các định lí giới hạn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và liên kết âm

Và do đó, như Kolmogonov từng nói "giá trị chấp nhận được của lí thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu và quan trọng nhất của lí thuyết xác suất là các luật số lớ

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRUONG DAI HOC VINH

DAO THI HONG THUY

CAC DINH Li GIGI HAN DOI VOI CAC BIEN NGAU NHIEN

PHU THUOC AM VA LIEN KET AM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2007

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRUONG DAI HOC VINH

CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN

DOI VOI CAC BIEN NGÂU NHIÊN

PHU THUOC AM VA LIEN KET AM

CHUYEN NGANH: XAC SUAT - THONG KE

MA SO: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS.NGUYEN VAN QUANG

Người thực hiện : ĐÀO THỊ HỒNG THỦY

VINH - 2007

I MUC LUC Mucluc 2 2.00.02 2 2000002 eee eee 1

Mở Đầu

Chương !: MỘT SỐ ĐỊNHLÍ GIỚI HẠN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN

1.1 Tính phụ thuộc âm của các biến ngẫu nhiên 4

1.2 Các biến cố phụ thuộc âm 5

1.3 Sự hội tụ hầu chắc chắn của tổng có trọng lượng các biến ngẫu

nhiên phụ thuộcâm 8 Chương2 : MỘT SỐ ĐỊNHLÍ GIỚI HẠN ĐỐI VỚICÁC BIẾN

2.1 Tính liên kết âm của các biến ngẫu nhiên 14

2.22_ Các biến cố liên kếtâm ẶẶ 19

2.3 Các định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên liên kếtâm 22

Chương3 : SỰ HỘI TỤ HẦU CHẮC CHẮN CỦA TỔNG CÓ

TRỌNG LƯỢNG CAC BIEN NGẬU NHIÊN LIÊN KET

3.1 Các biến ngẫu nhiên liên kết âm hầu tiệm cận 29 3.2 Sự hội tụ hầu chắc chắn của tổng có trọng lượng các biến ngẫu

nhiên liên kết âm hầu tiệm cận 30

Lí thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối thế kỉ XVI ở Pháp Bắt đầu từ một

số bài toán liên quan đến trò chơi may rủi, do hai nhà toán học Blaise và Pascal

nghiên cứu Các bài toán đó và các phương pháp giải chúng có thể xem là những

nghiên cứu đầu tiên của lí thuyết xác suất

Xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên,

tức những hiện tượng mà ta không thể biết trước nó xảy ra hay không khi thực

hiện một lần quan sát Lí thuyết xác suất nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượng tưởng chừng như không có quy luật đó Và do đó, như Kolmogonov

từng nói "giá trị chấp nhận được của lí thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu và quan trọng nhất của lí thuyết xác suất là các luật số lớn"

Trong lí thuyết xác suất cổ điển khái niệm độc lập chiếm vị trí trung tâm Các

kết quả quan trọng, đặc biệt các định lí giới hạn như luật số lớn, định lí giới hạn trung tâm đều được thiết lập với sự có mặt của giả thiết này

Tuy nhiên mọi sự vật hiện tượng hầu như có quan hệ phụ thuộc với nhau, do

đó việc mở rộng khái niệm độc lập là điều cần thiết Gần đây xuất hiện nhiều hướng mở rộng khái niệm này và đã thu được nhiều kết quả quan trọng

Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm Phụ thuộc âm, Liên

kết âm, Liên kết âm hầu tiệm cận, các định lí giới hạn và một số kết quả thu được

tương ứng

Luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1 Một số định lí giới hạn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Chương 2 Một số định lí giới hạn đối với các biến ngẫu nhiên liên kết âm Chương 3 Sự hội tụ hầu chắc chắn của tổng có trọng lượng các biến ngẫu

nhiên liên kết âm hầu tiệm cận

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo PGS.TS

3

Nguyễn Văn Quảng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận

tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài này tác giả cũng đã nhận được

sự giúp đỡ tận tình các cô thầy giáo bộ môn xác suất thống kê, đặc biệt thầy giáo PGS.TS Phan Đức Thành, thầy giáo PGS.TS Trần Xuân Sinh, thây giáo Ths Lê Văn Thành đã cho nhiều ý kiến quí báu giúp tác giả hoàn thiện luận văn Nhân địp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các cô thầy giáo Tác giả cũng xin cảm ơn các anh chị học viên cao học I3 chuyên ngành xác suất thống kê đã

