó khăn sau:

- Không nắm vững định nghĩa Nguyên hàm, Tích phân

- Không nắm vững phương pháp đổi biến số

- Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) từng phần

III CÁC GIẢI PHÁP CỦA SÁNG KIẾN

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện

một số giải pháp như sau:

- Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải.

- Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể Phân tích tỉ mỉ những sai lầm củahọc sinh thường mắc phải, vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vậndụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán

- Thực nghiệm sư phạm

PHẦN II: NỘI DUNG

I CƠ SỞ KHOA HỌC

1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên

hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K

Kí hiệu: f x d( ) x F x( ) C

Nhận xét: Khi bắt đầu học về nguyên hàm các em học sinh thường hay lúng

túng và hay bị nhầm với đạo hàm Để tránh bị nhầm các em nên chú ý: “Để tính

( )

f x dx

 ta cần tìm một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x)”

Tính chất: Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Ngoài ra còn dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ:

‘‘Cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến cái đúng’’, các nguyên tắc dạy học và đặcđiểm quá trình nhận thức của học sinh

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

Việc tính nguyên hàm của một hàm số là là một quá trình ngược lại của đạohàm Do vậy mà ở đây tôi sẽ đưa ra 3 phương pháp có tính đường lối Nó đượcdẫn dắt từ đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hai hàm

Đó là các phương pháp:

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản

- Phương pháp đổi biến số

- Phương pháp tính Tích phân từng phần

III NỘI DUNG CỤ THỂ

Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân

1 Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản

Bằng việc sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp chúng ta có thể xác

định được các nguyên hàm từ đó tính được các giá trị các tích phân

* Bảng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp

1x



* Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tính tích phân sau: I =  

5 0

4

) 4

( 4)( 4)

Nguyên nhân sai lầm: Hàm số y = 1 4

(x  4) không xác định tại x = 40;5suy ra hàm số không liên tục trên 0;5 nên không sử dụng được công thức

Newtơn – Leibnitz như cách giải trên

Lời giải đúng: Hàm số y = 4

1(x  4) không xác định tại x = 40;5 suy rahàm số không liên tục trên 0;5 do đó tích phân trên không tồn tại.

Bài tập 2.(Đề thi HSG tỉnh Thanh hóa năm 2006-2007)

Cho tích phân

0

s 22cos 2

Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau:

Thoả mãn yêu cầu bài toán khi a 2

Nguyên nhân sai lầm: Vì hàm số f(x) = s 2

Ta có dxdt, sin2nxsin2nt  sin2nt,cos2xcos2t và đổi cận ta được0

Suy ra: Thoả mãn yêu cầu bài toán khi a  2

Chú ý đối với học sinh:

Khi tính b ( )

a

f x dx

 cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên a; b không?

nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu khôngthì kết luận ngay tích phân này không tồn tại

(x

dx

2/ I2 = x x 2dx

1 3

2

2 1 ) ( 

3 1

x

x x e

dx x







Chú ý: Trong dạng toán này có những bài toán khó Các bạn thường phải áp

dụng phương pháp hệ số bất đinh để làm Xét dạng như sau

 với P(x) và Q(x) là đa thức của x.

 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức

 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn  1, , ,2 nthì đặt

2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:

Giả sử ta cần phải tìm f u du( ) Trong nhiều trường hợp một cách thuận lợi tacoi u như một hàm liên tục và có đạo hàm theo một biến mới là x Như vậy việctìm f u du( ) đưa về việc tìm f u x u x dx( ( )) '( ) một cách đơn giản hơn

Bài tập 1 Tính tích phân

1

2 0

I1 x dx

Sai lầm thường gặp:

Nguyên nhân sai lầm: học sinh đổi biến nhưng không đổi cận

Lời giải đúng: Đặt x = sint suy ra dx = cost.dt

Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan

1

2

) 1 (

4 2

2 cos 1

x tg x

x d

Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liêntục và có đạo hàm trên a; b.



 2/ I2 =  



0 1 cosx dx

Bài tập 3: Tính tích phân: I =

8 2

Nguyên nhân sai lầm:

Phép biến đổi x 62  x 6 với x 0;8 là không tương đương

 ta phải xét dấu hàm số f(x) trêna; b rồi dùng tính chất

tích phân tách I thành tổng các phần không chứa dấu giá trị tuyệt đối rồi mới tính

Bài tập 4: Tính I =

1 2

Nguyên nhân sai lầm :

Đáp số của bài toán thì không sai Nhưng khái niệm hàm ngược bây giờ khôngđưa vào chương trình THPT

* Chú ý đối với học sinh:

Các khái niệm arcsinx, arctanx không trình bày trong sách giáo khoa Học sinh

có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo,

vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến

nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không

được áp dụng phương pháp này nữa Vì vậy khi gặp tích phân dạng 2 1 2

x

2/ I = dx

x

x x

  

