Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân laplace, fourier và ứng dụng

Giả sử U X là không gian tuyến tính, V Y là đại số, ta xét phép biến đổi tích phân T : U X ^ V Y xác định như sau Khi đó tích chập của hai hàm f và k đối với phép biến đổi tích phân

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LÊ X U Â N H U Y

TÍCH C H Ậ P SU Y R Ộ N G LIÊN Q U A N Đ E N CÁC P H É P B IẾ N ĐỔI TÍCH P H Â N LAPLACE,

FO U R IER VÀ Ứ N G D Ụ N G

L U Ậ N Á N T IẾ N SĨ T O Á N HỌC

Hà Nôi - 2016

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐAI HOC BÁCH KHOA HÀ NÔI

LÊ X U Â N H U Y

TÍCH C H Ậ P SU Y R Ô N G LIÊN Q U A N Đ E N CÁC P H É P B IẾ N ĐỔI TÍCH P H Â N LAPLACE,

Hà Nôi - 2016

M UC LUC

MỤC L U C 1

LỜI CAM Đ O A N 3

LỜI CẢM Ơ N 4

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN Á N 5

MỞ ĐẦU 8

Chương 1 TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE 16 1.1 Tích chập suy rộng Fourier co sin e-L ap lace 16

1.2 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm t r ọ n g 28

1.3 Mối liên hệ giữa tích chập suy rộng Fourier-Laplace và các tích chập k h á c 37

1.4 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm t r ọ n g 40

1.4.1 Định lý kiểu Y o u n g 42

1.4.2 Định lý kiểu S a ito h 44

Chương 2 PHÉP BIẾN Đ ổI TÍCH PHÂN KIEU TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE 46 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace 46

2.1.1 Định lý kiểu W a t s o n 47

2.1.2 Liên hệ giữa phép biến đổi tích phân với các đạo hàm 50 2.2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng 52

2.2.1 Định lý kiểu W a t s o n 52

2.2.2 Định lý kiểu Plancherel 56

3.1 Giải phương trình và hệ phương trình tích p h â n 59

3.1.1 Giải phương trình tích p h â n 60

3.1.2 Giải hệ phương trình tích p h â n 69

3.2 Giải phương trình vi-tích p h â n 75

3.2.1 Giải phương trình vi-tích phân cấp h a i 75

3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân 77

KẾT L U Ậ N 83

TÀI LIÊU TH AM K H Ả O 84

D A N H M ỤC CÔNG T R ÌN H ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬ N Á N 91

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm túc của các thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo và PGS TS Trịnh Tuân Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy Những người đã dẫn dắt tác giả từ những bước đi đầu tiên trên con đường nghiên cứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình làm NCS.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thành viên trong Seminar Giải tích Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhất là TS Nguyễn Thanh Hồng và TS Nguyễn Minh Khoa Những người luôn gần gũi, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và trao đổi chuyên môn.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS TSKH Vũ Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người đã luôn động viên, và cho tác giả nhiều ý kiến quý báu trong quá trình học tập

Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả

đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ môn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học Tác giả xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô

Nhân dịp này, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Kinh tế-Kỹ thuật Công nghiệp, cùng các thầy cô

và các bạn đồng nghiệp trong Khoa Khoa học cơ bản đã quan tâm động viên

và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành việc giảng dạy và làm NCS.Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu nạng đến gia đình bố

mẹ, vợ con, các anh chị em cùng bạn bè Niềm tin yêu và hi vọng của mọi người là nguồn động viên và là động lực to lớn để tác giả vượt qua mọi khó khăn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án

LỜI CẢM ƠN

Tác giả

M ỘT SỐ KÍ H IỆU D Ù N G TRO NG L U Ậ N Á N

a M ột số phép biến đổi tích phân và tích chập

• L là phép biến đổi tích phân Laplace

(L f)(y ) = / f ( x ) e -yxdx, R e y

Fc là phép biến đổi tích phân Fourier cosine

(Fcf )(y ) = \Ị~ JQf (x)cos xydx y > 0.

Fs là phép biến đổi tích phân Fourier sine

(F sf ) (y) = \ f ~ J0 f (x)sin xydx y > °.

• ( * ) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace

• ( * ) là tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace

• ( *.) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng Y(y) =

• ( * ) là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm

trọng Y (y) = sin y.

• ( * ) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm

trọng Y(y) = — e—My siny (ịi > 0).

