Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân laplace, fourier và ứng dụng (TT)

Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, một vài tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân khác mới tiếp tục được nghiên cứu bởi Yakubovich S.B.. Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa c

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từ rất sớm Đến nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tích toán học Một trong những nội dung được quan tâm của phép biến đổi tích phân là nghiên cứu các tích chập Đó là một phép nhân đạc biệt được định nghĩa qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường được đưa vào nghiên cứu trong các không gian hàm mà ở đó phép nhân thông thường không tồn tại Các tích chập đầu tiên được nghiên cứu là tích chập Laplace, tích chập Fourier Năm 1951, tích chập suy rộng đầu tiên được Sneddon I.N đề cập và nghiên là tích chập suy rộng Fourier sine và Fourier cosine Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, một vài tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân khác mới tiếp tục được nghiên cứu bởi Yakubovich S.B Đó là các tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi H theo chỉ số Đến năm

1998, Kakichev V.A và N.X Thảo đưa ra định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng Y

chập khi biết một số ràng buộc cụ thể về nhân của các phép biến đổi tích phân tương ứng Nhờ kỹ thuật này mà những năm về sau đã có một số tích chập suy rộng liên quan đến cácphép biến đổi tích phân khác được xây dựng Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có một kết quả nghiên cứu chính thức nào về tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace được công bố

Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập (f * k) (x), bằng cách cho

một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thức tích chập, chẳng hạn cố định hàm

k, còn hàm f cho biến thiên trong một không gian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân

kiểu tích chập f ^ g = Ự * k) Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được Watson

xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đến tích chập Mellin Tổng quát hơn,

người ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng f ^ g = D(f * k) mà D là một toán

tử nào đó Trong trường hợp D = (1 — d"2) là một toán tử vi phân cấp 2, phép biến đổi tíchphân kiểu tích chập Fourier cosine đã được V.K Tuấn và Musallam thiết lập và nghiên

đổi Fourier sine, Mellin, biến đổi Kontorovich-Lebedev sau đó cũng được nghiên cứu Chođến nay các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace có hàm trọng và không có hàm trọng vẫn chưa được nghiên cứu

Khi giải quyết các bài toán toán-lý, nghiệm của các bài toán này có thể được biểu diễn qua các tích chập tương ứng Để đánh giá các nghiệm đó ta có thể dùng đến bất đẳng thức đối với tích chập Đầu tiên phải kể đến bất đẳng thức Young và bất đẳng thức Saitoh đối với tích chập Fourier Các bất đẳng thức dạng này đối với tích chập Mellin, tích chập Fourier cosine sau đó cũng được thiết lập nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị Tuy nhiên, các bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đến nay vẫn chưa được đề cập và nghiên cứu

Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để nghiên cứu là "Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng".

2 Mục đích, đối tương và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace Nghiên cứu tính chất toán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm cụ thể Xây dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng

Nghiên cứu các tính chất toán tử của phép biến đổi như tính unita, sự tồn tại toán tử

hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp giải tích hàm, lý thuyết toán tử, phép biến đổi tích phân và lý thuyết tích chập Chúng tôi ứng dụng bất đẳng thức Holder

để đánh giá chuẩn của các toán tử tích chập mới trong các không gian hàm cụ thể Đạc biệtĐịnh lý Wiener-Levy được sử dụng nhiều trong việc xây dựng công thức nghiệm đóng cholớp các phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân

4 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm ba

các tích chập suy rộng mới với một số tích chập quan trọng đã biết Hơn nữa, trong các

suy rộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh

Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace Nghiên cứu các tính chất toán tử của các phép biến biến đổi này, ta nhận được các Định lý kiểu Watson cho điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là

các phép biến đổi ngược Ngoài ra Định lý kiểu Plancherel đối với phép biến đổi tích phân tương ứng cũng được chứng minh

Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộng Fourier-Laplace và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier- Laplace Hơn nữa, bằng phương pháp giải này nghiệm nhận được từ các các phương trình trên đều được cho dưới dạng dóng

