biến đổi fourier và biến đổi laplace

Khi nghiên cứu các phép tính về toán tử người ta đưa ra các khái niệm và tính chất của biến đổi Fourier và biến đổi Laplace.. Các biến đổi này rất hữu ích trong việc giải phương trình vi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINI

ee

TRAN THI MINH THUY

BIEN DOI FOURIER VA BIEN DOI LAPLACE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINI

ee

TRAN THI MINH THUY

BIEN DOI FOURIER VA BIEN DOI LAPLACE

Chuyén nganh: GIAI TICH

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 000002202 n n n n n n n nu 1

LỜI NÓI ĐẦU 0200000200201 n nh nh nh nh xà 2

Chương 1 Biến đổi Eourier 4 1.1 Các kiến thức chuẩn bị c2 hs 4 1.2 Chuỗi FOurier 2Q 2n 2n ng nh kg ky 8 1.8 Tích phân FOUrier - c2 22222212 15

1.4 Biến đổi Fourier c2 c 222k 19

1.5 Ứng dụng của biến đổi Eourier c c 27 Chương 2 Biến đổi Laplace 31 2.1 Biến đổi Laplace 20222 n n2 nh hs 31

2.2 Tính chất của ảnh 22 34

2.3 Tích chập -.ccccQ Q Q Q2 ng ng ng HH ng ng ng kg vn ky 39

2.4 Biến đổi Laplace ngược c2 2c cà 41

2.5 Ứng dụng của biến đổi Laplace cccccccccc 45

n9 0H la 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết toán tử là một trong những hướng nghiên cứu chính của Giải tích hàm và Giải tích phức Khi nghiên cứu các phép tính về toán tử người ta đưa

ra các khái niệm và tính chất của biến đổi Fourier và biến đổi Laplace Các

biến đổi này rất hữu ích trong việc giải phương trình vi phân, giải phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán Vật lý, Điện tử Qua hai phép biến đổi này ta

có thể chuyển các phương trình phức tạp về các phương trình đơn giản hơn

Vì thế việc tiếp cận và tìm hiểu biến đổi Fourier và biến đổi Laplace là điều

bổ ích và cần thiết Do đó chúng tôi chọn đề tài cho luận văn của mình là:

"Biên đôi Fourier và biên đồi Laplace"

Mục đích của chúng tôi là dựa vào các tài liệu tham khảo để tìm hiểu và nghiên cứu các tính chất của biến đổi Fourier và biến đổi Laplace cùng với một vài ứng dụng của chúng

Với mục đích đó, luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1 Biến đổi Fourier

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn, như khái niệm về tích phân suy rộng, tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối, tích phân hàm biến phức, định lý Cauehy cho miền đơn liên, định lý Morera, chuỗi Laurent, khái niệm điểm bất thường

cô lập, thang dư

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số vấn đề về chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier

Chương 2 Biến đổi Laplace

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép biến đổi Laplace

Các kết quả trong luận văn chủ yếu là đã có trong các tài liệu tham khảo Chúng tôi đã tìm hiểu, trình bày theo bố cục của mình Chứng minh chỉ tiết

một số kết quả mà các tài liệu chứng minh vắn tắt hoặc bỏ qua chứng minh

Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả mới như Định lý 1.4.2,

Mệnh đề 1.4.10, Ví dụ 2.1.2

Luan van được thực hiện và hoàn thành tại Trường Dại học Vĩnh dưới sự

hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo PGS.TS Dinh

Huy Hoàng Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy

Nhân dây, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành của mình tới Ban

chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau đại học, và tất cả các thầy

cô giáo trong bộ môn Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học

tập tại trường Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện

động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi những thiếu

sót, kính mong quý thầy cô và bạn đọc góp ý để luận văn ngày được hoàn

thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

CHƯƠNG 1

BIEN DOI FOURIER

1.1 CAC KIEN THUC CHUAN BI

1.1.1 Định nghĩa Cho a € R và ƒ : [a,+o0)—R 14 ham kha tich trén mọi đoạn [a,b] với b > a Khi đó đẳng thức

a

Tương tự như trên ta có định nghĩa sau

1.1.2 Định nghĩa Cho ƒ : (œ,ø]—R là hàm khả tích trên mọi đoạn [b,a], b< a Tich phan suy rong ctia ham ƒ trên (—o, &] là giới hạn nếu có

với œ € IR và nếu về phải là có nghĩa

1.1.5 Định nghĩa Cho ham W = /(z) xdc dinh trén mién , nhận giá

trị trong C va z € D Ham ƒ gọi là giải tich tai 29 néu tdn tai lan can U của

zg sao cho f kha vi tai moi z € U

Ham / goi lA giải tích trên miền D nêu nó giải tích tại mọi z € D

1.1.6 Định nghĩa Giả sử + là một đường cong trong RŸ (trong C) và Ƒ: + với ƒ(2) = u(z, 9) + i0(,9), z—=#+iu€ + Ta gọi tích phân của