• ( * ) là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm

ị If (x)|pp(x)dx < oo,0

trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi

Iif Hlp(r+p) = { Ị f ( x ) p p(x)dx Ỵ

Đạc biệt, khi p(x) = x ae—^x thì ta nhận được không gian hàm hai tham

số a, 3 và kí hiệu (R+)

• Lto(R+) là không gian các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho

MỞ Đ Ầ U

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từ rất sớm Cho đến nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tích toán học Những phép biến đổi tích phân đầu tiên phải kể đến là phép biến đổi Fourier (xem [6, 24, 33]), phép biến đổi Laplace (xem [6, 33, 56]), phép biến đổi Mellin (xem [22, 33]), phép biến đổi Hankel (xem [6, 47]), phép biến đổi Stieltjes (xem [6, 32]), phép biến đổi Hilbert (xem [6, 10]),

Một trong những vấn đề được quan tâm của phép biến đổi tích phân là nghiên cứu các tích chập Đó là một phép nhân đạc biệt được định nghĩa thông qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường được đưa vào nghiên cứu trong các không gian hàm mà ở đó phép nhân thông thường không tồn

tại Giả sử U (X ) là không gian tuyến tính, V ( Y ) là đại số, ta xét phép biến đổi tích phân T : U (X ) ^ V (Y ) xác định như sau

Khi đó tích chập của hai hàm f và k đối với phép biến đổi tích phân T là toán tử

Những tích chập đầu tiên phải kể đến là tích chập Laplace và tích chập Fourier (xem [6, 33]) Năm 1951, Sneddon I.N xây dựng tích chập đối với

(0.1)

* : U (X ) X U (X ) ^ V (Y )

( f , k ) ^ f * ksao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

T ( f * k)(t) = ( T f )(t)(T k)(t), Vt 6 X. (0.2)

phép biến đổi Fourier cosine (xem [33]) Đến năm 1958, tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi Mehler-Fox lần đầu tiên được Vilenkin Y Ya đề cập và nghiên cứu (xem [50]) Sự ra đời của tích chập có hàm trọng đã mở

ra triển vọng phát triển thêm hướng nghiên cứu về lý thuyết tích chập Dẫu vậy, năm 1967 Kakichev V.A mới đưa ra định nghĩa tích chập với hàm trọng Y(y) của hai hàm f và k đối với một phép biến đổi tích phân T bất kỳ dựa trên đẳng thức nhân tử hóa (xem [15])

T ( f ĩ k)(y) = Y (y )(T f)(y )(T k )(y ) (0.3)Nhờ vào ý tưởng và kỹ thuật của phương pháp này mà nhiều tích chập có hàm trọng được tìm ra, tiêu biểu là tích chập với hàm trọng Y (y) = sin y đối với phép biến đổi Fourier sine (xem [15])

Năm 1951, lần đầu tiên Sneddon I.N đã xây dựng được một tích chập

mà trong đẳng thức nhân tử hóa có chứa hai phép biến đổi tích phân khác nhau tham gia Đó là tích chập suy rộng đối với hai phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine (xem [33, 49])

Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, Yakubovich S.B cũng đã xây dựng được một vài tích chập suy rộng theo chỉ số đối với các phép biến đổi tích phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi H (xem [51, 55]) Năm 1998, Kakichev V.A và N.X Thảo đã đưa ra định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng Y của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổi

tích phân bất kỳ T1, T2 và T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Tị (f ỉ k) (y) = Y(y)( T f)(y)(T3k ) ( y), (0.8)

và cho điều kiện cần để xác định tích chập khi biết một số ràng buộc cụ thể về nhân của các phép biến đổi tích phân tương ứng (xem [17]) Kết quả này đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tích chập cũng như phép biến đổi tích phân Nhờ đó mà những năm về sau đã có nhiều tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Mellin, Hartley, Kontorovich-Lebedev được xây dựng, nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị (xem [15, 18, 37, 38, 39, 43, 45, 54]) Mạc dù, có một số tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Laplace đã được đề xuất từ những năm 1998 Chẳng hạn tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân Hankel và Laplace, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier cosine và Hankel (xem [17]) Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có một kết quả nghiên cứu chính thức nào về tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace được công bố

Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập ( f ỉ k) (x), bằng cách cho một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thức tích chập, chẳng hạn cố định hàm k, còn hàm f cho biến thiên trong một không gian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập

f ^ g = ( f ỉ k) Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được Watson xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đến tích chập

Mellin (xem [44])

f (x) ^ g(x) = J k ( x y ) f (y)dy (0.9)

0Tổng quát hơn, người ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng

f ^ g = d ự *k) mà D là một toán tử nào đó Trong trường hợp D = ( 1 - dfi)

là một toán tử vi phân cấp 2, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosine đã được V.K Tuấn và Musallam thiết lập và nghiên cứu (xem [49])

Việc nghiên cứu các tích chập và các phép biến đổi tích phân có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật Nhờ đó, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số Vì vậy, nó đặc biệt hữu ích trong việc giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong lý thuyết

mạch, hệ cơ học, bài toán ngược, bài toán xử lý ảnh và xử lý tín hiệu (xem [3, 6, 9, 10, 8, 22, 30, 31, 33, 36, 46, 48, 52]) Trong nhiều trường hợp, nghiệm nhận được từ các bài toán trên có thể được biểu diễn qua các tích chập tương ứng Để đánh giá các nghiệm đó ta có thể dùng đến một công cụ, đó chính là bất đẳng thức đối với tích chập Bất đẳng thức đối với các tích chập, ngoài ứng dụng để đánh giá nghiệm của phương trình, bản thân nó cũng đã là một vấn đề thú vị trong việc nghiên cứu tích chập.