5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace, và một số bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng tương ứng lần đầu tiên được đề cập và nghiên cứu trong luận án Các kết quả này có ý nghĩa khoa học và góp phần làm phong phú hơn về lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập cũng như bất đẳng thức đối với tích chập Từ đó, đưa ra cách tiếp cận mới và các phương pháp giải phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân Một số ý tưởng vàphương pháp được sử dụng trong luận án có thể dùng nghiên cứu các tích chập suy rộng khác

Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, được liệt kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm ba công trình trên các tạp chí toán học Quốc

tế (trong đó [4] thuộc tạp chí trong danh mục ISI) và một công trình trên tạp chí toán học Quốc gia Các kết quả này đã được báo cáo một phần hoặc toàn bộ tại:

+ Hội nghị Toán học Việt-Pháp, tháng 8 năm 2012, tại Huế

+ Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013, tại Nha Trang

+ Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng (ICFIDCAA),tháng 8 năm 2011 tại Hà Nội

Heidelberg của Đức, tháng 3 năm 2015

+ Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

+ Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội

ự * k ) (x)

TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE

Mục đích của Chương 1 là nghiên cứu một số tích chập suy rộng liên quan đến

phép biến đổi Laplace Nghiên cứu các tính chất toán tử của các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm khác nhau Thiết lập các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với các tích chập tương ứng

Định nghĩa 1.1.1 Tích chập suy rộng của hai hàm f và k đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau

Với chuẩn Ilf ||A := ||Fcf ||Ll(R+) thì A c là đại số Banach, nghĩa là nếu f (x), k(x) E A c , thì f (x)k(x) E A cvà thỏa mãn ||fk||A < If |A |k|A

Định lý 1.1.1 Giả sử các hàm f (x) và k(x) thuộc không gian L 2 (R + ) Khi đó ta có (f * k) (x) E A c , và thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval

(fị k)(x) = Fc[(Fcf)(y)(Lk)(y)](x), Vx> ° (1.3)

Hơn nữa, ta cũng nhận được đẳng thức nhân tử hóa sau

F c (f * k) (y) = (F c f) (y) (Ch) (y), Vy > ° (1.4)

Định lý 1.1.2 Giả sử rằng f (x)’ k(x) E Li(R+) Khi đó đối với tích chập (f * k) (x), các đẳng thức

Nhận xét 1.1.1 Trong biểu thức tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace ( * ), nếu thay

đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau

Đinh lý 1.1.4 Giả sử f (x), k(x) G Li(R+) Khi đó, tích chạp suy rộng (f ĩ k) (x) thuộc L^R+), thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn

1

L i(R+)

và có đẳng thức nhân tử hóa

F c (f ĩ k)(y) = e-'*y(F c f)(y](Ck)(y), Vy > 0 (1.12)

Đinh lý 1.1.5 (Đinh lý kiểu Titchmarch) Cho hai hàm so liên tục k(x) G L 1 (R+) và f (x) G L 1 (R+,

e a x ) (a > 0) Nếu (f ĩ k) (x) = 0, Vx > 0 thì hoặc f (x) = 0, Vx > 0 hoặc k(x) = 0, Vx > 0.

Đinh lý 1.1.6 Giả sử p > 1,r > 1, 0 < ß G 1, các hàm f (x) G Lp(R+) và k(x) G L^R+) Khi đó tích chạp suy rộng (f ĩ k)(x) tồn tại, liên tục và thuộc L a , ß

(R+) Hơn nữa, ta có đánh giá sau

II (f 11 k) llLa,ß(R) G CIf |Lp(R+)|k|Li(R+), (1.13)

trong đó C = (— ) 1 / p ß -^ r1/r (a + 1) với r là hàm Gamma Ngoài ra, nếu f (x) G L1(R+) n Lp(R+) thì

Đinh lý 1.1.7 Giả sử a > —1, 0 < ß G 1,p > 1,q > 1,r > 1 thỏa mãn 1 + 1 = 1 Khi đó, nếu f (x) G

L p (R+) và k(x) G L q (R+, (1 + x 2 ) q —1 ), thì tích chạp (f ĩ k) (x) tồn tại, liên tục, bị chặn trong L ° r , ß (R+)

và có

1

(f 1 kllLa,ß (R) G Cllf |

trong đó C = p - Pn -qß—^r1/r(a + 1) Hơn nữa, nếu giả thiết thêm f (x) G L1(R+) n Lp(R+) và k(x) G

