Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng

Thảo đã đưa ra định nghĩa tíchchập suy rộng với hàm trọng γ của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổitích phân bất kỳ T1, T2 và T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóaT1 f ∗ ky = γy Tγ 2fy T

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

——————————-LÊ XUÂN HUY

TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE,

FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

——————————-LÊ XUÂN HUY

TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE,

FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã ngành: 62460102

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO PGS TS TRỊNH TUÂN

Hà Nội - 2016

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI CAM ĐOAN 3

LỜI CẢM ƠN 4

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 5

MỞ ĐẦU 8

Chương 1 TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE 16 1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace 16

1.2 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng 28

1.3 Mối liên hệ giữa tích chập suy rộng Fourier-Laplace và các tích chập khác 37

1.4 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng 40

1.4.1 Định lý kiểu Young 42

1.4.2 Định lý kiểu Saitoh 44

Chương 2 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE 46 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace 46

2.1.1 Định lý kiểu Watson 47

2.1.2 Liên hệ giữa phép biến đổi tích phân với các đạo hàm 50 2.2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng 52

2.2.1 Định lý kiểu Watson 52

2.2.2 Định lý kiểu Plancherel 56

Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 59 3.1 Giải phương trình và hệ phương trình tích phân 59

3.1.1 Giải phương trình tích phân 60

3.1.2 Giải hệ phương trình tích phân 69

3.2 Giải phương trình vi-tích phân 75

3.2.1 Giải phương trình vi-tích phân cấp hai 75

3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân 77

KẾT LUẬN 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 91

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướngdẫn của các thầy PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo và PGS.TS Trịnh Tuân Tất

cả các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưatừng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào

LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm túccủa các thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo và PGS TS Trịnh Tuân Tác giảxin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy Nhữngngười đã dẫn dắt tác giả từ những bước đi đầu tiên trên con đường nghiêncứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình làm NCS

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thànhviên trong Seminar Giải tích Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhất là TS.Nguyễn Thanh Hồng và TS Nguyễn Minh Khoa Những người luôn gần gũi,giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và trao đổi chuyên môn.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS TSKH VũKim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người đã luôn động viên, và cho tácgiả nhiều ý kiến quý báu trong quá trình học tập

Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả

đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộmôn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học Tácgiả xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô

Nhân dịp này, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến BanGiám hiệu Trường Đại học Kinh tế-Kỹ thuật Công nghiệp, cùng các thầy cô

và các bạn đồng nghiệp trong Khoa Khoa học cơ bản đã quan tâm động viên

và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành việc giảng dạy và làm NCS.Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình bố

mẹ, vợ con, các anh chị em cùng bạn bè Niềm tin yêu và hi vọng của mọingười là nguồn động viên và là động lực to lớn để tác giả vượt qua mọi khókhăn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tác giả

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

a Một số phép biến đổi tích phân và tích chập

• L là phép biến đổi tích phân Laplace

Lf
(y) =

Z ∞ 0

f (x)e−yxdx, Re y > 0

• Fc là phép biến đổi tích phân Fourier cosine

Fcf
(y) =

r2π

Z ∞ 0

f (x) cos xydx, y > 0

• Fs là phép biến đổi tích phân Fourier sine

Fsf
(y) =

r2π

Z ∞ 0

|f (x)|pdx < ∞,trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi

kf kLp(R+) =

Z ∞ 0

|f (x)|pdx

1p

• Lp(R+, ρ), ρ > 0, 1 ≤ p < ∞ là không gian các hàm số f (x) xác địnhtrên R+ sao cho

Z ∞ 0

|f (x)|pρ(x)dx < ∞,trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi

kf kLp(R+ρ) = 

Z ∞ 0

|f (x)|pρ(x)dx

1 p

.Đặc biệt, khi ρ(x) = xαe−βx thì ta nhận được không gian hàm hai tham

số α, β và kí hiệu Lα,βp (R+)

• L∞(R+) là không gian các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho

sup

x∈R +

|f (x)| < ∞,trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từrất sớm Cho đến nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tíchtoán học Những phép biến đổi tích phân đầu tiên phải kể đến là phép biếnđổi Fourier (xem [6, 24, 33]), phép biến đổi Laplace (xem [6, 33, 56]), phépbiến đổi Mellin (xem [22, 33]), phép biến đổi Hankel (xem [6, 47]), phép biếnđổi Stieltjes (xem [6, 32]), phép biến đổi Hilbert (xem [6, 10]),