động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Cuối cùng, mặc dù đã rất cố gắng song vì năng lực và thời gian có nhiều hạn

chế, chắc chắn luận văn không thể tránh được các sai sót Tác giả mong nhận

được sự lượng thứ và góp ý của các thầy cô và người đọc

Vinh, tháng 12 nam 2007

Tac gia

4 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU

NHIÊN PHU THUOC AM

1.1 TINH PHU THUOC AMCUA CAC BIEN NGAU NHIEN

Cho không gian xác suất (Q, Z, P)

Định nghĩa 1.1 Các đại lượng ngẫu nhiên X\, X„ xác định trên (Q.7, P) được gọi là đôi một phụ thuộc âm nếu thoả mấn

P(X; < 23, Xj < aj) < P(X; < x) P(X; < 2) (1.1)

Hodc P(X; > z¡, X; > #j) < P(X¡ > x) P(X; > 2) (1.2)

Dễ thấy (1.1) và (1.2) là tương đương nhau

Định nghĩa 1.2 Các đại lượng ngẫu nhiên X\, , X„ được gọi là phụ thuộc âm nếu thoả mãn

P(\X¡ < #2) < ][ PƠI <z)Vải, e„ ER (1.3)

Nhận xét l.1 Rõ ràng với n > 2 thi (1.3) và (1.4) là không tương đương Chẳng

hạn trên không gian xác suất (Q 7, P), với Q = {1.2.3.4}, độ ảo xác suất xác định bởi P(A) = ae ldy A = {0.1}, B = {1,2},C = {0,2} Khi đó kiển tra

trực tiếp ta thấy Tạ, Ip, lọ thoả mãn (1.4) nhưng không thoả man (1.3)

Tính phụ thuộc âm của các đại lượng ngẫu nhiên suy ra tính phụ thuộc âm đôi một và tính độc lập là một trường hợp riêng của tính phụ thuộc âm Tuy nhiên

ví dụ sau chứng tỏ rằng tôn tại các đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc âm nhưng không độc lập.

Xét không gian xác suất (O Z, P) với O = {1,2,3.4} và P(A) = la Lay

A = {1.2}, B = {2.3.4}, khi d6 74, J, là các biến ngâu nhiên phụ thuộc âm nhưng không độc lập

Sau đây là một số kết quả đơn giản của các đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc

âm (Xem [7])

Bổ để 1.1 Nếu X) X„ là các đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc âm và ƒh, ƒa

là các hàm Borel cùng tăng hoặc cùng giảm thì ƒ(X\), ƒ( Xu) là các đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc âm

Bổ đề 1.2 Nếu Xì, , X„ là các đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một thì

Ta dễ đàng chứng minh được hệ quả đơn giản sau

Hệ quả l.I 7 Nếu Xì, X„ là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một

thì D(Xị + + X„) < DX¡ + + DX„,

2 Nếu X\, X› là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm có phương sai hữu hạn thì

có hệ số tương quan âm

1.2 CÁC BIẾN CỐ PHỤ THUỘC ÂM

Định nghĩa 1.3 Các biến cố Ai A„ được gọi là phụ thuộc âm nếu các hàm

đặc trưng của chúng phụ thuộc âm

Họ bất kì các biến cố{Au,œ € J} được gọi là phụ thuộc âm nếu mọi họ con

hữm hạn của nó phụ thuộc âm

Mệnh để I.I Nếu 4;, , 4„ la các biến cố phụ thuộc âm thì Ai, , A„ là các

biến cố phụ thuộc âm

6

Ching minh Gia stt A,, , A, la cdc bién c6 phu thuộc âm, khi đó từ định

nghia ta c6 /4,, ,/4, 1a cdc bién c6 phu thuộc âm

Lấy ƒ; =1 — #,Vi = 1,n, khi đó ƒ; là các hàm đơn điệu giảm, do đó theo bổ đề 1,1 suy ra 4, = ƒi(Ta,), Fa, = fz(T4,) phụ thuộc âm

