Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân laplace fourier và ứng dụng

Thảo đã đưa ra định nghĩa tíchchập suy rộng với hàm trọng γ của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổitích phân bất kỳ T1, T2 và T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa T1 f ∗ ky = γy Tγ 2fy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

——————————-LÊ XUÂN HUY

TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE,

FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

——————————-LÊ XUÂN HUY

TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE,

FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã ngành: 62460102

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO PGS TS TRỊNH TUÂN

Hà Nội - 2016

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI CAM ĐOAN 3

LỜI CẢM ƠN 4

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 6

MỞ ĐẦU 9

Chương 1 TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE 17 1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace 17

1.2 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng 28

1.3 Mối liên hệ giữa tích chập suy rộng Fourier-Laplace và các tích chập khác 37

1.4 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng 40

1.4.1 Định lý kiểu Young 41

1.4.2 Định lý kiểu Saitoh 43

Chương 2 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE 46 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace 46

2.1.1 Định lý kiểu Watson 47

2.1.2 Liên hệ giữa phép biến đổi tích phân với các đạo hàm 50 2.2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng 52

2.2.1 Định lý kiểu Watson 52

2.2.2 Định lý kiểu Plancherel 56

Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 59 3.1 Phương trình và hệ phương trình tích phân 59

3.1.1 Phương trình tích phân 60

3.1.2 Hệ phương trình tích phân 69

3.2 Một số phương trình vi-tích phân 74

3.2.1 Phương trình vi-tích phân cấp hai 75

3.2.2 Phương trình vi-tích phân 76

KẾT LUẬN 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 91

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướngdẫn của các thầy PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo và PGS.TS Trịnh Tuân Tất

cả các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưatừng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào

LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm túccủa các thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo và PGS TS Trịnh Tuân Tác giảxin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy Nhữngngười đã dẫn dắt tác giả từ những bước đi đầu tiên trên con đường nghiêncứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình làm NCS

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thànhviên trong Seminar Giải tích Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhất là TS.Nguyễn Thanh Hồng và TS Nguyễn Minh Khoa, những người luôn gần gũi,giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và trao đổi chuyên môn.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS TSKH VũKim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người đã luôn động viên và cho tácgiả nhiều ý kiến quý báu trong quá trình học tập

Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả

đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộmôn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học, đặcbiệt là thầy PGS.TS Nguyễn Cảnh Lương và TS Hà Bình Minh Tác giả xinđược chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy GS TSKH Đinh NhoHào, người đã cho tác giả nhiều ý kiến quý báu giúp luận án được hoàn thiệnhơn

Nhân dịp này, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến BanGiám hiệu Trường Đại học Kinh tế-Kỹ thuật Công nghiệp, cùng các thầy cô

và các bạn đồng nghiệp trong Khoa Khoa học cơ bản đã quan tâm động viên

và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành việc giảng dạy và làm NCS.Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình,

bố mẹ, vợ con, các anh chị em cùng bạn bè Niềm tin yêu và hi vọng của mọingười là nguồn động viên và là động lực to lớn để tác giả vượt qua mọi khókhăn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tác giả

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

a Một số phép biến đổi tích phân và tích chập

• L là phép biến đổi tích phân Laplace

Lf
(y) =

Z ∞ 0

f (x)e−yxdx, Re y > 0

• Fc là phép biến đổi tích phân Fourier cosine

Fcf
(y) =

r2π

Z ∞ 0

f (x) cos xydx, y > 0

• Fs là phép biến đổi tích phân Fourier sine

Fsf
(y) =

r2π

Z ∞ 0

|f (x)|pdx < ∞,trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi

kf kLp(R+) =

Z ∞ 0

|f (x)|pdx

1p

• Lp(R+, ρ), ρ(x) > 0, 1 ≤ p < ∞ là không gian các hàm số f (x) xácđịnh trên R+ sao cho

Z ∞ 0

|f (x)|pρ(x)dx < ∞,trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi

kf kLp(R+, ρ) = 

Z ∞ 0

|f (x)|pρ(x)dx

1 p

.Đặc biệt, khi ρ(x) = xαe−βx thì ta nhận được không gian hàm hai tham

số α, β và kí hiệu Lα,βp (R+)

• L∞(R+) là không gian các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho

ess sup

x∈R +

|f (x)| < ∞,trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từrất sớm Cho đến nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tíchtoán học Những phép biến đổi tích phân đầu tiên phải kể đến là phép biếnđổi Fourier (xem [6, 25, 33]), phép biến đổi Laplace (xem [6, 33, 56]), phépbiến đổi Mellin (xem [23, 33]), phép biến đổi Hankel (xem [6, 47]), phép biếnđổi Stieltjes (xem [6, 32]), phép biến đổi Hilbert (xem [6, 10]),