L1(R+) n Lq(R+, (1 + x2)q-1) thì tích chạp f ĩ k)(x) thuộc C0(R+) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

(1.12)

+ ụ) được xác định như (1.5), thì ta nhận được tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace (

Định lý 1.2.1 Giả sử f (x) G L2(R+) và k(x) G H(R+) Khi đó, tích chập suy rộng f * k) (x) thuộc

Định nghĩa 1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng Y(y) = —e siny (ụ > 0) của hai hàm f và y

k đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Laplace được định

nghĩa như sau

-|

(f ỉ k ) (x) =2~J J [ớ2(x — 1,u,v + ụ)

Định lý 1.2.2 Giả sử f (x) và k(x) là hai hàm thuộc không gian Li(R+) Khi đó, tích chập suy rộng f ỉ

1 1 f 5 k ^Li(R+) - llfllLi(R

+>llkllLi(R+)

Hơn nữa, tích chập suy rộng f ỉ k) (x) cũng thuộc C0(R+), thỏa mãn đẳng

II f 5 k)11^( R> — CllfllLp(R+)llkllLi(R+), (1.23)

ở đó C = (-2-) 1/p 3—^ r1/r (a + 1) với r là hàm Gamma Euler.

thức nhân tử hóa (1.21) và đẳng thức kiểu Parseval (1.22).

Đinh lý 1.2.4 Cho a > —1, 0 < ß < 1, p > 1, q > 1, r > 1 thỏa mãn 1 + 1 = 1 Khi đó, nếu các

hàm f (x) G Lp(R+) và k(x) G L q(R+,e(q—1)x) thì tích chạp f ỉ k) (x) ton tại, liên tục và bị chăn

II (f ỉ k ) \\ L a,ß(R ) < Cllf\\L p (R + )\\ k \\L q(R+,e(q-i)x), (L24)

trong đó C = ( )1 / q.ß — ^To1/r(a + 1).

Ngoài ra, nếu f (x) G L1(R+)nLp(R+) và k(x) G L1(R+)nLq(R+,e(q—1)x) thì tích chạp f ỉ k)

10

1 — q

< M q ||f ||Lp(R+)Hk||Lq(R+,(x+M)q—(R+)

Định lý 1.4.2 (Định lý kiểu Saitoh) Giả sử P jE Li(R+) (j = 1, 2) là

hai hàm số dương, khi đó ta có bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng sau đây đúng với mọi F j E Lp (R+, Pj)

Xây dựng và nghiên cứu bốn tích chập suy rộng Fourier-Laplace: (.*.), ( * ), ( * )

và ( * ) Nhận đươc các kết quả chính sau:

v

• Các đánh giá chuẩn của toán tử tích chập trong một số không gian hàm

• Các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch

• Các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh cho tích chập suy rộng Fourier Laplace với hàm trọng

cosine-Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1], [2], [3] và [4] trong Danh mục công trình đã công bố của luận án

2

12

như tích phân lặp Khi đó điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân (2.1) unita trong

Mệnh đề 2.1.1 Giả thiết k(x) là hàm thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1.1, trong đó điều kiện (2.2) được thay bằng điều kiện sau

( T k f)(x) = ( f l (k + k"))(x) - k ' (0)f (x) (2.7)

2.2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập

suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng

Xét phép biến đổi tích phân liên quan đến các tích chập suy rộng (1.17):

Định lý 2.2.1 Giả sử ki(x) G H(R+) và k 2 (x) G L 2 (R+ ), khi đó điều kiện cần và đủ để phép

L 2 ((R + ) với ||gHi2(M+) = II/I|L 2(R+).

