Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, NXB Tri Thức, Hà Nội.. LATEX tra cứu và soạn thảo, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.. 4 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ 5 Các trang we
Trang 11 Nội dung
1.1 Bài toán 1
Tính tích phân
I =
b
∫
a
f (x) dx
Phương pháp giải
Phân tích
f (x) = k1f1(x) ± k2f2(x) ± · · · ± k nfn (x) Trong đó: k i ∈ R ∗ và f
i (x)(
i = 1; n)
là các hàm số có thể lấy nguyên hàm bằng các phương pháp quen thuộc như đổi biến số hoặc từng phần
Ta viết:
I =
b
∫
a
f (x) dx = k1
b
∫
a
f1(x)dx ± k2
b
∫
a
f2(x) dx ± · · · ± k n
b
∫
a
fn (x) dx
Dấu hiệu
Biểu thức dưới dấu tích phân xuất hiện với nhiều loại hàm số khác nhau.
Ví dụ 1 (D-05)Tính tích phân
I =
π
2
∫ 0
(
e sin x + cos x)
cos xdx
Giải
• Phân tích
(
e sin x + cos x)
cos x = e sin x cos x + cos2x = e sin x cos x + 1 + cos 2x
2
• Khi đó:
I =
π
2
∫ 0
e sin x cos xdx +
π
2
∫ 0
( 1
2 +
1
2cos 2x
)
dx
• Vậy
I = e sin x π
2
0 + 1 2
(
x + sin 2x
2
) π
2
0
= (e − 1) + 1
2
(π
2 − 0)
= e + π
4 − 1
Trang 2• Đáp số I = e + π
4 − 1
Ví dụ 2 (A-09)Tính tích phân
I =
π
2
∫ 0
( cos3x − 1)cos2xdx
Giải
• Phân tích
(
cos3x − 1)cos2x = cos4x cos x − cos2
x =(
1− sin2
x)2
cos x − 1 + cos 2x
2
• Khi đó:
I =
π
2
∫ 0
[ (
1− sin2
x)2
cos x − 1 + cos 2x
2
]
dx
=
π
2
∫ 0
(
1− sin2
x)2
cos xdx −
π
2
∫ 0
1 + cos 2x
2 dx
=
(
sin x − 2
3sin
3
x + 1
5sin
5
x
) π
2
0 − 1
2
(
x + sin 2x
2
) π
2
0
= 1− 2
3 +
1
5− π
4
= 8
15 − π
4
• Đáp số I = 8
15 − π
4
Ví dụ 3 Tính tích phân
I =
e
∫ 1
[
e x+ (1 + ln
2
x) √
ln x
x2
]
xdx
Giải
• Phân tích
[
e x+ (1 + ln
2
x) √
ln x
x2
]
x = e x x + (1 + ln
2
x) √
ln x
x
Trang 3• Ta có:
I1 =
e
∫ 1
e x xdx = (e x x) e
1 −
∫ e
1
e x dx
= e.e e − e − e x e
1
= e.e e − e − (e e − e)
= e e (e − 1)
I2 =
e
∫ 1
(1 + ln2x) √
ln x
1
∫ 0
2(
1 + t4)
t2dt = 2
1
∫ 0
(
t2+ t6)
dt
= 2
(
t3
3 +
t7
7
) 1
0 = 2
( 1
3+
1 7
)
= 20 21
• Vậy I = I1+ I2 = e e (e − 1) + 20
21
• Đáp số I = e e
(e − 1) + 20
21
Ví dụ 4 Tính tích phân
I =
3
∫ 1
1 + x(2 ln x − 1) x(x + 1)2 dx
Giải
• Phân tích
1 + x(2 ln x − 1)
x(x + 1)2 + 2 ln x
(x + 1)2 − 1
(x + 1)2
(x + 1)2 + 2 ln x
(x + 1)2
• Vậy
I =
3
∫ 1
1
x(x + 1) dx − 2
3
∫ 1
1
(x + 1)2dx + 2
3
∫ 1
ln x (x + 1)2dx = I1− 2I2+ 2I3
• I1 =
3
∫
1
1
x(x + 1) dx =
3
∫ 1
( 1
x + 1
)
dx = ln
x + 1 x
3
1
= ln3
4 − ln1
2 = ln
3 2
• I2 =
3
∫
1
1
(x + 1)2dx = −
( 1
x + 1
) 3
1 = −1
4 +
1
2 = 1 4
Trang 4• I3 =
3
∫
1
ln x (x + 1)2dx = −
(
ln x
x + 1
) 3
1+
3
∫ 1
1
x(x + 1) dx = −ln 3
4 +I1 =
3
4ln 3−ln 2
• Do đó: I = ln3
2 − 1
2 +
3
2ln 3− 2 ln 2 = −1
2 +
5
2ln 3− 3 ln 2.