Một trong những vấn đề được quan tâm của phép biến đổi tích phân lànghiên cứu các tích chập Trước hết, ta mô tả khái quát những thuộc tínhbản chất của những tích chập đã biết đầu tiên Giả sử X, Y là hai tập concủa R và U (X) là không gian tuyến tính, V (Y ) là đại số Xét phép biến đổitích phân T : U (X) → V (Y ), khi đó tích chập của hai hàm f và k trong

U (X) đối với phép biến đổi tích phân T kí hiệu là f ∗ k và được xác định bởi

∗ : U (X) × U (X) → V (Y )

(f, k) 7→ f ∗ ksao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

f (x − y)k(y)dy, x > 0, (0.1)trong không gian hàm bậc mũ α (α > 0) thì tích chập này thỏa mãn đẳng

T f ∗ k
(y) = γ(y) T f
(y) T k
(y),γ

và cho điều kiện cần xác định tích chập này khi có một số ràng buộc về nhâncủa phép biến đổi tích phân Nhờ vào ý tưởng và kỹ thuật của phương phápnày mà nhiều tích chập có hàm trọng được tìm ra, tiêu biểu là tích chập vớihàm trọng γ(y) = sin y đối với phép biến đổi Fourier sine (xem [16])

f ∗γ

F s

k
(x) = 1

2√2π

nếu f, k ∈ L1(R+) thì tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Fs f ∗γ

F s

k
(y) = sin y Fsf
(y) Fsk
(y), ∀y > 0 (0.6)

Năm 1951, lần đầu tiên Sneddon I.N đã xây dựng được một tích chập

mà trong đẳng thức nhân tử hóa có chứa hai phép biến đổi tích phân khácnhau tham gia Đó là tích chập suy rộng đối với hai phép biến đổi Fouriersine và Fourier cosine (xem [33, 49])

f (y)k(|x − y|) − k(x + y)dy, x > 0, (0.7)

nếu f, k ∈ Lp(R+) (p = 1, 2) thì tích chập này thỏa mãn

Fs f ∗

F s F c

k
(y) = Fsf
(y) Fck
(y), ∀y > 0 (0.8)

Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, Yakubovich S.B cũng đã xây dựngđược một vài tích chập suy rộng theo chỉ số đối với các phép biến đổi tíchphân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi H (xem[51, 55]) Năm 1998, Kakichev V.A và N.X Thảo đã đưa ra định nghĩa tíchchập suy rộng với hàm trọng γ của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổitích phân bất kỳ T1, T2 và T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

T1 f ∗ k
(y) = γ(y) Tγ 2f
(y) T3k
(y),

và cho điều kiện cần để xác định tích chập khi biết một số ràng buộc cụthể về nhân của các phép biến đổi tích phân tương ứng (xem [18]) Kết quảnày đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tích chập cũng như phép biếnđổi tích phân Nhờ đó mà những năm về sau đã có nhiều tích chập suy rộngđối với phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Mellin,Hartley, Kontorovich-Lebedev được xây dựng, nghiên cứu và cho nhiều ứngdụng thú vị (xem [16, 19, 37, 38, 39, 43, 45, 54]) Mặc dù, có một số tích chậpsuy rộng đối với phép biến đổi Laplace đã được đề xuất từ những năm 1998,

chẳng hạn tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tíchphân Hankel và Laplace, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phépbiến đổi tích phân Laplace, Fourier cosine và Hankel (xem [18]) Tuy nhiên,đến nay vẫn chưa có một kết quả nghiên cứu chính thức nào về tích chập suyrộng liên quan đến phép biến đổi Laplace được công bố.

Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập f ∗ k
,bằng cách cho một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thức tíchchập, chẳng hạn cố định hàm k, còn hàm f cho biến thiên trong một khônggian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được phép biến đổi tích phân liênquan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập

f 7→ g = f ∗ k
Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên đượcWatson xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đến tích chậpMellin (xem [44])

Tổng quát hơn, người ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng

f 7→ g = D f ∗k
mà D là một toán tử nào đó Trong trường hợp D = (1− d 2

lại nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tích chập suyrộng không có hàm trọng Cho đến nay các phép biến đổi tích phân kiểu tíchchập suy rộng Laplace có hàm trọng và không có hàm trọng vẫn chưa đượcnghiên cứu.