Œp là đường tròn tâm zụ, bán kính p uới r < p< lì

1.1.10 Định nghĩa Chuỗi (1) trong Dịnh lý 1.1.9 được gọi là khai triển Laurent hay chudi Laurent cia ham ƒ trong hình vành khăn {z € C: r <

|z — zo| < f} Trường hợp r = 0, chuỗi (1) hội tụ trong hình tròn thủng

{z€(Œ:0< |z-— zo| < R} ta gọi (1) là khai triển Laurent cia f trong lan

cận của zọ Trường hợp zo = 0, !? = œ, chuỗi ° a,zÈ hội tụ trong miền

1.1.12 Định nghĩa Giả sử zọ là một điểm bất thường cô lập của hàm ƒ

Khi đó tồn tại ƒ > 0 sao cho ƒ giải tích trên hình tròn thủng 0 < |z— zo| < R

lý hiệu Œ› là đường tròn tâm zo, bán kính ø Ta gọi thăng đư của ƒ tại điểm

1.1.13 Định ly (a) Néu 2 1a o0-diém đơn của hầm ƒ thì

1.1.14 Dinh ly Cho ham f gidi tich trong mién D trừ ra một số hữu hạn

điểm bắt thường cô lập z\.z3 zu Khi đó uới mọi chu tuyến + sao cho i

f(a) ~ 5 + » (ay coska + by sinks) (2)

1.2.3 Nhận xét Nói chung chuỗi Fourier của hàm ƒ chưa chắc đã hội tụ

và nếu nó hội tụ thì cũng chưa biết tổng của nó có bằng hàm f hay khong?

Do đó có một vấn đề đặt ra ở đây là với điều kiện nào thì chuỗi Fourier hội

tụ tới hàm f? Sau đây ta sẽ giải quyết vấn đề này

ay 2n+1

_ sin at

int 2sing

1.2.4 Dinh ly (Riemann - Lebesgue) Nếu hàm ƒ(z) trơn từng khúc trên

đoạn [a, b| thì với mọi số thực ¿ ta có

với mọi # € (#g_1,#), k =1, ,/V Trong đó, ta ký hiệu

f(ut) = lim ƒŒ).ƒ(u )= lim f(t), u € [a,b)

Do đó jim hile #)cos(Àz + p)da = 0

A>00 |

Đăng thức còn lại được chứng minh tương tự

1.2.5 Nhận xét Nếu hàm ƒ trơn từng khúc và có hệ số Fourier là {ag, by} thì

lim az = lim by = 0

k—œ na ko k That vay, thay \ = k, ¿ = 0 vào Định lý 1.2.4 ta có các đẳng thức này 1.2.6 Định lý Nếu hàm ƒ tuần hoàn oới chu kỳ 2 oà trơn từng khúc trên

mỗi chu kỳ thà chuối Fourier của ƒ hội tụ đến ƒ (x) tai moi x ma f lién tuc

va hoi tu dén Le" the") tai moi x ma f gidn doan, tic la vdi moi x € R

f@)+f@) _ «> > =e + „0 cos ka; + by sin kx) sy + by sin ki

Chọn 6, 0 < 6 < m sao cho ƒ7(u) liên tục trên các khoang (a — 6,2) va

(2,2 +0) Dat M = sup |{'(x)| Ap dung Dinh ly Lagrange ta c6

1.2.7 Nhận xét Từ năm 1871 Dubois - Reymond đã cho ví dụ về hàm

liên tục nhưng không trơn từng khúc có chuỗi Fourier không hội tụ về hàm đó

1.2.8 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kỳ /

Cho ham f(x) tuan hoan véi chu ky ¢ Dat ¢ = 732 va y(t) = f (9) ta được hàm ¿(£) tuần hoàn với chu kỳ 2z Từ đó ta có chuỗi Fourier của y(t)

la y(t) ~ B+ tài (ag, cos kt + Øy sin kt), trong dé

1.2.9 Dạng phức của chuỗi Fourier

Đặt

2k Qkr r) u(f,2) = > Oy » án cos 7

và gọi nó là chuỗi Fourier của ham ƒ với chu kỳ £ Theo công thức Euler

2km 1 (c jing + a)