• Đáp số: I = −1
2 +
5
2ln 3− 3 ln 2
1.2 Bài toán 2
Tính tích phân
I =
b
∫
a
f (x)
g (x) dx
Phương pháp 1
Phân tích:
f (x)
g (x) = k (x) +
h (x)
g (x)
Khi đó:
I =
b
∫
a
f (x)
g (x) dx =
b
∫
a
[
k (x) + h (x)
g (x)
]
dx =
b
∫
a
k (x) dx +
b
∫
a
h (x)
g (x) dx
Nhận xét
Ví dụ 5(A-2010) Tính tích phân
I =
2
∫ 0
x2+ e x + 2x2e x
1 + 2e x dx
Giải
• Phân tích: x2+ e x + 2x2e x = x2(1 + 2e x ) + e x
• Khi đó:
I =
2
∫ 0
(
x2+ e
x
1 + 2e x
)
dx
= x 3
3
2
0 + 1 2
2
∫ 0
d(1 + 2e x)
1 + 2e x
= 8
3 +
1
2ln|1 + 2e x | 2
0
= 8
3 +
1
2ln
1 + 2e2 3
Trang 5• Đáp số I = 8
3+
1
2ln
1 + 2e2
3
Ví dụ 6 Tính tích phân
I =
1
∫ 0
1 + (2 + x)xe 2x
1 + xe x dx
Giải
• Viết lại tích phân cần tính như sau:
I =
1
∫ 0
(xe x+ 1)2 + 2e x (xe x+ 1)− 2e x (x + 1)
=
1
∫ 0
(xe x + 1 + 2e x )dx − 2
1
∫ 0
e x (x + 1)
1 + xe x dx
= (x + 2e x)
1 0 +
1
∫ 0
xd(e x)− 2
1
∫ 0
d(1 + xe x)
1 + xe x
= 2e − 1 + xe x
1 0
−
1
∫ 0
e x dx − 2 ln |1 + xe x |
1 0
= 2e − 2 ln(e + 1)
• Đáp số: I = 2e − 2 ln(e + 1)
Trang 6Phương pháp 2
Phân tích:
f (x)
g (x) =
g ′ (x)
g (x) +
f (x) − g ′ (x)
g (x)
Khi đó:
I =
b
∫
a
f (x)
g (x) dx =
b
∫
a
g ′ (x)
g (x) dx +
b
∫
a
f (x) − g ′ (x)
Nhận xét
Quy trình giải toán cho phương pháp 2
Chọn g(x) và tính g ′ (x).
Xác định f(x) − g ′ (x).
