Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng (TT)

Một trong những nội dung được quan tâm của phép biến đổitích phân là nghiên cứu các tích chập.. đề cập và nghiên là tích chập suy rộng Fourier sine và Fourier cosine.Cho đến những năm 90

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từrất sớm Đến nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tíchtoán học Một trong những nội dung được quan tâm của phép biến đổitích phân là nghiên cứu các tích chập Đó là một phép nhân đặc biệt đượcđịnh nghĩa qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường được đưa vàonghiên cứu trong các không gian hàm mà ở đó phép nhân thông thườngkhông tồn tại Các tích chập đầu tiên được nghiên cứu là tích chập Laplace,tích chập Fourier Năm 1951, tích chập suy rộng đầu tiên được SneddonI.N đề cập và nghiên là tích chập suy rộng Fourier sine và Fourier cosine.Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, một vài tích chập suy rộng đốivới các phép biến đổi tích phân khác mới tiếp tục được nghiên cứu bởiYakubovich S.B Đó là các tích chập suy rộng đối với các phép biến đổitích phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi

H theo chỉ số Đến năm 1998, Kakichev V.A và N.X Thảo đưa ra địnhnghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng γ của hai hàm f và k đối với baphép biến đổi tích phân bất kỳ T1, T2 và T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tửhóa T1 f ∗ k
(y) = γ(y) Tγ 2f
(y) T3k
(y) và cho điều kiện cần để xác địnhtích chập khi biết một số ràng buộc cụ thể về nhân của các phép biến đổitích phân tương ứng Nhờ kỹ thuật này mà những năm về sau đã có một

số tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân khác đượcxây dựng Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có một kết quả nghiên cứu chínhthức nào về tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đượccông bố

Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập f ∗ k
(x),bằng cách cho một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thứctích chập, chẳng hạn cố định hàm k, còn hàm f cho biến thiên trong mộtkhông gian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được phép biến đổi tích phânliên quan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân kiểu

tích chập f 7→ g = f ∗ k
Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầutiên được Watson xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đếntích chập Mellin Tổng quát hơn, người ta có thể nghiên cứu phép biến đổitích phân dạng f 7→ g = D f ∗ k
mà D là một toán tử nào đó Trongtrường hợp D = (1 − dxd22) là một toán tử vi phân cấp 2, phép biến đổitích phân kiểu tích chập Fourier cosine đã được V.K Tuấn và Musallamthiết lập và nghiên cứu Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập hoặctích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Fourier sine, Mellin, biến đổiKontorovich-Lebedev sau đó cũng được nghiên cứu Cho đến nay các phépbiến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace có hàm trọng và không

có hàm trọng vẫn chưa được nghiên cứu

Khi giải quyết các bài toán toán-lý, nghiệm của các bài toán này có thểđược biểu diễn qua các tích chập tương ứng Để đánh giá các nghiệm đó ta

có thể dùng đến bất đẳng thức đối với tích chập Đầu tiên phải kể đến bấtđẳng thức Young và bất đẳng thức Saitoh đối với tích chập Fourier Cácbất đẳng thức dạng này đối với tích chập Mellin, tích chập Fourier cosinesau đó cũng được thiết lập nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị Tuynhiên, các bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng liên quan đến phépbiến đổi Laplace đến nay vẫn chưa được đề cập và nghiên cứu

Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để nghiên cứu là "Tíchchập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier

và ứng dụng"

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suyrộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace Nghiên cứu tính chấttoán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộngnày trong một số không gian hàm cụ thể Xây dựng và nghiên cứu cácphép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng Nghiên cứucác tính chất toán tử của phép biến đổi như tính unita, sự tồn tại toán tửngược trong không gian L2(R+) Từ đó, ứng dụng vào việc giải một lớpcác phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp giải tích hàm, lýthuyết toán tử, phép biến đổi tích phân và lý thuyết tích chập Chúng tôiứng dụng bất đẳng thức H¨older để đánh giá chuẩn của các toán tử tíchchập mới trong các không gian hàm cụ thể Đặc biệt Định lý Wiener-Levyđược sử dụng nhiều trong việc xây dựng công thức nghiệm đóng cho lớpcác phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân

4 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chialàm ba chương:

Chương 1, xây xựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Laplace Nhận được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval,Định lý kiểu Titchmarch và một số đánh giá chuẩn trong các không gianhàm Lp(R+) và Lα,βp (R+) Tìm được mối liên hệ giữa các tích chập suy rộngmới với một số tích chập quan trọng đã biết Hơn nữa, trong các khônggian Lp(R+) và Lp(R+, ρ), các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đốivới tích chập suy rộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh.Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tíchchập suy rộng Fourier-Laplace Nghiên cứu các tính chất toán tử của cácphép biến biến đổi này, ta nhận được các Định lý kiểu Watson cho điềukiện cần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là unita trong không gian