( 2

Ta gọi chuỗi Fourier của hầm ƒ là chuỗi (8) với hệ số cho bởi (9) Ký hiệu

‡ = vg Coi k nhu la ham của 1 ta có k = 0 Khi đó cũng có thể coi Œp là hàm của

Œpy = C(1y) =} J x " (10)

1.3 TICH PHAN FOURIER

Cho / là một hàm tuần hoàn với chu kỳ £, trơn từng khúc trên mỗi chu

flv) = lim le(v Ni flue edu

1.3.1 Định nghĩa Giả sử hàm ƒ(#) khả tích trên IR Ta gọi tích phan

| / fue?” du | dv = / fv)" dudv, (2)

la tich phan Fourier cia f (2)

Mot cau hoi duge đặt ra ở đây là tích phân Fourler của hàm ƒ có quan hệ

gì với hàm ƒ Dịnh lý sau cho ta câu trả lời

1.3.2 Định lý Nếu hàm ƒ() khả tích tuyệt đối trên IR, tức là

%

J |f(2)|dz = M < œ (3)

—®%œ

0ù trơn từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn của I thà có đẳng thúc

(a) = gIf*) + S| = | / Puye2@"—du | du (4)

—oc \œ%

Chitng minh Do (3), tich phan (4) hoi tu déu theo bién x va có đánh giá

| ƒ(u)c đu| < Piru) =M

với mọi # € Từ đó tích phan

v(f,2) -j [fre ƒ(u)c27a= va) dv

Có thể đổi thứ tự lấy tích phân

cho 0 <t <6 thi iG +1) va Sa — t) có dao ham lién tuc va 6 < air: Theo

định lý Lagrange, ton tai 01, 02,0 < 01,62 < 1 sao cho

Do tính hội tụ của tích phân (6), tồn tại # đủ lớn sao cho

Cuối cùng, với 6 > 0 va R > 0, moi /£ € [ô, !?] hàm

f(a+t) + f(a—t) — flat) — fla)

Sử dụng đánh giá này va các đánh giá (7) và (8) ta có

lIn(f.2) — f(2)| <¢ véi moi N > No

1.4 BIEN DOI FOURIER

Ta ký hiệu + là tập tất cả các hàm kha tich tuyét d6i trén R va dat

I/lli = / LF (an) |der

1.4.1 Định nghĩa Với mỗi ƒ € L, theo Định lý 1.3.2 từ đẳng thức (4)

là biến doi Fourier cha f

Một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là hàm biến đổi Fourier ƒ của

ƒ có những tính chất gì? Các Dịnh lý sau giải quyết vấn đề này

1.4.2 Định lý Nếu ƒ € Lị thà f la ham liên tuc va bi chăn trên H Chitng minh Vi

je?) — |eos vy — isin ay| = 1 Vz,u€IlR

lf(y)| < / [f(a)e- 24 dar

< | l7ø)w = lilh Vyek

Do đó f bi chan trén R

Bây giờ ta chứng minh ƒ liên tục

Gia stt y € R va {ym} la mot day trong R va ym—y Ta can chứng minh f(Ym)— f(y) Ta có

CO

eum) =n)? ff player 2x, m= 1.2

—®œ

ƒ(n)c 79m Ƒ(w)e ?"“V hi m—oo Va € R ƒ(œ)e 781 < |Ƒ()| Ve ER, Vm

và |ƒ/| khả tích trên /# nên theo Dịnh lý Lebesgue vé su hdi tu bi chan thi

[ foyer lu

Do đó fm) f(y) và ta kết luận được f lién tuc tai y Vi y là điểm bất

kỳ của R nén ƒ liên tục trên R

1.4.3 Định lý Cño ƒ € Lị Với mọi r > 0, đặt ƒr(+) = ƒ(ra) Khi đó

#;z) = z!(§)

Chứng mạnh Tà có

1.4.4 Định lý Cho ƒ là một hàm khá tích tuyệt đối trên R Với mỗi

y ER, dat fY(x) = f(a —y) Khi do (f¥)(2) = e 2" f(z); (f)" = h, trong

đó h(œ) = c9 f(x)

1.4.5 Định lý Néu 2 f(x) kha tich tuyet doi tren R v6i moi m < k thi

f khả vi lién tuc k lan va (f) ứn) = ((—2zia)"ƒ)^

Chitng minh Ta co

Co _ dm

Chiing minh Ta c6

F*g(z) = / (/ gu 0000) MS

Theo quy nap ta dude (f*))(z) = (2ziz) ƒ(2)

Ta ký hiệu + là không gian các ham do được Lebesgue va bi chan hầu khắp nơi trên ïR với chuẩn