Kết luận Chương 2

trong L2(R+)

• Định lý kiểu Plancherel về sự tồn tại các dãy toán tử hội tụ theo chuẩn về toán tử tích

Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [3] và [4], trong Danh mục công trình đã công bố của luận án

3

16

(3.1)

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Trong chương này, chúng ta sử dụng các kết quả nghiên cứu của Chương 1 và Chương 2 để giải một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân và cho công thức nghiệm dưới dạng đóng

3.1 Giải phương trình và hệ phương trình tích phân

Định lý 3.1.1 (Định lý Wiener-Levy) Giả sử f là biến đổi Fourier của một hàm thuộc Li(R),

và ự là hàm giải tích trong một lân cận của gốc, chứa miền {f (y), Vy E R} thỏa mãn ự(0) = 0,

Nhận xét 3.1.1 Định lý Wiener-Levy vẫn đúng cho cả phép biến đổi Fourier cosine

3.1.1 Giải phương trình tích phân

a) Xét phương trình tích phân loại một có dạng

Định lý 3.1.2 Cho g(x), k(x) E L1(R+) Khi đó, điều kiện cần và đủ để

{ ) Lk

f (x) =

J 0

(Fcg) (y) (Lk)(y)

nghiệm được cho dưới dạng

c) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng

(3.8) có nghiệm duy nhất trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) là 1 + e-My(F c 'ệ)(y)(Ly) (y) = 0, Vy > 0 Hơn nữa, nghiệm có thể được biểu diễn dưới dạng sau

X [y(u + t) + sign(u — t)y(\u — t|)]'ệ(v)dudv, (3.12)

s i n y(F c y)(y)(L'ệ)(y) = 0, Vy > 0 Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạnh sau

n (a2 + y2)(b + y)e^y + y^-y siny ~dy ,

và nghiệm được cho bởi

= —A — e—My sin y.^ -^ -

Ko(x,t)

Kj(x,t)

a) Xét hệ hai phương trình tích phân loại hai có dạng

f (x) + / K 6 (x,t)g(t)dt = p(x),

J 0 g(x) + K 7 (x,t)f (t)dt = q(x),x> 0.

0Trong đó

—1 Ỡ 1 ( x , u , v + y)[l(lu — t|) + l(u + t)]ị(v)dudv, n v 2n ,/R+

(3.16)

với ỚI(x,u,v) được xác định bởi (1.2).

Định lý 3.1.6 Giả thiết p(x), ị(x), p(x), q(x), k(x), l(x) E Li(R+), thỏa

0Trong đó

3.2 Giải phương trình vi-tích phân

Xét phương trình vi-tích phân có dạng

f (x) - f

" (x) + ( T k f ) (x) = g (x) , x > °, (3.21)

f( 0) = f (0) = 0.

trong đó q(x) E Li(R+) lồ hàm được xác định bởi q(x) = F c

' (¿k)(y) '4+(Lk) (y),

Định lý 3.2.1 Nếu 1 + (Lk) (y) = 0, Vy > 0, thì phương trình (3.21) có nghiệm duy nhất trong

f(x)

a)Xét phương trình vi-tích phân có dạng

Định lý 3.2.2 Nếu k(x), k"(x) E L1(R+), k f ( 0 ) = k(0) = 0, với điều kiện 1 + L(k + k") (y) = 0,

nghiệm được cho dưới dạng

Trong đó, ^(x) = (^1 * ^>2) (x), ^1(x) E H (R+), ^>2(x) = (sin t * sin t) (x) và ^(x) = (secht *

F

s F c

1 + (y + y3)(siny(Kp) ( y ) - (Fs^)(y)) < oo, Vy > 0. (3.26)

Định lý 3.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn

Ung dụng từ các kết quả Chương 1 và Chương 2, ta nhận được:

• Điều kiện cần và đủ giải được một lớp các phương trình tích phân

• Điều kiện đủ giải được một lớp hệ phương trình tích phân

• Điều kiện đủ giải được một lớp phương trình vi-tích phân

Các lớp phương trình và hệ phương trình trên đều cho nghiệm dưới dạng đóng Nội dung chính của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1], [2], [3] và [4], trongDanh mục công trình đã công bố của luận án

KẾT LUẬN

Các kết quả chính của luận án là:

1 Xây dựng bốn tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine và Laplace Nhận được tính chất toán tử của các tích chập, đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch Thiết lập các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích chập suy rộng

tương ứng

2 Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier

đủ để các phép biến đổi là unita, điều kiện đủ để tồn tại biến đổi ngược Định