Fourier-L2(R+), hơn nữa ta cũng xác định được điều kiện đủ cho sự tồn tại cácphép biến đổi ngược Ngoài ra Định lý kiểu Plancherel đối với phép biếnđổi tích phân tương ứng cũng được chứng minh

Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tíchphân và phương trình vi-tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộngFourier-Laplace và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace Hơn nữa, bằng phương pháp giải này nghiệm nhận được từ cáccác phương trình trên đều được cho dưới dạng dóng

5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, các phép biếnđổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace, và một số bất đẳng thức đốivới các tích chập suy rộng tương ứng lần đầu tiên được đề cập và nghiêncứu trong luận án Các kết quả này có ý nghĩa khoa học và góp phần làmphong phú hơn về lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập cũng nhưbất đẳng thức đối với tích chập Từ đó, đưa ra cách tiếp cận mới và cácphương pháp giải phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân.Một số ý tưởng và phương pháp được sử dụng trong luận án có thể dùngnghiên cứu các tích chập suy rộng khác

Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, đượcliệt kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm bacông trình trên các tạp chí toán học Quốc tế (trong đó [4] thuộc tạp chítrong danh mục ISI) và một công trình trên tạp chí toán học Quốc gia.Các kết quả này đã được báo cáo một phần hoặc toàn bộ tại:

+ Hội nghị Toán học Việt-Pháp, tháng 8 năm 2012, tại Huế

+ Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013, tại NhaTrang

+ Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứngdụng (ICFIDCAA), tháng 8 năm 2011 tại Hà Nội

+ Hội thảo Toán học phối hợp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội vàTrường Đại học Heidelberg của Đức, tháng 3 năm 2015

+ Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

+ Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên HàNội

Chương 1 TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE

Mục đích của Chương 1 là nghiên cứu một số tích chập suy rộng liênquan đến phép biến đổi Laplace Nghiên cứu các tính chất toán tử của cáctích chập suy rộng này trong một số không gian hàm khác nhau Thiết lậpcác bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với các tích chập tương ứng

Định nghĩa 1.1.1 Tích chập suy rộng của hai hàm f và k đối với haiphép biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau

f ∗

1 k
(x) = 1

π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

1 k
(x) ∈Ac, và thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval

f ∗

1 k
(x) = Fc

Fcf
(y) Lk
(y)(x), ∀x > 0 (1.3)Hơn nữa, ta cũng nhận được đẳng thức nhân tử hóa sau

Fc f ∗

1 k
(y) = Fcf
(y) Lk
(y), ∀y > 0 (1.4)

Bổ đề 1.1.1 Nếu k(x) ∈ L1(R+), thì Lk
(y) ∈ Ac

Định lý 1.1.2 Giả sử rằng f (x), k(x) ∈ L1(R+) Khi đó đối với tích chập

f ∗

2 k
(x) = 1

π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

πf (0)

Z ∞ 0

yk(y)

x2 + y2 dy (1.9)Định nghĩa 1.1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0)của hai hàm f và k đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine vàLaplace được định nghĩa như sau

f ∗γ

1 k
(x) = 1

π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

θ1(x, u, v + µ)f (u)k(v)dudv, (1.10)

trong đó θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2)

Định lý 1.1.4 Giả sử f (x), k(x) ∈ L1(R+) Khi đó, tích chập suy rộng

Fcf
(y) Lk
(y), ∀y > 0 (1.12)

Ngoài ra, tích chập suy rộng f ∗γ

1 k
(x) cũng thuộc C0(R+)

Định lý 1.1.5 (Định lý kiểu Titchmarch) Cho hai hàm số liên tụck(x) ∈ L1(R+) và f (x) ∈ L1(R+, eαx) (α > 0) Nếu f ∗γ

1 k
(x) = 0, ∀x > 0thì hoặc f (x) = 0, ∀x > 0 hoặc k(x) = 0, ∀x > 0

1 k
(x) tồn tại, liên tục, bị chặn trong Lα,β

Nhận xét 1.1.2 Trong tích chập suy rộng ∗γ

1
, nếu thay thế nhân

θ1(x, u, v + µ) bởi θ2(x, u, v + µ) được xác định như (1.5), thì ta nhậnđược tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace ∗γ