Việc nghiên cứu các tích chập và các phép biến đổi tích phân có ý nghĩaquan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật Nó đặc biệt hữu íchtrong việc giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phươngtrình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật

lý, trong lý thuyết mạch, hệ cơ học, bài toán ngược, bài toán xử lý ảnh và xử

lý tín hiệu (xem [3, 6, 8, 9, 10, 23, 29, 31, 33, 36, 46, 48, 52]) Trong nhiềutrường hợp, nghiệm nhận được từ các bài toán trên có thể được biểu diễnqua các tích chập tương ứng Để đánh giá các nghiệm đó ta có thể dùng đếnmột công cụ, đó chính là bất đẳng thức đối với tích chập Bất đẳng thức đốivới các tích chập, ngoài ứng dụng để đánh giá nghiệm của phương trình, bảnthân nó cũng đã là một vấn đề thú vị trong việc nghiên cứu tích chập

Đầu tiên phải kể đến bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier (xem[1, 35]) Nếu p, q, r > 1 thỏa mãn 1p + 1q = 1 + 1r và f ∈ Lp(R), k ∈ Lq(R) thì

kf ∗

F kkLr(R) ≤ kf kLp(R)kkkLq(R) (0.9)Bất đẳng thức này cho ta đánh giá chuẩn của tích chập Fourier trong khônggian hàm Lr(R), tuy nhiên nó không đề cập đến trường hợp f, k ∈ L2(R).Năm 2000, trong một bài báo của Saitoh S (xem [27]), bằng cách xét cáckhông gian hàm Lp(R, |ρj|) có trọng ρj ∈ L1(R) (j = 1, 2) là các hàm khôngtriệt tiêu và Fj ∈ Lp(R, |ρj|) (p > 1), tác giả đã nhận được đánh giá sau, gọi

là bất đẳng thức Saitoh cho tích chập Fourier

bất đẳng thức Young, bất đẳng thức Saitoh (0.10) còn đúng trong cả trườnghợp p = 2 Do có nhiều ứng dụng thú vị, đặc biệt là trong việc đánh giánghiệm của các phương trình toán-lý, bất đẳng thức Saitoh sau khi xuất hiện

đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học Về sau, bất đẳngthức này đã được các tác giả Đ.T Đức và N.D.V Nhân mở rộng cho khônggian hàm trọng nhiều chiều Lp(Rn, |ρj|) (xem [7])

Năm 2002, Saitoh S., V.K Tuấn và Yamamoto M tiếp tục xây dựng bấtđẳng thức ngược đối với tích chập Laplace và sử dụng vào việc giải bài toántruyền nhiệt ngược (xem [29]) Đến năm 2008, N.D.V Nhân và Đ.T Đứccũng đã thiết lập và nghiên cứu thành công bất đẳng thức kiểu Saitoh chotích chập Laplace trong không gian nhiều chiều Lp(Rn+, |ρj|) (xem [24]).Các bất đẳng thức dạng trên đối với tích chập Mellin, tích chập Fouriercosine sau đó cũng được thiết lập nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị(xem [7, 14, 24, 28, 29, 30]) Tuy nhiên, các bất đẳng thức đối với tích chậpsuy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đến nay vẫn chưa được đề cập

và nghiên cứu

Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để nghiên cứu là "Tíchchập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier vàứng dụng"

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suyrộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace Tức các tích chập suyrộng mà trong đẳng thức nhân tử hóa chứa phép biến đổi Laplace cùng vớimột hoặc hai phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine Nghiên cứu tínhchất toán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộngnày trong một số không gian hàm cụ thể Xây dựng và nghiên cứu các phépbiến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng Nghiên cứu các tínhchất toán tử của phép biến đổi như tính unita, sự tồn tại toán tử ngược của

phép biến đổi trong không gian L2(R+) Từ đó, ứng dụng vào việc giải đúngmột lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tíchphân.

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp của giải tích hàm, lýthuyết toán tử, phép biến đổi tích phân và lý thuyết tích chập Chúng tôiứng dụng bất đẳng thức H¨older để đánh giá chuẩn của các toán tử tích chậpmới trong các không gian hàm cụ thể Đặc biệt định lý Wiener-Lévy được sửdụng nhiều trong việc xây dựng công thức nghiệm đúng cho lớp các phươngtrình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân

4 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chialàm ba chương:

Chương 1, xây dựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Fourier-Laplace.Nhận được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, định lý kiểuTitchmarch và một số đánh giá chuẩn trong các không gian hàm Lp(R+) và

Lα,βp (R+) Tìm được mối liên hệ giữa các tích chập suy rộng mới với một

số tích chập quan trọng đã biết Hơn nữa, trong các không gian Lp(R+) và

Lp(R+, ρ), các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích chập suyrộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh

Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tíchchập suy rộng Fourier-Laplace Nghiên cứu các tính chất toán tử của cácphép biến biến đổi này, ta nhận được các định lý kiểu Watson cho điều kiệncần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là unita trong không gian L2(R+),hơn nữa ta cũng xác định được điều kiện đủ cho sự tồn tại các phép biếnđổi ngược Ngoài ra định lý kiểu Plancherel đối với phép biến đổi tích phântương ứng cũng được chứng minh

Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân

và phương trình vi-tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộng

Fourier-Laplace và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Fourier-Laplace.Hơn nữa, bằng phương pháp giải này nghiệm nhận được từ các các phươngtrình trên đều được cho dưới dạng tường minh.