Viết tích phân cần tính dưới dạng:
I =
b
∫
a
f (x)
g (x) dx =
b
∫
a
g ′ (x)
g (x) dx +
b
∫
a
f (x) − g ′ (x)
Tính tích phân:
I1 =
b
∫
a
g ′ (x)
g (x) dx = ln |g(x)| b
a = ln|g(b)| − ln |g(a)| = ln g(b)
g(a)
Tính tích phân:
I2 =
b
∫
a
f (x) − g ′ (x)
Vậy: I = I1+ I2
Trang 7Ví dụ 7(A-2011) Tính tích phân
I =
π
4
∫ 0
x sin x + (x + 1) cos x
x sin x + cos x dx
Giải
Lời giải 1
• Phân tích: x sin x + (x + 1) cos x = (x sin x + cos x) + x cos x
• Khi đó, ta có:
I =
π
4
∫ 0
dx +
π
4
∫ 0
x cos x
x sin x + cos x dx = x
π
4
0 + ln|x sin x + cos x| π
4
0
= π
4 + ln
√
2π
8 +
√
2 2
• Đáp số: I = π
4 + ln
(√
2π
8 +
√
2 2 )
Lời giải 2
• Đặt
f (x) = x sin x + (x + 1) cos x g(x) = x sin x + cos x
• Ta có: g ′ (x) = (x sin x + cos x) ′ = sin x + x cos x − sin x = x cos x
• Và f(x) − g ′ (x) = x sin x + (x + 1) cos x − x cos x = x sin x + cos x
• Khi đó, tích phân cần tính được viết lại như sau:
I =
π
4
∫ 0
[
x cos x
x sin x + cos x +
x sin x + cos x
x sin x + cos x
]
dx
=
π
4
∫ 0
x cos x
x sin x + cos x dx +
π
4
∫ 0
dx
= π
4 + ln
(√
2π
8 +
√
2 2 )
Trang 8Ví dụ 8 Tính tích phân
I =
1
∫ 0
3xe x + e x+ 2
xe x+ 1 dx
Giải
• Ta có:
(xe x+ 1)′ = e x + x.e x
• Khi đó, tích phân cần tính được viết lại như sau:
I =
1
∫ 0
(
e x + xe x
xe x+ 1 +
3xe x + e x+ 2− e x − xe x
xe x+ 1
)
dx
=
1
∫ 0
(
e x + xe x
xe x+ 1 + 2
)
dx
= ln|xe x
+ 1| 1
0+ 2x 1
0
= ln(e + 1) + 2.
• Đáp số: I = ln(e + 1) + 2
Ví dụ 9 Tính tích phân
I =
2
∫ 1
(x + 2)(1 + 2xe x) + 1
x(1 + xe x) dx.
Giải
• Ta có: [x(1 + xe x)]′ = 1 + 2xe x + x2e x
• Suy ra:
(x + 2)(1 + 2xe x) + 1−(1+2xe x
+ x2e x ) = x2e x + 2xe x + x + 2 = (1 + xe x )(x + 2)
• Vậy
I =
2
∫ 1
1 + 2xe x + x2e x x(1 + xe x) dx +
2
∫ 1
x + 2
= ln|x(1 + xe x
)| 2
1+ (x + 2 ln |x|) 2
1
= ln(2 + 4e2)− ln(1 + e) + 1 + 2 ln 2
= ln8 + 16e
2
1 + e + 1
Trang 9• Đáp số: I = ln 8 + 16e2
1 + e + 1
Ví dụ 10 Tính tích phân
I =
e2
∫
e
2 + (2 + ln2x) ln x
x2 ln2x dx
Giải
• Đặt
f (x) = 2 + (2 + ln2x) ln x
g(x) = x ln x
