rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính tích phân thông qua một số bài toán tích phân tổng quát

Trên thực tế, đứng trước một bài toán về nguyên hàm, tích phân nhiều học sinh còn bối rối trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp và chưa nhìn thấy được mối liên hệ hữu cơ giữa các lớp b

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

Nguyên hàm, tích phân là một trong những vấn đề chính của chương trình Giải tích lớp 12 Đây là các khái niệm cơ bản và rất quan trọng của giải tích có liên hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm Trong những năm gần đây, nguyên hàm và tích phân vẫn luôn là một nội dung không thể thiếu trong mỗi đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Đặc biệt, phép tính tích phân cho chúng ta một phương pháp tổng quát để tính diện tích của các hình phẳng và thể tích những vật thể có hình dạng phức tạp Trên thực tế, đứng trước một bài toán về nguyên hàm, tích phân nhiều học sinh còn bối rối trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp và chưa nhìn thấy được mối liên hệ hữu cơ giữa các lớp bài toán Do đó, rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tính tích phân là một đề tài lớn có nhiều vấn

đề cần phải đề cập đến, nên trong bài viết này tôi chọn đề tài: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính tích phân thông qua một số bài toán tích phân tổng quát.

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH TÍCH PHÂN THÔNG QUA

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT

A CƠ SỞ LÍ LUẬN

Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học

ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải

có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh, học và nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

B PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Trong quá trình giảng dạy nhiều năm và quá trình theo dõi các đề thi tốt nghiệp phổ thông và tuyển sinh vào đại học, cao đẳng học sinh gặp nhiều bài toán tích phân mà các bài toán này là các trường hợp đặc biệt hóa của bài toán tích phân tổng quát nào đó Muốn giải các bài tích phân này học sinh cần biết

phương pháp giải các bài tổng quát Vì lý do đã nêu để giúp học sinh nhanh chóng nắm bắt được một số dạng toán tính tích phân và nắm chắc phương pháp giải các dạng toán này Tôi đưa ra tiến trình thực hiện

1 Chọn các bài toán tính tích phân trong các đề thi và các tài liệu tham khảo Sau đó phân loại các bài toán ấy và tìm các phương pháp để giải các bài toán Tiếp theo tôi nghiên cứu các hướng đặc biệt hóa bài toán tổng quát để được các bài toán tích phân cụ thể có đặc trưng riêng biệt

2 Khi luyện tập cho học sinh kỹ năng giải các bài toán tích phân Tôi lại đi theo quá trình ngược lại là cung cấp cho học sinh các bài toán tích phân tổng quát, các phương pháp giải các hương đặc biệt hóa bài toán từ đó cung cấp cho học sinh một lớp bài toán hay một dạng toán tích phân có nguồn gốc từ một bài toán Tất nhiên có phương pháp giải chung Với cách dạng này học sinh dễ tiếp thu nắm chắc phương pháp giải nhiều bài toán cùng dạng Mặt khác thời gian đầu tư cho một dạng toán là ít nhất và hiệu quả tương đối cao Tạo nên cho học sinh hứng thú và tự tin trong quá trình học tập, chủ động tiếp nhận và tìm tòi các kiến thức mới

C NỘI DUNG CỤ THỂ CỦA ĐỀ TÀI:

Sau đây tôi trình bày một số bài toán tổng quát mà tôi đã cung cấp cho học sinh và hướng dẫn học sinh tìm tòi các hướng đặc biệt hóa để được các bài tính tích phân cụ thể mà ta hay gặp trong các tài liệu tham khảo và các đề thi

Bài toán 1: a) Cho a > 0 chứng minh nếu  là hàm số lẻ và liên tục trên

[-a, a] thì a ( ) 0

a f x dx



b) Nếu  là hàm số chẵn và liên tục trên [-a, a] thì a ( ) 2 a ( )

a f x dx a f x dx

Giải: a) chú ý: cho học sinh  là học sinh lẻ và [-a; 0] và [0;a] đối xứng qua

0 + a ( ) a ( )

a f x dx a f x dx

Xét 0 ( )

a

I  f x dx đặt x = - t => dx = - dt và  (x) =  (-t) = -t(t)

Vậy 0

a

I   t t dt   f t dt f x dx

Thay vào (*) => đpcm

b) CM tương tự

Các bài toán áp dụng:

1[ln(x+ 1)]



+ Cho học sinh xét hàm số (x) = [ln(x + x  )]2 1 3 có TXĐ là R và là hàm

số lẻ => I=0

2) Tính /4 2 9





3) Tính

/4

2 4

os









(gợi ý để hs tách





Bài toán 2:

Cho a > 0 và f(x) là hàm số chẵn liên tục trên R chứng minh với  b  R ta

luôn có:

0

( )

( ) 1

b b

x b

f x dx

a





Hướng dẫn để học sinh dùng phương pháp đổi biến số :

+ Đặt x = - t => dx = -dt

I



 

Suy ra

0

( 1) ( )

1

x

x

a





Các bài tập áp dụng :

*) Tính các tích phân

4 2

2

2

2

sin sin 2 cos5

;

sin cos













Bài toán 3 : Cho hàm số f liên tục trên [0;1] chứng minh rằng

0 f(sin )x dx 0 f(cos )x dx

+ Phân tích để học sinh thấy sin cos



+Đặt

2

x  t  dxdtkhi đó :

 

2

2

2









Các bài tập áp dụng : Tính các tích phân sau :

1) /2

0

sin

xdx I







3 /2

0

sin sin osx

xdx J

x c









3)

2013 /2

0

cos

xdx M

c x









5) 0/2 4sin 3

(sin osx)

x

x c









Ta xét bài toán sau tổng quát hơn bài toán 3 ở trên :

Bài toán 4 : Cho hàm số f liên tục trên [0;b] chứng minh

0b f x dx( )  0b f b x dx(  )

+ Bài toán 3 là trường hợp đặc biệt của bài toán này do sin cos



+ Hướng dẫn học sinh chứng minh bài toán : đặt t = b - x

dt dx

  và 0b   0 ( )( ) 0b ( ) 0b ( )

b

f b x dx  f t dt  f t dt f x dx

Các bài tập ứng dụng : chứng minh

1) 0/2 f tanxdx0/2 f(cot )x dx

2) 01x m1 x dxn 01x n1 x dxm

Ta lại có thể mở rộng bài toán 4 như sau :

Bài toán 5 : a; b là 2 số khác nhau cho trước chứng minh :

 

( )

a f x dx a f a b x dx 

+ Đặt t = a + b - x => dt = - dx khi : x = a thì t = b

x = b thì t = a

a f a b x dx   b f t dt b f t dt  a f x dx

Các bài toán áp dụng :

0

sin

1 sin

I

x







 (áp dụng bài toán 5 :

   

 

 





I

2) 0 sin 2

1 os

I







J x xdx

4) Cho  là hàm số liên tục trên [0;1] chứng minh

    2  

2





Bài toán 6 : Cho  là hàm số liên tục trên R và (a+b-x)= (x)

2

a b

xf x dx  f x dx

+ Hướng dẫn học sinh chứng minh : Đặt t = a + b - x

=> dt = - dx và x = a thì t = b

x = b thì t = a

I xf x dx a b t f a b t    dt

2

a b

+ Bài tập áp dụng : Tính các tích phân

1)

3

3 4

4

sin







0 cos sin

J x x xdx (Xét (x) = cos2x sin5x = cos2( - x)sin5( - x )=>

J  c x dx  c x  c x d x

0 sin cos

I x x xdx

Bài toán 7 : Cho  là hàm số liên tục trên R chứng minh với mọi số thực a ta

có : 2

0a f x dx( )  0a[ ( )f x  f(2a x dx )]

a

f x dx f x dx f x dx

Xét 2a ( )

a

J  f x dx đặt t = 2a - x => dt = - dx

0

0

a

Bài tập áp dụng : Tính 3

0 sin x sin 2 sin 3

(áp dụng kết quả trên :

3

2

0 sin sin 2 sin3 sin(3 )sin 2(3 )sin3(3 )



3

2

0 sinx2 sin3x x sin x sin 2 sin 3x x dx 0)



Bài toán 8 : Cho  là hàm số liên tục trên R và là hàm số tuần hoàn có chu kỳ

T chứng minh rằng :

1)



2) Với  n  N* ta đều có

0nT f x dx n( )  0T f x dx( )

+ Học sinh cần chú ý :