Đầu tiên phải kể đến bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier (xem

[1, 35]) Nếu p, q ,r > 1 thỏa mãn 1 + 1 = 1 + 1 và f (x ) E Lp(R), k (x ) E Lq(R) thì ta có

llf * k IUr(R) < ||f \\Lp(R)\\k \\Lq(R) (0.11)Bất đẳng thức này cho ta đánh giá chuẩn của tích chập Fourier trong không gian hàm Lr (R), tuy nhiên nó không còn đúng trong trường hợp f , k E L2 (R) Năm 2000, trong một bài báo của Saitoh S (xem [26]), bằng cách xét các không gian hàm Lp(R, |Pj |) có trọng Pj E Li(R) (j = 1, 2) là các hàm không

triệt tiêu và Fj E Lp(R, |Pj |) (p > 1), tác giả đã nhận được đánh giá sau, gọi

là bất đẳng thức Saitoh cho tích chập Fourier

II ( (F1p1) * (F2p2 ^ (p1 * p2) p 1 |Lp(R) < ||F 1 IILp(R,|p i|) \ F2\Lp(R,|p21) (0.12)Cũng trong năm đó, Saitoh S., V.K Tuấn và Yamamoto M đã thiết lập được bất đẳng thức ngược kiểu Saitoh cho tích chập Fourier (xem [27]) Khác với bất đẳng thức Young, bất đẳng thức Saitoh (0.12) còn đúng trong cả trường

hợp p = 2 Do có nhiều ứng dụng thú vị, đạc biệt là trong việc đánh giá nghiệm của các phương trình toán-lý, bất đẳng thức Saitoh sau khi xuất hiện

đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học Về sau, bất đẳng thức này đã được các tác giả Đ.T Đức và N.D.V Nhân mở rộng cho không gian hàm trọng nhiều chiều Lp(Rn, |pj |) (xem [7])

Năm 2002, Saitoh S., V.K Tuấn và Yamamoto M tiếp tục xây dựng bất đẳng thức ngược đối với tích chập Laplace và sử dụng vào việc giải bài toán

truyền nhiệt ngược (xem [31]) Đến năm 2008, N.D.V Nhân và Đ.T Đức cũng đã thiết lập và nghiên cứu thành công bất đẳng thức kiểu Saitoh cho

tích chập Laplace trong không gian nhiều chiều Lp(R+, \pj|) (xem [23]).

Các bất đẳng thức dạng trên đối với tích chập Mellin, tích chập Fourier cosine sau đó cũng được thiết lập nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị (xem [7, 13, 23, 27, 28, 29, 31]) Tuy nhiên, các bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đến nay vẫn chưa được

đề cập và nghiên cứu

Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để nghiên cứu là ”Tích

chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng”.

2 M ục đích, đối tương và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace Tức các tích chập suy rộng mà trong đẳng thức nhân tử hóa chứa phép biến đổi Laplace cùng với một hoặc hai phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine Nghiên cứu tính chất toán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm cụ thể Xây dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng Nghiên cứu các tính chất toán tử của phép biến đổi như tính unita, sự tồn tại toán tử ngược của phép biến đổi trong không gian L2(R+) Từ đó, ứng dụng vào việc giải một lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp giải tích hàm, lý thuyết toán tử, phép biến đổi tích phân và lý thuyết tích chập Chúng tôi ứng dụng bất đẳng thức Holder để đánh giá chuẩn của các toán tử tích chập mới trong các không gian hàm cụ thể Đặc biệt Định lý Wiener-Levy được sử dụng nhiều trong việc xây dựng công thức nghiệm đóng cho lớp các phương trình,

hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân

4 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm ba chương:

Chương 1, xây xựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Fourier-Laplace Nhận được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch và một số đánh giá chuẩn trong các không gian hàm Lp(R+) và

L°v ^ (R+) Tìm được mối liên hệ giữa các tích chập suy rộng mới với một

số tích chập quan trọng đã biết Hơn nữa, trong các không gian Lp(R+) và Lp(R+,p), các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích chập suy rộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh

Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace Nghiên cứu các tính chất toán tử của các phép biến biến đổi này, ta nhận được các Định lý kiểu Watson cho điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là unita trong không gian L2(R+), hơn nữa ta cũng xác định được điều kiện đủ cho sự tồn tại các phép biến đổi ngược Ngoài ra Định lý kiểu Plancherel đối với phép biến đổi tích phân tương ứng cũng được chứng minh

Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân

và phương trình vi-tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộng Fourier- Laplace và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace Hơn nữa, bằng phương pháp giải này nghiệm nhận được từ các các phương trình trên đều được cho dưới dạng dóng

5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace, và một số bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng tương ứng lần đầu tiên được đề cập và nghiên cứu trong luận án Các kết quả này có ý nghĩa khoa học và góp phần làm phong phú hơn về lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập cũng như bất đẳng thức đối với tích chập Từ đó, đưa ra cách tiếp cận mới và các phương pháp

giải phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân Hơn nữa, một số

ý tưởng và phương pháp được sử dụng trong luận án có thể dùng để nghiên cứu các tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân khác.Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, được liệt

kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm ba công

trình trên các tạp chí toán học Quốc tế (trong đó [4] thuộc tạp chí trong danh mục ISI) và một công trình trên tạp chí toán học Quốc gia Các kết quả này đã được báo cáo một phần hoặc toàn bộ tại:

+ Hội nghị Toán học Việt-Pháp, tháng 8 năm 2012, tại Huế

+ Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013, tại Nha Trang

+ Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng (ICFIDCAA), tháng 8 năm 2011 tại Hà Nội

+ Hội thảo Toán học phối hợp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội và Trường Đại học Heidelberg của Đức, tháng 3 năm 2015

+ Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

+ Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội

Ch ư ơ n g 1

TÍCH C H A P SU Y RÔ N G FO U R IER -LA PLA C E

Mục đích của Chương 1 là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace Nghiên cứu các tính chất toán tử của các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm khác nhau Thiết lập và chứng minh các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với các tích chập tương ứng

Trước hết ta nghiên cứu tích chập suy rộng liên quan đến hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace không có trọng

Đ ịnh nghĩa 1.1.1 Tích chập suy rộng của hai hàm f và k đối với hai phép

biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau

Ta gọi Ac là không gian ảnh của L i(R +) thông qua phép biến đổi Fourier

cosine Fc Với chuẩn Ilf IIA := ||Fcf | | Ll(R+) thì không gian đó là một đại

số Banach, nghĩa là nếu f(x ),k (x ) G A c, thì f(x)k(x) G Ac và thỏa mãn

||fk |Uc < Ilf II đ Ikl đ

II fj II A c — II o II A -c II II A c

Các định lý sau đây cho ta sự tồn tại của các tích chạp (1.1) và đẳng thức nhân tử hóa của tích chạp này trong các không gian hàm tương ứng.

đó ta có ( f * k) (x) G Ac, và thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval

(f * k) (x) = Fc[(Fcf ) (y) (Lk) (y)] (x), Vx > ° (1.3)

Hơn nữa, ta cũng nhân được đẳng thức nhân tử hóa sau

Fc( f * k ) (y) = (Fcf ) (y) (Lk)(y), Vy > 0 (1.4)

Chứng minh. Từ giả thiết f (x), k(x) G L2(R+), ta có (Fcf)(y ), (Lk )(y ) G

l2( r +), suy ra (Fcf ) (y) (Lk) (y) G L1(R+ ) và Fc[(Fcf ) (y) (Lk) (y)] (x) G Ac Mạt khác, ta bắt đầu với việc đạt f (x) G L1(R+ ) n L2(R+) và ke(x) =

k (x )x[e »)(x) G L2(R+), ở đó XE(x) là hàm đạc trưng của E , và e > 0 Ta có đánh giá sau

Khi đó dễ thấy rằng H (R+) là không gian hàm rộng hơn L2 (R+), nghĩa là L2(R+) c H (R+) Trong một số trường hợp, việc nghiên cứu tích chập ( * )

có thể được nhúng liên tục vào H (R+).

N hận x ét 1.1.1 Giả thiết rằng f (x) G L2(R+), và k(x) G H (R+) sao cho

tích phân (1.1) hội tụ như tích phân lạp Ví dụ, tích chập (1.1) tồn tại

như tích phân lạp với k(x) = cos x G L2(R+), nhưng k(x) G H (R+) khi đó (Lk) (y) = ~ề+ĩ G L2(R+) Trong trường hợp này, ta có đánh giá sau

Suy ra Fc(Lk) (x) G L 1(R+) Vạy (Lk) (y) liên tục và thuộc A c □

Bổ đề trên là công cụ quan trọng giúp ta chứng minh tích chạp ( f * k) (x)

thuộc không gian L 1(R+) và trong không gian tương ứng các đẳng thức kiểu Parseval (1.3) và đẳng thức nhân tử hóa (1.4) vẫn còn đúng Ta có định lý sau

Đ inh lý 1.1.2 Giả sử rằng f (x),k(x) G L 1(R+) Khi đó đối với tích chạp

( f * k) (x), các đẳng thức kiểu Parseval (1.3) và đẳng thức nhân tử hóa (1.4)

vẫn còn đúng, hơn nữa ( f * k) (x) G L 1(R+).