• Ta có: g ′ (x) = (x ln x) ′ = ln x + 1
• Khi đó:
f (x) − g ′ (x) = 2 + (2 + ln2
x) ln x − ln x − 1 = ln3
x + ln x + 1
• Vậy:
I =
e2
∫
e
(
ln x + 1
x2ln2x +
ln3x + ln x + 1
x2ln2x
)
dx = 2
e2
∫
e
ln x + 1
x2ln2x dx +
e2
∫
e
ln x
x2 dx
= 2I1 + I2
• Với I1 =
e2
∫
e
ln x + 1
x2ln2x dx =
2e2
∫
e
du
u2 = −1
u
2e
2
2e2 = 2e − 1
2e2
• Với
I2 =
e2
∫
e
ln x
x2 dx = − ln x
x
e
2
e +
e2
∫
e
1
x2dx = −
(
ln e2
e2 − 1
e
)
− 1 x
e
2
e
= 1
e − 2
e2 + 1
e − 1
e2
= 2e − 3
e2
• Vậy: I = 2 2e − 1
2e2 + 2e − 3
e2 = 4e − 4
e2
• Đáp số: I = 4e − 4
e2
Trang 10Ví dụ 11 Tính tích phân
I =
e
∫ 1
(x3+ 1) ln x + 2x2+ 1
2 + x ln x dx
Giải
• Ta có: (2 + x ln x) ′ = 1 + ln x
• Khi đó: (x3+ 1) ln x + 2x2+ 1− 1 − ln x = x3ln x + 2x2 = x2(x ln x + 2)
• Do đó:
I =
e
∫ 1
1 + ln x
2 + x ln x dx +
e
∫ 1
x2dx = ln |2 + x ln x| e
1+ x
3
3
e 1
= ln(e + 2) − ln 2 + e3− 1
3
= lne + 2
2 +
e3− 1
3
• Đáp số: I = ln e + 2
2 +
e3− 1
3
Ví dụ 12 Tính tích phân
I =
π
2
∫ 0
(x2− 1) sin2
x + x (cos x + sin 2x) + 1
Giải
• Xét
(x sin x + cos x) ′ = sin x + x cos x − sin x = x cos x
• Khi đó, ta có:
(x2− 1) sin2
x + x(cos x + sin 2x) + 1 − x cos x
= (x2− 1) sin2
x + x sin 2x + 1
= x2sin2x + 2x sin x cos x + cos2x
= (x sin x + cos x)2
Trang 11I =
π
2
∫ 0
(
x cos x
x sin x + cos x + x sin x + cos x
)
dx
=
π
2
∫ 0
x cos x
x sin x + cos x dx +
π
2
∫ 0
(x sin x + cos x)dx
= ln|x sin x + cos x| π
2
0 +
π
2
∫ 0
x sin xdx +
π
2
∫ 0
cos xdx
= lnπ
2 − x cos x π
2
0 + 2
π
2
∫ 0
cos xdx
= lnπ
2 + 2 sin x
π
2
0
= 2 + lnπ
2
• Đáp số: I = 2 + ln π
2
Ví dụ 13 Tính tích phân
I =
ln 2
∫ 0
(x2+ 2)e 2x + x2(1− e x)− e x
Giải
• Xét (e 2x − e x+ 1)′ = 2e 2x − e x
• Khi đó:
(x2+ 2)e 2x + x2(1− e x
)− e x − (2e 2x − e x
) = x2e 2x + x2(1− e x
) = x2(e 2x − e x
+ 1)
• Do đó:
I =
ln 2
∫
0
2e 2x − e x
e 2x − e x+ 1dx +
ln 2
∫ 0
x2dx = ln |e 2x − e x
+ 1| ln 2
0 + x
3
3
ln 2
0 = ln 3 + ln
3 2 3
• Đáp số: I = ln 3 + ln
3 2 3
Ví dụ 14 Tính tích phân
I =
e
∫ 2
x2(4 ln x + 1) + (2x + 1)ln2x + 4x ln x
x2(x + ln x) ln x dx.