Suy ra 4¡, , 4„ phụ thuộc âm

Nhận xét 1.2 Trén cùng một không gian đo, tính phụ thuộc âm của các đại lượng ngẫu nhiên và các biến cố phụ thuộc vào độ đo xác suất được trang bị trên đó

Chẳng hạn trên không gian đo (Q, 7) với Q = |0; 1] # là ø-đại số Borel, ta trang

bị hai độ đo P,Q với P là độ đo đêu trên [Ú: 1], Q là độ đo tích phân xác định

bdi P(A) = f 2adx Khi đó lấy A = (0; 4], B = [4;2] thì A, B phụ thuộc âm đối

A

voi P? nhưng không phụ thuộc âm với Q)

Từ định nghĩa ta thấy nếu 4, phụ thuộc âm thì B, 4 phụ thuộc âm, tức là

quan hệ phụ thuộc âm của các biến cố có tính chất đối xứng Định lí sau cho ta điều kiện để quan hệ phụ thuộc âm của các biến cố có tính chất phản xạ và bắc cầu

Định lí 1.1 Điều kiện cần và đủ để quan hệ phụ thuộc âm đôi một của họ các biến cố chứa Í ( hoặc ©) có tính chất phản xạ hoặc bắc câu là xác suất của các biến cố bằng 0 hoặc bằng 1

Chứng minh Giả sử quan hệ phụ thuộc âm của các biến cố có tính chất phản

xạ Khi đó với mỗi 4 thì 4, 4 phụ thuộc âm, do d6 74, Ứ¡ phụ thuộc âm nên ta

co

P(AA) <P(A)P(A) P(A) <P(A)P(A)

Vì 0< P(4) < 1 nên từ (1.5) suy ra P(A) = 0 hoac P(A) = 1

Giả sử quan hệ phụ thuộc âm của các biến cố của họ có tính chất bắc cầu Với

mỗi 4 thuộc họ, do 4, Ú phụ thuộc âm nên suy ra 4, 4 phụ thuộc âm

Từ chứng minh trên suy ra 7⁄4) = 0 hoặc P(A) = 1

Nhận xét 1.3 Giả sử ,A là họ các biến cố chứa biến cố 0 (hoặc ©) Khi đó quan

hệ phụ thuộc âm đôi một của các biến cố có tính chất đối xứng, phản xạ và bắc

câu, tức nó là một quan hệ tương đương trên Ä khi và chỉ khi mọi biến cố A thuộc

A có xác suất 0 hoặc Ï

Định lí sau mở rộng bổ để Borel-Cantelli trong [2]

Định lí 1.2 Gid sit (A,,) là đấy các biến cố, khi đó

1 Nếu ` P(A,) < co thi P(limsup A,,) = 0

= Him PCU Plan) m=n

< lim S P(A„)=0 (do 3` P(A,) < <)

Hệ quả 1.2 (Luật 0-1 Borel-Canteli cho các biến cố phụ thuộc âm) Giả sử (Á›)

là các biến cố phụ thuộc âm, khi đó lìm sup A„ có xác suất 0 hoặc 1

n

1.3 SỰHỘI TỤ HẦU CHACCHAN CUA TONGCO TRONG LƯỢNGCÁC BIẾN

NGAU NHIÊN PHU THUỘC AM

Bổ để 1.4 Giả sử {X, X„,n > 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, cùng phân phoi thod man I; {exp(h|X ")} < œ với h > 0,r > 0,

{Xni.l <i < n,n > 1} là mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm theo hàng,

EX, =0,V1<i<n,n>1 vd {ani,1 <i < n,n > 1} la mang các hằng số dương Khi đó với 0 < Ö < r và hằng số Ở > 0 có

,

Ani Xni| < Cl ;|2 ZInn h.c.c (1.6)

9

và tồn tai d > 0,1 < œ < 2 va day {u„} nào đó các hằng số dương thoả mãn

lim uy, = 0, sưø cho

Chứng minh Từ cï < 1+ + + 3a2cl"l, Và cRtacó

exp(fa„ X„i) < 1+ tam X„¡ + 32a2,ÄX2, exp(Ea„i Xmi|)

Suy ra E(exp(taniXni)) < 1+ $007, [X3, exp(tani Xnil)], Vt > 0

Lay ¢ > 0, dat ¢ = 2Inn//c Từ (1.6), (1.7) và chú ý rằng với 7' > 0, > 0 tồn tại số J > 0 sao cho |X|! < De*lX” ta có