Chứng minh Việc chứng minh đẳng thức kiểu Parseval (1.3) và đẳng thức

nhân tử hóa (1.4) là tương tự như trong phần chứng minh Định lý 1.1.1,

vì vạy ở đây ta không chứng minh nữa Nếu k(x) G L 1(R+), thì từ Bổ đề 1.1.1 ta có (Lk) (y) G A c Từ điều kiện f (x) G L1(R+) ta cũng nhạn được

(Fcf j (y) G A c Vì A c là một đại số Banach, suy ra (Fcf ) (y) (Lk) (y) cũng

thuộc A c Từ đẳng thức (1.3) ta cũng suy ra ( f * k) (x) G L 1(R+) Định lý

N hạn x ét 1.1.2 Trong biểu thức tích chạp suy rộng Fourier cosine-Laplace

( * ), nếu thay thế nhân 61( x, u, v) bởi nhân

Ỡ 2( x , u, v ) = v - 70 - 2 / , - 70, x > 0, (1.11)

v 2 + (x — u)2 v2 + (x + u)2

lFc(L k ) ||li(R+) < ^ 2 llk

thì ta sẽ nhạn được tích chạp suy rộng mới Đó là tích chạp suy rộng Fourier sine-Laplace được định nghĩa bởi

œ œ

( f * k)(x) = — J J ỡ2( x , u , v ) f (u)k(v)dudv, (1.12)

0 0thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Fs(f 2 k) (y ) = (Fsf ) (y ) (Lk ) (y ), V y> 0, f , k GL 2(R +) (1.13)Tích chạp suy rộng ( * ) có các tính chất gần tương tự tích chạp ( * ^ Định lý sau đây nói lên mối liên hẹ giữa các tích chạp ( * ^ và ( * )

Chứng minh Trước hết ta chứng minh đẳng thức (1.14) Từ các tính chất

đạo hàm của các phép biến đổi tích phân

f - Fc ( f ( y ) ) ( x ) = - F, ( yf ( y) ) ( x) , d d - F s f (y))(x) = Fc(yf (y))(x),

và các phép biến đổi tích phân của đạo hàm

xFc(f )(x) = - F, ( f ( y) ) ( x) , x F , (f )(x) = Fc( f ( y) ) ( x) + f (0),

ta có đánh giá sau

= - F s [y(F c f ) (y){ Ck) (y)](x)

Đ ịnh nghĩa 1.1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng Y(y) = e-My (y > 0)

của hai hàm f và k đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và

Laplace được định nghĩa như sau

trong đó ớ i(x,u,v) được xác định bởi (1.2)

Định lý sau cho ta sự tồn tại của tích chập ( f 1 k) (x) trong không gian hàm

L1(R+) và đẳng thức nhân tử hóa của tích chập

Đ ịnh lý 1.1.4 Giả sử f (x) và k(x) là hai hàm thuộc không gian L i(R +)

Khi đó, tích chập suy rộng ( f * k) (x) thuộc L 1(R+), thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn

II (f 1 k) II (R ) - llf IỈLi(R+)^k ^Li(R+),1 L1 (R+)

và có đẳng thức nhân tử hóa

Fc{f 1 k)(y) = e- r a (Fcf ) ( y ) ( Ck ) ( y ), Vy > 0 (1.18)

Ngoài ra, tích chập suy rộng ( f 1 k) (x) cũng thuộc C0(R+).

Chứng minh Trước hết, ta có đánh giá sau

Từ (1.20) và bằng cách tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc lên hai vế

của biểu thức (1.21), ta nhận được đẳng thức nhân tử hóa (1.18) Cũng từ (1.21) kết hợp bổ đề Riemann-Lebesgue cho phép biến đổi Fourier cosine, ta suy ra ( f * k) (x) E Co(R+) Định lý đã được chứng minh □

Đ ịnh lý 1.1.5 (Đ ịnh lý kiểu T itchm arch) Cho hai hàm số liên tục

k(x) E L 1(R+) và f (x) E L 1(R+, eax) (a > 0) Nếu ( f * k)(x) = 0, Vx > 0 thì hoặc f (x) = 0, Vx > 0 hoặc k(x) = 0, Vx > 0.