Một trong những vấn đề được quan tâm của phép biến đổi tích phân lànghiên cứu các tích chập Đó là một phép nhân đặc biệt được định nghĩathông qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường được đưa vào nghiêncứu trong các không gian hàm mà ở đó phép nhân thông thường không tồntại Giả sử U (X) là không gian tuyến tính, V (Y ) là đại số, ta xét phép biếnđổi tích phân T : U (X) → V (Y ) xác định như sau

eϕ(t) = T ϕ
(t) =

T (f ∗ k)(t) = (T f )(t)(T k)(t), ∀t ∈ X (0.2)Những tích chập đầu tiên phải kể đến là tích chập Laplace và tích chậpFourier (xem [6, 33]) Năm 1951, Sneddon I.N xây dựng tích chập đối với

phép biến đổi Fourier cosine (xem [33]) Đến năm 1958, tích chập với hàmtrọng đối với phép biến đổi Mehler-Fox lần đầu tiên được Vilenkin Y Ya đềcập và nghiên cứu (xem [50]) Sự ra đời của tích chập có hàm trọng đã mở

ra triển vọng phát triển thêm hướng nghiên cứu về lý thuyết tích chập Dẫuvậy, năm 1967 Kakichev V.A mới đưa ra định nghĩa tích chập với hàm trọngγ(y) của hai hàm f và k đối với một phép biến đổi tích phân T bất kỳ dựatrên đẳng thức nhân tử hóa (xem [15])

T f ∗ k
(y) = γ(y) T f
(y) T k
(y).γ (0.3)Nhờ vào ý tưởng và kỹ thuật của phương pháp này mà nhiều tích chập cóhàm trọng được tìm ra, tiêu biểu là tích chập với hàm trọng γ(y) = sin y đốivới phép biến đổi Fourier sine (xem [15])

f ∗γ

F s

k
(x) = 1

2√2π

f (y)k(|x − y|) − k(x + y)dy, x > 0, (0.6)

nếu f, k ∈ Lp(R+) (p = 1, 2) thì tích chập này thỏa mãn

Fs f ∗

FsFc k
(y) = Fsf
(y) Fck
(y), ∀y > 0 (0.7)

Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, Yakubovich S.B cũng đã xây dựngđược một vài tích chập suy rộng theo chỉ số đối với các phép biến đổi tíchphân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi H (xem[51, 55]) Năm 1998, Kakichev V.A và N.X Thảo đã đưa ra định nghĩa tíchchập suy rộng với hàm trọng γ của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổitích phân bất kỳ T1, T2 và T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

T1 f ∗ k
(y) = γ(y) Tγ 2f
(y) T3k
(y), (0.8)

và cho điều kiện cần để xác định tích chập khi biết một số ràng buộc cụthể về nhân của các phép biến đổi tích phân tương ứng (xem [17]) Kết quảnày đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tích chập cũng như phép biếnđổi tích phân Nhờ đó mà những năm về sau đã có nhiều tích chập suy rộngđối với phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Mellin,Hartley, Kontorovich-Lebedev được xây dựng, nghiên cứu và cho nhiều ứngdụng thú vị (xem [15, 18, 37, 38, 39, 43, 45, 54]) Mặc dù, có một số tích chậpsuy rộng đối với phép biến đổi Laplace đã được đề xuất từ những năm 1998.Chẳng hạn tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tíchphân Hankel và Laplace, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phépbiến đổi tích phân Laplace, Fourier cosine và Hankel (xem [17]) Tuy nhiên,đến nay vẫn chưa có một kết quả nghiên cứu chính thức nào về tích chập suyrộng liên quan đến phép biến đổi Laplace được công bố

Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập f ∗ k
(x),bằng cách cho một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thức tíchchập, chẳng hạn cố định hàm k, còn hàm f cho biến thiên trong một khônggian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được phép biến đổi tích phân liênquan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập

f 7→ g = f ∗ k
Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên đượcWatson xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đến tích chập