Elexp(tan:Xni)|

<1 +5 5 (In n)*a2,E||Xpil?-* Xpil® exp(= Inn an; Xnil)|

si+5s Zann) 12,12{( Ses } ntl gay 2 Inm Ở X;⁄Inn)]

n1 đại (Inn)%=t 5” a„;

với mọi ? đủ lớn va C’ > 0 nao dé

Từ giả thiết và bổ đề 1.1 suy ra {exp(tan;Xni),1 <i <n,n > 1} là mảng các

biến ngẫu nhiên không âm phụ thuộc âm theo hàng Do đó áp dụng bổ để 1.3 ta

B exp(t ` Ani X pi) =E([] exp(taniXni))

Chú ý rằng {—X,;,1 <i < nø,m= > 1} cũng là mảng các biến ngẫu nhiên phụ

thuộc âm theo hàng nên lập luận tương tự trên ta thu được

= SP aniXyi > 2) < no? ( với n đủ lớn ) (1.11)

0<r< an’ bn = ne (In n)? va {ani,1 <i < n,n > 1} la mảng các số dương

sao cho Ag = lim sup Aan < 0 voi A®,, = no! > Ani ° 1 <a <2 thi

il

ayn NOC

n

So ani Xi /by 0 he S5

i=l

Chứng minh Ta có

0` a„X; ⁄b,)? = BX? Soa, /be + » da„¡d„jl2X;X; ⁄b}

Xj;= X;!(|X;| < (Inn)*) — (Inn)*!(X; < -(lnø)')+ (Inn)*!(X; > (Inn)

X", = (X; — (Inn)')I(X; > (Inn)") + (X; + (Inn)*)I(X; < —(Inn)*)

DS lani “)

< n(n n)* Agana (lnn)> X;°

= Aan Xi|"/ Inn (1.17)

THAI

14

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU

NHIÊN LIÊN KẾT ÂM

2.1 TÍNH LIÊN KẾT ÂM CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

Định nghĩa 2.1 Họ các đại lượng ngẫu nhiên { X;.1 < ï < n} được gọi là liên kết âm nếu với môi cặp các tập con rời nhau Ay, Ag ca {1,2, ,n} thi

cot{(X;,¡ € Aj), fo( Xi, 7 € 4;)} <0, (2.1)

với mọi ƒ ƒ› là các hàm tăng theo các thành phần toạ độ và covarian tôn tại

Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên {X;,¡ > 1} được gọi là liên kết âm nếu mọi

họ con hữu hạn của nó là liên kết âm

Từ định nghĩa ta thấy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì liên kết âm

Trong trường hợp n=2 mệnh đề sau chỉ ra rằng khái niệm phụ thuộc âm và liên

kết âm là đồng nhất

Mệnh đề 2.1 Các đại lượng ngẫu nhiên Xì, X› liên kết âm khi và chỉ khi chúng

là phụ thuộc âm

Chứng minh Giả sử Xị, X; liên kết âm, với mỗi œ, 3 € IR lấy

fila) = Ta, +00)(x), f2(z) = 1(Ø, +)(+) thì fy, fo 1a cdc ham Borel tang Do

đó /i(zi), ƒ2(z›) liên kết âm, suy ra

cov{ fi(X1), fo(X2)} < 0

el ((fi(X1) — Efi(X1))(f2(X2) — Efo(X2)) < 0

@ Efi (Xi) f(a) — LA (ME f(X2) < 0

P(X, >a, X27 > B) — P(X, > a)P(X2 > 8) <0 P(X, > a, X27 > B) < P(X, > a)P(X2 > 8)

Suy ra X¡, X; phụ thuộc âm.