Chứng minh Ta có

d - y cosy x f (x)) = |f(x )x n cos(yx+n—)| < |e—axxn||e“ 7 ( x ) |< n | e axf(x )|

“ (1.22)Trong đó ta đã sử dụng đánh giá sau

^ —ax n —ax\ J ^ —ax ax _

^ N's e - x e I /K> N's e - e n 'n > ,

_ dn _

và f E L i(R +,e ax) Kết hợp với (1.22) ta có - ( co sy x f (x)) E L i(R +)

Do L 1(R +,eax) c L 1(R+) nên (Fcf)(y ) giải tích trong R+ Mạt khác, ta có

(Lk) (y) giải tích trong R+ Bằng cách sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.18)

đối với đẳng thức ( f * k)(x) = 0 ta có e-My(Fcf )(y)(L k)(y) = 0, Vy > 0.Hay (Fcf )(y)(L k)(y) = 0, Vy > 0 Từ đó, ta có hoạc f (x) = 0, Vx > 0 hoạc

k(x) = 0 , Vx > 0 Định lý đã được chứng minh □

Ngoài không gian L 1(R+), chúng ta có thể mở rộng việc nghiên cứu tích

chập ( f * k) (x) trong không gian hàm L“,,ổ(R+) Ta bắt đầu bằng việc chứng

minh sự tồn tại của tích chập và đánh giá bất đẳng thức chuẩn trong không

gian tương ứng

Đ ịn h lý 1.1.6 Giả sử p > 1, r > 1, 0 < p < 1, các hàm f (x) E Lp(R+)

và k(x) E L 1(R+) Khi đó tích chập suy rộng f * k) (x) tồn tại, liên tục và

thuộc La^ (R+) Hơn nữa, ta có đánh giá sau

II f * k) 1 1 ^ (R ) < C llf llLp(R+)llkIL1(R+), (1.23)

trong đó C = ( )1/pổ- ^ r 1/r (a + 1) với r là hàm Gamma Ngoài ra, nếu

f (x) E L1(R+) n Lp(R+) thì tích chập suy rộng f * k) (x) thuộc C0(R+), và

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.18).

Chứng minh Bằng cách áp dụng bất đẳng thức Holder đối với q > 1 thỏa

1/ p

|f(u )|p|k(v)|—dudv I |k(v)|ndv 1/ q

cho phép biến đổi Fourier cosine, ta có ( f * k) (x) E C0(R+) Định lý đã được

(f * k)(x) thuộc C0(R+) và tÂỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.18).

Chứng minh Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Holder’s đối với p, q > 1 và

kết hợp đánh giá (1.19), ta có

\(f * k)\ < / \f ( u )\pỚ1(x ,u ,v + ^ ) 1 + 2dudvỊ /p

R+

N hận x ét 1.1.3 Trong tích chập suy rộng ( z.), nếu thay thế ớ1( x ,u ,v + ụ) bởi nhân ớ2(x ,u ,v + ụ) cho bởi (1.11), ta sẽ nhận được tích chập suy rộng mới Đó là tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace với hàm trọng Y(y) = e-My (ụ > 0) được xác định bởi

TO TO( f z k)(x) = ^ ^ J ớ2(x ,u ,v + ụ ) f (u)k(v)dudv, (1.25)

0 0thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

F s ( f 2 k)(y) = e-My(F sf)(y )(L k )(y ), Vy > 0, f, k E Li(R+) (1.26)

Tích chập suy rộng ( * .) có các tính chất cơ bản tương tự tích chập ( * .) Tuy nhiên, giữa hai tích chập suy rộng này sẽ có nhiều điểm khác nhau nếu chúng ta tiếp tục nghiên cứu sâu hơn, đạc biệt các tích chập này có thể kết hợp bổ trợ lẫn nhau để cho những ứng dụng thú vị.

sin e-L a p la ce với h à m tr ọ n g

Cho đến nay, số lượng tích chập suy rộng liên quan đến đồng thời ba phép biến đổi tích phân khác nhau đã được công bố là rất ít Việc xây dựng và nghiên cứu các tích chập dạng này là vấn đề thú vị và có nhiều ý nghĩa, đạc biệt là trong việc giải các hệ nhiều phương trình tích phân (xem [37, 38]) Trong mục này, chúng ta nghiên cứu các tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Laplace

Đ ịnh nghĩa 1.2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng Y(y) = — sin y của hai

hàm f (x) và k(x) đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier

sine và Laplace được định nghĩa như sau

\02(x — 1 , u, v) — 02(x + 1 ,u, v)] f (u)k (v)dudv,

0 0

(1.27)

với 02( x, u, v) được xác định bởi (1.11).