Z ∞ 0

θ2(x, u, v + µ)f (u)k(v)dudv, (1.15)

và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Fs f ∗γ

2 k
(y) = e−µy Fsf
(y) Lk
(y), ∀y > 0, f, k ∈ L1(R+) (1.16)

sine-Laplace với hàm trọng

Định nghĩa 1.2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = − sin y củahai hàm f (x) và k(x) đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine,Fourier sine và Laplace được định nghĩa như sau

f ∗γ

3 k
(x) = 1

2π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

θ2(x − 1, u, v) − θ2(x + 1, u, v)f (u)k(v)dudv,

(1.17)với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.5)

Ta đặt H(R+) =

n

f (x) : Lf
(y) ∈ L2(R+)

o

Định lý 1.2.1 Giả sử f (x) ∈ L2(R+) và k(x) ∈ H(R+) Khi đó, tích chậpsuy rộng f ∗γ

3 k
(x) thuộc L2(R+) thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval

Định nghĩa 1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = −e−µysin y(µ > 0) của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổi tích phân Fouriercosine, Fourier sine và Laplace được định nghĩa như sau

f ∗γ

5 k
(x) = 1

2π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

θ2(x − 1, u, v + µ)

− θ2(x + 1, u, v + µ)f (u)k(v)dudv, (1.20)với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.5)

Định lý 1.2.2 Giả sử f (x) và k(x) là hai hàm thuộc không gian L1(R+).Khi đó, tích chập suy rộng f ∗γ

5 k
(x) thuộc không gian L1(R+), và ta cóbất đẳng thức chuẩn

ở đó C = (πµ2 )1/p.β−α+1r Γ1/r(α + 1) với Γ là hàm Gamma Euler

Ngoài ra, nếu f (x) ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+) thì tích chập suy rộng f ∗γ

5 k
(x)thuộc C0(R+), thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.21) và đẳng thức kiểuParseval (1.22)

Định lý 1.2.4 Cho α > −1, 0 < β ≤ 1, p > 1, q > 1, r ≥ 1 thỏa mãn

1

p + 1q = 1 Khi đó, nếu các hàm f (x) ∈ Lp(R+) và k(x) ∈ Lq(R+, e(q−1)x)thì tích chập f ∗γ

5 k
(x) tồn tại, liên tục và bị chặn trong Lα,β

r (R+) Hơnnữa, ta có bất đẳng thức chuẩn

Z ∞ 0

k(v) f (u) ∗

F c

v + µ(v + µ)2 + u2
(x)dv

b) f ∗γ

2 k
(x) =

r2π

Z ∞ 0

k(v) f (u) ∗

FsFc

v + µ(v + µ)2 + u2
(x)dv

1.4 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng

Fourier cosine-Laplace với hàm trọng

1.4.1 Định lý kiểu Young

Định lý 1.4.1 (Định lý kiểu Young) Cho p, q, r > 1, 1p+ 1q+ 1r = 2 và

f (x) ∈ Lp(R+), k(x) ∈ Lq(R+, (x + µ)q−1) (µ > 0), h(x) ∈ Lr(R+) Khi đó:

1 ), (.∗γ

3 ) và (.∗γ

5 ) Nhận được các kết quả chính sau:

• Các đánh giá chuẩn của toán tử tích chập trong một số không gianhàm

• Các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểuTitchmarch

• Các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh cho tích chập suy rộngFourier cosine-Laplace với hàm trọng

Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1], [2], [3] và[4] trong Danh mục công trình đã công bố của luận án

Chương 2 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP

SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE

Mục đích của chương này là thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổitích phân dựa trên các tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace và tíchchập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng đã đượcnghiên cứu trong Chương 1

suy rộng Fourier cosine-Laplace

Xét phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy rộng Fouriercosine-Laplace (1.1):

2.1.1 Định lý kiểu Watson

Định lý 2.1.1 Giả sử rằng k(x) ∈ L2(R+), hoặc k(x) ∈ H(R+) sao chotích phân (1.1) hội tụ như tích phân lặp Khi đó điều kiện cần và đủ đểphép biến đổi tích phân (2.1) unita trong L2(R+) là

(1 + y2) Lk
(y) = 1, y > 0 (2.2)Hơn nữa, phép biến đổi ngược tồn tại và được xác định bởi

Mệnh đề 2.1.1 Giả thiết k(x) là hàm thỏa mãn các điều kiện của Định

lý 2.1.1, trong đó điều kiện (2.2) được thay bằng điều kiện sau

0 < C1 ≤(1 + y2) Lk
(y) ≤ C2 < ∞ (2.4)Khi đó, trong L2(R+) ta có đánh giá bất đẳng thức chuẩn sau

C1kf kL2(R+) ≤ kgkL2(R+) ≤ C2kf kL2(R+) (2.5)Hơn nữa, phép biến đổi ngược tồn tại và xác định bởi