15

Ngược lại, giả st’ X,, X» phụ thuộc âm Khi đó với ƒ¡, /; tăng thì ƒ¡(X¡), /2(X:)

phụ thuộc âm, do đó cow(ƒfi(X¡) /2(X›)) < 0, suy ra X:, X; liên kết âm

Trong trường hợp ø > 2 ta có kết quả sau

Dinh lí 2.1 Giả sử {X\, , X„} là dấy các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm,

Ai, 4; là các tập con rời nhan của {L, n}, khi đó các đại lượng ngẫu nhiên

Y = fi(Xi,i € A), Z = fo(Xj,7 © Av) liên kết âm, do đó phụ thuộc âm nếu

Si, fy tang

Chứng mình Giả sử ø, g› là các hàm Borel tăng, đặt hị = gio fi, ho = goo fo

thì hị, h; là các hàm Borel tăng Vì { Xị, , X„ } là dãy các đại lượng ngẫu nhiên

liên kết âm, 4¡, 4› rời nhau nên

cou{hi(X;,¡ € AI).ha(ÄX;.7 € 4;)} <0 scov{gi o fi(Xi, © Ai), ge 6 J2(X;,j € 4;)} <0 Scov{g (fi (Xj, 7 € Ai)), go fo( Xj 9 € 4;))} <0

Suy ra Y = ø((X;.? € 4i).Z = ø(X;, j7 € 4›) liên kết âm, áp dụng mệnh đề

2.1 suy ra Y, Z phụ thuộc âm

Hệ quả 2.1 Gid sit (X), , Xn) là đấy các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm,

Ay, Ag la cdc tap con roi nhau cia {1, ,n} Khi dé dat Y = }) À;(X; — q;),

các hàm tăng theo các thành phần toạ độ Rõ ràng Y = ƒi(X;,¡ € 4i),

Z = P(X;,j € A;) nên theo định lí trên suy ra Y, Z liên kết âm

Hệ quả 2.2 Giá sử (X\, , X„) là dấy các đại lượng ngẫu nhiên không âm liên

kết âm, Ai A› là các tập con rời nhau của {Ì, n} Khi đó Y = [[ X™,

16

rang Y = [\(X;,i € Ay), Z = J›(X;.7 € 4;) nên theo định lí 2.1 suy ra Y, Z là các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm

Nhận xét 2.l 7 Các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm thì có tương quan âm

2 Các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm thì phụ thuộc âm đôi một

Tuy nhiên chiều ngược lại không đúng, ta xét ví dụ sau

Xét trên không gian xác suất (O F, P) v6i Q = [0; 1] F 1a o-dai s6 Borel, P 1a

độ đo đều trên [0;1] Lay A, = (0; 4], Ao = [3:5], As = [4:5] U [5:1] va đặt

X; = I,, Bang cach kiém tra truc tiép (c6 27 trường hợp) ta thấy

hệ quả 2.1 ta có Xị + X¿, X; liên kết âm Mâu thuẫn

Vậy tính phụ thuộc âm đôi một (thậm chí mạnh hơn là phụ thuộc âm) của các đại

lượng ngẫu nhiên không suy ra được tính liên kết âm

Từ X¡, X;, Xz phụ thuộc âm suy ra X¡, X›, X phụ thuộc âm đôi một Do đó

cov(X1, X3) < 0 và cov(X2, X3) < 0

Vì covarian là song tuyến tính nên

cou(X1 + Xo, X3) = cov(X1, Xz) + cov(X2, X3) < 0

Vay X1+ X2, X3 c6 tuong quan 4m Tuy nhiên theo kết quả trên thì X + X›, X; không liên kết âm, do đó từ tính tương quan âm không suy ra được tính liên kết

ảm.

17

Sau đây là một số tính chất đơn giản khác của các đại lượng ngẫu nhiên liên

kết âm

Bổ đề 2.1 Giả sử XỊ X„ là các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm, khi đó

hi(Xh) , ƒ2(X,) là các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm, với fi, , fn la cde hàm Borel tăng

Chứng mình Giả sử Ai, A; là các tập con rời nhau của {1, ,?} và

Ø1((8/,1€ Ai), 0(2;,7 € Az) 1a cdc ham Borel tang theo cdc thanh phan toa do Dat hy = gic (fi,t € Ai), ho = goo (Jj, j © Ag) thi hi, hy 1a cdc ham Borel tang

theo các thành phần toạ độ Do X+, , X„ liên kết âm nên ta có

cou{hi(X;.¡ € Aj), h›(X;,j € 4;)} <0

cov{gi (fi(Xi), 7 € Ai) øg(f(X;).7j € 4›)} S0

= fi(X1), 5 fn(Xn) liên kết âm

Bổ đề 2.2 Giả sử XỊ X„ ( n > 9) là các đại lượng ngẫu nhiên không âm liên