1 0 2

3

1

3 2 2

3/ I = 



3 1

3

1 x

dx x

Bài tập 4: Tính: I = 



4 1

3

1 x dx x

Sai lầm thường gặp: Đặt x= sint, dx = costdt



dt t

t dx

x

x

cos

sin 1

3 2

Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =

4

1

thì t =

4 15

4 15 1

3 2

2

3

2 192

15 33 3

2 192

15 15 4

15 3

1

t dt t t

tdt t

* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa a2  x2 thìthường đặt x = asint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa a2 + x2 thì đặt

x = atant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giáccủa góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phảinghĩ đến phương pháp khác

2

1

1

dx x x

1 1

2 2 2

2

2

2 1

1 1 1

1 1

dx x

x

x x

x x

Đổi cận với x = -1 thì t = -2; với x=1 thì t=2

1 (

Nguyên nhân sai lầm:

2 2

2 4

2

1

1 1 1

1

x x

x x

là sai vì trong  1 ; 1 chứa x = 0 nên

không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được Nhưng từ sai lầm này nếu các bạnthấy rằng x = 0 không thuộc tập xác định thì cách làm như trên thật tuyệt vời

2

1

1

dx x

x

=

1 2

1 2 ln

2 2

1

2 2

2 2





= 1 ln(3 2 2)

* Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số

cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0

I f x dx ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng

I uv  u vdx

Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng

ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau :

1 Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng

Học sinh viết chung hằng số c cho mọi phép tính nguyên hàm

d x

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh hiểu sai bản chất công thức lấy tích

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm

của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và

tích phân Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tíchphân từng phần

Chú ý: Thực tế cho thấy nếu những bài toán tích phân mà chứa các hàm như ln,

sin, cos, hàm mũ Thì chúng ta cần nên nghĩ ngay đến phương pháp tích phântừng phần nếu như gặp khó khăn Có những bài toán mà chúng ta cần phải sử dụng tích phân từng phần nhiều lần Chú ý bài toán sau

Bài tập 4: Tính I = 2 2

0os3xdx

x

e c





Như vậy: Tích phân trên nếu các bạn không biến đổi theo hướng trên thì gặp

nhiều khó khăn Cách làm như trên áp dụng đối với một tích phân mà nó gồm haihàm khi đạo hàm có tính chất lặp đi lặp lại

Tích phân là loại toán đa phần có phương pháp tính khá cụ thể nên dễ hiểu,đơn giản, dễ trình bày, dễ dàng trong tính toán, thực hiện các phép toán đơn giản.Giúp học sinh cảm thấy hứng thú khi giải các bài toán tích phân.

Vì vậy, nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có

ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinhnhìn thấy được nhhững điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình

về vấn đề, từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực,chủ động, củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân Từ đó làm chủ đượckiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và thi tuyển vào cáctrường Đại học, cao đẳng, THCN cũng như thi HSG cấp tỉnh

Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kếtquả đạt được khả quan hơn nhiều Cụ thể thực nghiệm sư phạm được tiến hànhtại hai lớp có trình độ tương đương nhau Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho họcsinh làm bài kiểm tra như sau:

Bài tập: Tính các tích phân sau



 (Đề thi ĐH khối B năm 2004)

3) I3 = 2

3 0

sin(sin 3 cos )

Số liệu thống kê kết quả được thể hiện qua bảng sau đây:

Bảng: Kết quả các bài kiểm tra cụ thể như sau:

Điểm

Số lượng bài

Lớp TN có 97,8% điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 68,9% khá giỏi

Có 5 em đạt điểm tuyệt đối

Lớp ĐC có 81,3% điểm trung bình trở lên, trong đó có 33,3% điểm khágiỏi, không có HS đạt điểm tuyệt đối

Kết quả của các bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm caohơn lớp đối chứng nhất là bài đạt khá và giỏi Một nguyên nhân không thể phủđịnh là lớp thực nghiệm HS thường xuyên được thực hiện phương pháp (như đã

sử dụng ở trên) và cách thức tìm tòi lời giải của bài toán…

Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những khó khăn vànhững sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập về tích phân qua

đề thi tốt nghiệp cũng như các đề thi đại học, cao đẳng của các năm trước và cácbài toán liên quan; đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh

và đem lại hiệu quả rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được ápdụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệuquả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình thực nghiệm

2 Kiến nghị, đề xuất:

Vì một bài toán có thể có nhiều cách giải, nên trong quá trình học tập vàgiải toán ta cố gắng suy nghĩ tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán, lựa chọn

phương pháp mà mình tâm đắc nhất cho bài toán đó Từ đó sẽ tiết kiệm thời gianlàm bài đặc biệt tránh được sai sót đáng tiếc.

Vì vậy, mỗi bài học giáo viên khi dạy nên cố gắng vận dụng linh hoạt cácphương pháp giải để học sinh được học tập và giải bài tập một cách tốt nhấtnhằm nâng cao chất lượng dạy và học

Trên đây là quan điểm của cá nhân tôi về việc giảng dạy phần tích phân đểchuẩn bị cho các kì thi sắp tới

Trong quá trình biên soạn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong cácThầy cô và các em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài của tôi hoàn thiện hơn và

có thể áp dụng rộng rãi hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày 10 tháng 05 năm

2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Trịnh Duy Văn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT 4 THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM

THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN

Người thực hiện: Trịnh Duy Văn Chức vụ: TTCM

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2013