Tổng quát hơn, người ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng

f 7→ g = D f ∗k
mà D là một toán tử nào đó Trong trường hợp D = (1− d 2

Việc nghiên cứu các tích chập và các phép biến đổi tích phân có ý nghĩaquan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật Nhờ đó, các phéptoán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thànhcác phép tính đại số Vì vậy, nó đặc biệt hữu ích trong việc giải các phươngtrình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, nhữngphương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong lý thuyết

mạch, hệ cơ học, bài toán ngược, bài toán xử lý ảnh và xử lý tín hiệu (xem[3, 6, 9, 10, 8, 22, 30, 31, 33, 36, 46, 48, 52]) Trong nhiều trường hợp, nghiệmnhận được từ các bài toán trên có thể được biểu diễn qua các tích chập tươngứng Để đánh giá các nghiệm đó ta có thể dùng đến một công cụ, đó chính làbất đẳng thức đối với tích chập Bất đẳng thức đối với các tích chập, ngoàiứng dụng để đánh giá nghiệm của phương trình, bản thân nó cũng đã là mộtvấn đề thú vị trong việc nghiên cứu tích chập.

Đầu tiên phải kể đến bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier (xem[1, 35]) Nếu p, q, r > 1 thỏa mãn 1p+1q = 1+1r và f (x) ∈ Lp(R), k(x) ∈ Lq(R)thì ta có

kf ∗

F kkLr(R) ≤ kf kLp(R)kkkLq(R) (0.11)Bất đẳng thức này cho ta đánh giá chuẩn của tích chập Fourier trong khônggian hàm Lr(R), tuy nhiên nó không còn đúng trong trường hợp f, k ∈ L2(R).Năm 2000, trong một bài báo của Saitoh S (xem [26]), bằng cách xét cáckhông gian hàm Lp(R, |ρj|) có trọng ρj ∈ L1(R) (j = 1, 2) là các hàm khôngtriệt tiêu và Fj ∈ Lp(R, |ρj|) (p > 1), tác giả đã nhận được đánh giá sau, gọi

là bất đẳng thức Saitoh cho tích chập Fourier

đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học Về sau, bất đẳngthức này đã được các tác giả Đ.T Đức và N.D.V Nhân mở rộng cho khônggian hàm trọng nhiều chiều Lp(Rn, |ρj|) (xem [7])

Năm 2002, Saitoh S., V.K Tuấn và Yamamoto M tiếp tục xây dựng bấtđẳng thức ngược đối với tích chập Laplace và sử dụng vào việc giải bài toán

truyền nhiệt ngược (xem [31]) Đến năm 2008, N.D.V Nhân và Đ.T Đứccũng đã thiết lập và nghiên cứu thành công bất đẳng thức kiểu Saitoh chotích chập Laplace trong không gian nhiều chiều Lp(Rn+, |ρj|) (xem [23]).Các bất đẳng thức dạng trên đối với tích chập Mellin, tích chập Fouriercosine sau đó cũng được thiết lập nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị(xem [7, 13, 23, 27, 28, 29, 31]) Tuy nhiên, các bất đẳng thức đối với tíchchập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đến nay vẫn chưa được

đề cập và nghiên cứu

Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để nghiên cứu là "Tíchchập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier vàứng dụng"

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suyrộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace Tức các tích chập suyrộng mà trong đẳng thức nhân tử hóa chứa phép biến đổi Laplace cùng vớimột hoặc hai phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine Nghiên cứu tính chấttoán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng nàytrong một số không gian hàm cụ thể Xây dựng và nghiên cứu các phép biếnđổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng Nghiên cứu các tính chấttoán tử của phép biến đổi như tính unita, sự tồn tại toán tử ngược của phépbiến đổi trong không gian L2(R+) Từ đó, ứng dụng vào việc giải một lớp cácphương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp giải tích hàm, lý thuyếttoán tử, phép biến đổi tích phân và lý thuyết tích chập Chúng tôi ứng dụngbất đẳng thức H¨older để đánh giá chuẩn của các toán tử tích chập mới trongcác không gian hàm cụ thể Đặc biệt Định lý Wiener-Levy được sử dụngnhiều trong việc xây dựng công thức nghiệm đóng cho lớp các phương trình,

hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân

4 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chialàm ba chương:

Chương 1, xây xựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Fourier-Laplace.Nhận được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểuTitchmarch và một số đánh giá chuẩn trong các không gian hàm Lp(R+) và