Đ ịnh lý 1.2.1 Giả sử f (x) E L2(R+) và k(x) E H (R+) Khi đó, tích chập suy rộng f * k ) (x) thuộc L 2(R+) thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval

(f * k ) (x) = F c [ — sin y (F s f ) ( L k ) } (x), Vx > 0, (1.28)

và đẳng thức nhân tử hóa sau

F c (f * k ) (y ) = — sin y ( F s f ) (y ) (L k ) (y ), V y > 0 (1.29)

( f * k ')(x) = ầ J

Chứng minh Từ (1.27) và bằng cách sử dụng công thức (1.7), ta có

( / 3k) (x)

12n

Suy ra đẳng thức kiểu Parseval (1.28) Mạt khác, do f (x) G L2(R+) suy ra

(Fsf ) (y) G L2(R+), hơn nữa (Lk) (y) là hàm triệt tiêu ở vô cùng nên suy ra

siny (Fsf ) (y) (Lk ) (y) G L2(R+) Kết hợp với (1.28) ta có (f 3 k ) (x) G L2(R+)

và nhận được đẳng thức nhân tử hóa (1.29) Định lý đã được chứng m inh.n

N hận x ét 1.2.1 Trong biểu thức tích chập suy rộng ( 3 ), nếu thay thế

ỡ2(x - 1 , u , v ) - ỡ2(x + 1 ,u ,v ) bởi nhân ới(x - 1,u,v) - ới(x + 1,u,v) với

ới(x, u, v) cho bởi (1.2), ta nhận được tích chập suy rộng mới Đó là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng Y(y) = sin y được

xác định bởi

co co ( f 3 k)(x) = — J Ị \Ọ1(x - 1, u, v) - ỡ1(x + 1 ,u ,v )]f (u)k(v)dudv,

0 0

(1.30)thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

F s ( f 3 k) (y) = sin y ( F c f ) (y) (L k) (y) , Vy > 0, f , k G L2(R+) (1.31)

Tích chập suy rộng ( * .) có các tính chất gần tương tự tích chập ( * .) Hai tích chập này kết hợp với nhau cho nhiều tính chất thú vị, đạc biệt là ứng dụng trong việc giải hệ nhiều phương trình tích phân.

(ị! > 0) của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Laplace được định nghĩa như sau

[ớ2(x — l , u , v + ! ) — ớ2(x + l,u , v + !■)] f (u)k(v)dudv,

(1.32)

với 02(x ,u,v) được xác định bởi (1.11)

Trong không gian hàm L ị(R +), ta có định lý sau

Khi đó, tích chập suy rộng ( f * k) (x) thuộc không gian Lị(R +), và ta có bất

từ đó ta nhân được

|Ớ2(x — 1 ,u ,v + a) — ớ2(x + 1, u, v + A)| < AM 4 (1.35)Suy ra

Suy ra

I f Ị k ) llr „ ,5 Li(R+ )

»

= Ị | ( f Ị k ) ( x ) | d x 0

TO TO TO

J Ị J / (u)k(v)e— (v+M)y j [ cos(x — 1 — u )y — cos(x — 1 + u )y

0 0 0

[ cos(x + 1 — u )y — cos(x + 1 + u )y ] j dudvdy

JJJ/ '(u)k(v)e—(v+'‘)!' cos x y sin y sin uydudvdy

Fc(/ ỉ k) (y) = —e sin y (Fs/ ) (y )(L k ) (y).

Từ (1.34) kết hợp với bổ đề Riemann-Lebesgue cho phép biến đổi Fourier

cosine, suy ra / ỉ k) (x) E C 0(R +) Định lý đã được chứng minh □

5

Ngoài không gian L 1(R+), chúng ta còn có thể chứng minh sự tồn tại của

tích chập / ỉ k ) (x) trong không gian hàm La,,ổ (R+) và một số bất đẳng thức

chuẩn trong không gian tương ứng

Đ ị n h l ý 1 2 3 Giả sử rằng p > 1,r > 1,0 < p < 1, các hàm / (x) E Lp(R+)

và k(x) E L 1(R+) Khi đó tích chập suy rộng / ỉ k ) (x) tồn tại, liên tục và bị

chặn trong Lah (R+) Hơn nữa, tích chập này thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn

II (f 5 k) 1 1 ^ (R ) - C llf llLp(K+)llk IỈLi(K+), (L39)

ở đó C = ( — )1/p.^- ^ r 1/r(a + 1 ) với r là hàm Gamma.