1)  n  R ta đều có (x + T) = (x) khi đó :

0

0

a f x dx a f x dx f x dx T f x dx

Xét a T ( )

T

J  f x dx đặt u = x - T => du = dx và x T x a T  uu a0



Vậy

J  f u T du  f x dx

Thay vào (*) ta được

0a T f x dx( )  0T f x dx( )

a T



Tương tự :

0

a T f x dx f x dx

2) 0nt ( ) 0T ( ) 2T ( ) (nT1) ( ) 0T ( )



Bài tập áp dụng : 1) Tính 100

I    c xdx

+ Ta có ( )f x  1 cos2xlà số tuần hoàn có chu kỳ T = 

Vậy

2) Tính I 3sin5xdx



 (Xét hàm số f(x) = sin5x là hàm số tuần hoàn

có chu kì 2 và là hàm số lẻ



Bài toán 9 : Tính

1

dx I





+ Hướng dẫn :

1

1 1 1

n n

x x

I

n







1 1

0



Từ bài toán này ta cho n nhận các giá trị khác nhau Ta được các bài toán khác nhau

Bài toán 10 : Cho 1

n

I x  xdx

1) Chứng minh 1 2 2

n

n







 2) Tính In

+ Từ bài toán này học sinh bước đầu làm quen với phương pháp sử dụng công thức truy hồi

1) Ta xét 1

n

I x  xdxđặt u = xn => du = nxn-1

3

dv  xdx v  x

Khi đó : 2 (1 )3/21 2 01 11  1

0

n

n

n



n

n









2) Suy ra I n  2n 2n 2 2 n 4 2 n 6 2 I0

Với 1 1 12    3/2

1

0

+ Nhiều năm đề thi tuyển sinh ra các bài tính I1; I2…

Ta xét bài tích phân tổng quát sau :

Bài toán 11 :

Tính

2 1 1 2

n n

I

x







 (Với n  N*)

+ Gợi ý để học sinh tìm

2 1 1

n n

I

x







+Học sinh tìm 2 1 2 

0

n

n n











1 2

n 

1

n



1

n



Ta có :

2

1

0



 

 

 

 

 

n

n n

I



Sau khi giải bài toán tổng quát học sinh áp dụng giải bài toán cụ thể tính I2, I3

Bài toán 12 : Cho tích phân 1 2

n

I   x dx

1) Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In-1

2) Tính In theo n ?

+ Gợi ý để học sinh tính In theo phương pháp tích phân từng phần : Xét 1 2

n

I   x dx

Đặt u = (1-x2)n => du = n (1-x2)n-1(-2x)dx

dv = dx => v = x

Vậy :  2 1 2 1 2

0

1

0

n

I x  x  n  x  x dx

1 0

2

n





n

n







n

n







4 5

I  I

1

I  I  dx

n

I



Từ lời giải bài toán tổng quát trên ta có :

+ Với mỗi n cụ thể ta có được 1 bài toán cụ thể + Do x [0 ; 1] nếu đặt x = sint thì

n

I  c t tdt

Từ ý khai thác trên cho học sinh tính :

Bài toán 13 :

n

I  xdx c xdx

Bằng phương pháp tích phân từng phần

Đặt u = sinn-1x => du = (n - 1)sinn-2x.cosxdx

dv = sinxdx => v = - cosx

0

/ 2

0

n

Vậy 2

1

n

n 





2 4

n

n n





4

I  xdx

2 3

n

n n



 với I1 0/2sin xdx 1

Bài tập áp dụng : Tính 01 2

1

n n

x dx I

x





 (với n N) (ở bài toán này : do x  [0 ; 1] đặt x = sint

Với t [0 ;

2

 ] và dx = costdt

Do đó 0/2sinn

n

I  tdt

Bài toán 14 : Tính 0/2 os cosn

n

I  c x xdx với n N*

+ Nhắc học sinh chú ý đến số n ở 2 vị trí trong dấu tích phân và trong ký hiệu In

+ Đặt u = cosnx => du = ncosn-1x(-sinx)dx

dv = cosxdx => v 1sinnx

n



0

/ 2 1

0

n

n



0

1

2

n

I  I   I   I  I hayI  I 

Suy ra 1 1

1 2

n n

I   I

2

I  x xdx

Vậy

2

n n

I 

Bài tập ứng dụng :