5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, các phép biến đổitích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace và một số bất đẳng thức đối vớicác tích chập suy rộng tương ứng được đề cập và nghiên cứu trong luận án.Các kết quả này có ý nghĩa khoa học và góp phần làm phong phú hơn về lýthuyết phép biến đổi tích phân, tích chập cũng như bất đẳng thức đối vớitích chập Từ đó, đưa ra cách tiếp cận mới và các phương pháp giải phươngtrình tích phân và phương trình vi-tích phân Hơn nữa, một số ý tưởng vàphương pháp được sử dụng trong luận án có thể dùng để nghiên cứu các tíchchập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân khác

Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, được liệt

kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm ba côngtrình trên các tạp chí toán học Quốc tế (trong đó [4] thuộc tạp chí trongdanh mục ISI) và một công trình trên tạp chí toán học Quốc gia Các kếtquả này đã được báo cáo một phần hoặc toàn bộ tại:

+ Hội nghị Toán học Việt-Pháp, tháng 8 năm 2012, tại Huế

+ Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013, tại NhaTrang

+ Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng(ICFIDCAA), tháng 8 năm 2011 tại Hà Nội

+ Hội thảo Toán học phối hợp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội vàTrường Đại học Heidelberg của Đức, tháng 3 năm 2015

+ Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

+ Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội

Chương 1 TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE

Mục đích của Chương 1 là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suyrộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace Nghiên cứu các tính chấttoán tử của các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm khácnhau Thiết lập và chứng minh các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitohđối với các tích chập tương ứng

Trước hết ta nghiên cứu tích chập suy rộng liên quan đến hai phép biếnđổi tích phân Fourier cosine và Laplace không có trọng

Định nghĩa 1.1.1 Tích chập suy rộng của hai hàm f và k đối với hai phépbiến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau

F c

.) thì Ac là một đại

số Banach Thật vậy, giả sử k, h ∈ L1(R+) và đặt f = Fck, g = Fch Khi đó,

Định lý 1.1.1 Giả sử các hàm f và k thuộc không gian L2(R+) Khi đó ta

∞

Z

0

Fcf
(y) Lk
(y)cos(xy)dy

Fc Fcf
(y) Lk
(y)(x) L

∞ (R + ) ≤

r2

ra L1(R+) ∩ L2(R+) trù mật trong L2(R+) Vậy, nếu cho  → 0+ và do

L1(R+) ∩ L2(R+) trù mật trong L2(R+), bằng cách thác triển liên tục tanhận được đẳng thức kiểu Parseval (1.3) đối với f, k ∈ L2(R+) Bằng cáchtác động phép biến đổi Fourier cosine Fc lên hai vế của đẳng thức (1.3) tanhận được đẳng thức nhân tử hóa (1.4) Định lý đã được chứng minh 2

Ta đặt

H(R+) =nf : Lf
∈ L2(R+)o

Khi đó dễ thấy rằng H(R+) là không gian hàm rộng hơn L2(R+), nghĩa là

L2(R+) ⊂ H(R+) Trong một số trường hợp, việc nghiên cứu tích chập ∗

1.

có thể được mở rộng cho không gian H(R+)

Nhận xét 1.1.1 Giả thiết rằng f ∈ L2(R+), và k ∈ H(R+) sao cho tíchphân (1.1) hội tụ như tích phân lặp Ví dụ, tích chập (1.1) tồn tại nhưtích phân lặp với k(x) = cos x 6∈ L2(R+), nhưng k(x) ∈ H(R+) khi đóLk
(y) = y

y 2 +1 ∈ L2(R+) Trong trường hợp này, ta có đánh giá sau

Để nghiên cứu tích chập suy rộng ∗

1
trong không gian hàm L1(R+) tacần đến bổ đề sau

Bổ đề 1.1.1 Nếu k ∈ L1(R+), thì Lk
∈ Ac

Z

0

dx =

r2π

∞

Z

0

... trình tích phân (xem [37, 38]).Trong mục này, nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọngđối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine Laplace. Định nghĩa 1.2.1 Tích chập suy rộng. .. nhận tích chập suy rộng Đó tích chập suy rộng Fouriersine -Laplace định nghĩa

Định nghĩa 1.1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0)của hai hàm f k hai phép biến. .. trọng

Cho đến nay, số lượng tích chập suy rộng liên quan đến đồng thời ba phépbiến đổi tích phân khác cơng bố Việc xây dựng vànghiên cứu tích chập dạng vấn đề thú vị có nhiều ý nghĩa,