Ngoài ra, nếu f (x) E L 1(R+) n Lp(R+) thì tích chập suy rộng ( f 5 k) (x) thuộc

= ( n ụ ) 11 f ik(M+)iik iỈLi(M+) < o

Vậy tích chập ( f 5 k) (x) tồn tại và liên tục Sử dụng công thức (3.225.3) (trang 115 trong [25]), ta có

co

Ị x“e- ^x |(f 5 k) (x)| dx - C ||f ||ip(R+)Hk llii(R+)

oSuy ra tích chập suy rộng ( f * k) (x) thuộc không gian La,,ổ(R+) và thỏa bất đẳng thức chuẩn (1.39)

man

Cũng từ các giả thiết của định lý này và lạp luân tương tự Định lý 1.2.2,

ta nhạn được đẳng thức kiểu Parseval (1.34) và đẳng thức nhân tử hóa (1.33)

Từ đẳng thức kiểu Parseval (1.34) kết hợp với bổ đề Riemann-Lebesgue cho

phép biến đổi Fourier cosine, ta cũng suy ra ( f ị k) (x ) GC0(R+) Định lý đã

Đ i n h l ý 1 2 4 Cho a > — 1, 0 < ß < 1, p > 1, q > 1, r > 1 thỏa mãn

tích chập (f ị k) (x) tồn tại, liên tục và bị chăn trong La,ß(R+) Hơn nữa, ta

có bất đẳng thức chuẩn

II (f 5 k) \\La,ß(R ) < Cllf IỈLp(M+)^k^Lq(R+,e(q-Dx), (1.40)

trong đó C = (- 2-)1/q.ß —^ r 1/r(a + 1 )

Ngoài ra, nếu f (x) GL 1(R+) n Lp(R+) và k(x) GL 1(R+) n Lq(R + ,e(q—1)x)

thì tích chập (f ị k ) (x) cũng thuộc C0(R+) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Suy ra tích chạp suy rộng ự ỉ k) (x) tồn tại và liên tục Từ đó sử dụng công thức (3.225.3) (trang 115 trong [25]), ta có

ta cũng nhạn được ự ỉ k) (x) G C0 (R+ ) Định lý đã được chứng minh □

II (f 5 k ) IILa,ß(R ) < y ~ ß aP1.p l/r(a + 1)llf llL2(K+)ykyLl(K+) (L 41)

b) Nếu các hàm f (x) và k(x) thuộc không gian Lị (R+ ) thì tích chạp ( f ỉ k)(x)

o (

\ p 2 ~ ' Ị \f ( u ) \2du 7 " J \k(v)\dv

y n ụ l f IỈL2(K+)^k Kết hợp với công thức (3.225.3) (trang 115 trong [25]), ta có

Kết hợp với công thức (3.225.3) (trang 115, trong [25]), ta nhận được (1.42).□

ỡ2( x -1 ,u , v +ụ) —ỡ2(x+1, u, v+ụ) bởi nhân ỡ1( x -1 ,u , v+ ụ )—ỡ1(x+1,u, v +ụ)

với ớ1(x ,u ,v ) được cho bởi (1.2), ta nhận được tích chập suy rộng mới

Đó là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng

Y(y) = e—My sin y (ụ > 0) Tích chập này được kí hiệu và xác định bởi

(f * k) (x) =

12n

(

0 0

1,u, v + ụ) — ớ1(x + 1,u, v + ụ)] f (u)k(v)dudv,

(1.43)thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau

Fs(f ỉ k )(y) = e~yy s i ny (Fcf )(y )(Ck )(y ), Vy > 0, f , k e h (R+) (1.44)

Về cơ bản, hai tích chập suy rộng ( * ) và ( * ) có các tính chất tương tự Tuy nhiên, đi sâu vào nghiên cứu thì hai tích chập trên có sự khác nhau và chúng có thể bổ trợ cho nhau trong một số ứng dụng nhất định Đạc biệt là trong việc giải các hệ nhiều phương trình tích phân.

L ap lace và các tíc h chập khác

Bản thân mỗi tích chập suy rộng Fourier-Laplace không có tính chất giao hoán, không có tính chất kết hợp Tuy nhiên trong không gian L i(R +) các tích chập đó có thể liên hệ với nhau hoặc liên hệ với một số tích chập quan trọng khác như tích chập ( *.) cho bởi (0.4), tích chập ( * ) cho bởi (0.6)

Fc(f Fc Fs k ) (y ) = (F aỉ) (y ) (Fak) (y ) ,Vy > 0 , ỉ , k G LP(R+)(p = 1 2) (1.48)

M ệ n h đ ề 1 3 1 Cho f (x),k(x) và h (x ) là các hàm trong Li(R+) Khi đó,

Việc chứng minh các phần b), c) và d) là hoàn toàn tương tự □

M ệ n h đề 1.3.2 Cho f (x) và k(x) là hai hàm trong không gian L 1(R+) Khi

và tích chập suy rộng ( *

FsFc lần lượt được xác