I/le =in/[ sụp |/@)|: ECR,u(E) =0} œeR\E

f € Loo, trong đó là độ đo Lebesgue trên R

1.4.9 Dinh nghia Ta goi Anh xa F : [; 31 voi F(f) = Ẩ fella phép bién doi Fourier

1.4.10 Ménh dé Phép bién doi Fourier la ánh xa tuyến tính liên tục

Chứng tinh Từ tính tuyến tính của phép lấy tích phân Lebesgue suy ra Ƒ° là ánh xạ tuyến tính

Theo chttng minh Dinh lý 1.4.2 ta có

IIFŒ)ls = lHIx < /ll Yƒ€ hị

Do đó #' liên tục

1.4.11 Định nghĩa Với mọi hàm ƒ(z ‘ kha tich tuyét déi trén R, ta goi

biến doi Fourier nguge cha f(a) la f(x) = f(—2) = =ƒ )c?121z,

1.4.12 Định lý Nếu ƒ sà ƒ khả tích tuyệt đối tren R thi (f) = (f) = f

hầu khắp nơi

Dể chứng minh định lý này ta cần 4 bổ đề sau

1.4.12.1 Bổ đề Nếu ƒ oà g khả tích tuyệt đối trên R thì

I ƒ(z)8()dz = [fo Fa)g(a)de

Chứng mình Hai tích phần đều bang

J fi f(a À)c 27 dy dX

1.4.12.2 Bồ đề Nếu ƒ(+) = e 7“, a >0 thì ƒ(A) = ase”S

Chứng tinh Theo Dịnh lý 1.4.5 và Dịnh lý 1.4.7 của biến đổi Fourier

Co

7 ƒ(0) = f hdr = a3 (tích phân Poisson) nên e”2 BF) = = a2 Với

—oo

mọi hàm ¿ khả tích tuyệt đối trên R ta ky hiéu

loi = Í le6)6s, gala) =p (2)

1.4.12.3 Bổ đề Cho ham ƒ khả tích tuyệt đối trên IR Khi đó

lim ||ƒ” = ƒ||i = 0

>0

Chitng minh Gia st’ g la mot ham liên tục có giá compăc trên lR, tức là tap K = {x ER: ø(z) # 0} compäc Do ø liên tục đều nên

(ở đây ký hiệu ||l¿|| = sup |l¿(z)| rm(K) là độ do Lebesgue cia tập K)

Vì f kha tích tuyệt đối trên nên mọi e > 0, tồn tại ø có giá compăc sao

cho ||ƒ — ø|[< § Khi đó

2 l/” — /lli < lƯ — ø)”li + llø” — ø|li + Ilo = Sila 1< 3+ lly’ —glh Theo đoạn trên nếu ¿ đủ nhỏ thì ||ø# — g||ị < § nên ||/# — øÌ||i <e

1.4.12.4 Bổ đề Cho ¿ là hàm khả tích tuyệt đối trên IR va i ¿(#)dz = 1

Khi đó uới mọi hàm ƒ khá tích tuyệt đối trên ta có

Vì |JƒZ — /ll < 2|ƒlh và theo Bổ đề 1.4.12.3, him |"? — li = 0 với mọi

Tương tự ta cũng có ƒ = (ƒ) hầu khắp nơi

1.4.13 Nhận xét Theo Dinh ly 1.4 12, nều ƒ và ve tích tuyệt đối trên

R thì ta có ƒ() = =f ƒ(z)c?*##d¿ = f i ƒ(œ)e2m(®=1)quä4y hầu khắp

nơi

1.4.14 Biến đổi Fourier thực

Cho ƒ(z) là một hàm trơn từng khúc, khả tích tuyệt đối trên IR Theo Định

lý 1.3.2

ƒ(œ)= sứ f(a) + f(at) " J 10) ƒ(u elm (a s4] dv

Từ đó theo công thức Euler

0 — Bằng phép đổi biến 2z = œ và ký hiệu

Các hệ thức (5), (6), (7) gọi là biến đổi Fourier thực của ƒ(3)

Nếu f(x) chin thi B(w) = 0 Ta goi bién déi Fourier cosin cia ham chin

1.5 UNG DUNG CUA BIEN DOI FOURIER

1.5.1 Bài toán Dirichlet trong nửa mặt phẳng trên

Tìm nghiệm của phương trình

bầu + dâu 0 <#œ<%, >0 (1)

—s+s=0_ Ox? Oy? -*<#<œ, ỹ thỏa mãn điều kiện

u(œ,0)= ƒ() —=s%<#< © (2) Giải Giả sử u có các tính chất cần thiết cho các phép toán tiếp theo được