+ Cho n các giá trị khác nhau để học sinh tính các tích phân cụ thể I2, I3

Ta xét thêm 1 bài toán cũng hay gặp trong các đề thi

Bài toán 15 :

Tính

2 1 1

2

n

x dx I

x











Ta phân tích

2

1

n

 

1 2

1

0

n

n

x





+ Đề tuyển sinh của trường Đại học Quốc gia Hà nội năm 2000

2001

1002

2

1

x dx

I

x







+ Với mỗi giá trị của n ta có một bài tích phân cụ thể

D KẾT QUẢ CỦA VIỆC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1) Trong khuôn khổ của một bài viết tôi chỉ đưa ra 15 bài toán tổng quát Từ

15 bài toán nàydưới sự hướng dẫn của cô giáo học sinh tìm tòi các lời giải của các bài toán Sau khi giải được mỗi bài toán Tôi hướng dẫn học trò đặc biệt hóa bài toán theo các hướng khác nhau; để được nhiều bài toán cụ thể Trong quá trình tìm tòi học sinh phấn chấn, tự giác tiếp nhận các kiến thức mới Sau đó giải các bài toán cụ thể để khắc sâu phương pháp giải bài toán tổng quát Từ 15 bài

nhiều bài toán khác nhau Nắm chắc được các phương pháp giải các dạng toán tính tích phân này; đồng thời rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng toán tích phân

2) Trong 3 lớp 12 tôi dạy năm nay tôi áp dụng kinh nghiệm ở 2 lớp và giảng dạy bình thường ở 1 lớp Kết quả 2 lớp dạy thực nghiệm kinh nghiệm thì khá giỏi đạt 70% Còn kết quả ở lớp dạy bình thường khá giỏi chỉ đạt 50%

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Quá trình dạy học là một quá trình tìm tòi suy nghĩ để không

ngừng đúc rút kinh nghiệm nâng cao hiệu quả giờ dạy Kinh nghiệm trình bày ở trên của tôi chỉ là một cải tiến nhỏ khi rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho học sinh Nhưng dù sao sáng kiến nêu trên cũng đã hình thành cho học sinh phương pháp giải các bài toán tổng hợp; rèn luyện cho học sinh phương pháp tư duy trừu tượng Biết từ các bài toán cụ thể khái quát lên để được bài toán đặc trưng cho một lớp bài toán hay một dạng toán để rồi nắm chắc được phương pháp giải các bài toán dạng này Ngược lại cũng đã rèn cho học sinh biết cách từ bài toán tổng quát có thể đặc biệt hóa theo các hướng khác nhau để thu được các bài toán cụ thể có những đặc trưng riêng biệt, làm cho nội dung của bài toán phong phú đa dạng hơn gây cho học sinh hứng thú tìm tòi, hứng thú học toán

Hai quá trình tổng quát và đặc biệt hóa các bài toán là không thể thiếu đối với thầy cô giáo, khi dạy toán ở bài viết này đã áp dụng 2 quá trình trên trong việc rèn luyện kỹ năng tính tích phân cho học sinh và kết quả thu được thật là ngoài sự mong đợi Tôi hy vọng một chút kinh nghiệm của bản thân sẽ được các thầy cô giáo dạy toán quan tâm chia sẽ

Kiến nghị: Tác giả thiết nghĩ, nếu như mỗi một phần trong toán học phổ

thông đều được đúc rút kinh nghiệm và viết thành tài liệu dạng như thế này rồi

in thành tài liệu cung cấp cho giáo viên thì việc dạy và học trong trường phổ thông sẽ đạt hiệu quả rất nhiều, chắc chắn rằng tỉ lệ học sinh khá, giỏi của môn học đó không ngừng được tăng lên và đó cũng là kiến nghị của tác giả

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Toán nâng cao cho học sinh Giải tích 12

NXB: Đại học Quốc gia Hà Nội

2 Tuyển chọn phân loại các bài thi tuyển sinh môn toán

NXB: Trẻ

3 Tạp chí Toán học tuổi trẻ

NXB: Giáo dục và đào tạo

4 Ba thập kỷ đề thi toán vào các trường Đại học Việt Nam

NXB: Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

5 Các đề thi tuyển sinh những năm gần đây