Lα,βp (R+) Tìm được mối liên hệ giữa các tích chập suy rộng mới với một

số tích chập quan trọng đã biết Hơn nữa, trong các không gian Lp(R+) và

Lp(R+, ρ), các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích chập suyrộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh

Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tíchchập suy rộng Fourier-Laplace Nghiên cứu các tính chất toán tử của cácphép biến biến đổi này, ta nhận được các Định lý kiểu Watson cho điều kiệncần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là unita trong không gian L2(R+),hơn nữa ta cũng xác định được điều kiện đủ cho sự tồn tại các phép biếnđổi ngược Ngoài ra Định lý kiểu Plancherel đối với phép biến đổi tích phântương ứng cũng được chứng minh

Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân

và phương trình vi-tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộng Laplace và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace.Hơn nữa, bằng phương pháp giải này nghiệm nhận được từ các các phươngtrình trên đều được cho dưới dạng dóng

Fourier-5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, các phép biến đổitích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace, và một số bất đẳng thức đối vớicác tích chập suy rộng tương ứng lần đầu tiên được đề cập và nghiên cứutrong luận án Các kết quả này có ý nghĩa khoa học và góp phần làm phongphú hơn về lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập cũng như bất đẳngthức đối với tích chập Từ đó, đưa ra cách tiếp cận mới và các phương pháp

giải phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân Hơn nữa, một số

ý tưởng và phương pháp được sử dụng trong luận án có thể dùng để nghiêncứu các tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân khác.Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, được liệt

kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm ba côngtrình trên các tạp chí toán học Quốc tế (trong đó [4] thuộc tạp chí trongdanh mục ISI) và một công trình trên tạp chí toán học Quốc gia Các kếtquả này đã được báo cáo một phần hoặc toàn bộ tại:

+ Hội nghị Toán học Việt-Pháp, tháng 8 năm 2012, tại Huế

+ Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013, tại NhaTrang

+ Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng(ICFIDCAA), tháng 8 năm 2011 tại Hà Nội

+ Hội thảo Toán học phối hợp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội vàTrường Đại học Heidelberg của Đức, tháng 3 năm 2015

+ Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

+ Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội

Chương 1 TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE

Mục đích của Chương 1 là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suyrộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace Nghiên cứu các tính chấttoán tử của các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm khácnhau Thiết lập và chứng minh các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitohđối với các tích chập tương ứng

1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace

Trước hết ta nghiên cứu tích chập suy rộng liên quan đến hai phép biếnđổi tích phân Fourier cosine và Laplace không có trọng

Định nghĩa 1.1.1 Tích chập suy rộng của hai hàm f và k đối với hai phépbiến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau

Các định lý sau đây cho ta sự tồn tại của các tích chập (1.1) và đẳng thứcnhân tử hóa của tích chập này trong các không gian hàm tương ứng.

Định lý 1.1.1 Giả sử các hàm f (x) và k(x) thuộc không gian L2(R+) Khi

Fc Fcf
(y) Lk
(y)(x) L

∞ (R + ) ≤

r2

f (x), k(x) ∈ L2(R+) Bằng cách tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc lênhai vế của đẳng thức (1.3) ta nhận được đẳng thức nhân tử hóa (1.4) Định

Khi đó dễ thấy rằng H(R+) là không gian hàm rộng hơn L2(R+), nghĩa là

L2(R+) ⊂ H(R+) Trong một số trường hợp, việc nghiên cứu tích chập ∗

1.

có thể được nhúng liên tục vào H(R+)

Nhận xét 1.1.1 Giả thiết rằng f (x) ∈ L2(R+), và k(x) ∈ H(R+) sao chotích phân (1.1) hội tụ như tích phân lặp Ví dụ, tích chập (1.1) tồn tạinhư tích phân lặp với k(x) = cos x 6∈ L2(R+), nhưng k(x) ∈ H(R+) khi đóLk
(y) = y

y 2 +1 ∈ L2(R+) Trong trường hợp này, ta có đánh giá sau

Fc Fcf
(y) Lk
(y)(x)

L ∞ (R + ) ≤

r2

Để nghiên cứu tích chập suy rộng ∗

1
trong không gian hàm L1(R+) tacần đến sự hổ trợ của bổ đề sau

∞

Z

0

dx =

r2π

∞

Z

0