Giải
Trang 12• Đặt
f (x) = x2(4 ln x + 1) + (2x + 1) ln2x + 4x ln x
g(x) = x2(x + ln x) ln x
• Xét
g ′ (x) = [x2(x+ln x) ln x] ′ = (x3ln x+x2ln2x) ′ = 3x2ln x+x2+2x ln2x+2x ln x
• Khi đó:
f (x) − g ′ (x) = x2
ln x + ln2x + 2x ln x = (x2 + ln x + 2x) ln x
• Do đó, tích phân cần tính được viết lại như sau:
I =
e
∫ 2
d[x2(x + ln x) ln x]
x2(x + ln x) ln x +
e
∫ 2
x2+ ln x + 2x
x2(x + ln x) dx
= ln|x2
(x + ln x) ln x | e
2+
e
∫ 2
x + 1 x(x + ln x) dx +
e
∫ 2
1
x2dx
= ln e
2(e + 1)
4(2 + ln 2) ln 2 − 1
x
e
2+
e
∫ 2
d(x + ln x)
x + ln x
= ln e
2(e + 1)
4(2 + ln 2) ln 2 +
1
2 − 1
e + ln|x + ln x| e
2
= ln e
2(e + 1)
4(2 + ln 2) ln 2 +
1
2 − 1
e + ln
e + 1
2 + ln 2
= ln e
2(e + 1)2 (2 + ln 2)24 ln 2 +
1
2 − 1 e
• Đáp số: I = ln e2(e + 1)2
(2 + ln 2)24 ln 2 +
1
2 − 1 e
Ví dụ 15 Tính tích phân
I =
e
∫ 1
1− x(e x − 1) x(1 + xe x ln x) dx
Giải
• Đặt
f (x) = 1 − x(e x − 1) g(x) = x(1 + xe x ln x)
Trang 13• Xét
g ′ (x) = [x(1 + xe x ln x)] ′ = 1 + 2xe x ln x + x2e x ln x + xe x
• Khi đó:
f (x) − g ′ (x) = 1 − xe x + x − 1 − 2xe x ln x − x2e x ln x − xe x
= x − 2xe x − 2xe x
ln x − x2
e x ln x
= x(1 − 2e x − 2e x
ln x − xe x
ln x)
• Vậy:
I =
e
∫ 1
d[x(1 + xe x ln x)]
x(1 + xe x ln x) +
e
∫ 1
1− 2e x − 2e x ln x − xe x ln x
(1 + xe x ln x) dx = I1+ I2
• Với
I1 =
e
∫
1
d[x(1 + xe x ln x)]
x(1 + xe x ln x) = ln|x(1+xe x
ln x) | e
1 = ln|e(1+e e+1
)| = 1−ln(1+e e+1
)
• Với
I2 =
e
∫ 1
1− 2e x − 2e x ln x − xe x ln x
1 + xe x ln x dx
=
e
∫ 1
1 + xe x ln x − 2(e x + e x ln x + xe x ln x)
1 + xe x ln x dx
=
e
∫ 1
dx − 2
e
∫ 1
d(1 + xe x ln x)
1 + xe x ln x
= x e
1− 2 ln |1 + xe x
ln x | e
1
= e − 1 − 2[ln(1 + e e+1
)− 0]
= e − 1 − 2 ln(1 + e e+1
)
• Do đó:
I = 1 − ln(1 + e e+1
) + e − 1 − 2 ln(1 + e e+1
) = e − 3 ln(1 + e e+1
)
• Đáp số : I = e − 3 ln(1 + e e+1
)
Trang 142 Tài liệu tham khảo
1 Trần Văn Hạo, 2008 Giải tích 12, NXB Giáo Dục, Hà Nội.
2 Trần Phương, 2006 Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, NXB
Tri Thức, Hà Nội
3 Nguyễn Hữu Điển, 2001 LATEX tra cứu và soạn thảo, NXB Đại Học Quốc
Gia Hà Nội, Hà Nội
4 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ
5 Các trang web về toán.
• http://mathscope.org
• http://onluyentoan.vn
Trang 15Mục lục
1.1 Bài toán 1 1 1.2 Bài toán 2 4
...Tính tích phân
I =
b
∫
a
f (x)
g (x) dx
Phương pháp 1...
ln x
x2
]
xdx
Giải< /b>
• Phân tích< /i>
[
e x+ (1 + ln
2...
Ví dụ Tính tích phân
I =
3
∫ 1
1 + x(2 ln x − 1) x(x + 1)2 dx
Giải< /b>