Định lý 2.1.2 Giả sử k(x) có đạo hàm đến cấp hai, và k(x), k00(x) ∈

L2(R+) hoặc k(x), k00(x) ∈ H(R+) sao cho tích phân (1.1) hội tụ đối với k

cũng như đối với k00, và k(0) = 0 Khi đó, ta có đánh giá sau

Tkf
(x) = f ∗

1 (k + k00)
(x) − k0(0)f (x) (2.7)

suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng

Xét phép biến đổi tích phân liên quan đến các tích chập suy rộng (1.17):

2.2.1 Định lý kiểu Watson

Định lý 2.2.1 Giả sử k1(x) ∈ H(R+) và k2(x) ∈ L2(R+), khi đó điều kiệncần và đủ để phép biến đổi tích phân (2.8) unita trong L2(R+) là

− sin y Lk1
(y) + Fsk2
(y)

Z

0

gN(u)K(x + u) + sign(u − x)K(|x − u|)du,

cũng thuộc L2(R+), và nếu N → ∞ thì fN hội tụ theo chuẩn đến f

Kết luận Chương 2

Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fouriercosine-Laplace Tk và Fourier cosine-Fourier sine-Laplace Tk1,k2 với hàmtrọng Nhận được các kết quả chính:

• Định lý kiểu Watson về điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi Tk

Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Trong chương này, chúng ta sử dụng các kết quả nghiên cứu của Chương

1 và Chương 2 để giải một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trìnhtích phân, phương trình vi-tích phân và cho công thức nghiệm dưới dạngđóng

tích phân

Định lý 3.1.1 (Định lý Wiener-Levy) Giả sử f là biến đổi Fouriercủa một hàm thuộc L1(R), và ϕ là hàm giải tích trong một lân cận củagốc, chứa miền {f (y), ∀y ∈ R} thỏa mãn ϕ(0) = 0, khi đó ϕ(f ) cũng làảnh qua phép biến đổi Fourier của một hàm nào đó thuộc L1(R)

Nhận xét 3.1.1 Định lý Wiener-Levy vẫn đúng cho cả phép biến đổiFourier cosine

3.1.1 Giải phương trình tích phân

a) Xét phương trình tích phân loại một có dạng

Z ∞ 0

K1(x, u)f (u)du = g(x), x > 0, (3.1)trong đó

K1(x, u) = 1

π

Z ∞ 0

θ1(x, u, v)k(v)dv, (3.2)với θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2)

Định lý 3.1.2 Cho g(x), k(x) ∈ L1(R+) Khi đó, điều kiện cần và đủ đểphương trình (3.1) có nghiệm trong L1(R+) là Fcg

(y)

Lk
(y) ∈ Ac Hơn nữa,

nghiệm được cho dưới dạng

f (x) =

Z ∞ 0

Fcg
(y)

b) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng

f (x) +

Z ∞ 0

K2(x, t)f (t)dt = g(x), x > 0, (3.8)

ở đó

K2(x, t) = 1

π√2πZ

R+2

θ1(x, u, v + µ)ψ(|u − t|) + ψ(u + t)ϕ(v)dudv, µ > 0,

với θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2)

Định lý 3.1.4 Giả sử rằng ϕ(x), ψ(x) ∈ L1(R+) Khi đó, điều kiện cần

và đủ để phương trình (3.8) có nghiệm duy nhất trong L1(R+) với mọihàm g(x) thuộc L1(R+) là 1 + e−µy(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 6= 0, ∀y > 0 Hơn nữa,nghiệm có thể được biểu diễn dưới dạng sau

−µy(Fcψ)(y)(Lϕ)(y)

1 + e−µy(Fcψ)(y)(Lϕ)(y). (3.10)d) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng

f (x) +

Z ∞ 0

K4(x, t)f (t)dt = g(x), x > 0, (3.11)

trong đó

K4(x, t) = 1

2π√2πZ

R+2

θ2(x − 1, u, v + µ) − θ2(x + 1, u, v + µ)

×ϕ(u + t) + sign(u − t)ϕ(|u − t|)ψ(v)dudv, (3.12)với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.5)

Định lý 3.1.5 Giả sử g(x), ϕ(x), ψ(x) ∈ L1(R+) Khi đó điều kiện cần và

đủ để phương trình tích phân (3.11) có duy nhất nghiệm trong L1(R+) vớimọi hàm g(x) thuộc L1(R+) là 1 + e−µysin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) 6= 0, ∀y > 0.Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạnh sau

f (x) = g(x) + g ∗

F c

q
(x),trong đó q là hàm thuộc L1(R+) sao cho

Fcq
(y) = −e

−µysin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y)

1 + e−µysin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y),